K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 7 · गणित

धडा ४: कोन आणि कोनांच्या जोड्या

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

अंतर्गत, बाह्य आणि संलग्न कोन

रोजच्या जीवनातून

लॅपटॉप उघडा. स्क्रीन आणि कीबोर्ड या कोनाच्या दोन भुजा आहेत आणि त्यांच्यातील मोकळी जागा म्हणजे कोनाचा आतला भाग. टेबल, भिंत आणि खोलीतील उरलेली जागा त्याच्या बाहेर आहे. आता गोल केकचे तुकडे कापा : शेजारच्या दोन तुकड्यांमध्ये एकच कापाची रेषा आणि केकचा मध्यबिंदू सामायिक असतो, पण प्रत्येक तुकड्याचा केक वेगळा असतो. असे शेजारी म्हणजे संलग्न कोन.

सोपी व्याख्या

कोनाच्या दोन भुजांमधील मोकळ्या जागेला कोनाचा अंतर्भाग म्हणतात. भुजा सोडून समतलातील बाकीची सर्व जागा म्हणजे बाह्यभाग. भुजेवर असलेला बिंदू या दोन्हींत येत नाही.

संलग्न कोन : शेजारी-शेजारी असलेले दोन कोन संलग्न असतात : त्यांचा शिरोबिंदू एकच असतो, एक भुजा सामायिक असते आणि ते एकमेकांवर येत नाहीत.

HJUZWFKAB

आकृतीत : ∠AKB चा शिरोबिंदू K आहे आणि भुजा KA व KB आहेत. बिंदू H आणि J हे भुजांच्या मध्ये आहेत, म्हणून ते अंतर्भागात आहेत. बिंदू U, W आणि Z बाहेर आहेत, म्हणून ते बाह्यभागात आहेत. बिंदू F भुजा KA वर आहे, म्हणून तो दोन्हींत नाही.

नियम १ : अंतर्भाग, बाह्यभाग की भुजेवर? — बिंदू कुठे आहे ते पाहा. दोन्ही भुजांच्या मध्ये असेल तर अंतर्भाग; दोन्ही भुजांच्या बाहेर असेल तर बाह्यभाग; भुजेवर असेल तर दोन्हींत नाही.

  • सोपे : आकृतीत H हा भुजा KA आणि KB च्या मध्ये आहे, म्हणून H हा ∠AKB च्या अंतर्भागात आहे.
  • मध्यम : F हा भुजा KA वर आहे, म्हणून तो अंतर्भागातही नाही आणि बाह्यभागातही नाही.
  • परीक्षेसाठी : बिंदू Y हा रेषा KB वर आहे, पण K च्या मागे (B च्या उलट बाजूला). भुजा म्हणजे K पासून सुरू होणारा किरण, म्हणून Y भुजेवर नाही आणि भुजांच्या मध्येही नाही. म्हणून Y बाह्यभागात आहे.
Live आकृती

अंतर्गत, बाह्य आणि संलग्न कोन

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
XYZW(i)XYZW(ii)

आकृतीत : (i) मध्ये ∠XWY आणि ∠YWZ यांचा शिरोबिंदू W आणि भुजा WY सामायिक आहे आणि ते WY च्या दोन विरुद्ध बाजूंना आहेत, म्हणून ते संलग्न आहेत. (ii) मध्ये ∠XWZ आणि ∠XWY यांची भुजा WX सामायिक आहे, पण ∠XWY हा ∠XWZ च्या आत आहे; ते एकमेकांवर येतात, म्हणून ते संलग्न नाहीत.

नियम २ : संलग्न कोन ओळखणे — तीन गोष्टी तपासा : शिरोबिंदू एकच, एक सामायिक भुजा आणि एकमेकांवर न येणे. त्यांतील एकही नसेल तर कोन संलग्न नाहीत.

  • सोपे : ∠XWY आणि ∠YWZ → शिरोबिंदू W, सामायिक भुजा WY, X आणि Z हे WY च्या विरुद्ध बाजूंना; संलग्न.
  • मध्यम : ∠XWZ आणि ∠XWY → सामायिक भुजा WX, पण ∠XWY हा ∠XWZ च्या आत आहे; ते एकमेकांवर येतात, म्हणून संलग्न नाहीत.
  • परीक्षेसाठी : O पासून OA, OB, OC, OD हे चार किरण याच क्रमाने घड्याळाच्या काट्यांच्या उलट दिशेने निघतात. ∠AOB आणि ∠COD यांची एकही भुजा सामायिक नाही, म्हणून ते संलग्न नाहीत. ∠AOC आणि ∠COD यांची भुजा OC सामायिक आहे आणि ते तिच्या विरुद्ध बाजूंना आहेत, म्हणून ते संलग्न आहेत.
Live आकृती

अंतर्गत, बाह्य आणि संलग्न कोन

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम ३ : संलग्न कोनांची बेरीज आणि वजाबाकी — संपूर्ण कोन म्हणजे त्याच्या संलग्न भागांची बेरीज. संपूर्ण कोन आणि एक भाग माहीत असेल तर वजाबाकी करून दुसरा भाग मिळतो.

  • सोपे : ∠AOB = 38° आणि ∠BOC = 27° हे संलग्न आहेत, म्हणून ∠AOC = 38 + 27 = 65°.
  • मध्यम : ∠AOC = 83° आणि ∠AOB = 29°, म्हणून ∠BOC = 83 − 29 = 54°.
  • परीक्षेसाठी : (2x + 4)° आणि (3x + 6)° हे संलग्न कोन मिळून 85° होतात. म्हणून 2x + 4 + 3x + 6 = 85, म्हणजे 5x + 10 = 85, 5x = 75 आणि x = 15. कोन 2 × 15 + 4 = 34° आणि 3 × 15 + 6 = 51° आहेत (34 + 51 = 85).
लक्षात ठेवा

भुजेवरील बिंदू अंतर्भागातही नसतो आणि बाह्यभागातही नसतो. दोन कोन संलग्न तेव्हाच असतात जेव्हा तिन्ही अटी पूर्ण होतात : शिरोबिंदू एकच, एक सामायिक भुजा आणि एकमेकांवर न येणे.

सामान्य चूक

फक्त एक भुजा सामायिक आहे म्हणून दोन कोनांना संलग्न म्हणणे. ∠XWZ आणि ∠XWY यांची भुजा WX सामायिक आहे, तरी ∠XWY हा ∠XWZ च्या आत आहे, म्हणून ते संलग्न नाहीत.

शॉर्टकट

संलग्न कोनांसाठी : संपूर्ण = भाग + भाग. एखादा भाग माहीत नसेल तर संपूर्ण कोनातून माहीत असलेला भाग वजा करा (83° − 29° = 54°).

फरक ओळखा

स्थितीउदाहरणनिष्कर्ष
भुजांच्या मध्ये असलेला बिंदूHअंतर्भाग
भुजेवर असलेला बिंदूFअंतर्भागात नाही आणि बाह्यभागातही नाही
भुजांच्या बाहेर असलेला बिंदूUबाह्यभाग
भुजा सामायिक पण कोन एकमेकांवर येतात∠XWZ आणि ∠XWYसंलग्न नाहीत

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1एक बिंदू कोनाच्या भुजेवर आहे. तो अंतर्भागात आहे की बाह्यभागात?
  2. 2∠CDE काढा. त्याच्या अंतर्भागात एक बिंदू, बाह्यभागात एक बिंदू आणि भुजा DE वर एक बिंदू दाखवा.
  3. 3∠POQ = 33° आणि ∠QOR = 46° हे संलग्न कोन आहेत. ∠POR काढा.
मध्यम
  1. 4किरण OD हा ∠AOB च्या आत आहे. ∠AOD आणि ∠AOB हे संलग्न कोन आहेत का? का?
  2. 5∠AOC = 96° आहे आणि किरण OB त्याच्या आत असून ∠AOB = 39° आहे. ∠BOC काढा.
  3. 6दोन संलग्न कोन मिळून 102° होतात आणि एक कोन दुसऱ्यापेक्षा 18° मोठा आहे. दोन्ही कोन काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7किरण OA, OB, OC, OD याच क्रमाने आहेत. ∠AOB = 22°, ∠BOC = 35° आणि ∠COD = 41° आहे. ∠AOD काढा. ∠AOB, ∠BOC आणि ∠COD यांपैकी संलग्न कोनांच्या सर्व जोड्यांची नावे लिहा.
  2. 8∠AOB आणि ∠BOC संलग्न आहेत, ∠AOB हा ∠BOC पेक्षा 14° जास्त आहे आणि ∠AOC = 84° आहे. ∠AOB आणि ∠BOC काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1दोन्हींत नाही; भुजेवरील बिंदू अंतर्भागातही नसतो आणि बाह्यभागातही नसतो. 2) पहिला बिंदू भुजांच्या मध्ये, दुसरा दोन्ही भुजांच्या बाहेर आणि तिसरा किरण DE वर आहे का ते तपासा. 3) 33 + 46 = 79°.
  2. 4नाही. त्यांची भुजा OA सामायिक आहे, पण ∠AOD हा ∠AOB च्या आत आहे, म्हणून ते एकमेकांवर येतात. 5) 96 − 39 = 57°. 6) 18° वजा करा : 102 − 18 = 84 आणि 84 ÷ 2 = 42. कोन 42° आणि 42 + 18 = 60° आहेत (42 + 60 = 102).
  3. 7∠AOD = 22 + 35 + 41 = 98°. संलग्न जोड्या : ∠AOB आणि ∠BOC, तसेच ∠BOC आणि ∠COD (∠AOB आणि ∠COD यांची कोणतीही भुजा सामायिक नाही).
  4. 814° वजा करा : 84 − 14 = 70 आणि 70 ÷ 2 = 35, म्हणून ∠BOC = 35° आणि ∠AOB = 35 + 14 = 49° (49 + 35 = 84).

कोटिकोन

रोजच्या जीवनातून

वहीचा कोपरा हा काटकोन, म्हणजे 90° असतो. त्या कोपऱ्यातून पानावर एक रेषा काढा : कोपऱ्याचे दोन कोन होतात, उदा. 35° आणि 55°. दोन्ही भाग मिळून कोपरा अगदी भरतात, म्हणून त्यांची बेरीज 90° येते. असे दोन कोन म्हणजे कोटिकोन.

सोपी व्याख्या

ज्या दोन कोनांची बेरीज 90° असते ते कोटिकोन असतात; प्रत्येक कोन दुसऱ्याचा कोटिकोन आहे. ते शेजारी-शेजारी असू शकतात किंवा दूर दूर.

32°58°O(i)24°66°(ii)

आकृतीत : (i) मध्ये 32° आणि 58° हे कोन शेजारी-शेजारी आहेत आणि मिळून काटकोन भरतात (छोटा चौरस), कारण 32 + 58 = 90. (ii) मध्ये 24° आणि 66° हे कोन दूर काढले आहेत, पण 24 + 66 = 90, म्हणून ते तरीही कोटिकोन आहेत.

नियम १ : कोटिकोनांची जोडी ओळखणे — दोन्ही कोनांची बेरीज करा. बेरीज बरोबर 90° असेल तर ते कोटिकोन आहेत.

  • सोपे : 26° आणि 64° → 26 + 64 = 90, म्हणून ते कोटिकोन आहेत.
  • मध्यम : 48° आणि 52° → 48 + 52 = 100, ती 90 नाही, म्हणून ते कोटिकोन नाहीत.
  • परीक्षेसाठी : 19°, 24°, 34°, 56°, 66° आणि 71° मधून कोटिकोनांच्या जोड्या : 19° आणि 71°, 24° आणि 66°, 34° आणि 56° (प्रत्येक जोडीची बेरीज 90° आहे).

नियम २ : कोटिकोन शोधणे — कोनाचा कोटिकोन म्हणजे 90° मधून तो कोन वजा करून मिळणारा कोन.

  • सोपे : 28° चा कोटिकोन 90 − 28 = 62° आहे.
  • मध्यम : 73° चा कोटिकोन 90 − 73 = 17° आहे.
  • परीक्षेसाठी : एक कोन हा त्याच्या कोटिकोनाच्या 4 पट आहे. कोटिकोन 1 भाग आणि कोन 4 भाग धरा : 5 भाग मिळून 90°, म्हणून 1 भाग = 90 ÷ 5 = 18°. कोटिकोन 18° आणि कोन 4 × 18 = 72° आहे (72 + 18 = 90).
Live आकृती

कोटिकोन

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम ३ : अज्ञात असलेले कोटिकोन — दोन्ही कोनांची बेरीज करा, ती 90 च्या बरोबर मांडा आणि समीकरण सोडवा.

  • सोपे : दोन कोटिकोनांमध्ये 12° चा फरक आहे. लहान कोन x धरा : x + x + 12 = 90, म्हणून 2x = 78 आणि x = 39. कोन 39° आणि 39 + 12 = 51° आहेत.
  • मध्यम : (3a − 4)° आणि (2a + 14)° हे कोटिकोन आहेत. म्हणून 3a − 4 + 2a + 14 = 90, म्हणजे 5a + 10 = 90, 5a = 80 आणि a = 16. कोन 3 × 16 − 4 = 44° आणि 2 × 16 + 14 = 46° आहेत.
  • परीक्षेसाठी : काटकोन त्रिकोणाचे दोन लघुकोन कोटिकोन असतात (तिन्ही कोनांची बेरीज 180° आणि काटकोन 90°). त्यांच्यात 18° चा फरक असेल तर लहान कोन x साठी x + x + 18 = 90, म्हणून 2x = 72 आणि x = 36. लघुकोन 36° आणि 54° आहेत.
लक्षात ठेवा

कोटिकोनांची बेरीज 90° म्हणजे एक काटकोन असते, म्हणून त्यांतील प्रत्येक कोन लघुकोन असतो. ते शेजारी-शेजारी असायलाच हवेत असे नाही; ते दूर दूरही असू शकतात.

सामान्य चूक

90° ऐवजी 180° मधून वजा करणे. 28° चा कोटिकोन 90 − 28 = 62° आहे, 180 − 28 = 152° नाही.

शॉर्टकट

कोटिकोन काढल्यावर दोन्ही कोन परत मिळवा : बेरीज बरोबर 90° यायला हवी (28 + 62 = 90). यामुळे बहुतेक चुका पकडल्या जातात.

फरक ओळखा

कोनबेरीजकोटिकोन आहेत का?
26° आणि 64°90°होय
48° आणि 52°100°नाही
24° आणि 66°90°होय
112° आणि 68°180°नाही (ते पूरक कोन आहेत)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 117° चा कोटिकोन काढा.
  2. 282° चा कोटिकोन काढा.
  3. 329° आणि 61° हे कोटिकोन आहेत का?
मध्यम
  1. 4काटकोन त्रिकोणाचा एक लघुकोन 41° आहे. दुसरा लघुकोन काढा.
  2. 5(2x + 8)° आणि (x + 22)° हे कोटिकोन आहेत. x आणि दोन्ही कोन काढा.
  3. 6एक कोन त्याच्या कोटिकोनापेक्षा 24° ने लहान आहे. तो कोन आणि त्याचा कोटिकोन काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7एक कोन त्याच्या कोटिकोनाच्या 8 पट आहे. दोन्ही कोन काढा.
  2. 8दोन कोटिकोनांचे गुणोत्तर 3 : 7 आहे. दोन्ही कोन काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 190 − 17 = 73°. 2) 90 − 82 = 8°. 3) 29 + 61 = 90, म्हणून होय, ते कोटिकोन आहेत.
  2. 490 − 41 = 49°. 5) 2x + 8 + x + 22 = 90, म्हणून 3x + 30 = 90, 3x = 60 आणि x = 20. कोन 2 × 20 + 8 = 48° आणि 20 + 22 = 42° आहेत (48 + 42 = 90). 6) दोन्ही कोनांची बेरीज 90° आणि फरक 24° आहे. 24° वजा करा : 90 − 24 = 66 आणि 66 ÷ 2 = 33. कोन 33° आणि त्याचा कोटिकोन 33 + 24 = 57° आहे.
  3. 7कोटिकोन 1 भाग आणि कोन 8 भाग धरा : 9 भाग = 90°, म्हणून 1 भाग = 10°. कोटिकोन 10° आणि कोन 8 × 10 = 80° आहे.
  4. 83 + 7 = 10 भाग = 90°, म्हणून 1 भाग = 9°. कोन 3 × 9 = 27° आणि 7 × 9 = 63° आहेत (27 + 63 = 90).

पूरक कोन

रोजच्या जीवनातून

फूटपट्टीची सरळ कड सपाट ठेवली आहे आणि तिच्यावर एक पेन्सिल उभी आहे. पेन्सिलमुळे डावीकडे एक कोन आणि उजवीकडे दुसरा कोन होतो आणि दोन्ही मिळून पूर्ण सरळ कड भरतात. डावा कोन 115° असेल तर उजवा 180 − 115 = 65° असायला हवा. असे दोन कोन म्हणजे पूरक कोन.

सोपी व्याख्या

ज्या दोन कोनांची बेरीज 180° असते ते पूरक कोन असतात; प्रत्येक कोन दुसऱ्याचा पूरक कोन आहे. ते एका रेषेवर शेजारी-शेजारी असू शकतात किंवा दूर दूर.

118°62°O(i)77°103°(ii)

आकृतीत : (i) मध्ये 118° आणि 62° हे कोन एका सरळ रेषेवर शेजारी-शेजारी आहेत आणि 118 + 62 = 180. (ii) मध्ये 77° आणि 103° हे कोन दूर काढले आहेत, पण 77 + 103 = 180, म्हणून ते तरीही पूरक कोन आहेत.

नियम १ : पूरक कोनांची जोडी ओळखणे — दोन्ही कोनांची बेरीज करा. बेरीज बरोबर 180° असेल तर ते पूरक कोन आहेत.

  • सोपे : 112° आणि 68° → 112 + 68 = 180, म्हणून ते पूरक कोन आहेत.
  • मध्यम : दोन लघुकोन कधीच पूरक असू शकत नाहीत, कारण प्रत्येक 90° पेक्षा लहान असतो आणि त्यांची बेरीज 180° पेक्षा कमी येते. दोन विशालकोनही कधीच पूरक नसतात, कारण प्रत्येक 90° पेक्षा मोठा असतो.
  • परीक्षेसाठी : 33°, 54°, 78°, 102°, 126° आणि 147° मधून पूरक कोनांच्या जोड्या : 33° आणि 147°, 54° आणि 126°, 78° आणि 102° (प्रत्येक जोडीची बेरीज 180° आहे).

नियम २ : पूरक कोन शोधणे — कोनाचा पूरक कोन म्हणजे 180° मधून तो कोन वजा करून मिळणारा कोन.

  • सोपे : 62° चा पूरक कोन 180 − 62 = 118° आहे.
  • मध्यम : 149° चा पूरक कोन 180 − 149 = 31° आहे.
  • परीक्षेसाठी : एक कोन त्याच्या पूरक कोनापेक्षा 28° ने मोठा आहे. दोन्ही कोनांची बेरीज 180° आणि फरक 28° आहे. 28° वजा करा : 180 − 28 = 152 आणि 152 ÷ 2 = 76. पूरक कोन 76° आणि कोन 76 + 28 = 104° आहे (104 + 76 = 180).
Live आकृती

पूरक कोन

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम ३ : अज्ञात असलेले पूरक कोन — दोन्ही कोनांची बेरीज करा, ती 180 च्या बरोबर मांडा आणि समीकरण सोडवा.

  • सोपे : (x + 24)° आणि (x + 36)° हे पूरक कोन आहेत. म्हणून x + 24 + x + 36 = 180, म्हणजे 2x + 60 = 180, 2x = 120 आणि x = 60. कोन 60 + 24 = 84° आणि 60 + 36 = 96° आहेत.
  • मध्यम : (4a − 10)° आणि (a + 20)° हे पूरक कोन आहेत. म्हणून 4a − 10 + a + 20 = 180, म्हणजे 5a + 10 = 180, 5a = 170 आणि a = 34. कोन 4 × 34 − 10 = 126° आणि 34 + 20 = 54° आहेत.
  • परीक्षेसाठी : दोन पूरक कोनांचे गुणोत्तर 4 : 11 आहे. एकूण 4 + 11 = 15 भाग आणि 15 भाग = 180°, म्हणून 1 भाग = 12°. कोन 4 × 12 = 48° आणि 11 × 12 = 132° आहेत (48 + 132 = 180).
लक्षात ठेवा

पूरक कोनांची बेरीज 180° म्हणजे एक सरळ रेषा. दोन काटकोन पूरक असतात (90 + 90 = 180). दोन पूरक कोन काटकोन नसतील तर एक लघुकोन आणि दुसरा विशालकोन असतो.

सामान्य चूक

180° ऐवजी 90° मधून वजा करणे. 62° चा पूरक कोन 180 − 62 = 118° आहे, 90 − 62 = 28° नाही.

शॉर्टकट

पूरक कोन हा कोटिकोनापेक्षा नेहमी 90° जास्त असतो. 28° साठी : कोटिकोन 62° आणि पूरक कोन 62 + 90 = 152°. आठवणीची खूण : कोटिकोन = कोपरा (90°), पूरक = सरळ रेषा (180°).

फरक ओळखा

कोनबेरीजप्रकार
118° आणि 62°180°पूरक कोन
77° आणि 103°180°पूरक कोन
28° आणि 62°90°कोटिकोन
100° आणि 70°170°दोन्हींपैकी नाही

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 174° चा पूरक कोन काढा.
  2. 2128° चा पूरक कोन काढा.
  3. 359° आणि 121° हे पूरक कोन आहेत का?
मध्यम
  1. 4(3x − 12)° आणि (2x + 17)° हे पूरक कोन आहेत. x आणि दोन्ही कोन काढा.
  2. 5एक कोन त्याच्या पूरक कोनापेक्षा 34° ने लहान आहे. दोन्ही कोन काढा.
  3. 6एका कोनाचा पूरक कोन त्या कोनाच्या 4 पट आहे. दोन्ही कोन काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7दोन पूरक कोनांमध्ये 52° चा फरक आहे. दोन्ही कोन काढा.
  2. 8एका कोनाचा पूरक कोन त्याच्या कोटिकोनाच्या दुपटीपेक्षा 12° जास्त आहे. तो कोन काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1180 − 74 = 106°. 2) 180 − 128 = 52°. 3) 59 + 121 = 180, म्हणून होय, ते पूरक कोन आहेत.
  2. 43x − 12 + 2x + 17 = 180, म्हणून 5x + 5 = 180, 5x = 175 आणि x = 35. कोन 3 × 35 − 12 = 93° आणि 2 × 35 + 17 = 87° आहेत (93 + 87 = 180). 5) 34° वजा करा : 180 − 34 = 146 आणि 146 ÷ 2 = 73. कोन 73° आणि त्याचा पूरक कोन 73 + 34 = 107° आहे. 6) कोन 1 भाग आणि त्याचा पूरक कोन 4 भाग धरा : 5 भाग = 180°, म्हणून 1 भाग = 36°. कोन 36° आणि पूरक कोन 4 × 36 = 144° आहे.
  3. 752° वजा करा : 180 − 52 = 128 आणि 128 ÷ 2 = 64. कोन 64° आणि 64 + 52 = 116° आहेत (64 + 116 = 180).
  4. 8कोन x धरा. त्याचा पूरक कोन 180 − x आणि कोटिकोन 90 − x आहे. म्हणून 180 − x = 2 × (90 − x) + 12 = 192 − 2x, यावरून x = 12. कोन 12° आहे (तपासणी : पूरक कोन 168°, कोटिकोन 78° आणि 2 × 78 + 12 = 168).

विरुद्ध किरण, रेषीय जोडी आणि ऊर्ध्वकोन

रोजच्या जीवनातून

दोन मित्र एकाच बसथांब्यावरून निघून सरळ रस्त्यावर अगदी उलट दिशांना चालतात. त्यांचे मार्ग म्हणजे विरुद्ध किरण आणि त्यांच्यातील कोन म्हणजे सरळ कोन, 180°. कात्री दुसरी कल्पना दाखवते : कात्री उघडली की दोन पात्यांमधील कोन आणि स्क्रूच्या पलीकडच्या बाजूच्या दोन मुठींमधील कोन नेहमी समान असतात. असे कोन म्हणजे ऊर्ध्वकोन.

सोपी व्याख्या

एकाच बिंदूपासून अगदी उलट दिशांना जाणारे दोन किरण म्हणजे विरुद्ध किरण; ते मिळून सरळ रेषा बनवतात. ज्या दोन संलग्न कोनांच्या बाहेरच्या भुजा विरुद्ध किरण असतात ते रेषीय जोडी बनवतात. दोन सरळ रेषा एकमेकींना छेदतात तेव्हा समोरासमोर असलेले कोन ऊर्ध्वकोन असतात.

145°OPQ(i)180°OPQ(ii)

आकृतीत : (i) मध्ये किरण OP आणि OQ यांच्यातील कोन 145° आहे, म्हणून ते विरुद्ध नाहीत. (ii) मध्ये कोन 180° आहे आणि P, O, Q एकाच सरळ रेषेवर आहेत, म्हणून OP आणि OQ हे विरुद्ध किरण आहेत.

नियम १ : विरुद्ध किरण — सामायिक सुरुवातीचा बिंदू असलेले दोन किरण विरुद्ध तेव्हाच असतात जेव्हा त्यांच्यातील कोन 180° असतो, म्हणजे ते एकाच सरळ रेषेवर असतात.

  • सोपे : K, M, N हे एका सरळ रेषेवर असून M मध्ये आहे. किरण MK आणि MN हे M पासून सुरू होऊन उलट दिशांना जातात, म्हणून ते विरुद्ध किरण आहेत.
  • मध्यम : ∠AOB = 175°. किरण OA आणि OB यांच्यातील कोन 175° आहे, 180° नाही, म्हणून ते विरुद्ध किरण नाहीत.
  • परीक्षेसाठी : बिंदू A, B, C, D एका रेषेवर याच क्रमाने आहेत. किरण BA आणि BC हे विरुद्ध किरण आहेत. किरण BC आणि BD एकाच दिशेला जातात (तो एकच किरण आहे), म्हणून ते विरुद्ध नाहीत.
Live आकृती

विरुद्ध किरण, रेषीय जोडी आणि ऊर्ध्वकोन

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
42°138°OABC

आकृतीत : ∠AOC = 138° आणि ∠COB = 42° हे संलग्न आहेत आणि त्यांच्या बाहेरच्या भुजा OA व OB विरुद्ध किरण आहेत. म्हणून ते रेषीय जोडी बनवतात आणि 138 + 42 = 180.

नियम २ : रेषीय जोडी — रेषीय जोडीतील दोन कोनांची बेरीज नेहमी 180° असते, म्हणून प्रत्येक कोन दुसऱ्याचा पूरक कोन असतो.

  • सोपे : रेषीय जोडीतील एक कोन 127° आहे, म्हणून दुसरा 180 − 127 = 53° आहे.
  • मध्यम : (x + 14)° आणि (2x + 10)° ही रेषीय जोडी आहे. म्हणून x + 14 + 2x + 10 = 180, म्हणजे 3x + 24 = 180, 3x = 156 आणि x = 52. कोन 52 + 14 = 66° आणि 2 × 52 + 10 = 114° आहेत (66 + 114 = 180).
  • परीक्षेसाठी : रेषीय जोडीतील एक कोन दुसऱ्याच्या 9 पट आहे. एकूण 1 + 9 = 10 भाग आणि 10 भाग = 180°, म्हणून 1 भाग = 18°. कोन 18° आणि 9 × 18 = 162° आहेत.
Live आकृती

विरुद्ध किरण, रेषीय जोडी आणि ऊर्ध्वकोन

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
66°66°114°114°O

आकृतीत : दोन रेषा O मध्ये छेदतात. 66° चे दोन कोन समोरासमोर आहेत आणि 114° चे दोन कोन समोरासमोर आहेत. प्रत्येक 66° चा कोन आणि त्याचा शेजारी 114° चा कोन मिळून 180° होतात.

नियम ३ : ऊर्ध्वकोन — दोन रेषा छेदतात तेव्हा समोरासमोरचे कोन समान असतात. दोन शेजारचे कोन रेषीय जोडी असतात, म्हणून शेजारच्या कोनांची बेरीज 180° असते.

  • सोपे : दोन रेषा छेदतात आणि एक कोन 72° आहे. त्याच्या समोरचा कोनही 72° आहे आणि उरलेल्या दोन कोनांपैकी प्रत्येक 180 − 72 = 108° आहे.
  • मध्यम : (3x + 8)° आणि (5x − 22)° हे ऊर्ध्वकोन आहेत, म्हणून ते समान आहेत : 3x + 8 = 5x − 22, म्हणजे 30 = 2x आणि x = 15. प्रत्येक कोन 3 × 15 + 8 = 53° आहे (आणि 5 × 15 − 22 = 53°).
  • परीक्षेसाठी : दोन रेषा छेदतात आणि दोन शेजारचे कोन (2y + 20)° आणि (y + 10)° आहेत. शेजारच्या कोनांची बेरीज 180° असते : 2y + 20 + y + 10 = 180, म्हणून 3y + 30 = 180, 3y = 150 आणि y = 50. कोन 2 × 50 + 20 = 120° आणि 50 + 10 = 60° आहेत; उरलेले दोन कोन पुन्हा 120° आणि 60° आहेत (120 + 60 = 180).
Live आकृती

विरुद्ध किरण, रेषीय जोडी आणि ऊर्ध्वकोन

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

रेषीय जोडी नेहमी पूरक असते, पण पूरक कोन नेहमी रेषीय जोडी असतातच असे नाही : 77° आणि 103° दूर असतानाही त्यांची बेरीज 180° असते. रेषीय जोडीत दोन कोन एका रेषेवर शेजारी-शेजारी असतात.

सामान्य चूक

दोन रेषा छेदल्यावर चारही कोन समान समजणे. फक्त समोरासमोरचे कोन समान असतात (66° आणि 66°, 114° आणि 114°); शेजारच्या कोनांची बेरीज 180° असते.

शॉर्टकट

दोन रेषा छेदतात तेव्हा एक कोन माहीत असला की चारही कोन मिळतात : त्याच्या समोरचा कोन तितकाच, आणि दोन शेजारचे कोन प्रत्येकी 180° वजा तो कोन. 35° साठी चारही कोन 35°, 145°, 35° आणि 145° आहेत.

फरक ओळखा

जोडीस्थानसंबंध
रेषीय जोडीसरळ रेषेवर शेजारी-शेजारीबेरीज = 180°
ऊर्ध्वकोनछेदनबिंदूवर समोरासमोरसमान
कोटिकोनएकत्र किंवा दूरबेरीज = 90°
पूरक कोनएकत्र किंवा दूरबेरीज = 180°

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1रेषीय जोडीतील एक कोन 94° आहे. दुसरा कोन काढा.
  2. 2दोन रेषा छेदतात आणि चार कोनांपैकी एक 38° आहे. बाकीचे तीन कोन काढा.
  3. 3∠AOB = 180° असेल तर किरण OA आणि OB बद्दल काय म्हणता येईल?
मध्यम
  1. 4(3x + 7)° आणि (2x + 23)° ही रेषीय जोडी आहे. x आणि दोन्ही कोन काढा.
  2. 5दोन ऊर्ध्वकोन (4x − 18)° आणि (2x + 20)° आहेत. x आणि ते कोन काढा.
  3. 6रेषीय जोडीतील दोन कोनांमध्ये 24° चा फरक आहे. दोन्ही कोन काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7दोन रेषा छेदतात. दोन शेजारच्या कोनांचे गुणोत्तर 8 : 7 आहे. चारही कोन काढा.
  2. 8रेषा AB आणि CD बिंदू O मध्ये छेदतात. ∠AOC = (6x − 5)° आणि ∠BOD = (4x + 17)° आहे. x, ∠AOC आणि ∠AOD काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1180 − 94 = 86°. 2) त्याच्या समोरचा कोन 38° आहे आणि बाकीच्या दोघांपैकी प्रत्येक 180 − 38 = 142° आहे. 3) OA आणि OB हे विरुद्ध किरण आहेत : A, O आणि B एकाच सरळ रेषेवर आहेत.
  2. 43x + 7 + 2x + 23 = 180, म्हणून 5x + 30 = 180, 5x = 150 आणि x = 30. कोन 3 × 30 + 7 = 97° आणि 2 × 30 + 23 = 83° आहेत (97 + 83 = 180). 5) कोन समान आहेत : 4x − 18 = 2x + 20, म्हणून 2x = 38 आणि x = 19. प्रत्येक कोन 4 × 19 − 18 = 58° आहे (आणि 2 × 19 + 20 = 58°). 6) 24° वजा करा : 180 − 24 = 156 आणि 156 ÷ 2 = 78. कोन 78° आणि 78 + 24 = 102° आहेत.
  3. 78 + 7 = 15 भाग = 180°, म्हणून 1 भाग = 12°. शेजारचे कोन 8 × 12 = 96° आणि 7 × 12 = 84° आहेत, म्हणून चारही कोन 96°, 84°, 96° आणि 84° आहेत.
  4. 8∠AOC आणि ∠BOD समोरासमोर आहेत, म्हणून ते समान आहेत : 6x − 5 = 4x + 17, म्हणून 2x = 22 आणि x = 11. ∠AOC = 6 × 11 − 5 = 61° (आणि 4 × 11 + 17 = 61°). ∠AOD हा त्याचा शेजारी आहे, म्हणून ∠AOD = 180 − 61 = 119°.

बहुभुजाकृतीचे आंतरकोन आणि बाह्यकोन

रोजच्या जीवनातून

कागदाचा कोणत्याही आकाराचा त्रिकोण कापा आणि त्याचे तिन्ही कोपरे फाडून घ्या. फाडलेले तिन्ही कोपरे टोके एकत्र ठेवून शेजारी-शेजारी लावा : ते नेहमी अगदी सरळ रेषेत बसतात, म्हणजे 180° मध्ये. म्हणून प्रत्येक त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज 180° असते. जास्त बाजू असलेल्या शेताचेही असेच त्रिकोण करता येतात.

सोपी व्याख्या

बंद आकृतीच्या आत, तिच्या कोपऱ्यांवर असलेले कोन म्हणजे तिचे आंतरकोन. त्रिकोणाची एक बाजू एका कोपऱ्याच्या पलीकडे वाढवली तर बाहेर तयार होणारा आणि त्या कोपऱ्याच्या आंतरकोनाला लागून असलेला नवीन कोन म्हणजे बाह्यकोन.

बहुभुजाकृतीचा नियम : बहुभुजाकृतीच्या एका कोपऱ्यातून सर्व कर्ण काढा. त्यामुळे तिचे (बाजूंची संख्या − 2) त्रिकोण होतात, म्हणून तिच्या आंतरकोनांची बेरीज (बाजूंची संख्या − 2) × 180° असते.

बाह्यकोनाचा गुणधर्म : त्रिकोणाचा बाह्यकोन हा त्याच्यापासून दूर असलेल्या दोन आंतरकोनांच्या बेरजेइतका असतो; त्यांना दूरचे आंतरकोन म्हणतात.

49°74°57°106°ABCD

आकृतीत : ΔABC मध्ये बाजू BC ही D पर्यंत वाढवली आहे. नवीन कोन ∠ACD = 106° हा बाह्यकोन आहे. त्याला लागून असलेला आंतरकोन ∠ACB = 74° आहे आणि 74 + 106 = 180. दूरचे दोन आंतरकोन ∠A = 57° आणि ∠B = 49° आहेत आणि 57 + 49 = 106, म्हणजे बाह्यकोनाइतकेच.

नियम १ : त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज — त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांची बेरीज नेहमी 180° असते. दोन कोन माहीत असतील तर त्यांची बेरीज 180° मधून वजा करून तिसरा कोन मिळतो.

  • सोपे : त्रिकोणाचे दोन कोन 48° आणि 67° आहेत. तिसरा कोन 180 − 48 − 67 = 65° आहे.
  • मध्यम : त्रिकोणाचे कोन x°, (x + 12)° आणि (x + 24)° आहेत. म्हणून x + x + 12 + x + 24 = 180, म्हणजे 3x + 36 = 180, 3x = 144 आणि x = 48. कोन 48°, 60° आणि 72° आहेत (48 + 60 + 72 = 180).
  • परीक्षेसाठी : समद्विभुज त्रिकोणाचा वरचा कोन 44° आहे. पायाचे दोन कोन समान असतात आणि ते मिळून 180 − 44 = 136° होतात, म्हणून प्रत्येक कोन 136 ÷ 2 = 68° आहे.
Live आकृती

बहुभुजाकृतीचे आंतरकोन आणि बाह्यकोन

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
ABCDEFG(7 − 2) × 180° = 900°

आकृतीत : सप्तकोन ABCDEFG ला 7 बाजू आहेत. कोपरा A पासून काढलेल्या चार तुटक रेषा त्याचे 5 त्रिकोण करतात आणि प्रत्येक त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180° आहे. म्हणून सप्तकोनाच्या कोनांची बेरीज 5 × 180 = 900°, म्हणजे (7 − 2) × 180°.

नियम २ : बहुभुजाकृतीच्या कोनांची बेरीज — बहुभुजाकृतीचे (बाजूंची संख्या − 2) त्रिकोण करता येतात, म्हणून तिच्या आंतरकोनांची बेरीज (बाजूंची संख्या − 2) × 180° असते.

  • सोपे : 9 बाजूंच्या बहुभुजाकृतीच्या कोनांची बेरीज (9 − 2) × 180 = 7 × 180 = 1260° आहे.
  • मध्यम : एका बहुभुजाकृतीच्या आंतरकोनांची बेरीज 1620° आहे. म्हणून 1620 ÷ 180 = 9 ही बाजूंच्या संख्येतून 2 वजा केल्यावर येणारी संख्या आहे, म्हणजे बाजूंची संख्या 9 + 2 = 11.
  • परीक्षेसाठी : पंचकोनाचे चार कोन 100°, 110°, 120° आणि 95° आहेत. पंचकोनाच्या कोनांची बेरीज (5 − 2) × 180 = 540° आहे. पाचवा कोन 540 − (100 + 110 + 120 + 95) = 540 − 425 = 115° आहे.
Live आकृती

बहुभुजाकृतीचे आंतरकोन आणि बाह्यकोन

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम ३ : बाह्यकोन — बहुभुजाकृतीची एक बाजू वाढवा : बाहेर तयार होणारा आणि आंतरकोनाला लागून असलेला कोन म्हणजे बाह्यकोन. आंतरकोन आणि त्याचा बाह्यकोन रेषीय जोडी बनवतात, म्हणून त्यांची बेरीज 180° असते.

  • सोपे : आंतरकोन 74° आहे, म्हणून त्याला लागून असलेला बाह्यकोन 180 − 74 = 106° आहे.
  • मध्यम : बाह्यकोन 132° आहे, म्हणून त्याला लागून असलेला आंतरकोन 180 − 132 = 48° आहे.
  • परीक्षेसाठी : त्रिकोणाचे कोन 52°, 61° आणि 67° आहेत. बाह्यकोन 180 − 52 = 128°, 180 − 61 = 119° आणि 180 − 67 = 113° आहेत. प्रत्येक कोपऱ्यावर दोन बाह्यकोन असतात (ते समोरासमोर असल्याने समान असतात), म्हणून त्रिकोणाला 6 बाह्यकोन असतात : 128°, 128°, 119°, 119°, 113° आणि 113°.

नियम ४ : बाह्यकोनाचा गुणधर्म — त्रिकोणाचा बाह्यकोन हा त्याच्या दोन दूरच्या आंतरकोनांच्या बेरजेइतका असतो. कारण : बाह्यकोन आणि त्याला लागून असलेला आंतरकोन मिळून 180° होतात, आणि तिन्ही आंतरकोनही मिळून 180° होतात.

  • सोपे : दूरचे आंतरकोन 38° आणि 64° आहेत, म्हणून बाह्यकोन 38 + 64 = 102° आहे.
  • मध्यम : बाह्यकोन 128° आहे आणि एक दूरचा आंतरकोन 79° आहे. दुसरा दूरचा आंतरकोन 128 − 79 = 49° आहे.
  • परीक्षेसाठी : दूरचे आंतरकोन (2x + 15)° आणि (x + 28)° आहेत आणि बाह्यकोन (5x − 11)° आहे. म्हणून 2x + 15 + x + 28 = 5x − 11, म्हणजे 3x + 43 = 5x − 11, 54 = 2x आणि x = 27. दूरचे कोन 2 × 27 + 15 = 69° आणि 27 + 28 = 55° आहेत आणि बाह्यकोन 5 × 27 − 11 = 124° आहे (69 + 55 = 124).
Live आकृती

बहुभुजाकृतीचे आंतरकोन आणि बाह्यकोन

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

त्रिकोण 180°, चौकोन 360°, पंचकोन 540°, षटकोन 720° : प्रत्येक जास्तीच्या बाजूमागे 180° वाढतात. बाह्यकोन आणि त्याला लागून असलेला आंतरकोन यांची बेरीज नेहमी 180° असते.

सामान्य चूक

बाह्यकोनाच्या गुणधर्मात चुकीचे कोन मिळवणे. बाह्यकोन हा दूरच्या दोन आंतरकोनांइतका असतो, त्याला लागून असलेल्या कोनाइतका नाही. आकृतीत बाह्यकोन 106° आहे; दूरचे कोन 57° आणि 49° आहेत (बेरीज 106°), तर जवळचा कोन 74° त्याच्यासोबत 180° होतो.

शॉर्टकट

त्रिकोणाचा बाह्यकोन काढायचा असेल तर दूरचे दोन आंतरकोन मिळवा; आधी तिसरा कोन काढण्याची गरज नाही. बहुभुजाकृतीच्या कोनांची बेरीज काढायला बाजूंच्या संख्येतून 2 वजा करा आणि 180° ने गुणा (7 बाजू : 5 × 180 = 900°).

फरक ओळखा

वैशिष्ट्यआंतरकोन ∠ACBबाह्यकोन ∠ACD
स्थानत्रिकोणाच्या आतबाहेर, C ला लागून
आकृतीतील माप74°106°
कसा काढायचा180° − 57° − 49°57° + 49°

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1त्रिकोणाचे दोन कोन 56° आणि 71° आहेत. तिसरा कोन काढा.
  2. 210 बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीच्या आंतरकोनांची बेरीज काढा.
  3. 3त्रिकोणाच्या एका बाह्यकोनाचे दूरचे आंतरकोन 43° आणि 61° आहेत. बाह्यकोन काढा.
मध्यम
  1. 4त्रिकोणाचा एक बाह्यकोन 115° आहे आणि एक दूरचा आंतरकोन 66° आहे. दुसरा दूरचा आंतरकोन आणि बाह्यकोनाला लागून असलेला आंतरकोन काढा.
  2. 5एका बहुभुजाकृतीच्या आंतरकोनांची बेरीज 2160° आहे. तिला किती बाजू आहेत?
  3. 6चौकोनाच्या कोनांचे गुणोत्तर 2 : 3 : 4 : 6 आहे. चारही कोन काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7ΔPQR मध्ये R वरील बाह्यकोन 118° आहे आणि ∠P हा ∠Q पेक्षा 18° जास्त आहे. ∠P, ∠Q आणि ∠R काढा.
  2. 8षटकोनाचे चार कोन 120°, 130°, 110° आणि 124° आहेत आणि उरलेले दोन कोन समान आहेत. ते काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1180 − 56 − 71 = 53°. 2) (10 − 2) × 180 = 8 × 180 = 1440°. 3) 43 + 61 = 104°.
  2. 4दुसरा दूरचा कोन 115 − 66 = 49° आहे. बाह्यकोनाला लागून असलेला आंतरकोन 180 − 115 = 65° आहे (66 + 49 + 65 = 180). 5) 2160 ÷ 180 = 12, म्हणून बहुभुजाकृतीला 12 + 2 = 14 बाजू आहेत. 6) 2 + 3 + 4 + 6 = 15 भाग = 360°, म्हणून 1 भाग = 24°. कोन 48°, 72°, 96° आणि 144° आहेत (48 + 72 + 96 + 144 = 360).
  3. 7दूरचे कोन ∠P आणि ∠Q यांची बेरीज 118° आहे. 18° वजा करा : 118 − 18 = 100 आणि 100 ÷ 2 = 50, म्हणून ∠Q = 50° आणि ∠P = 50 + 18 = 68°. ∠R = 180 − 118 = 62° (68 + 50 + 62 = 180).
  4. 8षटकोनाच्या कोनांची बेरीज (6 − 2) × 180 = 720° आहे. माहीत असलेल्या चार कोनांची बेरीज 120 + 130 + 110 + 124 = 484° आहे. उरलेले 720 − 484 = 236° समान वाटा : 236 ÷ 2 = 118° प्रत्येकी.