K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 7 · गणित

धडा ५: परिमेय संख्यांवरील क्रिया

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

परिमेय संख्या आणि त्यांचे संच

रोजच्या जीवनातून

एक पोळी दोन मुलांत वाटली तर प्रत्येकाला अर्धी पोळी, म्हणजे 12, मिळते. तुम्ही 8 रुपये कर्ज घेतले तर ते −8 असे लिहितो, आणि −8 = −81. अशा सगळ्या संख्या परिमेय आहेत.

सोपी व्याख्या

ज्या संख्येला अपूर्णांकाच्या स्वरूपात लिहिता येते, तिला परिमेय संख्या म्हणतात.

  • 11 = 111
  • −6 = −61
  • 0 = 01
  • 0.75 = 34
लक्षात ठेवा

छेद कधीही शून्य नसतो. 50 ही संख्या नाही.

संख्यांचे प्रकार

संख्येचा प्रकारउदाहरणे
नैसर्गिक1, 2, 3, 4, ...
पूर्ण0, 1, 2, 3, ...
पूर्णांक..., −2, −1, 0, 1, 2, ...
परिमेय12, −34, 5, 0
क्रम

नैसर्गिक → पूर्ण → पूर्णांक → परिमेय. प्रत्येक संच पुढच्या संचाचा भाग आहे. म्हणून 5 ही नैसर्गिक, पूर्ण, पूर्णांक आणि परिमेय, चारही आहे.

संवृत्ती : एखाद्या संचातील दोन संख्यांवर क्रिया केल्यावर उत्तर पुन्हा त्याच संचात आले, तर तो संच त्या क्रियेसाठी संवृत्त असतो.

  • उदा. 3 − 5 = −2. उत्तर पूर्ण संख्या नाही, म्हणून पूर्ण संख्या वजाबाकीसाठी संवृत्त नाहीत.
  • उदा. 8 ÷ 3 = 83. उत्तर पूर्णांक नाही, म्हणून पूर्णांक भागाकारासाठी संवृत्त नाहीत.
संचबेरीजवजाबाकीगुणाकारभागाकार
नैसर्गिक✓✗✓✗
पूर्ण✓✗✓✗
पूर्णांक✓✓✓✗
परिमेय✓✓✓✓
लक्षात ठेवा

परिमेय संख्यांत भागाकार संवृत्त आहे, पण 0 ने भाग देता येत नाही.

सामान्य चूक

"फक्त अपूर्णांक परिमेय असतात" असे समजणे. पूर्णांक आणि 0 सुद्धा परिमेय आहेत.

फरक ओळखा

मुद्दापूर्णांकपरिमेय संख्या
उदाहरण−2, 0, 7−2, 0, 7, 12, −34
अपूर्णांक असू शकतो का?नाहीहो
भागाकारात संवृत्त?नाहीहो (0 ने भाग वगळून)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 19 ही परिमेय संख्या आहे का?
  2. 20 परिमेय आहे का?
  3. 330 परिमेय संख्या आहे का?
मध्यम
  1. 4−7 कोणकोणत्या संचांत येतो?
  2. 54 − 9 चे उत्तर पूर्ण संख्या आहे का?
  3. 610 ÷ 4 चे उत्तर पूर्णांक आहे का?
आव्हानात्मक
  1. 7पूर्ण संख्यांच्या कोणत्या दोन क्रियांचे उत्तर नेहमी पूर्ण संख्या येते?
  2. 8भागाकारासाठी संवृत्त असलेला एक संच सांगा आणि त्याला कोणती अट आहे ते लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1हो, 9 = 91.
  2. 2हो, 0 = 01.
  3. 3नाही, छेद शून्य आहे.
  4. 4पूर्णांक आणि परिमेय.
  5. 5नाही, 4 − 9 = −5.
  6. 6नाही, 10 ÷ 4 = 52.
  7. 7बेरीज आणि गुणाकार (उदा. 6 + 15 = 21, 6 × 15 = 90; पण 6 − 15 = −9 पूर्ण संख्या नाही).
  8. 8परिमेय संख्या; भाजक 0 नसावा.

परिमेय संख्यांवरील क्रिया

रोजच्या जीवनातून

एका केकचा 14 भाग तुम्ही खाल्ला आणि 24 भाग भावाने खाल्ला. दोघांनी मिळून 34 खाल्ला. अपूर्णांकांच्या सर्व क्रिया परिमेय संख्यांसाठीही तशाच असतात.

नियम १ : बेरीज — छेद समान करा, मग अंश मिळवा.

  • सोपे : 14 + 24 = 34.
  • मध्यम : 25 + 34 → छेद 20 → 820 + 1520 = 2320.
  • परीक्षेसाठी : −34 + 56 → छेद 12 → −912 + 1012 = 112.

नियम २ : वजाबाकी — छेद समान करा, मग अंशांची वजाबाकी करा.

  • सोपे : 79 − 29 = 59.
  • मध्यम : 56 − 14 → छेद 12 → 1012 − 312 = 712.
  • परीक्षेसाठी : 13 − 56 → 26 − 56 = −36 = −12.

नियम ३ : गुणाकार — अंश × अंश, छेद × छेद. आधी कट करून सोपे करता येते.

  • सोपे : 38 × 49 = 1272 = 16.
  • मध्यम : −23 × 37 = −621 = −27.
  • परीक्षेसाठी : −56 × −910 : 5 आणि 10 कट → 1 आणि 2; 9 आणि 6 कट → 3 आणि 2. उत्तर 34 (दोन ऋण = धन).

नियम ४ : भागाकार — दुसऱ्या संख्येचा व्युत्क्रम घ्या आणि गुणा.

  • सोपे : 35 ÷ 910 = 35 × 109 = 23.
  • मध्यम : −47 ÷ 23 = −47 × 32 = −1214 = −67.
  • परीक्षेसाठी : −34 ÷ −98 = −34 × −89 = 2436 = 23.

मिश्र संख्या : आधी अपूर्णांकात बदला.

  • 1 12 + 2 13 = 32 + 73 = 96 + 146 = 236 = 3 56.
Live आकृती

परिमेय संख्यांवरील क्रिया

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

बेरीज-वजाबाकी = छेद समान करा. गुणाकार = सरळ गुणा. भागाकार = दुसरी संख्या उलटी करून गुणा.

सामान्य चूक

छेद वेगळे असताना अंश अंशाशी आणि छेद छेदाशी मिळवणे. 12 + 13 ≠ 25; बरोबर उत्तर 56.

चिन्हांचा शॉर्टकट

दोन ऋण संख्यांचा गुणाकार किंवा भागाकार धन; एक ऋण आणि एक धन असेल तर ऋण.

फरक ओळखा

क्रियाछेद समान करावा लागतो का?दुसऱ्या संख्येचे काय?
बेरीज / वजाबाकीहोजशी आहे तशी
गुणाकारनाहीजशी आहे तशी
भागाकारनाहीउलटी (व्युत्क्रम) करून गुणा

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 127 + 37
  2. 2911 − 411
  3. 323 × 35
मध्यम
  1. 412 + 23
  2. 534 − 25
  3. 645 ÷ 215
आव्हानात्मक
  1. 7−23 + 14 − 56
  2. 8−35 × 109 ÷ −23
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 157
  2. 2511
  3. 3615 = 25
  4. 436 + 46 = 76
  5. 51520 − 820 = 720
  6. 645 × 152 = 6010 = 6
  7. 7छेद 12 : −812 + 312 − 1012 = −1512 = −54
  8. 8−35 × 109 = −23; मग −23 ÷ −23 = 1

व्युत्क्रम आणि दोन संख्यांमधील परिमेय संख्या

रोजच्या जीवनातून

एका लिटर दुधाच्या 12 लिटरच्या पिशव्या भरल्या तर 2 पिशव्या होतात. म्हणजे 12 चा "उलटा" 2 आहे. हाच व्युत्क्रम.

सोपी व्याख्या

अपूर्णांकाचा अंश आणि छेद यांची अदलाबदल केली की त्याचा व्युत्क्रम मिळतो. संख्या × तिचा व्युत्क्रम = 1.

  • सोपे : 35 चा व्युत्क्रम 53; कारण 35 × 53 = 1.
  • मध्यम : 4 = 41, म्हणून 4 चा व्युत्क्रम 14.
  • परीक्षेसाठी : −310 चा व्युत्क्रम −103 (चिन्ह तेच राहते).
लक्षात ठेवा

0 ला व्युत्क्रम नसतो.

दोन संख्यांमधील परिमेय संख्या : दोन परिमेय संख्या कितीही जवळच्या असल्या तरी त्यांच्यामध्ये आणखी अमर्याद परिमेय संख्या नेहमी असतात. एक संख्या काढण्यासाठी दोघींची बेरीज करून 2 ने भागा (सरासरी).

  • सोपे : 14 आणि 12 : (14 + 24) ÷ 2 = 34 ÷ 2 = 38. म्हणजे 14 < 38 < 12.
  • मध्यम : 23 आणि 34 : (812 + 912) ÷ 2 = 1712 ÷ 2 = 1724.
  • परीक्षेसाठी : 15 आणि 25 मधील तीन संख्या : दोन्हींचे छेद 50 करा → 1050 आणि 2050. मधील संख्या 1150, 1250, 1350.
शॉर्टकट

जास्त संख्या हव्या असतील तर दोन्ही संख्यांचे छेद मोठा करा (10 ने, 100 ने गुणा). मध्ये जागा वाढते.

सामान्य चूक

पूर्णांकांदरम्यान सुद्धा अमर्याद संख्या असतात असे समजणे. −3 आणि 4 मध्ये फक्त −2, −1, 0, 1, 2, 3 हे 6 पूर्णांक आहेत.

फरक ओळखा

मुद्दाव्युत्क्रमविरुद्ध संख्या
35 साठी53−35
मिळवण्याची पद्धतअंश-छेद अदलाबदलचिन्ह बदला
त्यांचा संबंधगुणाकार = 1बेरीज = 0

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 159 चा व्युत्क्रम
  2. 28 चा व्युत्क्रम
  3. 3−13 चा व्युत्क्रम
मध्यम
  1. 40 चा व्युत्क्रम सांगा.
  2. 513 आणि 12 मधील एक संख्या
  3. 612 आणि 23 मधील एक संख्या
आव्हानात्मक
  1. 714 आणि 13 मधील तीन परिमेय संख्या
  2. 8कोणत्या दोन संख्यांचा व्युत्क्रम स्वतःच आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 195
  2. 218
  3. 3−3
  4. 4नाही; 0 ला व्युत्क्रम नसतो.
  5. 5(26 + 36) ÷ 2 = 512
  6. 6(36 + 46) ÷ 2 = 712
  7. 7छेद 48 करा : 1248 आणि 1648; मधील संख्या 1348, 1448, 1548.
  8. 81 आणि −1.

परिमेय संख्यांचे दशांश रूप

रोजच्या जीवनातून

अर्धा रुपया म्हणजे 0.50 रुपये आणि पाव रुपया म्हणजे 0.25 रुपये. म्हणजे 12 = 0.5 आणि 14 = 0.25.

नियम : अपूर्णांकाचे दशांश रूप मिळवण्यासाठी अंशाला छेदाने भागा.

  • सोपे : 94 = 9 ÷ 4 = 2.25.
  • मध्यम : 98 = 9 ÷ 8 = 1.125; ऋण असेल तर −98 = −1.125.
  • परीक्षेसाठी : 83 = 2.666... (6 पुन:पुन्हा येतो), 511 = 0.4545... (45 पुन:पुन्हा येतो).

दोन प्रकार

प्रकारअर्थउदाहरणे
अंतवान (terminating)भागाकार संपतो0.5, 0.25, 0.375
आवर्ती (recurring)काही अंक पुन:पुन्हा येतात0.333..., 0.1666...

न भागता ओळखण्याचा शॉर्टकट : अपूर्णांक संक्षिप्त करून छेद पाहा. छेदात फक्त 2 आणि 5 हे मूळ अवयव असतील तर दशांश रूप संपते.

  • 720 : 20 = 2 × 2 × 5 → संपते (0.35).
  • 712 : 12 = 2 × 2 × 3 → 3 आला, म्हणून आवर्ती (0.58333...).
लक्षात ठेवा

दशांश रूप संपत नसेल तरीही ती संख्या परिमेयच असते, कारण ती अपूर्णांकाच्या रूपात लिहिता येते.

सामान्य चूक

615 चा छेद 15 पाहून आवर्ती म्हणणे. आधी संक्षिप्त करा : 615 = 25 = 0.4, म्हणजे संपणारे.

फरक ओळखा : वरील सारणी पाहा : अंतवान = भागाकार संपतो; आवर्ती = अंक पुन:पुन्हा येतात.

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 114 चे दशांश रूप
  2. 235 चे दशांश रूप
  3. 318 चे दशांश रूप
मध्यम
  1. 4118 चे दशांश रूप
  2. 523 चे दशांश रूप
  3. 6920 चे दशांश रूप
आव्हानात्मक
  1. 71112 चे दशांश रूप लिहा.
  2. 8715, 925, 1118 यांपैकी कोणत्याचे दशांश रूप संपते? (न भागता सांगा)
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 10.25
  2. 20.6
  3. 30.125
  4. 41.375
  5. 50.666...
  6. 60.45
  7. 70.91666...
  8. 8925 (25 = 5 × 5, फक्त 5); बाकीच्या छेदांत 3 आहे. 925 = 0.36.

क्रमानुसार सरलीकरण

रोजच्या जीवनातून

तुम्ही 5 पेन प्रत्येकी 4 रुपयांना घेतले आणि 10 रुपयांची वही घेतली. एकूण खर्च = 5 × 4 + 10. आधी गुणाकार (20), मग बेरीज = 30 रुपये. क्रम बदलला तर उत्तर चुकते.

नियम (BODMAS)

  • पहिले कंस : ( ) मग [ ] मग { } — सर्वात आतला कंस आधी.
  • मग "of" आणि घातांक.
  • मग भागाकार आणि गुणाकार — डावीकडून उजवीकडे.
  • शेवटी बेरीज आणि वजाबाकी — डावीकडून उजवीकडे.

सोडवलेली उदाहरणे

  • सोपे : 8 + 3 × 4 = 8 + 12 = 20 (आधी गुणाकार).
  • सोपे : 36 ÷ 4 × 3 = 9 × 3 = 27 (डावीकडून उजवीकडे).
  • मध्यम : 2 × (5 + 4) − 6 = 2 × 9 − 6 = 18 − 6 = 12.
  • मध्यम : 50 − [20 − (8 − 3)] = 50 − [20 − 5] = 50 − 15 = 35.
  • परीक्षेसाठी : 100 ÷ 5 × 2 + 3 × (6 − 2) = 100 ÷ 5 × 2 + 3 × 4 = 20 × 2 + 12 = 40 + 12 = 52.
  • अपूर्णांकासह : 12 + 13 × 34 = 12 + 14 = 34.
  • "of" सह : 12 of 40 + 6 = 20 + 6 = 26.
लक्षात ठेवा

भागाकार आणि गुणाकार एकाच पातळीचे आहेत; बेरीज आणि वजाबाकीही एकाच पातळीची. म्हणून डावीकडून उजवीकडे सोडवा.

सामान्य चूक

36 ÷ 4 × 3 मध्ये आधी गुणाकार करणे (4 × 3 = 12; 36 ÷ 12 = 3). हे चूक आहे; बरोबर उत्तर 27.

फरक ओळखा

उदाहरणचुकीचा क्रमबरोबर क्रमउत्तर
8 + 3 × 4(8 + 3) × 4 = 44आधी 3 × 420
36 ÷ 4 × 336 ÷ 12 = 3डावीकडून27

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 17 + 2 × 5
  2. 224 ÷ 6 + 4
  3. 315 − 3 × 2
मध्यम
  1. 4(12 − 4) × 3 + 5
  2. 548 ÷ 6 × 2
  3. 630 − [10 + (8 − 3)]
आव्हानात्मक
  1. 723 + 12 × 45
  2. 85 + [20 − {12 ÷ (8 − 4) + 2}] × 2
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 117
  2. 28
  3. 39
  4. 48 × 3 + 5 = 29
  5. 58 × 2 = 16
  6. 630 − [10 + 5] = 15
  7. 723 + 25 = 1015 + 615 = 1615
  8. 88 − 4 = 4; 12 ÷ 4 = 3; 3 + 2 = 5; 20 − 5 = 15; 15 × 2 = 30; 5 + 30 = 35.