K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 7 · गणित

धडा १३: पायथागोरसचा सिद्धांत

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

कर्ण आणि पायथागोरसचा सिद्धांत

रोजच्या जीवनातून

सुतार खोलीचा कोपरा खरोखर काटकोनात आहे का ते तपासताना एका भिंतीवर 60 सेमी, दुसऱ्या भिंतीवर 80 सेमी मोजतो आणि दोन खुणांमधले तिरके अंतर पाहतो. ते 100 सेमी आले तर कोपरा काटकोनात आहे. हा काटकोन त्रिकोणातील बाजूंचा एक खास संबंध आहे.

सोपी व्याख्या

काटकोन त्रिकोणात काटकोनासमोरच्या बाजूला कर्ण म्हणतात; ती सर्वांत लांब बाजू असते. पायथागोरसचा सिद्धांत : (कर्ण)² = (एक बाजू)² + (दुसरी बाजू)². येथे बाजू म्हणजे काटकोन करणाऱ्या दोन बाजू.

861086108610

आकृतीत : एकच त्रिकोण तीन प्रकारे ठेवला आहे. बाजू 6 आणि 8 काटकोन करतात. त्रिकोण कोणत्याही दिशेला ठेवला तरी काटकोनासमोरची बाजू 10 कर्ण असते.

नियम १ : कर्ण काटकोनासमोरची आणि सर्वांत लांब बाजू असते — काटकोन कोणत्या कोपऱ्यात आहे ते पाहा. त्याच्यासमोरची बाजू कर्ण. कर्ण नेहमी इतर दोन्ही बाजूंपेक्षा लांब असतो.

  • सोपे : काटकोन त्रिकोणाच्या बाजू 6 सेमी, 8 सेमी आणि 10 सेमी आहेत. सर्वांत लांब बाजू 10 आहे, म्हणून कर्ण 10 सेमी.
  • मध्यम : काटकोन त्रिकोणाच्या तीन बाजू 20, 21 आणि 29 आहेत. सर्वांत लांब 29, म्हणून कर्ण 29.
  • परीक्षेसाठी : कर्ण 50 सेमी आणि एक बाजू 14 सेमी आहे. दुसरी बाजू 50 पेक्षा लहानच असणार, म्हणून ती 52 असू शकत नाही.
8610643610036 + 64 = 100

आकृतीत : काटकोन करणाऱ्या बाजू 6 आणि 8 आहेत; कर्ण 10. 6 बाजूच्या चौरसात 36 लहान चौरस, 8 बाजूच्या चौरसात 64 आणि कर्णावरच्या चौरसाचे क्षेत्रफळ 100. म्हणून 36 + 64 = 100.

नियम २ : कर्णाचा वर्ग = दोन्ही बाजूंच्या वर्गांची बेरीज — दोन्ही बाजूंचे वर्ग वेगवेगळे काढा आणि जोडा. ती बेरीज कर्णाच्या वर्गाइतकी येते.

  • सोपे : बाजू 6 आणि 8, कर्ण 10. 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10².
  • मध्यम : बाजू 15 आणि 20, कर्ण 25. 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25².
  • परीक्षेसाठी : बाजू 0.6 आणि 0.8, कर्ण 1. 0.6² + 0.8² = 0.36 + 0.64 = 1 = 1².
1001424366414100 + 4 × 24 = 19636 + 64 + 4 × 24 = 196100 = 36 + 64

आकृतीत : 6, 8, 10 बाजूंचे 4 समान त्रिकोण 14 बाजूच्या चौरसात दोन प्रकारे ठेवले. प्रत्येक त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 24. पहिल्या मांडणीत मधला चौरस 100, म्हणून 100 + 4 × 24 = 196. दुसऱ्या मांडणीत 36 आणि 64 चे चौरस, म्हणून 36 + 64 + 4 × 24 = 196. दोन्ही 196 आहेत, म्हणून 100 = 36 + 64.

नियम ३ : सिद्धांत क्षेत्रफळ मोजून पडताळा — मोठ्या चौरसाची बाजू दोन काटकोन बाजूंची बेरीज असते. त्यातून चार त्रिकोण वजा केले तर उरलेले क्षेत्रफळ दोन प्रकारे मांडता येते; म्हणून चौरस जुळतात.

  • सोपे : मोठ्या चौरसाची बाजू 6 + 8 = 14. क्षेत्रफळ 14 × 14 = 196.
  • मध्यम : एका त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ ½ × 6 × 8 = 24. चार त्रिकोणांचे 4 × 24 = 96.
  • परीक्षेसाठी : पहिली मांडणी 100 + 96 = 196. दुसरी मांडणी 36 + 64 + 96 = 196. म्हणून कर्णावरचा चौरस 100 हा 36 + 64 इतका आहे.
Live आकृती

कर्ण आणि पायथागोरसचा सिद्धांत

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

हा सिद्धांत फक्त काटकोन त्रिकोणातच चालतो. कर्ण हा काटकोनासमोरचा, सर्वांत लांब असतो.

सामान्य चूक

वर्ग न करता बाजू जोडणे. 6 + 8 = 14, पण कर्ण 10 आहे. बरोबर : 6² + 8² = 100, म्हणून कर्ण 10.

शॉर्टकट

तीन बाजूंवरचे चौरस डोळ्यांसमोर आणा : दोन लहान चौरस मिळून मोठा चौरस होतो. आकृतीत 36 + 64 = 100.

फरक ओळखा

मुद्दाकर्णकाटकोन करणारी बाजू
जागाकाटकोनासमोरकाटकोनाला लागून
लांबीसर्वांत लांबकर्णापेक्षा लहान
आकृतीत 6, 8, 10 साठी चौरसाचे क्षेत्रफळ10036 आणि 64
सूत्रात(कर्ण)² एका बाजूलादोन वर्गांची बेरीज करायची

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1काटकोन त्रिकोणाच्या बाजू 6 सेमी, 8 सेमी आणि 10 सेमी आहेत. कर्ण कोणता?
  2. 2काटकोन त्रिकोणाच्या तीन बाजू 30, 40 आणि 50 आहेत. कर्ण कोणता?
  3. 3बाजू 6 आणि 8, कर्ण 10 घेऊन 6² + 8² आणि 10² यांची किंमत काढा आणि सिद्धांत पडताळा.
मध्यम
  1. 4काटकोन करणाऱ्या बाजू 18 आणि 24 आहेत आणि कर्ण 30 आहे. सिद्धांत बरोबर आहे हे दाखवा.
  2. 5कर्णावरच्या चौरसाचे क्षेत्रफळ 100 आणि एका बाजूवरच्या चौरसाचे 36 आहे. दुसऱ्या बाजूवरच्या चौरसाचे क्षेत्रफळ आणि त्या बाजूची लांबी काढा.
  3. 6रीता म्हणते, "बाजू 6 आणि 8 असतील तर कर्ण 6 + 8 = 14." तिची चूक सांगा आणि बरोबर कर्ण काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7काटकोन त्रिकोणाच्या दोन बाजूंवरच्या चौरसांचे क्षेत्रफळ 225 आणि 400 आहे. कर्णावरच्या चौरसाचे क्षेत्रफळ आणि कर्ण किती?
  2. 814 बाजूच्या चौरसात काटकोन बाजू 6 आणि 8 असलेले चार त्रिकोण (प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ 24) असे ठेवले की मधला भाग चौरस झाला. मधल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1सर्वांत लांब बाजू 10, म्हणून कर्ण 10 सेमी. 2) सर्वांत लांब बाजू 50, म्हणून कर्ण 50. 3) 6² + 8² = 36 + 64 = 100 आणि 10² = 100; दोन्ही सारखे.
  2. 418² + 24² = 324 + 576 = 900 आणि 30² = 900; म्हणून (कर्ण)² = बेरीज.
  3. 5100 − 36 = 64 हे दुसऱ्या चौरसाचे क्षेत्रफळ; त्या बाजूची लांबी 8. 6) रीताने वर्ग घेतले नाहीत. बरोबर : 6² + 8² = 36 + 64 = 100, म्हणून कर्ण 10; 14 नाही.
  4. 7225 + 400 = 625 हे कर्णावरच्या चौरसाचे क्षेत्रफळ; कर्ण 25.
  5. 8मोठा चौरस 14 × 14 = 196, चार त्रिकोण 4 × 24 = 96, म्हणून मधला चौरस 196 − 96 = 100.

कर्ण काढणे

रोजच्या जीवनातून

शेताच्या एका कोपऱ्यापासून समोरच्या कोपऱ्यापर्यंत सरळ तिरकस वाट करायची असेल तर तिची लांबी मोजावी लागते. शेत आयताकृती असेल तर लांबी आणि रुंदी माहीत असली की ही तिरकस लांबी सिद्धांताने काढता येते.

सोपी व्याख्या

काटकोन करणाऱ्या दोन बाजू माहीत असतील तर कर्ण काढायला : दोन्ही बाजूंचे वर्ग करा, वर्ग जोडा आणि बेरजेचे वर्गमूळ घ्या. वर्गमूळ म्हणजे जी संख्या स्वतःला गुणली की दिलेली संख्या येते.

2015?152 + 202= 225 + 400= 625√625 = 25

आकृतीत : काटकोन करणाऱ्या बाजू 15 आणि 20 आहेत. कर्णाचा वर्ग 15² + 20² = 225 + 400 = 625. कर्ण √625 = 25, कारण 25 × 25 = 625.

नियम १ : वर्ग करा, जोडा, वर्गमूळ घ्या — या तीन पायऱ्या क्रमाने करा. शेवटची पायरी वर्गमूळ घेण्याची आहे, ती विसरू नका.

  • सोपे : बाजू 15 सेमी आणि 20 सेमी. कर्णाचा वर्ग 15² + 20² = 225 + 400 = 625, म्हणून कर्ण √625 = 25 सेमी.
  • मध्यम : बाजू 20 सेमी आणि 21 सेमी. कर्णाचा वर्ग 20² + 21² = 400 + 441 = 841, म्हणून कर्ण √841 = 29 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : बाजू 24 सेमी आणि 70 सेमी. कर्णाचा वर्ग 24² + 70² = 576 + 4900 = 5476, म्हणून कर्ण √5476 = 74 सेमी.
22 + 52 = 4 + 25 = 2956√2952 = 2562 = 3625 < 29 < 365 < √29 < 6

आकृतीत : बाजू 2 आणि 5 घेतल्या. 2² + 5² = 4 + 25 = 29. 5² = 25 आणि 6² = 36; 25 < 29 < 36, म्हणून 5 < √29 < 6. वर्गमूळ दोन पूर्ण संख्यांमध्ये आहे.

नियम २ : बेरीज पूर्ण वर्ग नसेल तर वर्गमूळ दोन पूर्ण संख्यांमध्ये असते — बेरजेच्या दोन्ही बाजूंचे पूर्ण वर्ग शोधा. त्यांच्यामध्ये बेरीज येते, म्हणून वर्गमूळ त्यांच्या मुळांमध्ये येते.

  • सोपे : बाजू 2 आणि 5. 2² + 5² = 4 + 25 = 29. 25 < 29 < 36, म्हणून 5 < √29 < 6.
  • मध्यम : बाजू 4 आणि 7. 4² + 7² = 16 + 49 = 65. 64 < 65 < 81, म्हणून 8 < √65 < 9.
  • परीक्षेसाठी : बाजू 3 आणि 6. 3² + 6² = 9 + 36 = 45. 36 < 45 < 49, म्हणून 6 < √45 < 7.

नियम ३ : दोन्ही बाजू एकाच एककात आणा — एक बाजू सेमीमध्ये आणि दुसरी मीटरमध्ये असेल तर आधी दोन्ही सेमीमध्ये करा. मग वर्ग करा.

  • सोपे : बाजू 30 सेमी आणि 0.4 मी. 0.4 मी म्हणजे 40 सेमी. 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500, म्हणून कर्ण √2500 = 50 सेमी.
  • मध्यम : बाजू 80 सेमी आणि 0.6 मी. 0.6 मी म्हणजे 60 सेमी. 80² + 60² = 6400 + 3600 = 10000, म्हणून कर्ण √10000 = 100 सेमी, म्हणजे 1 मी.
  • परीक्षेसाठी : बाजू 1.5 मी आणि 200 सेमी. 1.5 मी म्हणजे 150 सेमी. 150² + 200² = 22500 + 40000 = 62500, म्हणून कर्ण √62500 = 250 सेमी, म्हणजे 2.5 मी.

नियम ४ : कर्ण काढल्यावर परिमिती आणि क्षेत्रफळ काढा — कर्ण मिळाला की तिन्ही बाजू माहीत होतात. परिमिती म्हणजे तिन्ही बाजूंची बेरीज. क्षेत्रफळ म्हणजे ½ × काटकोन बाजू × दुसरी काटकोन बाजू.

  • सोपे : बाजू 18 आणि 24. 18² + 24² = 324 + 576 = 900, कर्ण √900 = 30. परिमिती 18 + 24 + 30 = 72.
  • मध्यम : बाजू 16 आणि 30. 16² + 30² = 256 + 900 = 1156, कर्ण √1156 = 34. परिमिती 16 + 30 + 34 = 80.
  • परीक्षेसाठी : बाजू 14 आणि 48. 14² + 48² = 196 + 2304 = 2500, कर्ण √2500 = 50. परिमिती 14 + 48 + 50 = 112 आणि क्षेत्रफळ ½ × 14 × 48 = 336.
Live आकृती

कर्ण काढणे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

कर्ण नेहमी मोठ्या काटकोन बाजूपेक्षा मोठा आणि दोन बाजूंच्या बेरजेपेक्षा लहान असतो.

सामान्य चूक

वर्गमूळ घ्यायला विसरणे. 625 हा कर्णाचा वर्ग आहे; कर्ण 25 आहे, 625 नाही.

शॉर्टकट

उत्तर बरोबर वाटते का ते अंदाजाने पाहा : बाजू 15 आणि 20 असतील तर 15 + 20 = 35, म्हणून कर्ण 20 आणि 35 यांच्यामध्ये हवा. 25 तेथे येतो.

फरक ओळखा

मुद्दाबेरीज पूर्ण वर्गबेरीज पूर्ण वर्ग नाही
बाजू15 आणि 202 आणि 5
वर्गांची बेरीज62529
वर्गमूळ255 आणि 6 यांच्यामध्ये
तीन बाजू पूर्ण संख्या आहेत काहोयनाही

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1काटकोन करणाऱ्या बाजू 6 सेमी आणि 8 सेमी आहेत. कर्ण काढा.
  2. 2काटकोन करणाऱ्या बाजू 30 सेमी आणि 40 सेमी आहेत. कर्ण काढा.
  3. 3काटकोन करणाऱ्या बाजू 21 सेमी आणि 28 सेमी आहेत. कर्ण काढा.
मध्यम
  1. 4काटकोन करणाऱ्या बाजू 1.2 सेमी आणि 1.6 सेमी आहेत. कर्ण काढा.
  2. 5काटकोन करणाऱ्या बाजू 5 सेमी आणि 8 सेमी आहेत. कर्ण कोणत्या दोन पूर्ण संख्यांमध्ये आहे?
  3. 6काटकोन करणाऱ्या बाजू 60 सेमी आणि 0.8 मी आहेत. कर्ण सेमीमध्ये काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7काटकोन करणाऱ्या बाजू 36 सेमी आणि 48 सेमी आहेत. कर्ण आणि परिमिती काढा.
  2. 8काटकोन करणाऱ्या बाजू 20 सेमी आणि 99 सेमी आहेत. कर्ण आणि क्षेत्रफळ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 16² + 8² = 36 + 64 = 100, कर्ण √100 = 10 सेमी. 2) 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500, कर्ण √2500 = 50 सेमी. 3) 21² + 28² = 441 + 784 = 1225, कर्ण √1225 = 35 सेमी.
  2. 41.2² + 1.6² = 1.44 + 2.56 = 4, कर्ण √4 = 2 सेमी. 5) 5² + 8² = 25 + 64 = 89. 81 < 89 < 100, म्हणून 9 < √89 < 10. 6) 0.8 मी म्हणजे 80 सेमी. 60² + 80² = 3600 + 6400 = 10000, कर्ण √10000 = 100 सेमी.
  3. 736² + 48² = 1296 + 2304 = 3600, कर्ण √3600 = 60 सेमी. परिमिती 36 + 48 + 60 = 144 सेमी.
  4. 820² + 99² = 400 + 9801 = 10201, कर्ण √10201 = 101 सेमी. क्षेत्रफळ ½ × 20 × 99 = 990 चौ. सेमी.

काटकोन करणारी बाजू काढणे

रोजच्या जीवनातून

भिंतीला टेकलेली शिडी भिंतीवर किती उंचीपर्यंत पोहोचते हे मोजायचे असेल तर शिडीची लांबी आणि भिंतीपासून तिच्या पायाचे अंतर माहीत असते. शिडी ही कर्ण असते, म्हणून उंची सिद्धांताने काढता येते.

सोपी व्याख्या

कर्ण आणि एक काटकोन बाजू माहीत असेल तर दुसरी बाजू काढायला : कर्णाचा वर्ग करा, माहीत असलेल्या बाजूचा वर्ग त्यातून वजा करा आणि उत्तराचे वर्गमूळ घ्या. येथे वजाबाकी असते, बेरीज नाही.

30?50502 − 302= 2500 − 900= 1600√1600 = 40

आकृतीत : कर्ण 50 आणि एक बाजू 30 आहे. दुसरी बाजू काढायला 50² − 30² = 2500 − 900 = 1600. बाजू √1600 = 40, कारण 40 × 40 = 1600.

नियम १ : कर्णाच्या वर्गातून माहीत असलेल्या बाजूचा वर्ग वजा करा — कर्ण सर्वांत मोठा असतो, म्हणून त्याचा वर्ग नेहमी पहिला लिहा. मग वजाबाकी करून वर्गमूळ घ्या.

  • सोपे : कर्ण 50 सेमी आणि एक बाजू 30 सेमी. 50² − 30² = 2500 − 900 = 1600, म्हणून दुसरी बाजू √1600 = 40 सेमी.
  • मध्यम : कर्ण 85 सेमी आणि एक बाजू 13 सेमी. 85² − 13² = 7225 − 169 = 7056, म्हणून दुसरी बाजू √7056 = 84 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : कर्ण 73 सेमी आणि एक बाजू 55 सेमी. 73² − 55² = 5329 − 3025 = 2304, म्हणून दुसरी बाजू √2304 = 48 सेमी.

नियम २ : उत्तर बेरीज करून पडताळा — मिळालेल्या बाजूचा वर्ग आणि माहीत असलेल्या बाजूचा वर्ग जोडा. ती बेरीज कर्णाच्या वर्गाइतकी यायला हवी.

  • सोपे : बाजू 30 आणि 40 आहेत. 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500 = 50². कर्ण 50 आला, म्हणून उत्तर बरोबर.
  • मध्यम : कर्ण 97 आणि एक बाजू 65. 97² − 65² = 9409 − 4225 = 5184, बाजू √5184 = 72. पडताळा : 65² + 72² = 4225 + 5184 = 9409 = 97².
  • परीक्षेसाठी : कर्ण 45 आणि एक बाजू 27. 45² − 27² = 2025 − 729 = 1296, बाजू √1296 = 36. पडताळा : 27² + 36² = 729 + 1296 = 2025 = 45².
92 − 52 = 81 − 25 = 5678√5672 = 4982 = 6449 < 56 < 647 < √56 < 8

आकृतीत : कर्ण 9 आणि एक बाजू 5 आहे. 9² − 5² = 81 − 25 = 56. 7² = 49 आणि 8² = 64; 49 < 56 < 64, म्हणून 7 < √56 < 8.

नियम ३ : वजाबाकी पूर्ण वर्ग नसेल तेव्हा — उत्तर दोन पूर्ण संख्यांमध्ये येते. वजाबाकीच्या दोन्ही बाजूंचे पूर्ण वर्ग शोधा.

  • सोपे : कर्ण 9 आणि बाजू 5. 9² − 5² = 81 − 25 = 56. 49 < 56 < 64, म्हणून 7 < √56 < 8.
  • मध्यम : कर्ण 12 आणि बाजू 7. 12² − 7² = 144 − 49 = 95. 81 < 95 < 100, म्हणून 9 < √95 < 10.
  • परीक्षेसाठी : कर्ण 20 आणि बाजू 11. 20² − 11² = 400 − 121 = 279. 256 < 279 < 289, म्हणून 16 < √279 < 17.
Live आकृती

काटकोन करणारी बाजू काढणे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

कर्ण दिलेला असेल तर वजाबाकी करा आणि दोन्ही काटकोन बाजू दिल्या असतील तर बेरीज करा.

सामान्य चूक

कर्ण दिलेला असताना वर्ग जोडणे. 50² + 30² = 2500 + 900 = 3400 हे चूक आहे; बरोबर वजाबाकी 2500 − 900 = 1600.

शॉर्टकट

उत्तर कर्णापेक्षा लहान हवे. बाजू 40 हे 50 पेक्षा लहान आहे. तसेच 30 + 40 = 70 हे कर्ण 50 पेक्षा मोठे आहे.

फरक ओळखा

मुद्दाकर्ण काढणेबाजू काढणे
दिलेलेदोन काटकोन बाजूकर्ण आणि एक बाजू
वर्गांची क्रियाबेरीजवजाबाकी
आकृतीतील वर्ग6251600
उत्तरकर्ण 25बाजू 40

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1कर्ण 100 सेमी आणि एक बाजू 60 सेमी आहे. दुसरी बाजू काढा.
  2. 2कर्ण 37 सेमी आणि एक बाजू 35 सेमी आहे. दुसरी बाजू काढा.
  3. 3कर्ण 34 सेमी आणि एक बाजू 16 सेमी आहे. दुसरी बाजू काढा.
मध्यम
  1. 4कर्ण 2.5 सेमी आणि एक बाजू 1.5 सेमी आहे. दुसरी बाजू काढा.
  2. 5कर्ण 15 सेमी आणि एक बाजू 10 सेमी आहे. दुसरी बाजू कोणत्या दोन पूर्ण संख्यांमध्ये आहे?
  3. 6कर्ण 65 सेमी आणि एक बाजू 33 सेमी आहे. दुसरी बाजू काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7कर्ण 130 सेमी आणि एक बाजू 50 सेमी आहे. दुसरी बाजू, परिमिती आणि क्षेत्रफळ काढा.
  2. 8कर्ण 52 सेमी आणि एक बाजू 48 सेमी आहे. दुसरी बाजू आणि क्षेत्रफळ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1100² − 60² = 10000 − 3600 = 6400, बाजू √6400 = 80 सेमी. 2) 37² − 35² = 1369 − 1225 = 144, बाजू √144 = 12 सेमी. 3) 34² − 16² = 1156 − 256 = 900, बाजू √900 = 30 सेमी.
  2. 42.5² − 1.5² = 6.25 − 2.25 = 4, बाजू √4 = 2 सेमी. 5) 15² − 10² = 225 − 100 = 125. 121 < 125 < 144, म्हणून 11 < √125 < 12. 6) 65² − 33² = 4225 − 1089 = 3136, बाजू √3136 = 56 सेमी.
  3. 7130² − 50² = 16900 − 2500 = 14400, बाजू √14400 = 120 सेमी. परिमिती 50 + 120 + 130 = 300 सेमी. क्षेत्रफळ ½ × 50 × 120 = 3000 चौ. सेमी.
  4. 852² − 48² = 2704 − 2304 = 400, बाजू √400 = 20 सेमी. क्षेत्रफळ ½ × 20 × 48 = 480 चौ. सेमी.

पायथागोरस त्रिकूट

रोजच्या जीवनातून

कारागीर पाया आखताना काही ठरलेल्या मापांचे दोरे वापरतात, कारण त्यांच्या तीन लांबींनी बनलेला त्रिकोण नक्की काटकोनात असतो. अशा तीन पूर्ण संख्यांना पायथागोरस त्रिकूट म्हणतात.

सोपी व्याख्या

तीन नैसर्गिक संख्यांमध्ये सर्वांत मोठ्या संख्येचा वर्ग इतर दोघांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असेल तर त्या तिघांना पायथागोरस त्रिकूट म्हणतात. अशा तीन बाजू असलेला त्रिकोण काटकोन त्रिकोण असतो.

153639392 = 1521152 + 362 = 225 + 1296 = 15211521 = 1521 ✓

आकृतीत : संख्या 15, 36 आणि 39 आहेत. सर्वांत मोठी 39 आहे; तिचा वर्ग 39² = 1521. इतर दोघांचे 15² + 36² = 225 + 1296 = 1521. दोन्ही सारखे आहेत, म्हणून हे त्रिकूट आहे.

नियम १ : सर्वांत मोठ्या संख्येचा वर्ग आणि इतर दोघांच्या वर्गांची बेरीज तुलना करा — दोन्ही सारखे आले तर त्रिकूट. थोडाही फरक असेल तर नाही.

  • सोपे : (28, 45, 53). 28² + 45² = 784 + 2025 = 2809 आणि 53² = 2809. हे त्रिकूट आहे.
  • मध्यम : (39, 80, 89). 39² + 80² = 1521 + 6400 = 7921 आणि 89² = 7921. हे त्रिकूट आहे.
  • परीक्षेसाठी : (60, 91, 109). 60² + 91² = 3600 + 8281 = 11881 आणि 109² = 11881. हे त्रिकूट आहे.

नियम २ : संख्या कोणत्याही क्रमाने दिल्या तरी सर्वांत मोठी वेगळी काढा — प्रथम सर्वांत मोठी संख्या ठरवा. तिचा वर्ग एका बाजूला ठेवा. इतर दोघांचे वर्ग जोडून तुलना करा.

  • सोपे : (52, 20, 48). सर्वांत मोठी 52. 20² + 48² = 400 + 2304 = 2704 आणि 52² = 2704. त्रिकूट आहे.
  • मध्यम : (10, 6, 7). सर्वांत मोठी 10. 6² + 7² = 36 + 49 = 85, पण 10² = 100. त्रिकूट नाही.
  • परीक्षेसाठी : (65, 33, 56). सर्वांत मोठी 65. 33² + 56² = 1089 + 3136 = 4225 आणि 65² = 4225. त्रिकूट आहे.

नियम ३ : त्रिकुटाच्या तिन्ही संख्यांना एकाच संख्येने गुणले तरी त्रिकूट मिळते — सर्व वर्ग त्याच संख्येच्या वर्गाने गुणले जातात, म्हणून समानता तशीच राहते.

  • सोपे : (6, 8, 10) ला 3 ने गुणले : (18, 24, 30). 18² + 24² = 324 + 576 = 900 = 30².
  • मध्यम : (20, 21, 29) ला 2 ने गुणले : (40, 42, 58). 40² + 42² = 1600 + 1764 = 3364 = 58².
  • परीक्षेसाठी : (15, 20, 25) ला 4 ने गुणले : (60, 80, 100). 60² + 80² = 3600 + 6400 = 10000 = 100².
772 = 4949 − 1 = 482 × 7 = 1449 + 1 = 50(48, 14, 50)482 + 142 = 2304 + 196 = 2500 = 502

आकृतीत : संख्या 7 घेतली. 7² = 49. 49 − 1 = 48, 2 × 7 = 14 आणि 49 + 1 = 50. त्रिकूट (48, 14, 50). तपासणी : 48² + 14² = 2304 + 196 = 2500 = 50².

नियम ४ : कोणत्याही संख्येपासून त्रिकूट बनवा — 1 पेक्षा मोठी संख्या घ्या. तिचा वर्ग − 1, तिची दुप्पट आणि तिचा वर्ग + 1 ही तीन संख्या त्रिकूट असतात.

  • सोपे : संख्या 6. 36 − 1 = 35, 2 × 6 = 12, 36 + 1 = 37. त्रिकूट (35, 12, 37) आणि 35² + 12² = 1225 + 144 = 1369 = 37².
  • मध्यम : संख्या 8. 64 − 1 = 63, 2 × 8 = 16, 64 + 1 = 65. त्रिकूट (63, 16, 65) आणि 63² + 16² = 3969 + 256 = 4225 = 65².
  • परीक्षेसाठी : संख्या 9. 81 − 1 = 80, 2 × 9 = 18, 81 + 1 = 82. त्रिकूट (80, 18, 82) आणि 80² + 18² = 6400 + 324 = 6724 = 82².
Live आकृती

पायथागोरस त्रिकूट

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

त्रिकुटातील तिन्ही संख्या पूर्ण संख्या असतात. सर्वांत मोठीचा वर्ग इतर दोघांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो.

सामान्य चूक

बेरीज जवळची आली म्हणून त्रिकूट मानणे. (6, 7, 9) मध्ये 6² + 7² = 36 + 49 = 85 आणि 9² = 81. 85 आणि 81 वेगळे आहेत, म्हणून हे त्रिकूट नाही.

शॉर्टकट

एक त्रिकूट माहीत असेल तर त्याचे गुणाकार वापरा. (6, 8, 10) ला 5 ने गुणले : 6 × 5 = 30, 8 × 5 = 40, 10 × 5 = 50. आणि 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500 = 50².

फरक ओळखा

मुद्दात्रिकूटत्रिकूट नाही
उदाहरण15, 36, 396, 7, 9
सर्वांत मोठीचा वर्ग152181
इतर दोघांच्या वर्गांची बेरीज152185
निकालदोन्ही सारखेदोन्ही वेगळे

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1(21, 20, 29) हे पायथागोरस त्रिकूट आहे का?
  2. 2(12, 13, 17) हे पायथागोरस त्रिकूट आहे का?
  3. 3(30, 72, 78) हे पायथागोरस त्रिकूट आहे का?
मध्यम
  1. 4(15, 20, 26) हे पायथागोरस त्रिकूट आहे का?
  2. 5संख्या 10 पासून नियमाने त्रिकूट बनवा आणि तपासा.
  3. 6(6, 8, 10) च्या 7 पट संख्यांचे त्रिकूट लिहा आणि तपासा.
आव्हानात्मक
  1. 7त्रिकोणाच्या बाजू 12 सेमी, 35 सेमी आणि 37 सेमी आहेत. हा त्रिकोण काटकोन आहे का? असेल तर कोणत्या बाजूसमोर काटकोन?
  2. 8(6, 8, 10) च्या गुणाकाराने बनलेल्या त्रिकुटात सर्वांत मोठी संख्या 150 आहे. त्रिकूट लिहा आणि तपासा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1सर्वांत मोठी 29. 20² + 21² = 400 + 441 = 841 आणि 29² = 841; होय. 2) सर्वांत मोठी 17. 12² + 13² = 144 + 169 = 313 आणि 17² = 289; नाही. 3) सर्वांत मोठी 78. 30² + 72² = 900 + 5184 = 6084 आणि 78² = 6084; होय.
  2. 4सर्वांत मोठी 26. 15² + 20² = 225 + 400 = 625 आणि 26² = 676; नाही. 5) 100 − 1 = 99, 2 × 10 = 20, 100 + 1 = 101. 99² + 20² = 9801 + 400 = 10201 = 101²; त्रिकूट (99, 20, 101). 6) 6 × 7 = 42, 8 × 7 = 56, 10 × 7 = 70. 42² + 56² = 1764 + 3136 = 4900 = 70²; त्रिकूट (42, 56, 70).
  3. 7सर्वांत मोठी 37. 12² + 35² = 144 + 1225 = 1369 आणि 37² = 1369; होय, काटकोन त्रिकोण. काटकोन सर्वांत लांब बाजू 37 सेमी समोर असतो.
  4. 8150 ÷ 10 = 15, म्हणून गुणक 15. 6 × 15 = 90, 8 × 15 = 120 आणि 10 × 15 = 150. 90² + 120² = 8100 + 14400 = 22500 = 150²; त्रिकूट (90, 120, 150).

रोजच्या जीवनातील काटकोन त्रिकोण

रोजच्या जीवनातून

पडदा, कपाटाचा कोपरा, शिडी, खांबाचा तार आणि मैदानातली तिरकस वाट अशा अनेक ठिकाणी काटकोन त्रिकोण दडलेला असतो. त्यातील एक बाजू कर्ण असते, म्हणून सिद्धांताने न मोजता लांबी काढता येते.

सोपी व्याख्या

रोजच्या कामात प्रथम काटकोन त्रिकोण कुठे आहे ते शोधा. मग कर्ण कोणता ते ठरवा. दोन काटकोन बाजू दिल्या असतील तर वर्ग जोडा; कर्ण दिला असेल तर वर्ग वजा करा; शेवटी वर्गमूळ घ्या.

नियम १ : तीन बाजूंवरून त्रिकोण काटकोन आहे का ते तपासा — बाजू त्रिकूट असतील तर काटकोन त्रिकोण. सर्वांत मोठ्या बाजूचा वर्ग इतर दोघांच्या वर्गांच्या बेरजेशी तुलना करा.

  • सोपे : बाजू 20, 48 आणि 52. 20² + 48² = 400 + 2304 = 2704 = 52². काटकोन त्रिकोण आहे.
  • मध्यम : बाजू 14, 17 आणि 22. 14² + 17² = 196 + 289 = 485, पण 22² = 484. 485 आणि 484 वेगळे, म्हणून काटकोन त्रिकोण नाही.
  • परीक्षेसाठी : बाजू 1.2, 1.6 आणि 2. 1.2² + 1.6² = 1.44 + 2.56 = 4 = 2². काटकोन त्रिकोण आहे.
322440242 + 322= 576 + 1024= 1600√1600 = 40

आकृतीत : आयत 24 × 32 चा आहे. कर्ण आयताला दोन काटकोन त्रिकोणांत विभागतो. कर्णाचा वर्ग 24² + 32² = 576 + 1024 = 1600, म्हणून कर्ण √1600 = 40.

नियम २ : आयताचा आणि चौरसाचा कर्ण काढा — आयताची लांबी आणि रुंदी काटकोन करणाऱ्या बाजू असतात. कर्ण त्यांच्यासमोर येतो, म्हणून वर्ग जोडून वर्गमूळ घ्या.

  • सोपे : आयत 21 सेमी × 28 सेमी. 21² + 28² = 441 + 784 = 1225, कर्ण √1225 = 35 सेमी.
  • मध्यम : आयत 45 सेमी × 60 सेमी. 45² + 60² = 2025 + 3600 = 5625, कर्ण √5625 = 75 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : चौरसाची बाजू 10 सेमी. 10² + 10² = 100 + 100 = 200. 196 < 200 < 225, म्हणून 14 < √200 < 15; कर्ण सुमारे 14 सेमी पेक्षा थोडा जास्त.
2.566.56.52 − 2.52= 42.25 − 6.25= 36√36 = 6

आकृतीत : 6.5 मी लांब शिडी भिंतीला टेकली आहे आणि तिचा पायथा भिंतीपासून 2.5 मी दूर आहे. शिडी कर्ण आहे, म्हणून उंची काढायला 6.5² − 2.5² = 42.25 − 6.25 = 36. उंची √36 = 6 मी.

नियम ३ : शिडी, तार आणि खांब — भिंत किंवा खांब जमिनीला काटकोनात असतो. शिडी किंवा तार कर्ण असते. कर्ण दिला असेल तर बाजू काढायला वजाबाकी करा.

  • सोपे : शिडी 2.5 मी लांब आहे आणि पायथा भिंतीपासून 1.5 मी दूर आहे. 2.5² − 1.5² = 6.25 − 2.25 = 4, उंची √4 = 2 मी.
  • मध्यम : खांबाच्या टोकाला बांधलेला तार 65 मी लांब आहे आणि तो खांबापासून 25 मी दूर जमिनीला बांधला आहे. 65² − 25² = 4225 − 625 = 3600, खांबाची उंची √3600 = 60 मी.
  • परीक्षेसाठी : 12 मी आणि 28 मी उंचीचे दोन खांब सरळ उभे आहेत आणि त्यांच्यातील अंतर 30 मी आहे. उंचीतला फरक 28 − 12 = 16. टोकांमधले अंतर : 16² + 30² = 256 + 900 = 1156, √1156 = 34 मी.
217275212 + 722= 441 + 5184= 5625√5625 = 7521 + 72 = 93

आकृतीत : पूर्वेला 21 आणि मग उत्तरेला 72 चालले. सरळ अंतर : 21² + 72² = 441 + 5184 = 5625, म्हणून √5625 = 75. प्रत्यक्ष चाललेली वाट 21 + 72 = 93 आहे, म्हणजे सरळ अंतरापेक्षा 93 − 75 = 18 ने जास्त.

नियम ४ : दोन काटकोन दिशांना चालल्यावरचे सरळ अंतर — एका दिशेला आणि मग तिला काटकोनात चालल्यावर सुरुवातीपासूनचे सरळ अंतर कर्ण असते.

  • सोपे : 30 मी पूर्वेला आणि 40 मी उत्तरेला. 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500, सरळ अंतर √2500 = 50 मी. चाललेली वाट 30 + 40 = 70 मी, म्हणजे 20 मी जास्त.
  • मध्यम : 48 मी पश्चिमेला आणि 55 मी दक्षिणेला. 48² + 55² = 2304 + 3025 = 5329, सरळ अंतर √5329 = 73 मी.
  • परीक्षेसाठी : 0.7 किमी पूर्वेला आणि 2.4 किमी उत्तरेला. 0.7² + 2.4² = 0.49 + 5.76 = 6.25, सरळ अंतर √6.25 = 2.5 किमी.
Live आकृती

रोजच्या जीवनातील काटकोन त्रिकोण

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

भिंत किंवा खांब जमिनीला काटकोनात आहे असे गृहीत धरले की कर्ण शिडी किंवा तार असतो. उंची नेहमी कर्णापेक्षा लहान असते.

सामान्य चूक

शिडी दिलेली असताना वर्ग जोडणे. 6.5² + 2.5² = 42.25 + 6.25 = 48.5 हे चूक आहे; बरोबर वजाबाकी 42.25 − 6.25 = 36.

शॉर्टकट

उत्तर पडताळायला पाहा : उंची 6 ही शिडी 6.5 पेक्षा लहान आहे. तसेच 2.5² + 6² = 6.25 + 36 = 42.25 = 6.5².

फरक ओळखा

मुद्दाआयताचा कर्णशिडी
दिलेले24 आणि 326.5 आणि 2.5
वर्गांची क्रियाबेरीजवजाबाकी
आकृतीतील वर्ग160036
उत्तर406

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1बाजू 16, 30 आणि 34 असलेला त्रिकोण काटकोन आहे का?
  2. 2आयत 18 सेमी × 24 सेमी आहे. त्याचा कर्ण काढा.
  3. 310 मी लांब शिडीचा पायथा भिंतीपासून 6 मी दूर आहे. शिडी भिंतीवर किती उंचीपर्यंत पोहोचते?
मध्यम
  1. 4बाजू 10, 11 आणि 14 असलेला त्रिकोण काटकोन आहे का?
  2. 5चौरसी मैदानाची बाजू 60 मी आहे. कर्णाने चालले तर अंतर कोणत्या दोन पूर्ण संख्यांमध्ये येते?
  3. 650 मी लांब तार खांबाच्या टोकापासून पायापासून 14 मी दूर जमिनीला बांधला आहे. खांबाची उंची किती?
आव्हानात्मक
  1. 7दोन मित्र एकाच ठिकाणाहून निघाले. एक पूर्वेला 36 मी गेला आणि दुसरा उत्तरेला 15 मी. आता ते एकमेकांपासून किती दूर आहेत?
  2. 8आयताचा कर्ण 100 सेमी आणि लांबी 80 सेमी आहे. रुंदी, परिमिती आणि क्षेत्रफळ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1सर्वांत मोठी 34. 16² + 30² = 256 + 900 = 1156 आणि 34² = 1156; होय, काटकोन त्रिकोण. 2) 18² + 24² = 324 + 576 = 900, कर्ण √900 = 30 सेमी. 3) 10² − 6² = 100 − 36 = 64, उंची √64 = 8 मी.
  2. 4सर्वांत मोठी 14. 10² + 11² = 100 + 121 = 221 आणि 14² = 196; नाही. 5) 60² + 60² = 3600 + 3600 = 7200. 84² = 7056 आणि 85² = 7225; 7056 < 7200 < 7225, म्हणून 84 < √7200 < 85. 6) 50² − 14² = 2500 − 196 = 2304, उंची √2304 = 48 मी.
  3. 736² + 15² = 1296 + 225 = 1521, अंतर √1521 = 39 मी.
  4. 8100² − 80² = 10000 − 6400 = 3600, रुंदी √3600 = 60 सेमी. परिमिती 2 × (80 + 60) = 280 सेमी. क्षेत्रफळ 80 × 60 = 4800 चौ. सेमी.