धडा ६: घातांक

वर्ग आणि घन : घातांक 2 असेल तर त्या घाताला वर्ग म्हणतात (7² = 49) आणि घातांक 3 असेल तर घन म्हणतात (4³ = 64).

शून्य आणि ऋण घातांक : शून्येतर कोणत्याही संख्येचा 0 वा घात 1 असतो (9⁰ = 1). ऋण घातांक म्हणजे उलटी संख्या आणि तोच घातांक धन : 10⁻² = 110² = 1100.

आकृतीत : पिवळे गोळे 2 हा आधार पाच वेळा दाखवतात आणि खाली निळा अंक 5 हा घातांक आहे. म्हणून 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.

नियम १ : आधार आणि घातांक ओळखणे — खाली मोठी संख्या म्हणजे आधार आणि वर लहान संख्या म्हणजे घातांक. आधार तोच घ्यायचा आणि घातांक जितका असेल तितक्या वेळा तो गुणायचा.

• सोपे : 6⁵ = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 7776. आधार 6 आहे आणि घातांक 5 आहे.
• मध्यम : 12³ = 12 × 12 × 12 = 1728. आधार 12, घातांक 3.
• परीक्षेसाठी : 108 ला मूळ अवयवांत मांडा : 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2² × 3³. प्रत्येक वेगळ्या आधाराचा स्वतःचा घातांक असतो.

नियम २ : वर्ग आणि घन — घातांक 2 असेल तर संख्या स्वतःने एकदा गुणा; घातांक 3 असेल तर संख्या तीन वेळा लिहून गुणा.

• सोपे : 13² = 13 × 13 = 169.
• मध्यम : 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
• परीक्षेसाठी : 20 सेमी बाजू असलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ 20² = 400 चौसेमी आणि 20 सेमी कडा असलेल्या घनाचे घनफळ 20³ = 8000 घनसेमी.

नियम ३ : ऋण संख्येचा घात — घातांक सम असेल तर उत्तर धन येते आणि घातांक विषम असेल तर उत्तर ऋण येते.

• सोपे : (−3)² = (−3) × (−3) = 9.
• मध्यम : (−2)⁵ = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = −32. घातांक 5 विषम आहे म्हणून उत्तर ऋण आहे.
• परीक्षेसाठी : (−1)²⁵ + (−1)⁴⁰ = (−1) + 1 = 0. (−1) चा विषम घात −1 आणि सम घात 1 असतो.

आकृतीत : 10³ = 1000 पासून सुरू करा. प्रत्येक पायरी खाली उतरताना 10 ने भागा आणि घातांक 1 ने कमी होतो : 10² = 100, 10¹ = 10, 10⁰ = 1, मग 10⁻¹ = 110 आणि 10⁻² = 1100.

नियम ४ : शून्य घातांक — शून्येतर कोणत्याही संख्येचा 0 वा घात 1 असतो, कारण संख्या स्वतःने भागली की 1 मिळते.

• सोपे : 17⁰ = 1.
• मध्यम : 2⁶ ÷ 2⁶ = 64 ÷ 64 = 1. घातांक 6 − 6 = 0 आहे, म्हणून 2⁰ = 1.
• परीक्षेसाठी : 7⁰ + 9⁰ − 4⁰ = 1 + 1 − 1 = 1.

नियम ५ : ऋण घातांक — घातांक ऋण असेल तर आधाराचा उलटा (1 ÷ आधार) घ्या आणि घातांक धन करा.

• सोपे : 10⁻³ = 110³ = 11000.
• मध्यम : 4⁻² = 14² = 116.
• परीक्षेसाठी : 12⁻⁵ = 2⁵ = 32. छेदातील ऋण घातांक अंशात गेला की धन होतो.

नियम ६ : अपूर्णांकाचा ऋण घातांक — अपूर्णांकाचा घातांक ऋण असेल तर अपूर्णांक उलटा करा (अंश आणि छेद अदलाबदल) आणि घातांक धन करा.

• सोपे : (23)⁻¹ = 32.
• मध्यम : (34)⁻² = (43)² = 169.
• परीक्षेसाठी : 5⁻² = 125 आणि (15)² = 125. दोन्ही सारखेच येतात, म्हणजे 5 चा उलटा 15 घेऊन घातांक धन करणे बरोबर आहे.

फरक ओळखा

आकृतीत : 4 चे 3 गोळे आणि 4 चे 2 गोळे एकत्र केले की 3 + 2 = 5 गोळे होतात. म्हणून 4³ × 4² = 4⁵.

नियम १ : गुणाकार (आधार सारखा) — आधार तोच ठेवा आणि घातांकांची बेरीज करा.

• सोपे : 4³ × 4² = 4^{3 + 2} = 4⁵ = 1024.
• मध्यम : (−2)³ × (−2)⁴ = (−2)^{3 + 4} = (−2)⁷ = −128.
• परीक्षेसाठी : 4² × 2³ मध्ये आधार वेगळे आहेत. 4 = 2², म्हणून 4² = 2⁴ आणि 2⁴ × 2³ = 2⁷ = 128.

आकृतीत : वर 5 चे 5 गोळे आणि खाली 5 चे 2 गोळे आहेत. 2 जोड्या उडून जातात आणि 3 गोळे उरतात. म्हणून 5⁵ ÷ 5² = 5^{5 − 2} = 5³.

नियम २ : भागाकार (आधार सारखा) — आधार तोच ठेवा आणि भाज्याच्या घातांकातून भाजकाचा घातांक वजा करा.

• सोपे : 5⁵ ÷ 5² = 5^{5 − 2} = 5³ = 125.
• मध्यम : 7³ ÷ 7⁵ = 7^{3 − 5} = 7⁻² = 149. भाजकाचा घातांक मोठा असेल तर उत्तर ऋण घातांकात येते.
• परीक्षेसाठी : (−3)⁷ ÷ (−3)⁴ = (−3)^{7 − 4} = (−3)³ = −27.

नियम ३ : ऋण घातांकासह गुणाकार आणि भागाकार — नियम तोच राहतो; फक्त घातांकांची बेरीज किंवा वजाबाकी करताना चिन्हे सांभाळा.

• सोपे : 2⁻³ × 2⁵ = 2^{−3 + 5} = 2² = 4.
• मध्यम : 2⁻² × 2⁻³ = 2⁻⁵ = 132.
• परीक्षेसाठी : 3² ÷ 3⁻³ = 3^{2 − (−3)} = 3⁵ = 243.

फरक ओळखा

आकृतीत : 2³ चे असे 3 गट आहेत आणि प्रत्येक गटात 2 तीन वेळा आहे. एकूण 3 × 3 = 9 वेळा 2 येतो. म्हणून (2³)³ = 2⁹.

नियम १ : घाताचा घात — आधार तोच ठेवा आणि घातांक एकमेकांनी गुणा.

• सोपे : (3²)⁴ = 3^{2 × 4} = 3⁸ = 6561.
• मध्यम : (5⁻²)³ = 5^{−2 × 3} = 5⁻⁶ = 115625.
• परीक्षेसाठी : (3²)³ × 3⁻⁴ = 3⁶ × 3⁻⁴ = 3² = 9.

आकृतीत : (2 × 5) तीन वेळा लिहिले आहे. सर्व 2 एकत्र आणि सर्व 5 एकत्र केले की 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1000 मिळते. म्हणून (2 × 5)³ = 2³ × 5³.

नियम २ : गुणाकाराचा घात — गुणाकारातील प्रत्येक अवयवाला तो घात द्या आणि मग गुणा.

• सोपे : (2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1000.
• मध्यम : (5 × 4)² = 5² × 4² = 25 × 16 = 400.
• परीक्षेसाठी : घातांक सारखे असतील तर आधार आधी गुणता येतात : 2⁴ × 5⁴ = (2 × 5)⁴ = 10⁴ = 10000.

नियम ३ : भागाकाराचा घात — अंश आणि छेद या दोघांनाही तो घात द्या.

• सोपे : (34)² = 3 × 34 × 4 = 916.
• मध्यम : (25)³ = 2 × 2 × 25 × 5 × 5 = 8125.
• परीक्षेसाठी : (96)² दोन प्रकारे : आधी 96 = 32 करून (32)² = 94; किंवा थेट 8136 = 94 (दोन्हींना 9 ने भागा).

नियम ४ : ऋण घातांक धन करून लिहिणे — ऋण घातांक आला की आधाराचा उलटा घ्या आणि घातांक धन करा. हा नियम घात, गुणाकार आणि अपूर्णांक या सर्वांना लागू आहे.

• सोपे : (37)⁻² = (73)² = 499.
• मध्यम : (3 × 5)⁻² = 15⁻² = 115² = 1225.
• परीक्षेसाठी : ऋण घातांक धन घातांकाच्या रूपात लिहा : 2⁻⁶ = 12⁶ = 164.

फरक ओळखा

आकृतीत : 4700000 मध्ये दशांश बिंदू 6 जागा डावीकडे सरकवला की 4.7 मिळते, म्हणून 4700000 = 4.7 × 10⁶. 0.00032 मध्ये दशांश बिंदू 4 जागा उजवीकडे सरकवला की 3.2 मिळते, म्हणून 0.00032 = 3.2 × 10⁻⁴. लाल ठिपका खरा बिंदू आहे आणि जांभळी कडी नवीन जागा दाखवते.

नियम १ : मोठी संख्या प्रमाणित रूपात — बिंदू डावीकडे जितक्या जागा सरकवला तितका 10 चा धन घातांक.

• सोपे : 4700000 = 4.7 × 10⁶ (बिंदू 6 जागा डावीकडे).
• मध्यम : 150000000 = 1.5 × 10⁸ (बिंदू 8 जागा डावीकडे).
• परीक्षेसाठी : 36000000 = 3.6 × 10⁷ (बिंदू 7 जागा डावीकडे).

नियम २ : प्रमाणित रूपातून साधी संख्या — 10 च्या घातांकाइतक्या जागा बिंदू उजवीकडे सरकवा; रिकाम्या जागी शून्य भरा.

• सोपे : 5.2 × 10⁴ = 52000.
• मध्यम : 8.03 × 10⁵ = 803000.
• परीक्षेसाठी : 2.5 × 10⁷ = 25000000.

नियम ३ : लहान संख्या प्रमाणित रूपात — बिंदू उजवीकडे जितक्या जागा सरकवला तितका 10 चा ऋण घातांक.

• सोपे : 0.0004 = 4 × 10⁻⁴ (बिंदू 4 जागा उजवीकडे).
• मध्यम : 0.00032 = 3.2 × 10⁻⁴ (बिंदू 4 जागा उजवीकडे).
• परीक्षेसाठी : 0.0000025 = 2.5 × 10⁻⁶ (बिंदू 6 जागा उजवीकडे).

नियम ४ : प्रमाणित रूपातील संख्यांची तुलना — आधी 10 चा घातांक पाहा; तो मोठा असेल ती संख्या मोठी. घातांक सारखे असतील तर पहिल्या भागांची तुलना करा.

• सोपे : 6 × 10⁵ आणि 2 × 10⁷ : घातांक 7 मोठा आहे, म्हणून 2 × 10⁷ मोठी.
• मध्यम : 4.8 × 10⁶ आणि 3.9 × 10⁶ : घातांक सारखे आहेत आणि 4.8 > 3.9, म्हणून 4.8 × 10⁶ मोठी.
• परीक्षेसाठी : 5 × 10⁻³ आणि 2 × 10⁻⁵ : −3 हा −5 पेक्षा मोठा आहे, म्हणून 5 × 10⁻³ (म्हणजे 0.005) मोठी; दुसरी संख्या 0.00002 आहे.

फरक ओळखा

आकृतीत : 11 × 11 = 121 टाइल्सचा चौरस आहे. त्याची बाजू 11 आहे, म्हणून √121 = 11.

नियम १ : वर्ग आणि वर्गमूळ — ज्या संख्येचा वर्ग दिलेली संख्या असतो ती तिचे वर्गमूळ. प्रत्येक धन पूर्ण वर्गाला दोन मुळे असतात, एक धन आणि एक ऋण; √ हे चिन्ह फक्त धन मूळ दाखवते.

• सोपे : 13² = 169, म्हणून √169 = 13.
• मध्यम : 13 × 13 = 169 आणि (−13) × (−13) = 169. म्हणून 169 ची मुळे +13 आणि −13 आहेत.
• परीक्षेसाठी : 16² = 256, म्हणून √256 = 16 आणि 256 ची मुळे ±16 आहेत.

आकृतीत : 196 ला मूळ संख्यांनी भागत गेल्यावर 2, 2, 7, 7 मिळतात आणि भागाकार क्रमाने 98, 49, 7, 1 येतात. समान अवयवांच्या दोन जोड्या होतात आणि प्रत्येक जोडीतून एक अवयव घेतला की 2 × 7 = 14 मिळते. म्हणून √196 = 14.

नियम २ : मूळ अवयव पद्धत — संख्या मूळ अवयवांत मांडा, समान अवयवांच्या जोड्या करा आणि प्रत्येक जोडीतून एक अवयव घेऊन ते गुणा.

• सोपे : 196 = 2 × 2 × 7 × 7, म्हणून √196 = 2 × 7 = 14.
• मध्यम : 576 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2⁶ × 3². 2 च्या 3 जोड्या आणि 3 ची 1 जोडी आहे. म्हणून √576 = 2 × 2 × 2 × 3 = 24.
• परीक्षेसाठी : 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7. 7 ला जोडी नाही, म्हणून 252 पूर्ण वर्ग नाही. जोडी पूर्ण करण्यासाठी 7 ने गुणा : 252 × 7 = 1764 = 42², म्हणून √1764 = 42.

आकृतीत : वरच्या रेषेवर 36, 40, 49 आणि खालच्या रेषेवर त्यांची वर्गमुळे 6, √40, 7 आहेत (6² = 36 आणि 7² = 49). 40 हे 36 आणि 49 यांच्या मध्ये आहे, म्हणून √40 हे 6 आणि 7 यांच्या मध्ये आहे.

नियम ३ : पूर्ण वर्ग नसलेल्या संख्येचे वर्गमूळ — दिलेल्या संख्येच्या दोन्ही बाजूंचे जवळचे पूर्ण वर्ग शोधा. वर्गमूळ त्यांच्या वर्गमुळांच्या मध्ये असते.

• सोपे : 36 < 40 < 49, म्हणून 6 < √40 < 7.
• मध्यम : 6.3² = 39.69 आणि 6.4² = 40.96. 40 हे 39.69 आणि 40.96 यांच्या मध्ये आहे, म्हणून √40 हे 6.3 आणि 6.4 यांच्या मध्ये आहे.
• परीक्षेसाठी : 81 < 90 < 100, म्हणून 9 < √90 < 10.

आकृतीत : 5476 च्या उजवीकडून अंकांच्या जोड्या करा : 54 आणि 76. 54 पेक्षा लहान जवळचा वर्ग 49 आहे (7 × 7 = 49), म्हणून पहिला अंक 7. बाकी 5 उरते आणि 76 उतरवून 576 होते. भाजक 7 × 2 = 14 आहे; 144 × 4 = 576 आणि बाकी 0. म्हणून √5476 = 74.

नियम ४ : भागाकार पद्धत — अंकांच्या जोड्या करा, पहिल्या जोडीजवळचा वर्ग घ्या, बाकीला पुढची जोडी उतरवा आणि भाजक दुप्पट करून पुढचा अंक शोधा. दशांश संख्येत बिंदूच्या दोन्ही बाजूंनी जोड्या करा.

• सोपे : √5476 = 74 (वरील आकृतीप्रमाणे). तपासा : 74 × 74 = 5476.
• मध्यम : √70.56 : जोड्या 70 आणि 56 (बिंदूनंतर). 8 × 8 = 64, बाकी 6, खाली 56 उतरवून 656. भाजक 8 × 2 = 16 आहे; 164 × 4 = 656 आणि बाकी 0. म्हणून √70.56 = 8.4.
• परीक्षेसाठी : √1521 : जोड्या 15 आणि 21. 3 × 3 = 9, बाकी 6, खाली 21 उतरवून 621. भाजक 3 × 2 = 6 आहे; 69 × 9 = 621 आणि बाकी 0. म्हणून √1521 = 39.

फरक ओळखा