K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 7 · गणित

धडा ३: मसावि आणि लसावि

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

सहमूळ आणि जुळ्या मूळ संख्या

रोजच्या जीवनातून

तुमच्याकडे 8 केळी आणि 15 पेरू आहेत. दोन्ही फळांची अशी समान पाकिटे करायची आहेत की प्रत्येक पाकिटात दोन्ही फळे असतील आणि काहीही उरणार नाही. पाकिटांची संख्या 8 आणि 15 दोन्हींना पूर्ण भाग जाणारी हवी. 8 ला 1, 2, 4, 8 ने भाग जातो आणि 15 ला 1, 3, 5, 15 ने. फक्त 1 दोन्ही यादींत आहे, म्हणजे फक्त एकच पाकीट बनते. अशा 8 आणि 15 ला सहमूळ संख्या म्हणतात.

सोपी व्याख्या

दोन संख्यांमध्ये 1 शिवाय दुसरा कोणताही सामाईक विभाजक (अवयव) नसेल तर त्या सहमूळ संख्या असतात.

मूळ संख्या : ज्या संख्येला फक्त 1 आणि ती स्वतः हेच दोन विभाजक असतात ती मूळ संख्या : 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... 1 ही मूळ संख्या नाही, कारण तिला फक्त एकच विभाजक आहे. दोनपेक्षा जास्त विभाजक असलेली संख्या संयुक्त संख्या (उदा. 12).

जुळ्या मूळ संख्या : दोन्ही मूळ असून फरक 2 असलेली जोडी, उदा. 11 आणि 13.

12 चे विभाजक123461235 चे विभाजक15735

आकृतीत : 12 आणि 35 चे विभाजक दिले आहेत. फक्त 1 दोन्ही ओळींत आहे (सोनेरी), म्हणून 12 आणि 35 सहमूळ आहेत.

नियम १ : सहमूळ आहेत का ते तपासणे — दोन्ही संख्यांचे सर्व विभाजक लिहा. फक्त 1 सामाईक असेल तर त्या संख्या सहमूळ.

  • सोपे : 8 आणि 15 → 8 चे विभाजक 1, 2, 4, 8 आणि 15 चे विभाजक 1, 3, 5, 15; सामाईक फक्त 1, म्हणून सहमूळ.
  • मध्यम : 14 आणि 21 → 14 चे विभाजक 1, 2, 7, 14 आणि 21 चे 1, 3, 7, 21; सामाईक 1 आणि 7, म्हणून सहमूळ नाहीत.
  • परीक्षेसाठी : 26 आणि 45 → 26 चे विभाजक 1, 2, 13, 26 आणि 45 चे 1, 3, 5, 9, 15, 45; सामाईक फक्त 1, म्हणून सहमूळ (दोन्ही संख्या मूळ नसल्या तरी).

नियम २ : लागोपाठ संख्या आणि दोन वेगळ्या मूळ संख्या — लागोपाठ दोन संख्या नेहमी सहमूळ असतात. दोन वेगळ्या मूळ संख्याही नेहमी सहमूळ असतात. सामाईक विभाजक शोधण्याची गरज नाही.

  • सोपे : 17 आणि 18 लागोपाठ आहेत, म्हणून सहमूळ.
  • मध्यम : 19 आणि 23 दोन्ही मूळ आणि वेगळ्या आहेत, म्हणून सहमूळ (19 चे विभाजक 1, 19 आणि 23 चे 1, 23).
  • परीक्षेसाठी : 99 आणि 100 लागोपाठ आहेत, म्हणून सहमूळ (99 = 9 × 11 आणि 100 = 4 × 25; एकही सारखा अवयव नाही).
Live आकृती

सहमूळ आणि जुळ्या मूळ संख्या

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम ३ : जुळ्या मूळ संख्या — दोन्ही संख्या मूळ असाव्यात आणि त्यांचा फरक 2 असावा. जुळ्या मूळ संख्या नेहमी सहमूळ असतात.

  • सोपे : 41 आणि 43 दोन्ही मूळ आहेत आणि फरक 43 − 41 = 2, म्हणून जुळ्या मूळ संख्या.
  • मध्यम : 23 आणि 25 चा फरक 2 आहे, पण 25 = 5 × 5 मूळ नाही, म्हणून जुळ्या मूळ संख्या नाहीत.
  • परीक्षेसाठी : 100 ते 110 मधील मूळ संख्या 101, 103, 107, 109. 103 − 101 = 2 आणि 109 − 107 = 2, म्हणून जुळ्या मूळ जोड्या 101 आणि 103, तसेच 107 आणि 109.
Live आकृती

सहमूळ आणि जुळ्या मूळ संख्या

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

सहमूळ संख्या स्वतः मूळ असायलाच हव्यात असे नाही : 8 आणि 15 मूळ नाहीत, तरी सहमूळ आहेत. जुळ्या मूळ संख्या नेहमी सहमूळ असतात, पण सहमूळ संख्या नेहमी जुळ्या मूळ नसतात.

सामान्य चूक

1 ला मूळ संख्या समजणे. मूळ संख्येला दोन वेगळे विभाजक हवेत (1 आणि ती स्वतः). 1 ला फक्त एकच विभाजक आहे, म्हणून 1 मूळही नाही आणि संयुक्तही नाही.

शॉर्टकट

दोन सम संख्या कधीच सहमूळ नसतात, कारण दोन्हींना 2 ने भाग जातो (उदा. 14 आणि 22). लागोपाठ संख्या मात्र नेहमी सहमूळ असतात.

फरक ओळखा

जोडीसहमूळ?जुळ्या मूळ?
8 आणि 15होयनाही (मूळ नाहीत)
11 आणि 13होयहोय
14 आणि 21नाही (7 सामाईक)नाही
19 आणि 23होयनाही (फरक 4)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 19 आणि 10 सहमूळ आहेत का?
  2. 212 आणि 18 सहमूळ आहेत का? त्यांचे सामाईक विभाजक लिहा.
  3. 33 ते 20 मधील सर्व जुळ्या मूळ जोड्या लिहा.
मध्यम
  1. 416 शी सहमूळ असलेल्या 10 पेक्षा लहान सर्व संख्या लिहा.
  2. 560 ते 80 मधील जुळ्या मूळ संख्यांची जोडी कोणती?
  3. 621 आणि 28, 25 आणि 36, 27 आणि 39 यांपैकी कोणती जोडी सहमूळ आहे?
आव्हानात्मक
  1. 7दोन लागोपाठ संख्यांचा गुणाकार 156 आहे. त्या संख्या कोणत्या? त्या सहमूळ आहेत का?
  2. 842 लाडू आणि 55 करंज्या समान पाकिटांत वाटायच्या आहेत (प्रत्येक पाकिटात दोन्ही पदार्थ असावेत आणि काही उरू नये). 1 पेक्षा जास्त पाकिटे करता येतील का? का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1होय, कारण 9 आणि 10 लागोपाठ आहेत. 2) नाही; सामाईक विभाजक 1, 2, 3, 6. 3) 3 आणि 5, 5 आणि 7, 11 आणि 13, 17 आणि 19.
  2. 416 चे विभाजक 1, 2, 4, 8, 16; म्हणून 1, 3, 5, 7, 9 (2, 4, 6, 8 आणि 16 मध्ये 2 सामाईक आहे). 5) मूळ संख्या 61, 67, 71, 73, 79; फक्त 71 आणि 73 मध्ये फरक 2. 6) 25 आणि 36, कारण 21 आणि 28 मध्ये 7 सामाईक आहे आणि 27 आणि 39 मध्ये 3 सामाईक आहे.
  3. 712 × 13 = 156; दोन्ही लागोपाठ आहेत, म्हणून 12 आणि 13 सहमूळ आहेत.
  4. 842 चे विभाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 आणि 55 चे 1, 5, 11, 55; सामाईक फक्त 1, म्हणजे 42 आणि 55 सहमूळ आहेत. म्हणून फक्त 1 पाकीट बनेल; 1 पेक्षा जास्त नाही.

मूळ अवयव पाडणे

रोजच्या जीवनातून

भिंत विटांनी बनते आणि वीट आणखी तोडता येत नाही. तसेच प्रत्येक संयुक्त संख्या मूळ संख्यांच्या "विटां"नी बनते. 30 खुर्च्या 5 रांगांत मांडल्या तर प्रत्येक रांगेत 6 येतात, आणि 6 खुर्च्या 2 × 3 अशा मांडता येतात. म्हणजे 30 = 5 × 6 = 5 × 2 × 3. आता 2, 3 आणि 5 आणखी फोडता येत नाहीत; हे 30 चे मूळ अवयव.

सोपी व्याख्या

संख्येला मूळ संख्यांच्या गुणाकाराच्या रूपात लिहिणे म्हणजे मूळ अवयव पाडणे. कोणत्याही संख्येचे मूळ अवयव एकच असतात, क्रम बदलला तरी.

6023021535

आकृतीत : 60 ला दोन अवयवांत फोडले आहे : 60 = 2 × 30, मग 30 = 2 × 15 आणि 15 = 3 × 5. सोनेरी वर्तुळे मूळ अवयव आहेत : 60 = 2 × 2 × 3 × 5.

Live आकृती

मूळ अवयव पाडणे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम १ : भागाकाराची शिडी — संख्येला सर्वांत लहान मूळ संख्येने (2, 3, 5, 7 ...) भागा. येणाऱ्या भागाकाराला पुन्हा भागत जा, 1 येईपर्यंत. डावीकडच्या मूळ संख्या म्हणजे मूळ अवयव.

  • सोपे : 45 ÷ 3 = 15; 15 ÷ 3 = 5; 5 ÷ 5 = 1. म्हणून 45 = 3 × 3 × 5.
  • मध्यम : 72 ÷ 2 = 36; 36 ÷ 2 = 18; 18 ÷ 2 = 9; 9 ÷ 3 = 3; 3 ÷ 3 = 1. म्हणून 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3.
  • परीक्षेसाठी : 462 ÷ 2 = 231; 231 ÷ 3 = 77; 77 ÷ 7 = 11; 11 ÷ 11 = 1. म्हणून 462 = 2 × 3 × 7 × 11.

नियम २ : अवयव वृक्ष — संख्येला कोणत्याही दोन अवयवांच्या गुणाकारात फोडा. मग प्रत्येक अवयव मूळ संख्या होईपर्यंत फोडत रहा. कोणत्या प्रकारे फोडले तरी शेवटी तेच मूळ अवयव येतात.

  • सोपे : 36 = 4 × 9; 4 = 2 × 2 आणि 9 = 3 × 3. म्हणून 36 = 2 × 2 × 3 × 3.
  • मध्यम : 90 = 9 × 10 = (3 × 3) × (2 × 5), म्हणून 90 = 2 × 3 × 3 × 5. दुसऱ्या प्रकारे 90 = 6 × 15 = (2 × 3) × (3 × 5) = 2 × 3 × 3 × 5; तेच अवयव.
  • परीक्षेसाठी : 140 = 14 × 10 = (2 × 7) × (2 × 5) = 2 × 2 × 5 × 7. दुसऱ्या प्रकारे 140 = 4 × 35 = (2 × 2) × (5 × 7); तेच मूळ अवयव.

नियम ३ : कोणत्या मूळ संख्येने भागायचे ते ओळखणे — एकक स्थानी 0, 2, 4, 6 किंवा 8 असेल तर 2 ने भाग जातो. अंकांची बेरीज 3 ने भाग जाणारी असेल तर 3 ने भाग जातो. एकक स्थानी 0 किंवा 5 असेल तर 5 ने भाग जातो.

  • सोपे : 130 च्या एकक स्थानी 0 आहे, म्हणून 130 ला 2 ने आणि 5 ने भाग जातो.
  • मध्यम : 261 मध्ये 2 + 6 + 1 = 9 आणि 9 ला 3 ने भाग जातो, म्हणून 261 ÷ 3 = 87. 87 मध्ये 8 + 7 = 15, पुन्हा 3 ने : 87 ÷ 3 = 29, आणि 29 मूळ आहे. म्हणून 261 = 3 × 3 × 29.
  • परीक्षेसाठी : 273 मध्ये 2 + 7 + 3 = 12, म्हणून 3 ने : 273 ÷ 3 = 91. 91 ला 2, 3, 5 ने भाग जात नाही, पण 7 ने जातो : 91 ÷ 7 = 13. म्हणून 273 = 3 × 7 × 13.
लक्षात ठेवा

शेवटी सर्व अवयव मूळ संख्याच असायला हवेत. 1 ला मूळ अवयव म्हणून लिहायचे नाही. संख्या स्वतः मूळ असेल तर ती फोडता येत नाही (उदा. 29).

सामान्य चूक

36 = 4 × 9 वर थांबणे. 4 आणि 9 मूळ संख्या नाहीत; त्यांना आणखी फोडा : 4 = 2 × 2 आणि 9 = 3 × 3. तेव्हाच 36 = 2 × 2 × 3 × 3 हे मूळ अवयव रूप मिळते.

शॉर्टकट

लहान मूळ संख्यांपासून क्रमाने भागा : 2, 3, 5, 7, 11. एका मूळ संख्येने भाग जात असेल तोपर्यंत तिनेच भागा, मग पुढची मूळ संख्या घ्या.

फरक ओळखा

संख्याप्रकारमूळ अवयव
29मूळ संख्याफोडता येत नाही
45संयुक्त संख्या3 × 3 × 5
72संयुक्त संख्या2 × 2 × 2 × 3 × 3
1मूळही नाही, संयुक्तही नाहीअवयव नाहीत

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 128 चे मूळ अवयव लिहा.
  2. 254 चे मूळ अवयव लिहा.
  3. 317, 21, 29 आणि 39 यांपैकी कोणत्या संख्या मूळ आहेत?
मध्यम
  1. 4168 चे मूळ अवयव भागाकाराच्या शिडीने काढा.
  2. 5225 चे मूळ अवयव लिहा.
  3. 62 × 2 × 3 × 5 × 5 हे कोणत्या संख्येचे मूळ अवयव आहेत?
आव्हानात्मक
  1. 7360 चे मूळ अवयव काढा. त्यांत 2 किती वेळा येतो?
  2. 8120 चे अवयव वृक्ष दोन प्रकारे काढा (एकात पहिली फोड 12 × 10 आणि दुसऱ्यात 8 × 15). मूळ अवयव सारखेच येतात का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 128 ÷ 2 = 14; 14 ÷ 2 = 7; 7 ÷ 7 = 1; म्हणून 28 = 2 × 2 × 7. 2) 54 ÷ 2 = 27; 27 ÷ 3 = 9; 9 ÷ 3 = 3; 3 ÷ 3 = 1; म्हणून 54 = 2 × 3 × 3 × 3. 3) 17 आणि 29 मूळ आहेत; 21 = 3 × 7 आणि 39 = 3 × 13 संयुक्त आहेत.
  2. 4168 ÷ 2 = 84; 84 ÷ 2 = 42; 42 ÷ 2 = 21; 21 ÷ 3 = 7; 7 ÷ 7 = 1; म्हणून 168 = 2 × 2 × 2 × 3 × 7. 5) 225 ÷ 3 = 75; 75 ÷ 3 = 25; 25 ÷ 5 = 5; 5 ÷ 5 = 1; म्हणून 225 = 3 × 3 × 5 × 5. 6) 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 300.
  3. 7360 ÷ 2 = 180; 180 ÷ 2 = 90; 90 ÷ 2 = 45; 45 ÷ 3 = 15; 15 ÷ 3 = 5; 5 ÷ 5 = 1; म्हणून 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 आणि 2 तीन वेळा येतो.
  4. 8120 = 12 × 10 = (2 × 2 × 3) × (2 × 5) = 2 × 2 × 2 × 3 × 5. 120 = 8 × 15 = (2 × 2 × 2) × (3 × 5) = 2 × 2 × 2 × 3 × 5. होय, मूळ अवयव सारखेच येतात.

म.सा.वि. (महत्तम साधारण विभाजक)

रोजच्या जीवनातून

दुकानदाराकडे 40 पेन्सिली आणि 56 रबर आहेत. त्यांची शक्य तितकी जास्त सारखी पाकिटे करायची आहेत; प्रत्येक पाकिटात दोन्ही वस्तू असतील आणि काहीही उरणार नाही. पाकिटांची संख्या 40 आणि 56 दोन्हींना पूर्ण भाग जाणारी आणि सर्वांत मोठी हवी. ती संख्या 8 आहे : 8 पाकिटे, प्रत्येकात 5 पेन्सिली आणि 7 रबर. म्हणजेच 40 आणि 56 चा म.सा.वि. = 8.

सोपी व्याख्या

दिलेल्या संख्यांना पूर्ण भाग जाणाऱ्या सर्व सामाईक विभाजकांपैकी सर्वांत मोठा विभाजक म्हणजे त्या संख्यांचा म.सा.वि. (महत्तम साधारण विभाजक).

नियम १ : यादी पद्धत — प्रत्येक संख्येचे सर्व विभाजक लिहा. सामाईक विभाजकांपैकी सर्वांत मोठा म्हणजे म.सा.वि. (लहान संख्यांसाठी सोपी पद्धत.)

  • सोपे : 18 आणि 27 → 18 चे विभाजक 1, 2, 3, 6, 9, 18 आणि 27 चे 1, 3, 9, 27; सामाईक 1, 3, 9; म.सा.वि. = 9.
  • मध्यम : 30 आणि 45 → 30 चे विभाजक 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 आणि 45 चे 1, 3, 5, 9, 15, 45; सामाईक 1, 3, 5, 15; म.सा.वि. = 15.
  • परीक्षेसाठी : 16, 24 आणि 40 → 16 चे विभाजक 1, 2, 4, 8, 16; 24 चे 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; 40 चे 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40; तिन्हींत सामाईक 1, 2, 4, 8; म.सा.वि. = 8.

नियम २ : मूळ अवयव पद्धत — प्रत्येक संख्येचे मूळ अवयव लिहा. सर्व संख्यांत सामाईक असलेले मूळ अवयव घ्या आणि त्यांचा गुणाकार करा.

252 चे मूळ अवयव210 चे मूळ अवयव232375

आकृतीत : 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 आणि 210 = 2 × 3 × 5 × 7. मधल्या भागात सामाईक मूळ अवयव 2, 3, 7 आहेत. त्यांचा गुणाकार 2 × 3 × 7 = 42, म्हणून 252 आणि 210 चा म.सा.वि. 42.

  • सोपे : 20 = 2 × 2 × 5 आणि 50 = 2 × 5 × 5. सामाईक 2 आणि 5; म.सा.वि. = 2 × 5 = 10.
  • मध्यम : 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 आणि 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3. सामाईक 2, 2, 3, 3; म.सा.वि. = 2 × 2 × 3 × 3 = 36.
  • परीक्षेसाठी : 60 = 2 × 2 × 3 × 5; 90 = 2 × 3 × 3 × 5; 150 = 2 × 3 × 5 × 5. तिन्हींत सामाईक 2, 3, 5; म.सा.वि. = 2 × 3 × 5 = 30.
Live आकृती

म.सा.वि. (महत्तम साधारण विभाजक)

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम ३ : भागाकार पद्धत — मोठ्या संख्येला लहान संख्येने भागा. बाकी उरली तर भाजकाला त्या बाकीने भागा. असे बाकी 0 येईपर्यंत करा. बाकी 0 आली तेव्हाचा भाजक म्हणजे म.सा.वि. प्रत्येक पायरी : भाज्य = भाजक × भागाकार + बाकी.

भाज्यभाजकबाकी25210542105422142210

आकृतीत : 252 आणि 105 → 252 = 105 × 2 + 42; 105 = 42 × 2 + 21; 42 = 21 × 2 + 0. बाकी 0 आली तेव्हाचा भाजक 21, म्हणून म.सा.वि. = 21.

  • सोपे : 54 आणि 24 → 54 = 24 × 2 + 6; 24 = 6 × 4 + 0. म.सा.वि. = 6.
  • मध्यम : 176 आणि 66 → 176 = 66 × 2 + 44; 66 = 44 × 1 + 22; 44 = 22 × 2 + 0. म.सा.वि. = 22.
  • परीक्षेसाठी : 391 आणि 187 → 391 = 187 × 2 + 17; 187 = 17 × 11 + 0. म.सा.वि. = 17.
Live आकृती

म.सा.वि. (महत्तम साधारण विभाजक)

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

म.सा.वि. दिलेल्या प्रत्येक संख्येला पूर्ण भाग जातो आणि तो सर्वांत लहान दिलेल्या संख्येपेक्षा मोठा कधीच नसतो. सहमूळ संख्यांचा म.सा.वि. नेहमी 1 असतो.

सामान्य चूक

सामाईक नसलेले मूळ अवयवही गुणणे. 20 = 2 × 2 × 5 आणि 50 = 2 × 5 × 5 : सर्व गुणले तर 2 × 2 × 5 × 5 = 100 येईल, जे 20 पेक्षा मोठे आहे. फक्त सामाईक 2 आणि 5 घ्या : 10.

शॉर्टकट

एक संख्या दुसरीला पूर्ण भाग जात असेल तर लहान संख्याच म.सा.वि. असते. उदा. 91 ÷ 7 = 13, म्हणून 7 आणि 91 चा म.सा.वि. 7.

फरक ओळखा

पद्धतकशी करायचीकेव्हा सोपी
यादी पद्धतसर्व विभाजक लिहून सामाईकांतील सर्वांत मोठा घ्यालहान संख्या
मूळ अवयव पद्धतसामाईक मूळ अवयवांचा गुणाकारमध्यम संख्या, दोनपेक्षा जास्त संख्या
भागाकार पद्धतभाजकाला बाकीने भागत जा, बाकी 0 येईपर्यंतमोठ्या संख्या

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 112 आणि 30 चा म.सा.वि. यादी पद्धतीने काढा.
  2. 245 आणि 75 चा म.सा.वि. मूळ अवयव पद्धतीने काढा.
  3. 317 आणि 51 चा म.सा.वि. किती?
मध्यम
  1. 4168 आणि 120 चा म.सा.वि. काढा.
  2. 566, 99 आणि 165 चा म.सा.वि. काढा.
  3. 6323 आणि 437 चा म.सा.वि. भागाकार पद्धतीने काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7तीन संख्यांचा म.सा.वि. 6 आहे. त्यांतल्या दोन संख्या 24 आणि 42 आहेत. तिसरी संख्या 31 ते 39 मध्ये असेल तर ती कोणती?
  2. 8दोन फितींची लांबी 96 सेमी आणि 156 सेमी आहे. त्यांचे समान लांबीचे सर्वांत लांब तुकडे कापायचे आहेत, काहीही उरायला नको. तुकड्याची लांबी किती आणि एकूण किती तुकडे मिळतील?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 112 चे विभाजक 1, 2, 3, 4, 6, 12 आणि 30 चे 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30; सामाईक 1, 2, 3, 6; म.सा.वि. = 6. 2) 45 = 3 × 3 × 5 आणि 75 = 3 × 5 × 5; सामाईक 3, 5; म.सा.वि. = 3 × 5 = 15. 3) 51 = 17 × 3, म्हणून म.सा.वि. = 17.
  2. 4168 = 2 × 2 × 2 × 3 × 7 आणि 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5; सामाईक 2, 2, 2, 3; म.सा.वि. = 2 × 2 × 2 × 3 = 24. 5) 66 = 2 × 3 × 11; 99 = 3 × 3 × 11; 165 = 3 × 5 × 11; सामाईक 3, 11; म.सा.वि. = 3 × 11 = 33. 6) 437 = 323 × 1 + 114; 323 = 114 × 2 + 95; 114 = 95 × 1 + 19; 95 = 19 × 5 + 0; म.सा.वि. = 19.
  3. 7तिसरी संख्या 6 च्या पटीत हवी. 31 ते 39 मधील 6 ची पट फक्त 36 आहे. तपासा : 24 = 2 × 2 × 2 × 3; 42 = 2 × 3 × 7; 36 = 2 × 2 × 3 × 3; सामाईक 2, 3; म.सा.वि. = 6.
  4. 896 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 आणि 156 = 2 × 2 × 3 × 13; सामाईक 2, 2, 3; म.सा.वि. = 12. तुकड्याची लांबी 12 सेमी. 96 ÷ 12 = 8 आणि 156 ÷ 12 = 13, म्हणून 8 + 13 = 21 तुकडे.

ल.सा.वि. (लघुत्तम साधारण विभाज्य)

रोजच्या जीवनातून

लाडू 6 च्या पाकिटांत आणि करंज्या 4 च्या पाकिटांत मिळतात. दोन्हींची संख्या सारखी हवी असेल तर सर्वांत कमी किती घ्याल? 6 च्या पटी : 6, 12, 18 ...; 4 च्या पटी : 4, 8, 12 ... पहिली सामाईक पट 12 आहे. म्हणजे लाडवांची 2 पाकिटे आणि करंज्यांची 3 पाकिटे; प्रत्येकी 12. हा 12 म्हणजे 6 आणि 4 चा ल.सा.वि.

सोपी व्याख्या

दिलेल्या संख्यांच्या सर्व सामाईक पटींपैकी (गुणकांपैकी) सर्वांत लहान पट म्हणजे त्या संख्यांचा ल.सा.वि. (लघुत्तम साधारण विभाज्य).

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859604 चे गुणक10 चे गुणकदोन्ही

आकृतीत : 1 ते 60 संख्यांमध्ये 4 च्या पटी निळ्या, 10 च्या पटी नारिंगी आणि दोन्हींच्या सामाईक पटी सोनेरी आहेत. पहिली सोनेरी संख्या 20 आहे, म्हणून 4 आणि 10 चा ल.सा.वि. 20. पुढच्या सोनेरी संख्या 40 आणि 60 या 20 च्याच पटी आहेत.

नियम १ : पटींची यादी — प्रत्येक संख्येच्या पटी लिहा. पहिली सामाईक पट म्हणजे ल.सा.वि.

  • सोपे : 6 आणि 8 → 6 च्या पटी 6, 12, 18, 24, 30 आणि 8 च्या पटी 8, 16, 24, 32; पहिली सामाईक पट 24; ल.सा.वि. = 24.
  • मध्यम : 9 आणि 15 → 9 च्या पटी 9, 18, 27, 36, 45 आणि 15 च्या पटी 15, 30, 45; पहिली सामाईक पट 45; ल.सा.वि. = 45.
  • परीक्षेसाठी : 14 आणि 21 → 14 च्या पटी 14, 28, 42 आणि 21 च्या पटी 21, 42; पहिली सामाईक पट 42; ल.सा.वि. = 42.

नियम २ : मूळ अवयव पद्धत — प्रत्येक संख्येचे मूळ अवयव लिहा. प्रत्येक मूळ अवयव, तो कोणत्याही एका संख्येत जास्तीत जास्त जितक्या वेळा आला असेल तितक्या वेळा घ्या आणि सर्वांचा गुणाकार करा.

60 चे मूळ अवयव84 चे मूळ अवयव52237

आकृतीत : 60 = 2 × 2 × 3 × 5 आणि 84 = 2 × 2 × 3 × 7. सामाईक भाग 2 × 2 × 3 एकदाच घ्या. त्यात 60 चा उरलेला 5 आणि 84 चा उरलेला 7 जोडा : 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 420, म्हणून 60 आणि 84 चा ल.सा.वि. 420.

  • सोपे : 18 = 2 × 3 × 3 आणि 24 = 2 × 2 × 2 × 3. 2 सर्वाधिक तीनदा (24 मध्ये), 3 सर्वाधिक दोनदा (18 मध्ये); ल.सा.वि. = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72.
  • मध्यम : 24 = 2 × 2 × 2 × 3 आणि 54 = 2 × 3 × 3 × 3. 2 सर्वाधिक तीनदा, 3 सर्वाधिक तीनदा; ल.सा.वि. = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 216.
  • परीक्षेसाठी : 15 = 3 × 5; 20 = 2 × 2 × 5; 24 = 2 × 2 × 2 × 3. 2 सर्वाधिक तीनदा, 3 एकदा, 5 एकदा; ल.सा.वि. = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120.
Live आकृती

ल.सा.वि. (लघुत्तम साधारण विभाज्य)

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम ३ : दोन खास प्रकरणे — (अ) संख्या सहमूळ असतील तर ल.सा.वि. = त्यांचा गुणाकार. (आ) एक संख्या दुसरीची पट असेल तर ल.सा.वि. = ती मोठी संख्या.

  • सोपे : 7 आणि 9 सहमूळ आहेत, म्हणून ल.सा.वि. = 7 × 9 = 63.
  • मध्यम : 40 = 8 × 5, म्हणजे 40 ही 8 ची पट आहे; म्हणून 8 आणि 40 चा ल.सा.वि. 40.
  • परीक्षेसाठी : 4, 8 आणि 24 → 24 = 8 × 3 आणि 24 = 4 × 6, म्हणजे 24 ही 4 ची आणि 8 ची पट आहे; म्हणून ल.सा.वि. 24.

नियम ४ : म.सा.वि. आणि ल.सा.वि. यांचा संबंध — दोन संख्यांसाठी : म.सा.वि. × ल.सा.वि. = त्या दोन संख्यांचा गुणाकार. (तीन किंवा जास्त संख्यांसाठी हे चालत नाही.)

  • सोपे : 12 आणि 18 : म.सा.वि. 6 आणि ल.सा.वि. 36; 6 × 36 = 216 = 12 × 18.
  • मध्यम : दोन संख्यांचा गुणाकार 360 आणि म.सा.वि. 6 आहे. ल.सा.वि. = 360 ÷ 6 = 60.
  • परीक्षेसाठी : म.सा.वि. 4, ल.सा.वि. 120 आणि एक संख्या 24 आहे. दुसरी संख्या = (4 × 120) ÷ 24 = 480 ÷ 24 = 20. तपासा : 24 आणि 20 चा म.सा.वि. 4 आणि ल.सा.वि. 120.
Live आकृती

ल.सा.वि. (लघुत्तम साधारण विभाज्य)

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

ल.सा.वि. दिलेल्या सर्वांत मोठ्या संख्येपेक्षा लहान कधीच नसतो आणि दिलेली प्रत्येक संख्या त्याला पूर्ण भाग जाते. म.सा.वि. लहान असतो, ल.सा.वि. मोठा.

सामान्य चूक

म.सा.वि. आणि ल.सा.वि. उलटे करणे. म.सा.वि. म्हणजे सामाईक मूळ अवयवांचा गुणाकार; ल.सा.वि. म्हणजे प्रत्येक मूळ अवयव जास्तीत जास्त वेळा. 12 आणि 18 : म.सा.वि. 6 आणि ल.सा.वि. 36.

शॉर्टकट

मोठ्या संख्येच्या पटी तपासा आणि पहिली अशी पट शोधा जिला लहान संख्येने भाग जातो. 6 आणि 8 : 8, 16, 24; 24 ला 6 ने भाग जातो, म्हणून ल.सा.वि. 24.

फरक ओळखा

मुद्दाम.सा.वि.ल.सा.वि.
अर्थसर्वांत मोठा सामाईक विभाजकसर्वांत लहान सामाईक पट
मूळ अवयवफक्त सामाईकप्रत्येक जास्तीत जास्त वेळा
दिलेल्या संख्यांपेक्षालहान किंवा तेवढामोठा किंवा तेवढा
12 आणि 18 साठी636

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 15 आणि 7 चा ल.सा.वि. किती?
  2. 210 आणि 25 चा ल.सा.वि. पटींची यादी करून काढा.
  3. 36 आणि 18 चा ल.सा.वि. किती?
मध्यम
  1. 442 आणि 63 चा ल.सा.वि. मूळ अवयव पद्धतीने काढा.
  2. 58, 12 आणि 18 चा ल.सा.वि. काढा.
  3. 6दोन संख्यांचा म.सा.वि. 5 आणि ल.सा.वि. 150 आहे. एक संख्या 30 असेल तर दुसरी कोणती?
आव्हानात्मक
  1. 76, 8 आणि 12 ने भाग जाणारी सर्वांत लहान 3 अंकी संख्या कोणती?
  2. 818, 27 आणि 45 चा ल.सा.वि. काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 15 आणि 7 सहमूळ आहेत, म्हणून ल.सा.वि. = 5 × 7 = 35. 2) 10 च्या पटी 10, 20, 30, 40, 50 आणि 25 च्या पटी 25, 50; पहिली सामाईक पट 50, म्हणून ल.सा.वि. = 50. 3) 18 ही 6 ची पट आहे (6 × 3 = 18), म्हणून ल.सा.वि. 18.
  2. 442 = 2 × 3 × 7 आणि 63 = 3 × 3 × 7; ल.सा.वि. = 2 × 3 × 3 × 7 = 126. 5) 8 = 2 × 2 × 2; 12 = 2 × 2 × 3; 18 = 2 × 3 × 3; ल.सा.वि. = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72. 6) दुसरी संख्या = (5 × 150) ÷ 30 = 750 ÷ 30 = 25.
  3. 76 = 2 × 3; 8 = 2 × 2 × 2; 12 = 2 × 2 × 3; ल.सा.वि. = 2 × 2 × 2 × 3 = 24. 24 च्या पटी 24, 48, 72, 96, 120; पहिली 3 अंकी पट 120.
  4. 818 = 2 × 3 × 3; 27 = 3 × 3 × 3; 45 = 3 × 3 × 5; ल.सा.वि. = 2 × 3 × 3 × 3 × 5 = 270.

म.सा.वि. आणि ल.सा.वि. चे उपयोग

रोजच्या जीवनातून

तुमच्याकडे 30 मीटर, 45 मीटर आणि 75 मीटर लांबीच्या तीन दोऱ्या आहेत. त्यांचे समान लांबीचे, सर्वांत लांब तुकडे कापायचे आहेत आणि काहीही उरायला नको. तुकड्याची लांबी तिन्ही लांबींना पूर्ण भाग जाणारी आणि सर्वांत मोठी हवी, म्हणजे म.सा.वि.

30 m45 m75 m

आकृतीत : 30, 45 आणि 75 चा म.सा.वि. 15 आहे. प्रत्येक तुकडा 15 मीटरचा; दोऱ्यांचे अनुक्रमे 2, 3 आणि 5 तुकडे होतात.

सोपी व्याख्या

वस्तू कापणे, वाटणे किंवा रांगांत मांडणे आणि "सर्वांत मोठा समान भाग" हवा असेल तर म.सा.वि. वापरा. काही पुन्हा पुन्हा घडत असेल आणि "पुन्हा एकत्र कधी" किंवा "सर्वांत लहान समान संख्या" हवी असेल तर ल.सा.वि. वापरा.

नियम १ : सर्वांत मोठा समान तुकडा, गट किंवा रांग → म.सा.वि. — सर्व दिलेल्या संख्यांना भाग जाणारी सर्वांत मोठी संख्या काढा.

  • सोपे : 20 मीटर आणि 30 मीटर लांबीच्या दोन फितींचे समान लांबीचे सर्वांत लांब तुकडे कापायचे आहेत. म.सा.वि. = 10, म्हणून तुकडा 10 मीटरचा; तुकडे 20 ÷ 10 = 2 आणि 30 ÷ 10 = 3, एकूण 5.
  • मध्यम : 540 सेमी लांब आणि 420 सेमी रुंद जमिनीवर सर्वांत मोठ्या चौरस फरश्या अशा बसवायच्या आहेत की एकही फरशी तोडावी लागू नये. फरशीची बाजू = म.सा.वि. = 60 सेमी. फरश्या = (540 ÷ 60) × (420 ÷ 60) = 9 × 7 = 63.
  • परीक्षेसाठी : तीन डब्यांत 60, 84 आणि 108 लिटर तेल आहे. तिन्ही अचूक मोजणारे सर्वांत मोठे माप म.सा.वि. = 12 लिटर (60 = 2 × 2 × 3 × 5; 84 = 2 × 2 × 3 × 7; 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3; सामाईक 2 × 2 × 3 = 12). मापे : 5 + 7 + 9 = 21.

नियम २ : पुन्हा एकत्र येणे किंवा एकाच वेळी घडणे → ल.सा.वि. — सर्व दिलेल्या संख्यांची पहिली सामाईक पट काढा.

0122436486072ABमिनिटे

आकृतीत : पहारेकरी A दर 9 मिनिटांनी आणि पहारेकरी B दर 12 मिनिटांनी फाटकावरून जातो. सुरुवातीला दोघे फाटकावर एकत्र असतात. ते पुन्हा 36 मिनिटांनी (9 आणि 12 चा ल.सा.वि. 36) फाटकावर एकत्र येतात, आणि मग पुन्हा 72 मिनिटांनी.

  • सोपे : एक दिवा दर 8 सेकंदांनी आणि दुसरा दर 12 सेकंदांनी लुकलुकतो. दोन्ही एकदम सुरू झाले, तर पुन्हा एकत्र 8 आणि 12 चा ल.सा.वि. 24 सेकंदांनी लुकलुकतील.
  • मध्यम : तीन बसेस दर 12, 20 आणि 30 मिनिटांनी सुटतात. सकाळी 6 वाजता तिन्ही एकत्र सुटल्या. ल.सा.वि. = 60 मिनिटे, म्हणून पुन्हा एकत्र 7 वाजता सुटतील.
  • परीक्षेसाठी : तीन घंटा दर 9, 15 आणि 18 मिनिटांनी वाजतात. दुपारी 12 वाजता तिन्ही एकत्र वाजल्या. 9 = 3 × 3; 15 = 3 × 5; 18 = 2 × 3 × 3; ल.सा.वि. = 2 × 3 × 3 × 5 = 90 मिनिटे. म्हणून पुन्हा 90 मिनिटांनी (1 तास 30 मिनिटांनी), म्हणजे दुपारी 1 वाजून 30 मिनिटांनी, एकत्र वाजतील.
Live आकृती

म.सा.वि. आणि ल.सा.वि. चे उपयोग

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम ३ : प्रत्येक वेळी सारखी बाकी उरणारी सर्वांत लहान संख्या → ल.सा.वि. + बाकी — भाजकांचा ल.सा.वि. काढा आणि त्यात ती बाकी मिळवा. (बाकी प्रत्येक भाजकापेक्षा लहान असावी.)

  • सोपे : 6 आणि 9 ने भागल्यावर प्रत्येक वेळी 1 उरते. ल.सा.वि. = 18, म्हणून संख्या = 18 + 1 = 19. तपासा : 19 = 6 × 3 + 1 आणि 19 = 9 × 2 + 1.
  • मध्यम : 7, 8 आणि 14 ने भागल्यावर प्रत्येक वेळी 4 उरते. ल.सा.वि. = 56, म्हणून संख्या = 56 + 4 = 60.
  • परीक्षेसाठी : 6 आणि 10 ने भागल्यावर प्रत्येक वेळी 2 उरते आणि संख्या 40 पेक्षा मोठी आहे. ल.सा.वि. = 30. 30 + 2 = 32 (40 पेक्षा लहान), 60 + 2 = 62 (40 पेक्षा मोठी), म्हणून सर्वांत लहान संख्या 62.

नियम ४ : अपूर्णांकांत उपयोग — अपूर्णांक मिळवताना छेदांचा ल.सा.वि. समान छेद म्हणून वापरा. अपूर्णांक सोपा करताना अंश आणि छेद यांच्या म.सा.वि. ने दोन्हींना भागा.

  • सोपे : 14 + 16 → 4 आणि 6 चा ल.सा.वि. 12; 14 = 312 आणि 16 = 212; बेरीज = 312 + 212 = 512.
  • मध्यम : 310 + 215 → ल.सा.वि. 30; 310 = 930 आणि 215 = 430; बेरीज = 930 + 430 = 1330.
  • परीक्षेसाठी : 84126 सोपा करा → 84 आणि 126 चा म.सा.वि. 42; 84 ÷ 42 = 2 आणि 126 ÷ 42 = 3, म्हणून 84126 = 23.
लक्षात ठेवा

"सर्वांत मोठा", "कापणे", "वाटणे", "रांगा" असे शब्द दिसले तर म.सा.वि.; "पुन्हा एकत्र", "एकाच वेळी", "सर्वांनी भाग जाणारी सर्वांत लहान संख्या" असे शब्द दिसले तर ल.सा.वि.

सामान्य चूक

"बाकी उरते" असलेल्या प्रश्नात फक्त ल.सा.वि. लिहून थांबणे. 6 आणि 9 ने भागल्यावर 1 उरते : उत्तर 18 नाही, 18 + 1 = 19.

शॉर्टकट

उत्तराची खात्री करा : उत्तर दिलेल्या संख्यांपेक्षा लहान किंवा तेवढे असायला हवे असेल तर म.सा.वि.; मोठे किंवा तेवढे असायला हवे असेल तर ल.सा.वि.

फरक ओळखा

प्रश्नातील शब्दकाय वापरालउदाहरण
सर्वांत मोठे समान तुकडेम.सा.वि.20 मी आणि 30 मी फिती → तुकडा 10 मी
पुन्हा एकत्र येणेल.सा.वि.8 आणि 12 सेकंद → 24 सेकंद
सारखी बाकी उरणारी सर्वांत लहान संख्याल.सा.वि. + बाकी6 आणि 9, बाकी 1 → 19
अपूर्णांक सोपा करणेअंश आणि छेद यांचा म.सा.वि.84 आणि 126 → 42

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 136 मीटर आणि 54 मीटर लांबीच्या दोन दोऱ्यांचे समान लांबीचे सर्वांत लांब तुकडे कापायचे आहेत. तुकड्याची लांबी किती?
  2. 2दोन दिवे दर 6 आणि 15 सेकंदांनी लुकलुकतात. एकदम सुरू झाले तर पुन्हा एकत्र किती सेकंदांनी लुकलुकतील?
  3. 316 + 19 = ?
मध्यम
  1. 44560 सोपा करा.
  2. 510, 15 आणि 25 ने भागल्यावर प्रत्येक वेळी 6 उरते अशी सर्वांत लहान संख्या कोणती?
  3. 6तीन मित्र अनुक्रमे दर 4, 6 आणि 10 दिवसांनी वाचनालयात जातात. आज तिघेही तिथे एकत्र होते. ते सर्व पुन्हा किती दिवसांनी तिथे एकत्र येतील, आणि तोपर्यंत प्रत्येक मित्राने किती वेळा वाचनालयाला भेट दिली असेल?
आव्हानात्मक
  1. 7एका शाळेत 120 मुले आणि 168 मुली आहेत. शक्य तितके जास्त गट करायचे आहेत; प्रत्येक गटात मुलांची संख्या सर्व गटांत सारखी आणि मुलींची संख्या सर्व गटांत सारखी असावी. किती गट होतील आणि प्रत्येक गटात किती मुले व किती मुली?
  2. 8दोन बसेस सकाळी 7 वाजता एकत्र सुटतात. एक दर 14 मिनिटांनी आणि दुसरी दर 35 मिनिटांनी सुटते. त्या पुन्हा एकत्र किती वाजता सुटतील?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 136 = 2 × 2 × 3 × 3 आणि 54 = 2 × 3 × 3 × 3; सामाईक 2, 3, 3; म.सा.वि. = 2 × 3 × 3 = 18; तुकड्याची लांबी 18 मीटर. 2) 6 = 2 × 3 आणि 15 = 3 × 5; ल.सा.वि. = 2 × 3 × 5 = 30 सेकंद. 3) 6 आणि 9 चा ल.सा.वि. 18; 16 = 318 आणि 19 = 218; बेरीज = 318 + 218 = 518.
  2. 445 आणि 60 चा म.सा.वि. 15; 45 ÷ 15 = 3 आणि 60 ÷ 15 = 4; म्हणून 4560 = 34. 5) 10, 15 आणि 25 चा ल.सा.वि. 150; 150 + 6 = 156. 6) 4, 6 आणि 10 चा ल.सा.वि. 60; म्हणजे 60 दिवसांनी ते तिघे एकत्र येतील; भेटी 60 ÷ 4 = 15, 60 ÷ 6 = 10 आणि 60 ÷ 10 = 6.
  3. 7120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 आणि 168 = 2 × 2 × 2 × 3 × 7; म.सा.वि. = 2 × 2 × 2 × 3 = 24, म्हणून 24 गट. प्रत्येक गटात 120 ÷ 24 = 5 मुले आणि 168 ÷ 24 = 7 मुली.
  4. 814 = 2 × 7 आणि 35 = 5 × 7; ल.सा.वि. = 2 × 5 × 7 = 70 मिनिटे, म्हणजे 1 तास 10 मिनिटे. म्हणून त्या पुन्हा एकत्र 8 वाजून 10 मिनिटांनी सुटतील.