धडा १४: बीजगणितीय सूत्रे

आकृतीत : येथे a = 4 आणि b = 3 घेतले आहे. मोठ्या चौरसाची बाजू 4 + 3 = 7, म्हणून क्षेत्रफळ 7² = 49. त्याचे 4 तुकडे आहेत : 4 × 4 = 16 चा चौरस, 4 × 3 = 12 चे दोन आयत आणि 3 × 3 = 9 चा लहान चौरस. म्हणजे 16 + 12 + 12 + 9 = 49. दोन आयतांचे मिळून 2 × 12 = 24.

नियम १ : बेरजेच्या वर्गाचे सूत्र वापरा — पहिल्या पदाचा वर्ग लिहा, मग दोन्ही पदांच्या गुणाकाराच्या दुप्पट लिहा आणि शेवटी दुसऱ्या पदाचा वर्ग लिहा. तिन्ही पदांमध्ये + चिन्ह येते.

• सोपे : (x + 5)² = x² + 2 × x × 5 + 5² = x² + 10x + 25.
• मध्यम : (3m + 2)² = (3m)² + 2 × 3m × 2 + 2² = 9m² + 12m + 4.
• परीक्षेसाठी : (4p + 3q)² = (4p)² + 2 × 4p × 3q + (3q)² = 16p² + 24pq + 9q².

नियम २ : पहिले पद आणि दुसरे पद आधी ओळखा — कंसातील दोन पदांना a आणि b समजा. नंतर a², 2ab आणि b² वेगवेगळे काढून लिहा. गुणांक असतील तर कंस घालून वर्ग करा.

• सोपे : (y + 1)² = y² + 2y + 1. येथे पहिले पद y आणि दुसरे पद 1 आहे.
• मध्यम : (2a + 7)² = 4a² + 28a + 49. येथे मधले पद 2 × 2a × 7 = 28a.
• परीक्षेसाठी : (5x + 2y)² = 25x² + 20xy + 4y². येथे मधले पद 2 × 5x × 2y = 20xy.

नियम ३ : सूत्र संख्या घालून पडताळा — a आणि b च्या जागी संख्या घालून दोन्ही बाजू तपासता येतात. दोन्ही बाजूंची किंमत सारखी आली तर सूत्र बरोबर वापरले आहे.

• सोपे : (1 + 1)² = 2² = 4 आणि 1² + 2 × 1 × 1 + 1² = 1 + 2 + 1 = 4.
• मध्यम : (6 + 4)² = 10² = 100 आणि 6² + 2 × 6 × 4 + 4² = 36 + 48 + 16 = 100.
• परीक्षेसाठी : (5 + 2)² = 7² = 49, पण 5² + 2² = 25 + 4 = 29. म्हणून (a + b)² = a² + b² हे चूक आहे; मधले पद 2ab हवे.

फरक ओळखा

आकृतीत : येथे a = 6 आणि b = 2 घेतले आहे. मोठा चौरस 6 × 6 = 36 चा असून त्याचे 4 भाग आहेत : उरलेला 16 चा चौरस, 8 आणि 8 चे दोन आयत आणि कोपऱ्याचा 4 चा चौरस. म्हणजे 16 + 8 + 8 + 4 = 36. पट्ट्यांचे 12 + 12 = 24 काढले तरी कोपऱ्याचे 4 दोनदा गेले, म्हणून 36 − 24 + 4 = 16 = 4².

नियम १ : वजाबाकीच्या वर्गाचे सूत्र वापरा — पहिल्या पदाचा वर्ग लिहा, मधले पद वजा चिन्हासह लिहा आणि शेवटी दुसऱ्या पदाचा वर्ग धन चिन्हासह लिहा.

• सोपे : (x − 4)² = x² − 2 × x × 4 + 4² = x² − 8x + 16.
• मध्यम : (5m − 2)² = (5m)² − 2 × 5m × 2 + 2² = 25m² − 20m + 4.
• परीक्षेसाठी : (3p − 4q)² = (3p)² − 2 × 3p × 4q + (4q)² = 9p² − 24pq + 16q².

नियम २ : सूत्र संख्या घालून पडताळा — दोन्ही बाजूंची किंमत सारखी यायला हवी. आणि (a − b)² हे a² − b² नाही, हेही संख्यांनी लगेच दिसते.

• सोपे : (5 − 2)² = 3² = 9 आणि 5² − 2 × 5 × 2 + 2² = 25 − 20 + 4 = 9.
• मध्यम : (10 − 3)² = 7² = 49 आणि 10² − 2 × 10 × 3 + 3² = 100 − 60 + 9 = 49.
• परीक्षेसाठी : (8 − 3)² = 5² = 25, पण 8² − 3² = 64 − 9 = 55. म्हणून (a − b)² = a² − b² हे चूक आहे.

नियम ३ : कंसातील पदांचा क्रम उलटला तरी वर्ग तोच — a − b आणि b − a यांचे वर्ग सारखेच येतात, कारण वजा × वजा = धन.

• सोपे : (x − 5)² = (5 − x)² = x² − 10x + 25.
• मध्यम : (3 − 7)² = (−4)² = 16 आणि (7 − 3)² = 4² = 16.
• परीक्षेसाठी : (2 − 3y)² = (3y − 2)² = 9y² − 12y + 4.

फरक ओळखा

आकृतीत : येथे a = 7 आणि b = 3 घेतले आहे. 7 बाजूच्या चौरसाचे क्षेत्रफळ 49 आणि कापलेल्या 3 बाजूच्या चौरसाचे 9; उरलेला भाग 49 − 9 = 40. तोच भाग 7 + 3 = 10 लांब आणि 7 − 3 = 4 रुंद आयतात बसतो; 10 × 4 = 40.

नियम १ : बेरीज × वजाबाकी सूत्र वापरा — पहिल्या पदाचा वर्ग लिहा, त्यातून दुसऱ्या पदाचा वर्ग वजा करा. उत्तरात फक्त 2 पदे उरतात.

• सोपे : (x + 6)(x − 6) = x² − 36.
• मध्यम : (6m + 5)(6m − 5) = 36m² − 25.
• परीक्षेसाठी : (7p + 2q)(7p − 2q) = 49p² − 4q².

नियम २ : दोन्ही कंसांत तीच पदे असावीत आणि फक्त चिन्ह उलटे असावे — तेव्हाच हे सूत्र वापरता येते. कंसातील पदांचा क्रम बदललेला असला तरी चालते.

• सोपे : (y + 9)(y − 9) वर सूत्र चालते. पण (y + 9)(y − 5) वर चालत नाही, कारण (y + 9)(y − 5) = y² − 81 चूक आहे.
• मध्यम : (8 − 3z)(8 + 3z) = 64 − 9z².
• परीक्षेसाठी : (2a − 5b)(5b + 2a) = 4a² − 25b².

नियम ३ : सूत्र संख्या घालून पडताळा — दोन्ही बाजूंची किंमत सारखी यायला हवी. हे सूत्र (a − b)² पेक्षा वेगळे आहे हेही संख्यांनी दिसते.

• सोपे : (8 + 3)(8 − 3) = 11 × 5 = 55 आणि 8² − 3² = 64 − 9 = 55.
• मध्यम : (12 + 5)(12 − 5) = 17 × 7 = 119 आणि 12² − 5² = 144 − 25 = 119.
• परीक्षेसाठी : (9 + 4)(9 − 4) = 13 × 5 = 65, पण (9 − 4)² = 5² = 25. म्हणून (a + b)(a − b) = (a − b)² हे चूक आहे.

फरक ओळखा

आकृतीत : 63 ला 60 + 3 लिहिले. मग 60² + 2 × 60 × 3 + 3² = 3600 + 360 + 9 = 3969. म्हणजे 63² = 3969.

नियम १ : संख्या गोल संख्येपेक्षा थोडी जास्त असेल तर बेरजेचे सूत्र वापरा — संख्येला गोल संख्या अधिक लहान फरक असे लिहा आणि (a + b)² ने वर्ग करा.

• सोपे : 52² = (50 + 2)² = 50² + 2 × 50 × 2 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704.
• मध्यम : 71² = (70 + 1)² = 70² + 2 × 70 × 1 + 1² = 4900 + 140 + 1 = 5041.
• परीक्षेसाठी : 305² = (300 + 5)² = 300² + 2 × 300 × 5 + 5² = 90000 + 3000 + 25 = 93025.

नियम २ : संख्या गोल संख्येपेक्षा थोडी कमी असेल तर वजाबाकीचे सूत्र वापरा — संख्येला गोल संख्या उणे लहान फरक असे लिहा आणि (a − b)² ने वर्ग करा. शेवटचे पद धन येते.

• सोपे : 49² = (50 − 1)² = 50² − 2 × 50 × 1 + 1² = 2500 − 100 + 1 = 2401.
• मध्यम : 88² = (90 − 2)² = 90² − 2 × 90 × 2 + 2² = 8100 − 360 + 4 = 7744.
• परीक्षेसाठी : 197² = (200 − 3)² = 200² − 2 × 200 × 3 + 3² = 40000 − 1200 + 9 = 38809.

आकृतीत : 47 × 53 मध्ये 47 = 50 − 3 आणि 53 = 50 + 3. म्हणून गुणाकार 50² − 3² = 2500 − 9 = 2491.

नियम ३ : गोल संख्येच्या दोन्ही बाजूंना सारख्या अंतरावरील संख्यांचा गुणाकार — दोन संख्यांच्या मधली गोल संख्या शोधा आणि (a + b)(a − b) = a² − b² वापरा.

• सोपे : 48 × 52 = (50 − 2)(50 + 2) = 50² − 2² = 2500 − 4 = 2496.
• मध्यम : 76 × 84 = (80 − 4)(80 + 4) = 80² − 4² = 6400 − 16 = 6384.
• परीक्षेसाठी : 197 × 203 = (200 − 3)(200 + 3) = 200² − 3² = 40000 − 9 = 39991.

नियम ४ : उत्तराचा शेवटचा अंक तपासा — वर्गाचा शेवटचा अंक म्हणजे संख्येच्या शेवटच्या अंकाच्या वर्गाचा शेवटचा अंक. गुणाकाराचा शेवटचा अंक म्हणजे दोन्ही शेवटच्या अंकांच्या गुणाकाराचा शेवटचा अंक.

• सोपे : 52² साठी 2² = 4, आणि उत्तर 2704 चा शेवटचा अंक 4 आहे.
• मध्यम : 88² साठी 8² = 64, म्हणून शेवटचा अंक 4; उत्तर 7744 चा शेवटचा अंक 4 आहे.
• परीक्षेसाठी : 59 × 61 = (60 − 1)(60 + 1) = 60² − 1² = 3600 − 1 = 3599. शेवटचा अंक 9 × 1 = 9 आणि उत्तराचा शेवटचा अंक 9 आहे.

फरक ओळखा

आकृतीत : एकपदी 18pq² चे अवयव पाडले. 18 = 2 × 3 × 3 आणि q² = q × q. म्हणून 18pq² = 2 × 3 × 3 × p × q × q.

नियम १ : एकपदीचे अवयव — संख्या, चल आणि घात वेगळे करा — संख्येला मूळ अवयवांत मोडा आणि प्रत्येक चलाचा घात गुणाकाराच्या रूपात लिहा.

• सोपे : 12ab = 2 × 2 × 3 × a × b.
• मध्यम : 20x²y = 2 × 2 × 5 × x × x × y.
• परीक्षेसाठी : 30p²q = 2 × 3 × 5 × p × p × q.

आकृतीत : दोन्ही आयतांची उंची 3a आहे. एकाची रुंदी 2b आणि क्षेत्रफळ 3a × 2b = 6ab. दुसऱ्याची रुंदी 3a आणि क्षेत्रफळ 3a × 3a = 9a². जोडल्यावर 6ab + 9a² = 3a(2b + 3a).

नियम २ : सामाईक अवयव कंसाबाहेर काढा — प्रत्येक पदातील सर्वात मोठा सामाईक संख्यात्मक अवयव आणि सामाईक चल शोधा. तो कंसाबाहेर लिहा आणि प्रत्येक पदाला त्याने भागून मिळालेले उरलेले भाग कंसात लिहा.

• सोपे : 6ab + 9a² = 3a(2b + 3a).
• मध्यम : 15m²n + 10mn² = 5mn(3m + 2n).
• परीक्षेसाठी : 18p²q + 24pq² = 6pq(3p + 4q). येथे 6pq × 3p = 18p²q आणि 6pq × 4q = 24pq².

नियम ३ : अवयव बरोबर आहेत का ते गुणाकाराने तपासा — कंसाबाहेरचा अवयव कंसातील प्रत्येक पदाला गुणा. मूळ राशी परत आली तर अवयव बरोबर आहेत.

• सोपे : 5(x + 4) = 5x + 20, म्हणून 5x + 20 = 5(x + 4).
• मध्यम : 7y(y − 3) = 7y² − 21y, म्हणून 7y² − 21y = 7y(y − 3).
• परीक्षेसाठी : 12x² + 18x = 3x(4x + 5) हे चूक आहे, कारण गुणाकार केला की 12x² + 15x येतो. बरोबर उत्तर 12x² + 18x = 3x(4x + 6) = 6x(2x + 3); पहिले बरोबर पण अपूर्ण आहे, दुसरे पूर्ण आहे.

आकृतीत : 16p² − 49q² मध्ये दोन्ही पदे वर्ग आहेत : (4p)² आणि (7q)². म्हणून 16p² − 49q² = (4p + 7q)(4p − 7q). पडताळा : गुणाकार केला की 16p² − 28pq + 28pq − 49q² येते. मधली पदे नष्ट होतात आणि 16p² − 49q² परत मिळते.

नियम ४ : दोन वर्गांच्या वजाबाकीचे अवयव — a² − b² = (a + b)(a − b). दोन्ही पदे वर्ग आहेत आणि मधे वजा आहे हे पाहा. आधी सामाईक अवयव असेल तर तो काढा, मग हे सूत्र वापरा.

• सोपे : x² − 49 = (x + 7)(x − 7).
• मध्यम : 25m² − 9n² = (5m + 3n)(5m − 3n).
• परीक्षेसाठी : 3x² − 48 = 3(x² − 16) = 3(x + 4)(x − 4).

फरक ओळखा