समीकरण म्हणजे तराजू
तराजूच्या एका पारड्यात x + 7 आणि दुसऱ्यात 15 आहे, आणि तराजू समतोल आहे. दोन्ही बाजूंतून 7 काढले तरी तराजू समतोलच राहतो : x = 8.
दोन्ही बाजू बरोबर आहेत असे सांगणारे विधान म्हणजे समीकरण. अक्षराची जी किंमत ते खरे करते ती त्याची उकल.
आकृतीत : x + 7 = 15 : दोन्ही पारड्यांतून 7 काढले की तराजू समतोल राहतो ⇒ x = 8.
सूत्र : दोन्ही बाजूंना सारखीच क्रिया करा : + , − , × , ÷ (0 ने नाही)
समीकरण म्हणजे तराजू
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाकोणती क्रिया करायची
| x वर झालेली क्रिया | दोन्ही बाजूंना करायचे |
|---|---|
| x + 5 | 5 वजा करा |
| x − 5 | 5 मिळवा |
| 5x | 5 ने भागा |
| x ÷ 5 | 5 ने गुणा |
- सोपे : x − 6 = 9 ; दोन्हीकडे 6 मिळवा ; x = 15.
- मध्यम : 3x = 36 ; दोन्हीकडे 3 ने भागा ; x = 12.
- परीक्षेसाठी : x ÷ 4 = 5 ; दोन्हीकडे 4 ने गुणा ; x = 20.
तपासणी : मिळालेली किंमत मूळ समीकरणात घालून दोन्ही बाजू सारख्या येतात का बघा.
फक्त एकाच बाजूला क्रिया करणे. जी क्रिया एकीकडे कराल ती दुसरीकडेही करा.
x वर जी क्रिया झाली असेल तिची उलट क्रिया करा : + ला −, × ला ÷. आठवणीची युक्ती : तराजू : एका पारड्यात जे कराल ते दुसऱ्या पारड्यातही करा.
फरक ओळखा
| मुद्दा | समीकरण | बैजिक राशी |
|---|---|---|
| चिन्ह = | असते | नसते |
| अर्थ | दोन बाजू बरोबर | फक्त एक राशी |
| उदाहरण | x + 7 = 15 | x + 7 |
| सोडवता येते का | हो (x = 8) | नाही, फक्त सोपी करता येते |
सरावासाठी प्रश्न
- 1x + 9 = 20
- 24x = 52
- 3x ÷ 5 = 7
- 4x − 8 = 13
- 56x = 84
- 6x ÷ 3 + 2 = 9
- 72x + 5 = 17
- 83x − 7 = 20
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1x = 20 − 9 = 11.
- 2x = 52 ÷ 4 = 13.
- 3x = 7 × 5 = 35.
- 4x = 13 + 8 = 21.
- 5x = 84 ÷ 6 = 14.
- 6x ÷ 3 = 7 ; x = 7 × 3 = 21.
- 72x = 12 ; x = 6.
- 83x = 27 ; x = 9. तपासणी : 3 × 9 − 7 = 20 ✔.
दोन्ही बाजूंना x असलेली समीकरणे
अमितकडे 5 पिशव्यांतील चेंडू आणि वर 3 चेंडू कमी आहेत; सुमितकडे 2 पिशव्या आणि वर 9 चेंडू. दोघांकडे सारखे चेंडू. 5x − 3 = 2x + 9 → x = 4 चेंडू प्रति पिशवी.
प्रथम कंस सोडवा, अपूर्णांक असतील तर सर्व पदांना ल.सा.वि. ने गुणा. मग x एका बाजूला आणि संख्या दुसऱ्या बाजूला न्या.
आकृतीत : 5x − 3 = 2x + 9 : दोन्हीकडून 2x वजा, दोन्हीकडे 3 मिळवा, मग 3 ने भागा ⇒ x = 4.
शब्दांत : पायऱ्या : 1) कंस सोडवा. 2) अपूर्णांक घालवा. 3) x चे पद एका बाजूला, संख्या दुसऱ्या बाजूला. 4) x च्या गुणकाने भागा. 5) तपासा.
दोन्ही बाजूंना x असलेली समीकरणे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 5x − 3 = 2x + 9 ; 5x − 2x = 9 + 3 ; 3x = 12 ; x = 4. तपासणी : 5 × 4 − 3 = 17 आणि 2 × 4 + 9 = 17.
- मध्यम : 3(x − 2) = 2(x + 3) ; 3x − 6 = 2x + 6 ; 3x − 2x = 6 + 6 ; x = 12. तपासणी : 3 × 10 = 30 आणि 2 × 15 = 30.
- परीक्षेसाठी : x ÷ 2 + x ÷ 3 = 10 ; सर्वांना 6 ने गुणा : 3x + 2x = 60 ; 5x = 60 ; x = 12. तपासणी : 6 + 4 = 10.
- परीक्षेसाठी : (2x + 1) ÷ 3 = 5 ; 2x + 1 = 15 ; 2x = 14 ; x = 7.
प्रथम कंस सोडवा, मग अपूर्णांक घालवा, मग x एका बाजूला आणा.
कंस सोडवताना बाहेरची संख्या कंसातील सर्व पदांना लावा : 3(x − 2) = 3x − 6, फक्त 3x नाही.
पद बाजू बदलले की त्याचे चिन्ह उलटे होते : +9 ओलांडले की −9, ×3 ओलांडले की ÷3. आठवणीची युक्ती : x एका बाजूला, संख्या दुसऱ्या बाजूला : "x इकडे, आकडे तिकडे".
फरक ओळखा
| मुद्दा | एका बाजूला x | दोन्ही बाजूंना x |
|---|---|---|
| उदाहरण | x − 6 = 9 | 5x − 3 = 2x + 9 |
| पहिली पायरी | संख्या हलवा | x चे पद एका बाजूला |
| पायऱ्या | 1 ते 2 | 3 ते 4 |
| उत्तर | x = 15 | x = 4 |
सरावासाठी प्रश्न
- 16x + 4 = 3x + 19
- 29x − 4 = 5x + 12
- 33(x + 4) = 27
- 45(x − 2) = 3(x + 4)
- 5x ÷ 2 + x ÷ 5 = 14
- 6(3x − 2) ÷ 4 = 7
- 74(2x − 1) = 3(x + 6) − 2
- 8(x + 1) ÷ 2 = (x − 1) ÷ 3 + 2
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 16x − 3x = 19 − 4 ; 3x = 15 ; x = 5.
- 24x = 16 ; x = 4.
- 33x + 12 = 27 ; 3x = 15 ; x = 5.
- 45x − 10 = 3x + 12 ; 2x = 22 ; x = 11.
- 510 ने गुणा : 5x + 2x = 140 ; 7x = 140 ; x = 20.
- 63x − 2 = 28 ; 3x = 30 ; x = 10.
- 78x − 4 = 3x + 18 − 2 ; 8x − 4 = 3x + 16 ; 5x = 20 ; x = 4.
- 86 ने गुणा : 3(x + 1) = 2(x − 1) + 12 ; 3x + 3 = 2x + 10 ; x = 7. तपासणी : 8 ÷ 2 = 4 आणि 6 ÷ 3 + 2 = 4 ✔.
शाब्दिक उदाहरणांचे समीकरण
"माझ्या वयाच्या तिप्पट वय वडिलांचे आहे; 12 वर्षांनी ते माझ्या वयाच्या दुप्पट असेल." यातली अज्ञात संख्या x मानून समीकरण लिहिता येते.
अज्ञात संख्येला x मानून शब्दांचे समीकरण लिहा, सोडवा आणि मग शब्दांत उत्तर लिहा.
आकृतीत : मुलगा x = 12, वडील 3x = 36 ; 12 वर्षांनी 24 आणि 48 : 48 = 2 × 24.
शाब्दिक उदाहरणांचे समीकरण
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाशब्दांत : पायऱ्या : 1) x म्हणजे काय ते लिहा. 2) समीकरण करा. 3) सोडवा. 4) उत्तर प्रश्नात घालून तपासा.
- सोपे : एक संख्या आणि 12 यांची बेरीज 30. x + 12 = 30 ; x = 18.
- मध्यम : तीन क्रमवार संख्यांची बेरीज 63. x + (x + 1) + (x + 2) = 63 ; 3x + 3 = 63 ; 3x = 60 ; x = 20. संख्या 20, 21, 22.
- परीक्षेसाठी : मुलाचे वय x. वडिलांचे वय 3x. 12 वर्षांनी : 3x + 12 = 2(x + 12) ; 3x + 12 = 2x + 24 ; x = 12. मुलगा 12, वडील 36. तपासणी : 12 वर्षांनी 24 आणि 48.
- परीक्षेसाठी : आयताची लांबी रुंदीपेक्षा 4 सेमी जास्त, परिमिती 40. 2(x + x + 4) = 40 ; 4x + 8 = 40 ; x = 8. रुंदी 8, लांबी 12.
शब्दांतून गणित
| शब्द | गणिताची भाषा |
|---|---|
| संख्येची दुप्पट | 2x |
| संख्येपेक्षा 5 जास्त | x + 5 |
| संख्येपेक्षा 5 कमी | x − 5 |
| संख्येचा निम्मा | x ÷ 2 |
शब्दांचे समीकरण करताना आधी x म्हणजे काय ते लिहा.
"5 कमी" असेल तर x − 5; "5 मधून x वजा" असेल तर 5 − x. दोन्ही वेगळे आहेत.
उत्तर मूळ प्रश्नातल्या अटींत घालून तपासा. आठवणीची युक्ती : शाब्दिक उदाहरणात आधी "x म्हणजे काय?" लिहा, मग समीकरण.
फरक ओळखा
| मुद्दा | 5 कमी | 5 मधून वजा |
|---|---|---|
| वाक्य | संख्येपेक्षा 5 कमी | 5 मधून संख्या वजा |
| रूप | x − 5 | 5 − x |
| x = 8 साठी | 3 | −3 |
| क्रम | बदलला तर किंमत बदलते | बदलला तर किंमत बदलते |
सरावासाठी प्रश्न
- 1x + 9 = 20
- 24x = 52
- 3x ÷ 5 = 7
- 47x − 5 = 3x + 11
- 52(x + 4) = 18
- 6(3x − 1) ÷ 2 = 7
- 7x ÷ 3 + x ÷ 4 = 14
- 8तीन क्रमवार सम संख्यांची बेरीज 54. त्या संख्या?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1x = 20 − 9 = 11.
- 2x = 52 ÷ 4 = 13.
- 3x = 7 × 5 = 35.
- 44x = 16 ; x = 4. तपासणी : 28 − 5 = 23 आणि 12 + 11 = 23.
- 5x + 4 = 9 ; x = 5.
- 63x − 1 = 14 ; 3x = 15 ; x = 5.
- 7सर्वांना 12 ने गुणा : 4x + 3x = 168 ; 7x = 168 ; x = 24. तपासणी : 8 + 6 = 14.
- 8x + (x + 2) + (x + 4) = 54 ; 3x + 6 = 54 ; x = 16 ; संख्या 16, 18, 20.