K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 8 · गणित

धडा १३: त्रिकोणांची एकरूपता

4 संकल्पना · उत्तरांसह 32 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

एकरूप त्रिकोण आणि संगती

रोजच्या जीवनातून

एका नोटेच्या दोन झेरॉक्स प्रती एकावर एक ठेवल्या तर पूर्ण जुळतात. असे दोन आकार म्हणजे एकरूप आकार.

सोपी व्याख्या

दोन त्रिकोण एकावर एक ठेवल्यावर पूर्ण जुळले तर ते एकरूप (≅) आहेत. त्यांच्या तीनही बाजू आणि तीनही कोन अनुक्रमे समान असतात.

ABCPQR≅

आकृतीत : ΔABC ≅ ΔPQR : एकसारख्या खुणांच्या बाजू समान (AB = PQ, AC = PR, BC = QR) आणि ∠B = ∠Q.

सूत्र : ΔABC ≅ ΔPQR म्हणजे A↔P , B↔Q , C↔R

शब्दांत : अक्षरांचा क्रम महत्त्वाचा आहे : पहिले अक्षर पहिल्याशी, दुसरे दुसऱ्याशी, तिसरे तिसऱ्याशी जुळते.

Live आकृती

एकरूप त्रिकोण आणि संगती

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : ΔABC ≅ ΔPQR. AB = 5 सेमी म्हणून PQ = 5 सेमी. ∠B = 60° म्हणून ∠Q = 60°. बाजू AC ची जोडी PR.
  • मध्यम : ΔABC ≅ ΔXYZ, ∠A = 40°, ∠B = 75° : ∠X = 40°, ∠Y = 75° ; ∠Z = ∠C = 180 − 40 − 75 = 65°.
  • परीक्षेसाठी : ΔDEF ≅ ΔKLM, DE = 7, EF = 9, FD = 11 : KL = 7, LM = 9, MK = 11 ; दोन्हींची परिमिती 7 + 9 + 11 = 27.
लक्षात ठेवा

एकरूप त्रिकोणांचे क्षेत्रफळ आणि परिमितीही सारखीच असते.

सामान्य चूक

ΔABC ≅ ΔQPR असे लिहिले तर A↔Q , B↔P ! अक्षरांचा क्रम बदलला की जोड्या बदलतात.

शॉर्टकट

अक्षरांच्या क्रमावरून जोड्या लगेच लिहा : ΔABC ≅ ΔPQR ⇒ A↔P, B↔Q, C↔R. आठवणीची युक्ती : जोड्या अक्षरांच्या क्रमाने : पहिले-पहिले, दुसरे-दुसरे, तिसरे-तिसरे.

फरक ओळखा

मुद्दाएकरूप त्रिकोणफक्त कोन समान
बाजूतीनही जोड्या समानमोठ्या-लहान असू शकतात
कोनतीनही समानतीनही समान
आकारएकचसारखा पण मोठा-लहान
उदाहरण3, 4, 5 आणि 3, 4, 53, 4, 5 आणि 6, 8, 10

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1ΔABC ≅ ΔPQR आणि AB = 7 सेमी. PQ किती?
  2. 2ΔABC ≅ ΔPQR आणि ∠A = 55°. ∠P किती?
  3. 3ΔABC ≅ ΔXYZ असेल तर BC ची संगत बाजू कोणती?
मध्यम
  1. 4ΔLMN ≅ ΔDEF, ∠M = 80°, ∠N = 45°. ∠D किती?
  2. 5ΔABC ≅ ΔPQR, AB = 6, BC = 8, CA = 10. ΔPQR ची परिमिती?
  3. 6ΔABC ≅ ΔQRP असेल तर AB ची संगत बाजू आणि ∠B चा संगत कोन कोणता?
आव्हानात्मक
  1. 7ΔABC ≅ ΔPQR. ΔABC चे क्षेत्रफळ 30 चौसेमी आणि परिमिती 30 सेमी. ΔPQR चे क्षेत्रफळ आणि परिमिती?
  2. 8ΔABC ≅ ΔDEF, AB = 3x + 1 आणि DE = 16. x किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1PQ = AB = 7 सेमी.
  2. 2∠P = ∠A = 55°.
  3. 3B↔Y, C↔Z म्हणून BC ↔ YZ.
  4. 4∠L = 180 − 80 − 45 = 55° ; ∠D = ∠L = 55°.
  5. 56 + 8 + 10 = 24 (एकरूप ⇒ परिमिती समान).
  6. 6A↔Q, B↔R, C↔P ; AB ↔ QR ; ∠B ↔ ∠R.
  7. 7दोन्ही सारखी : क्षेत्रफळ 30 चौसेमी, परिमिती 30 सेमी.
  8. 8AB = DE ; 3x + 1 = 16 ; 3x = 15 ; x = 5.

एकरूपतेच्या कसोट्या : बाबाबा (S-S-S), बाकोबा (S-A-S), कोबाको (A-S-A), बाकोको (S-A-A)

रोजच्या जीवनातून

खुर्चीचे चारही पाय सारखे आहेत का हे पाहण्यासाठी सुतार सर्व मापे घेत नाही; काही ठरावीक मापे जुळली की झाले. त्रिकोणातही सर्व सहा मापे तपासायची गरज नसते.

सोपी व्याख्या

तीनच योग्य मापे जुळली तर दोन त्रिकोण एकरूप होतात. त्या चार कसोट्या खाली.

बाबाबा (S-S-S)बाकोबा (S-A-S)कोबाको (A-S-A)बाकोको (S-A-A)

आकृतीत : चार कसोट्यांच्या खुणा : सारख्या खुणा म्हणजे समान बाजू किंवा समान कोन. बाकोबा (S-A-S) मध्ये कोन दोन बाजूंच्या मधला, कोबाको (A-S-A) मध्ये बाजू दोन कोनांच्या मधली.

चार कसोट्या

कसोटीकाय समान हवेउदाहरण
बाबाबा (S-S-S)तीनही बाजू4, 5, 6 आणि 4, 5, 6
बाकोबा (S-A-S)दोन बाजू आणि त्यांच्यामधला कोन7 सेमी, 40°, 5 सेमी
कोबाको (A-S-A)दोन कोन आणि त्यांच्यामधली बाजू50°, 6 सेमी, 70°
बाकोको (S-A-A)दोन कोन आणि एक इतर बाजू60°, 70° आणि 8 सेमी (मधली नव्हे)
Live आकृती

एकरूपतेच्या कसोट्या : बाबाबा (S-S-S), बाकोबा (S-A-S), कोबाको (A-S-A), बाकोको (S-A-A)

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : ΔABC : AB = 4, BC = 5, CA = 6 ; ΔXYZ : XY = 4, YZ = 5, ZX = 6. तीनही बाजू समान → बाबाबा (S-S-S) कसोटीने ΔABC ≅ ΔXYZ.
  • मध्यम : ΔPQR : PQ = 7, ∠Q = 40°, QR = 5 ; ΔLMN : LM = 7, ∠M = 40°, MN = 5. कोन दोन्ही बाजूंच्या मधला आहे → बाकोबा (S-A-S) कसोटीने ΔPQR ≅ ΔLMN.
  • परीक्षेसाठी : ΔABC : ∠B = 60°, ∠C = 70°, AB = 8 ; ΔDEF : ∠E = 60°, ∠F = 70°, DE = 8. AB ही ∠B आणि ∠C मधली बाजू नाही, म्हणून बाकोको (S-A-A) कसोटीने ΔABC ≅ ΔDEF. (तिसरा कोन 180 − 60 − 70 = 50° दोन्हीत.)
लक्षात ठेवा

तीनच योग्य माप जुळली की दोन त्रिकोण एकरूप होतात : बाबाबा (S-S-S), बाकोबा (S-A-S), कोबाको (A-S-A), बाकोको (S-A-A).

सामान्य चूक

"दोन बाजू आणि एक कोन" नेहमी बाकोबा (S-A-S) नसतो; कोन दोन बाजूंच्या मधला असावा.

शॉर्टकट

मधला कोन तपासण्याची युक्ती : दोन बाजू ज्या बिंदूवर मिळतात तोच कोन. PQ आणि QR → ∠Q. आठवणीची युक्ती : नावातच क्रम आहे : बा = बाजू, को = कोन. बाबाबा : तीन बाजू ; बाकोबा : बाजू-कोन-बाजू ; कोबाको : कोन-बाजू-कोन ; बाकोको : बाजू-कोन-कोन. AAA आणि SSA चालत नाहीत.

फरक ओळखा

मुद्दाबाकोबा (S-A-S)SSA
कोन कुठेदोन बाजूंच्या मधलामधला नाही
चालते काहोनाही
कारणत्रिकोण एकच बनतोदोन त्रिकोण शक्य
काय समानदोन बाजू आणि मधला कोनदोन बाजू आणि इतर कोन

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1दोन त्रिकोणांच्या बाजू 5, 6, 7 आणि 5, 6, 7. कसोटी?
  2. 2दोन्ही त्रिकोणांत 4 सेमी, 60° आणि 6 सेमी (कोन मधला). कसोटी?
  3. 3दोन्हीत ∠A = 50°, AB = 6 सेमी, ∠B = 70°. कसोटी?
मध्यम
  1. 4दोन्हीत ∠P = 45°, ∠Q = 65°, QR = 9. कसोटी?
  2. 5दोन्हीत दोन बाजू 8, 9 आणि 9 च्या समोरचा 30° कोन समान. कसोटी चालते का?
  3. 6ΔABC : ∠A = 40°, ∠B = 60° ; ΔDEF : ∠D = 40°, ∠E = 60°. फक्त हे माहीत असेल तर एकरूप म्हणता येईल का?
आव्हानात्मक
  1. 7ΔPQR आणि ΔPSR मध्ये PQ = PS, QR = SR आणि PR सामाईक. कसोटी आणि ∠Q आणि ∠S बद्दल काय?
  2. 8ΔABC मध्ये AB = AC आणि D हा BC चा मध्यबिंदू. ΔABD ≅ ΔACD का आणि ∠B = ∠C का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1तीनही बाजू समान ⇒ बाबाबा (S-S-S).
  2. 2दोन बाजू आणि मधला कोन ⇒ बाकोबा (S-A-S).
  3. 3दोन कोन आणि मधली बाजू ⇒ कोबाको (A-S-A).
  4. 4QR ही P आणि Q मधली बाजू नाही ⇒ बाकोको (S-A-A).
  5. 5कोन मधला नाही ⇒ SSA ; ही कसोटी चालत नाही.
  6. 6नाही : तीनही कोन (AAA) समान असून बाजू मोठ्या-लहान असू शकतात.
  7. 7तीनही बाजू समान ⇒ बाबाबा (S-S-S) ; संगत कोन ∠Q = ∠S.
  8. 8AB = AC, BD = DC, AD सामाईक ⇒ बाबाबा (S-S-S) ; संगत कोन ∠B = ∠C.

कर्ण-बाजू कसोटी (काटकोन त्रिकोण)

रोजच्या जीवनातून

दोन शिड्या भिंतीला टेकवल्या. दोन्ही 13 फूट लांब आणि भिंतीपासून 5 फूट अंतरावर. मग दोघी भिंतीवर 12 फूट उंचीला पोहोचतात. 13² − 5² = 144 आणि √144 = 12.

सोपी व्याख्या

दोन काटकोन त्रिकोणांचे कर्ण समान असतील आणि एक एक बाजू समान असेल तर ते एकरूप असतात. याला कर्ण-बाजू (RHS) कसोटी म्हणतात.

5121351213≅

आकृतीत : दोन काटकोन त्रिकोण : कर्ण 13 समान (जांभळा) आणि बाजू 5 समान ⇒ RHS ने एकरूप ; तिसरी बाजू 12 दोन्हीत.

सूत्र : काटकोन + कर्ण समान + एक बाजू समान ⇒ एकरूप

Live आकृती

कर्ण-बाजू कसोटी (काटकोन त्रिकोण)

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : ΔABC (∠B = 90°) : AC = 13, AB = 5 ; ΔPQR (∠Q = 90°) : PR = 13, PQ = 5. RHS ने ΔABC ≅ ΔPQR. तिसरी बाजू दोन्हीत 12.
  • मध्यम : दोन काटकोन त्रिकोण : कर्ण 10, एक बाजू 6. दुसरी बाजू √(100 − 36) = √64 = 8 दोन्हीत. म्हणून RHS ने एकरूप.
  • परीक्षेसाठी : ΔABC (∠B = 90°) : AC = 17, AB = 8 आणि ΔPQR (∠Q = 90°) : PR = 17, PQ = 8 ⇒ RHS ने एकरूप ; BC = QR = √(289 − 64) = √225 = 15.
लक्षात ठेवा

RHS मध्ये तीन गोष्टी समान : काटकोन, कर्ण आणि एक बाजू.

सामान्य चूक

RHS फक्त काटकोन त्रिकोणांसाठी चालते. इतर त्रिकोणांत "कर्ण + एक बाजू" पुरेसे नाही.

शॉर्टकट

कर्ण आणि एक बाजू माहीत असली तर तिसरी बाजू पायथागोरसने मिळते ; दोन्हीत तीच येते. आठवणीची युक्ती : कर्ण-बाजू फक्त काटकोन त्रिकोणात : "कर्ण + एक बाजू = एकरूप".

फरक ओळखा

मुद्दाRHSबाबाबा (S-S-S)
कोणत्या त्रिकोणांनाफक्त काटकोनकोणत्याही
काय समान हवेकाटकोन, कर्ण, एक बाजूतीनही बाजू
तिसरी बाजूपायथागोरसने मिळतेतपासावी लागते
उदाहरण13 आणि 5, काटकोन4, 5, 6

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1दोन काटकोन त्रिकोणांत कर्ण 13 आणि एक बाजू 5. कसोटी आणि तिसरी बाजू?
  2. 2कर्ण 10, एक बाजू 8. दुसरी बाजू?
  3. 3कर्ण 25, एक बाजू 7. दुसरी बाजू?
मध्यम
  1. 4RHS मध्ये कोणते तीन भाग समान हवेत?
  2. 5ΔPQR मध्ये ∠Q = 90°, PR = 26, PQ = 10. QR किती?
  3. 6एका काटकोन त्रिकोणात कर्ण 15 आणि एक बाजू 9 ; दुसऱ्यात कर्ण 15 आणि एक बाजू 12. ते एकरूप आहेत का?
आव्हानात्मक
  1. 7दोन शिड्या प्रत्येकी 20 फूट लांब; दोन्ही भिंतीपासून 12 फूट अंतरावर. त्या भिंतीवर किती उंचीला पोहोचतात आणि त्रिकोण एकरूप का?
  2. 8आयत PQRS मध्ये ΔPQR ≅ ΔSRQ का आणि कोणत्या कसोटीने? त्यावरून कर्ण PR आणि QS बद्दल काय म्हणता येते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1RHS ; तिसरी बाजू = √(169 − 25) = 12.
  2. 2√(100 − 64) = 6.
  3. 3√(625 − 49) = √576 = 24.
  4. 4काटकोन, कर्ण आणि एक बाजू.
  5. 5√(676 − 100) = √576 = 24.
  6. 6पहिल्यात दुसरी बाजू √(225 − 81) = 12 ; दुसऱ्यात दुसरी बाजू √(225 − 144) = 9 ; दोन्हींच्या बाजू 9, 12, 15 ⇒ एकरूप.
  7. 7उंची = √(400 − 144) = √256 = 16 फूट ; कर्ण 20 आणि बाजू 12 दोन्हीत समान ⇒ RHS.
  8. 8PQ = SR, ∠PQR = ∠SRQ = 90°, QR सामाईक ⇒ बाकोबा (S-A-S) ; संगत भाग PR = QS (कर्ण समान).

एकरूपतेचा वापर आणि न चालणाऱ्या कसोट्या

रोजच्या जीवनातून

दोन रस्ते O बिंदूवर एकमेकांना छेदतात आणि O दोन्हीचा मध्यबिंदू आहे. तर चारही टोके जोडणाऱ्या सुतांपैकी समोरची सूत समान लांबीची मिळतात — एकरूपतेमुळे.

सोपी व्याख्या

एकरूप त्रिकोणांचे संगत भाग समान असतात. म्हणून एकरूपता सिद्ध झाली की बाजू किंवा कोन समान ठरवता येतात.

ABCDO

आकृतीत : AB आणि CD बिंदू O वर एकमेकांना दुभागतात : OA = OB, OC = OD आणि ∠AOC = ∠BOD (शीर्षाभिमुख) ⇒ बाकोबा (S-A-S) कसोटीने ΔAOC ≅ ΔBOD ⇒ AC = BD.

  • सोपे : AB आणि CD एकमेकांना O वर दुभागतात. OA = OB, OC = OD आणि ∠AOC = ∠BOD (शीर्षाभिमुख). बाकोबा (S-A-S) कसोटीने ΔAOC ≅ ΔBOD, म्हणून AC = BD.
  • मध्यम : ΔABC मध्ये AB = AC आणि AD ⟂ BC. ΔABD आणि ΔACD काटकोन त्रिकोण, कर्ण AB = AC, बाजू AD सामाईक. RHS ने एकरूप, म्हणून BD = DC.
  • परीक्षेसाठी : 60°, 60°, 60° कोन असलेले 3 सेमी बाजूचे आणि 6 सेमी बाजूचे समभुज त्रिकोण — कोन सारखे पण एकरूप नाहीत.
Live आकृती

एकरूपतेचा वापर आणि न चालणाऱ्या कसोट्या

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

शब्दांत : न चालणाऱ्या कसोट्या : AAA (तीनही कोन समान) — आकार सारखा पण मोठा-लहान असू शकतो. SSA (दोन बाजू आणि त्यांच्या मधला नसलेला कोन) — कधी कधी दोन वेगळे त्रिकोण मिळतात.

कोणती कसोटी चालते

कसोटीचालते काकारण
बाबाबा (S-S-S), बाकोबा (S-A-S), कोबाको (A-S-A), बाकोको (S-A-A)होत्रिकोण एकच बनतो
RHSहो (काटकोन)कर्ण + बाजूने एकच काटकोन त्रिकोण
AAAनाहीआकार मोठा-लहान असू शकतो
SSAनाहीदोन त्रिकोण शक्य
लक्षात ठेवा

एकरूपता सिद्ध झाली की संगत भाग समान असतात.

सामान्य चूक

AAA आणि SSA कसोट्यांवर सिद्धता मांडू नका; त्या चालत नाहीत.

शॉर्टकट

सिद्ध करताना क्रम : 1) जोड्या लिहा. 2) कसोटी सांगा. 3) एकरूपता लिहा. 4) संगत भाग समान. आठवणीची युक्ती : सिद्धतेच्या शेवटी "संगत भाग समान" हे वाक्य लिहायला विसरू नका.

फरक ओळखा

मुद्दाबाकोको (S-A-A)AAA
काय समानदोन कोन + एक बाजूतीन कोन
चालते काहोनाही
आकारएकचमोठा-लहान असू शकतो
उदाहरण60°, 70°, 8 सेमी60°, 60°, 60° (बाजू 3 आणि 6)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 16, 8, 10 बाजू असलेले दोन त्रिकोण — कोणती कसोटी?
  2. 2ΔABC ≅ ΔPQR, AC = 9 सेमी, ∠C = 35°. PR आणि ∠R?
  3. 3बाबाबा (S-S-S), बाकोबा (S-A-S), AAA, कोबाको (A-S-A) यांतली कोणती एकरूपतेची कसोटी नाही?
मध्यम
  1. 4दोन त्रिकोणांत 5 सेमी, 7 सेमी बाजू आणि त्यांमधला 50° कोन समान. कोणती कसोटी?
  2. 5ΔABC : ∠A = 40°, ∠B = 80°, AB = 6 ; ΔDEF : ∠D = 40°, ∠E = 80°, DE = 6. कोणती कसोटी?
  3. 6दोन काटकोन त्रिकोणांचा कर्ण 10 आणि एक बाजू 6. दुसरी बाजू आणि कसोटी?
आव्हानात्मक
  1. 7रेषाखंड AB आणि CD एकमेकांना O वर दुभागतात. AC = BD सिद्ध करा (कसोटी सांगा).
  2. 8ΔABC मध्ये AB = AC आणि AD ⟂ BC. BD = DC का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1बाबाबा (S-S-S).
  2. 2PR = 9 सेमी, ∠R = 35°.
  3. 3AAA.
  4. 4बाकोबा (S-A-S) ; कोन मधला आहे.
  5. 5कोबाको (A-S-A) ; AB आणि DE ही बाजू ∠A आणि ∠B मधली आहे.
  6. 6दुसरी बाजू = √(100 − 36) = 8 ; कसोटी RHS.
  7. 7OA = OB, OC = OD, ∠AOC = ∠BOD (शीर्षाभिमुख) → बाकोबा (S-A-S) कसोटीने ΔAOC ≅ ΔBOD → AC = BD.
  8. 8ΔABD आणि ΔACD मध्ये कर्ण AB = AC, बाजू AD सामाईक → RHS ने एकरूप → BD = DC.