K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 7 · गणित

धडा १५: संख्याशास्त्र

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

सरासरी

रोजच्या जीवनातून

रोज आपण म्हणतो, "मी साधारण 7 ग्लास पाणी पितो." प्रत्येक दिवशी संख्या वेगळी असते, तरी सर्वसाधारण अशी एक संख्या सांगितली जाते. ही प्रातिनिधिक संख्या म्हणजे सरासरी.

सोपी व्याख्या

सर्व गुणांची बेरीज करून ती गुणांच्या संख्येने भागली की सरासरी मिळते. माहितीतील प्रत्येक संख्येला गुण म्हणतात.

6859776 + 8 + 5 + 9 + 7 = 3535 ÷ 5 = 7

आकृतीत : 5 दिवसांत प्यायलेले ग्लास 6, 8, 5, 9, 7 आहेत. बेरीज 6 + 8 + 5 + 9 + 7 = 35. दिवस 5 आहेत, म्हणून सरासरी 35 ÷ 5 = 7 (तांबडी तुटक रेषा).

नियम १ : सरासरी = गुणांची बेरीज ÷ गुणांची संख्या — आधी सर्व गुण जोडा, मग गुण किती आहेत त्या संख्येने बेरजेला भागा.

  • सोपे : तीन गुण 4, 6, 8. बेरीज = 4 + 6 + 8 = 18. सरासरी = 18 ÷ 3 = 6.
  • मध्यम : पाच दिवसांत 12, 15, 9, 14, 10 पाने वाचली. बेरीज = 12 + 15 + 9 + 14 + 10 = 60. सरासरी = 60 ÷ 5 = 12 पाने.
  • परीक्षेसाठी : सहा सामन्यांत संघाच्या धावा 45, 52, 38, 60, 41, 64. बेरीज = 45 + 52 + 38 + 60 + 41 + 64 = 300. सरासरी = 300 ÷ 6 = 50 धावा.
4567891075 ≤ 7 ≤ 9

आकृतीत : संख्यारेषा 4 ते 10 आहे. गुण 5, 6, 7, 8, 9 बिंदूंनी दाखवले आहेत; सर्वांत लहान 5 आणि सर्वांत मोठा 9 केशरी आहेत. सरासरी 7 त्यांच्या दरम्यान आहे : 5 ≤ 7 ≤ 9.

नियम २ : सरासरी नेहमी सर्वांत लहान आणि सर्वांत मोठ्या गुणाच्या दरम्यान असते — सरासरी सर्वांत लहान गुणापेक्षा लहान किंवा सर्वांत मोठ्या गुणापेक्षा मोठी येत नाही. असे आले तर बेरीज किंवा भागाकारात चूक आहे.

  • सोपे : गुण 3, 5, 7. सरासरी = 15 ÷ 3 = 5 आणि 3 ≤ 5 ≤ 7.
  • मध्यम : गुण 20, 30, 25, 45. बेरीज = 20 + 30 + 25 + 45 = 120. सरासरी = 120 ÷ 4 = 30 आणि 20 ≤ 30 ≤ 45.
  • परीक्षेसाठी : चार गुणांची सरासरी 18 सांगितली, पण सर्व गुण 20 किंवा त्याहून मोठे आहेत. हे शक्य नाही, कारण सरासरी सर्वांत लहान गुणापेक्षा लहान असू शकत नाही.
7−1+1−2+20−1 + 1 − 2 + 2 + 0 = 0

आकृतीत : सरासरी 7 पासून गुण 6, 8, 5, 9, 7 चे फरक −1, +1, −2, +2, 0 आहेत. −1 + 1 − 2 + 2 + 0 = 0.

नियम ३ : सरासरीपासूनचे फरक एकमेकांना बरोबर करतात — सरासरीपेक्षा मोठ्या गुणांचे जास्तीचे भाग आणि लहान गुणांची कमतरता सारखी असते, म्हणून सर्व फरकांची बेरीज 0 येते.

  • सोपे : गुण 4, 6, 8 आणि सरासरी 6. फरक −2, 0, +2 आणि −2 + 0 + 2 = 0.
  • मध्यम : गुण 10, 14, 12, 16. बेरीज 52, सरासरी 13. फरक −3, +1, −1, +3 आणि −3 + 1 − 1 + 3 = 0.
  • परीक्षेसाठी : तीन गुणांची सरासरी 10 आहे. दोन गुण 7 आणि 11 आहेत. त्यांचे फरक −3 आणि +1 आहेत, म्हणून तिसऱ्याचा फरक +2 हवा. तिसरा गुण = 10 + 2 = 12.
Live आकृती

सरासरी

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

सरासरी = बेरीज ÷ गुणांची संख्या. आकृतीत 35 ÷ 5 = 7.

सामान्य चूक

गुण किती आहेत ते न मोजता चुकीच्या संख्येने भागणे. आकृतीत 5 गुण आहेत, म्हणून 5 ने भागायचे; 6 ने नाही.

शॉर्टकट

उत्तर तपासण्यासाठी पाहा : सरासरी सर्वांत लहान आणि सर्वांत मोठ्या गुणाच्या दरम्यान आहे ना?

फरक ओळखा

मुद्दाबेरीजसरासरी
आकृतीतील किंमत357
कसे मिळतेसर्व गुण जोडूनबेरजेला 5 ने भागून
अर्थ5 दिवसांत एकूण ग्लासरोज साधारण ग्लास
नवीन गुण जोडला तरनेहमी वाढतेगुणानुसार वाढते किंवा कमी होते

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1गुण 9, 11, 13, 7 यांची सरासरी किती?
  2. 2एका आठवड्यात रोज वाचलेली पाने 20, 25, 15, 30, 25, 15, 10. रोजची सरासरी किती पाने?
  3. 3तीन मित्रांनी 16, 24, 20 रुपये जमवले. सरासरी किती?
मध्यम
  1. 4सहा गुणांची सरासरी 15 आहे. सर्वांत लहान गुण 12 आणि सर्वांत मोठा 18 आहे. सरासरी या दोन्हींच्या दरम्यान आहे का?
  2. 5गुण 14, 18, 10, 22, 16, 16 यांची सरासरी काढा. सरासरीपेक्षा मोठे किती गुण आहेत?
  3. 6गुण 8, 12, 10, 14, 6 चे सरासरी 10 पासूनचे फरक लिहा आणि त्यांची बेरीज तपासा.
आव्हानात्मक
  1. 7चार गुणांची सरासरी 12 आहे. त्यांपैकी तीन गुण 9, 15, 10 आहेत. फरकांवरून चौथा गुण शोधा.
  2. 8सहा दिवसांची सरासरी 8 ग्लास पाणी होती. सातव्या दिवशी 15 ग्लास प्यायले. सात दिवसांची सरासरी किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1बेरीज = 9 + 11 + 13 + 7 = 40. सरासरी = 40 ÷ 4 = 10.
  2. 2बेरीज = 20 + 25 + 15 + 30 + 25 + 15 + 10 = 140. सरासरी = 140 ÷ 7 = 20 पाने. 3) बेरीज = 16 + 24 + 20 = 60. सरासरी = 60 ÷ 3 = 20 रुपये.
  3. 4सरासरी 15 आहे आणि 12 ≤ 15 ≤ 18, म्हणून होय, ती दोन्हींच्या दरम्यान आहे.
  4. 5बेरीज = 14 + 18 + 10 + 22 + 16 + 16 = 96. सरासरी = 96 ÷ 6 = 16. 16 पेक्षा मोठे गुण 18 आणि 22, म्हणजे 2 गुण.
  5. 6सरासरी 10. फरक 8 − 10 = −2, 12 − 10 = +2, 10 − 10 = 0, 14 − 10 = +4, 6 − 10 = −4. बेरीज −2 + 2 + 0 + 4 − 4 = 0.
  6. 7फरक 9 − 12 = −3, 15 − 12 = +3, 10 − 12 = −2. यांची बेरीज −2, म्हणून चौथ्याचा फरक +2. चौथा गुण = 12 + 2 = 14.
  7. 8सहा दिवसांची बेरीज = 6 × 8 = 48. सात दिवसांची बेरीज = 48 + 15 = 63. सरासरी = 63 ÷ 7 = 9 ग्लास.

एकके, दशांश आणि गाळलेले गुण

रोजच्या जीवनातून

घरापासून बाजारापर्यंतचे एक अंतर किमीमध्ये आणि दुसरे मीटरमध्ये सांगितले तर ते तसेच जोडता येत नाही. आधी दोन्ही एकाच एककात लिहावी लागतात. 1 किमी = 1000 मी.

सोपी व्याख्या

सरासरी काढण्यापूर्वी सर्व गुण एकाच एककात लिहा. सरासरी पूर्ण संख्या असेलच असे नाही; ती दशांश असू शकते. गुणांची बेरीज = सरासरी × गुणांची संख्या, यावरून गाळलेला गुण शोधता येतो.

12001.290060015001.51200 + 900 + 600 + 1500 = 42004200 ÷ 4 = 1050

आकृतीत : चार अंतरे 1.2 किमी, 900 मी, 600 मी आणि 1.5 किमी आहेत. किमीचे मीटर केल्यावर 1.2 चे 1200 आणि 1.5 चे 1500 झाले. बेरीज 1200 + 900 + 600 + 1500 = 4200. सरासरी 4200 ÷ 4 = 1050 मी.

नियम १ : सर्व गुण एकाच एककात आणा, मग बेरीज करा — 1 किमी = 1000 मी आणि 1 किग्रॅ = 1000 ग्रॅम. एकके वेगळी ठेवली तर बेरीज चुकते.

  • सोपे : अंतरे 2 किमी आणि 800 मी. मीटरमध्ये 2000 + 800 = 2800. सरासरी = 2800 ÷ 2 = 1400 मी.
  • मध्यम : तीन पिशव्यांचे वजन 1.5 किग्रॅ, 500 ग्रॅम, 1 किग्रॅ. ग्रॅममध्ये 1500 + 500 + 1000 = 3000. सरासरी = 3000 ÷ 3 = 1000 ग्रॅम.
  • परीक्षेसाठी : अंतरे 2.5 किमी, 1.5 किमी, 800 मी, 1200 मी. मीटरमध्ये 2500 + 1500 + 800 + 1200 = 6000. सरासरी = 6000 ÷ 4 = 1500 मी.
3.23.23.23.23.216 ÷ 5 = 3.2

आकृतीत : 16 पुस्तके 5 मुलांत समान वाटली. प्रत्येकाला 3 पुस्तके मिळतात आणि 1 उरते. तो 1 पाच भागांत केल्यावर प्रत्येकाला 0.2 मिळते. म्हणून प्रत्येकी 3.2, म्हणजे 16 ÷ 5 = 3.2.

नियम २ : गुण पूर्ण संख्या असले तरी सरासरी दशांश असू शकते — बेरीज गुणांच्या संख्येने पूर्ण भाग जात नसेल तर सरासरी दशांशात येते. मोजता येणाऱ्या वस्तूंसाठी ती "सुमारे" अशी सांगतात.

  • सोपे : गुण 3, 4, 4. बेरीज 11. सरासरी = 11 ÷ 3 ≈ 3.67.
  • मध्यम : पाच सामन्यांत गोल 2, 3, 0, 4, 2. बेरीज = 2 + 3 + 0 + 4 + 2 = 11. सरासरी = 11 ÷ 5 = 2.2 गोल.
  • परीक्षेसाठी : सात दिवसांचा खर्च 45, 50, 38, 47, 52, 40, 46 रुपये. बेरीज = 45 + 50 + 38 + 47 + 52 + 40 + 46 = 318. सरासरी = 318 ÷ 7 ≈ 45.43 रुपये.
7969?8 × 5 = 407 + 9 + 6 + 9 = 3140 − 31 = 9

आकृतीत : 5 गुणांची सरासरी 8, म्हणून बेरीज 8 × 5 = 40. माहीत असलेले चार गुण 7, 9, 6, 9 आणि त्यांची बेरीज 31. गाळलेला गुण (केशरी ?) = 40 − 31 = 9.

नियम ३ : गुणांची बेरीज = सरासरी × गुणांची संख्या — यावरून गाळलेला गुण = एकूण बेरीज − माहीत असलेल्या गुणांची बेरीज.

  • सोपे : 4 गुणांची सरासरी 5 असेल तर एकूण बेरीज = 5 × 4 = 20.
  • मध्यम : 3 गुणांची सरासरी 10. दोन गुण 8 आणि 13. एकूण बेरीज = 10 × 3 = 30. गाळलेला गुण = 30 − (8 + 13) = 30 − 21 = 9.
  • परीक्षेसाठी : 6 विषयांची सरासरी 70 गुण. पाच विषयांचे गुण 65, 72, 80, 58, 70. एकूण = 70 × 6 = 420. माहीत असलेले = 65 + 72 + 80 + 58 + 70 = 345. सहावा = 420 − 345 = 75.
Live आकृती

एकके, दशांश आणि गाळलेले गुण

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
Live आकृती

एकके, दशांश आणि गाळलेले गुण

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

आधी एकके एकसारखी करा, मग बेरीज, मग भागाकार. गाळलेला गुण = सरासरी × संख्या − माहीत असलेल्यांची बेरीज.

सामान्य चूक

1.2 किमी आणि 900 मी तसेच जोडणे. 1.2 + 900 चा काही अर्थ नाही; 1.2 किमी म्हणजे 1200 मी करून मग 1200 + 900 करायचे.

शॉर्टकट

गाळलेला गुण शोधताना आधी सरासरीला गुणांच्या संख्येने गुणा, मग माहीत असलेले गुण वजा करा.

फरक ओळखा

बाबचुकीचेबरोबर
अंतरे 1.2 किमी आणि 900 मी1.2 + 9001200 + 900
16 ÷ 5 चे उत्तर3 (दशांश सोडला)3.2
5 गुणांची सरासरी 8बेरीज 8 + 5 = 13बेरीज 8 × 5 = 40
गाळलेला गुण31 − 4040 − 31 = 9

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1अंतरे 3 किमी आणि 500 मी यांची सरासरी मीटरमध्ये किती?
  2. 2गुण 5, 6, 8 यांची सरासरी किती? (दोन दशांश स्थळांपर्यंत)
  3. 34 गुणांची सरासरी 9 आहे. त्यांची एकूण बेरीज किती?
मध्यम
  1. 4तीन पिशव्यांचे वजन 2 किग्रॅ, 600 ग्रॅम, 1.6 किग्रॅ आहे. सरासरी वजन ग्रॅममध्ये किती?
  2. 55 गुणांची सरासरी 14 आहे. चार गुण 10, 12, 20, 16 आहेत. पाचवा गुण किती?
  3. 6पाच दिवसांत खाल्लेले आंबे 3, 4, 2, 5, 3. रोजची सरासरी किती?
आव्हानात्मक
  1. 74 गुणांची सरासरी 15 आहे. त्यांपैकी तीन गुण 12, 18, 20 आहेत. चौथा गुण किती?
  2. 86 गुणांची सरासरी 7 आहे. त्यातील 12 हा गुण वगळला. उरलेल्या 5 गुणांची सरासरी किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 13 किमी = 3000 मी. बेरीज = 3000 + 500 = 3500. सरासरी = 3500 ÷ 2 = 1750 मी.
  2. 2बेरीज = 5 + 6 + 8 = 19. सरासरी = 19 ÷ 3 ≈ 6.33. 3) बेरीज = 9 × 4 = 36.
  3. 42 किग्रॅ = 2000 ग्रॅम आणि 1.6 किग्रॅ = 1600 ग्रॅम. बेरीज = 2000 + 600 + 1600 = 4200. सरासरी = 4200 ÷ 3 = 1400 ग्रॅम.
  4. 5एकूण = 14 × 5 = 70. माहीत असलेले = 10 + 12 + 20 + 16 = 58. पाचवा गुण = 70 − 58 = 12.
  5. 6बेरीज = 3 + 4 + 2 + 5 + 3 = 17. सरासरी = 17 ÷ 5 = 3.4 आंबे.
  6. 7एकूण = 15 × 4 = 60. माहीत असलेले = 12 + 18 + 20 = 50. चौथा गुण = 60 − 50 = 10.
  7. 8एकूण = 7 × 6 = 42. 12 वगळल्यावर 42 − 12 = 30. सरासरी = 30 ÷ 5 = 6.

वारंवारता आणि ताळ्याच्या खुणा

रोजच्या जीवनातून

वर्गात कोणत्या मुलाने किती पुस्तके वाचली ते मोजताना आपण एकेक नाव वाचून पाटीवर खूण करतो आणि शेवटी खुणा मोजतो. असे मोजणे सोपे करण्यासाठी ताळ्याच्या खुणा वापरतात.

सोपी व्याख्या

एखादा गुण माहितीत जितक्या वेळा येतो ती त्याची वारंवारता. गुण, ताळ्याच्या खुणा आणि वारंवारता असे तीन स्तंभ असलेल्या सारणीला वारंवारता सारणी म्हणतात.

4=5=12=

आकृतीत : ताळ्याच्या 4 खुणा उभ्या काढतात आणि पाचवी त्यांना आडवी छेदते. 5 चा गट म्हणजे 4 उभ्या खुणा आणि 1 आडवी. 12 = 5 + 5 + 2, म्हणजे दोन पूर्ण गट आणि 2 खुणा.

नियम १ : चार उभ्या खुणा आणि पाचवी आडवी — पाचांचे गट केल्यामुळे मोजणे सोपे होते. पूर्ण गट 5 ने मोजा आणि उरलेल्या खुणा एकेक मोजा.

  • सोपे : एक पूर्ण गट म्हणजे 5.
  • मध्यम : 2 पूर्ण गट आणि 3 खुणा = 5 + 5 + 3 = 13.
  • परीक्षेसाठी : 3 पूर्ण गट आणि 4 खुणा = 5 + 5 + 5 + 4 = 19.
32431325323423135423गुणताळावारंवारता1225384352N20

आकृतीत : 20 मुलांनी घेतलेल्या पुस्तकांची माहिती वरच्या दोन ओळींत आहे. पहिल्या स्तंभात गुण 1, 2, 3, 4, 5, दुसऱ्यात ताळ्याच्या खुणा आणि तिसऱ्यात वारंवारता 2, 5, 8, 3, 2 आहेत. एकूण N = 20.

नियम २ : वारंवारता सारणी बनवण्याच्या पायऱ्या — गुण लहानाकडून मोठ्याकडे लिहा. माहिती क्रमाने वाचून प्रत्येकासमोर एक खूण काढा. शेवटी खुणा मोजून वारंवारता लिहा.

  • सोपे : माहिती 2, 1, 2, 3, 1, 2. गुण 1 दोन वेळा, गुण 2 तीन वेळा आणि गुण 3 एक वेळ येतो.
  • मध्यम : माहिती 4, 5, 4, 4, 6, 5, 4, 6, 5, 4. गुण 4 पाच वेळा, गुण 5 तीन वेळा आणि गुण 6 दोन वेळा येतो.
  • परीक्षेसाठी : माहिती 1, 3, 2, 3, 3, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 3. वारंवारता : गुण 1 → 2, गुण 2 → 3, गुण 3 → 6, गुण 4 → 1.
21528334252 + 5 + 8 + 3 + 2 = 20

आकृतीत : गुण 1, 2, 3, 4, 5 च्या वारंवारता 2, 5, 8, 3, 2 आहेत. त्यांची बेरीज 2 + 5 + 8 + 3 + 2 = 20.

नियम ३ : सर्व वारंवारतांची बेरीज N = माहितीतील एकूण गुणांची संख्या — ही बेरीज गुणांच्या संख्येइतकी आली नाही तर मोजण्यात चूक आहे.

  • सोपे : वारंवारता 3, 4, 2. N = 3 + 4 + 2 = 9.
  • मध्यम : 15 गुणांच्या माहितीत वारंवारता 4, 6, 3 आणि चौथी माहीत नाही. 4 + 6 + 3 = 13 आणि चौथी = 15 − 13 = 2.
  • परीक्षेसाठी : वारंवारता 5, 7, 9, 4 ची बेरीज 25 आहे, पण माहितीत 26 गुण आहेत. म्हणजे एक गुण मोजायचा राहिला.
Live आकृती

वारंवारता आणि ताळ्याच्या खुणा

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

वारंवारता म्हणजे गुण किती वेळा येतो. सर्व वारंवारतांची बेरीज N म्हणजे एकूण गुणांची संख्या.

सामान्य चूक

पाचवी खूण आडवी न काढता सहावी उभी काढणे. त्यामुळे गट ओळखता येत नाहीत आणि मोजणे चुकते.

शॉर्टकट

माहितीतला गुण वाचून लगेच खूण करा आणि तो गुण खोडा. शेवटी वारंवारतांची बेरीज N शी जुळवा.

फरक ओळखा

मुद्दागुणवारंवारता
आकृतीतील उदाहरण38
अर्थमाहितीतील संख्याती किती वेळा आली
कोणत्या स्तंभातपहिल्यातिसऱ्या
एकूणN शी संबंध नाहीबेरीज N = 20

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1ताळ्याच्या खुणांत 7 कसे दाखवाल?
  2. 22 पूर्ण गट आणि 4 खुणा असतील तर वारंवारता किती?
  3. 3माहिती 2, 3, 3, 2, 3. गुण 3 किती वेळा येतो? ती संख्या त्याची वारंवारता.
मध्यम
  1. 4माहिती 1, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 3. वारंवारता सारणी बनवा आणि N सांगा.
  2. 5वारंवारता 6, 9, 5, 4 असतील तर N किती?
  3. 630 गुणांच्या माहितीत तीन वारंवारता 7, 10, 8 आहेत. चौथी वारंवारता किती?
आव्हानात्मक
  1. 7गुण 1 ते 5 च्या वारंवारता 3, 8, ?, 6, 2 आहेत आणि N = 30. तिसरी वारंवारता किती?
  2. 8माहिती 5, 3, 4, 5, 5, 2, 4, 5, 3, 4, 5, 4. वारंवारता सारणी बनवा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 15 चा एक पूर्ण गट आणि 2 खुणा, म्हणजे 5 + 2 = 7.
  2. 2वारंवारता = 5 + 5 + 4 = 14. 3) गुण 3 तीन वेळा येतो, म्हणून त्याची वारंवारता 3.
  3. 4गुण 1 → 2, गुण 2 → 4, गुण 3 → 2. N = 2 + 4 + 2 = 8.
  4. 5N = 6 + 9 + 5 + 4 = 24.
  5. 67 + 10 + 8 = 25. चौथी वारंवारता = 30 − 25 = 5.
  6. 7माहीत असलेल्यांची बेरीज = 3 + 8 + 6 + 2 = 19. तिसरी वारंवारता = 30 − 19 = 11.
  7. 8गुण 2 → 1, गुण 3 → 2, गुण 4 → 4, गुण 5 → 5. N = 1 + 2 + 4 + 5 = 12.

वारंवारता सारणीवरून सरासरी

रोजच्या जीवनातून

20 मुलांनी घेतलेली पुस्तके एकेक करून जोडण्याऐवजी "पाच मुलांनी प्रत्येकी 2 पुस्तके" असे गटवार सांगितले तर 5 × 2 करून पटकन बेरीज मिळते.

सोपी व्याख्या

वारंवारता सारणीत प्रत्येक गुणाला त्याच्या वारंवारतेने गुणा आणि सर्व गुणाकार जोडा. ती सर्व गुणांची बेरीज असते. तिला N ने भागले की सरासरी मिळते.

गुणवारंवारतागुण × वार.121 × 2 = 2252 × 5 = 10383 × 8 = 24434 × 3 = 12525 × 2 = 10205858 ÷ 20 = 2.9

आकृतीत : गुण 1 ते 5 आणि त्यांच्या वारंवारता 2, 5, 8, 3, 2. गुणाकार 1 × 2 = 2, 2 × 5 = 10, 3 × 8 = 24, 4 × 3 = 12, 5 × 2 = 10. वारंवारतांची बेरीज N = 20 आणि गुणाकारांची बेरीज 58. सरासरी 58 ÷ 20 = 2.9.

नियम १ : गुण × वारंवारता यांची बेरीज = सर्व गुणांची बेरीज — गुणाला त्याच्या वारंवारतेने गुणले की त्या गुणाचे सर्व वेळचे मिळून योगदान मिळते.

  • सोपे : गुण 2 पाच वेळा आला. 2 × 5 = 10, म्हणजे 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10.
  • मध्यम : गुण 1, 2, 3 च्या वारंवारता 4, 3, 2. गुणाकार 1 × 4 = 4, 2 × 3 = 6, 3 × 2 = 6. बेरीज = 4 + 6 + 6 = 16.
  • परीक्षेसाठी : गुण 10, 20, 30 च्या वारंवारता 3, 5, 2. गुणाकार 10 × 3 = 30, 20 × 5 = 100, 30 × 2 = 60. बेरीज = 30 + 100 + 60 = 190.

नियम २ : सरासरी = (गुण × वारंवारता यांची बेरीज) ÷ N — भाजक N म्हणजे वारंवारतांची बेरीज असतो; वेगवेगळ्या गुणांची संख्या नाही.

  • सोपे : गुण 1, 2, 3 आणि वारंवारता 2, 4, 2. बेरीज = 1 × 2 + 2 × 4 + 3 × 2 = 2 + 8 + 6 = 16. N = 2 + 4 + 2 = 8. सरासरी = 16 ÷ 8 = 2.
  • मध्यम : गुण 5, 6, 7 आणि वारंवारता 3, 4, 3. बेरीज = 5 × 3 + 6 × 4 + 7 × 3 = 15 + 24 + 21 = 60. N = 10. सरासरी = 60 ÷ 10 = 6.
  • परीक्षेसाठी : गुण 0, 1, 2, 3 आणि वारंवारता 5, 8, 4, 3. बेरीज = 0 × 5 + 1 × 8 + 2 × 4 + 3 × 3 = 0 + 8 + 8 + 9 = 25. N = 20. सरासरी = 25 ÷ 20 = 1.25.
123452.91 ≤ 2.9 ≤ 5

आकृतीत : संख्यारेषेवर 1, 2, 3, 4, 5 आहेत आणि सरासरी 2.9 वर तांबडा बाण आहे. 1 ≤ 2.9 ≤ 5.

नियम ३ : सरासरी सारणीतील गुण असायला हवी असे नाही — ती सर्वांत लहान आणि सर्वांत मोठ्या गुणाच्या दरम्यान येते; पण सारणीतला एखादा गुण असेलच असे नाही.

  • सोपे : गुण 1 ते 5 असतील तर सरासरी 1 आणि 5 च्या दरम्यान येते, उदा. 2.9.
  • मध्यम : गुण 3 ते 7 असताना सरासरी 2 आली तर चूक आहे, कारण 2 < 3.
  • परीक्षेसाठी : गुण 1 ते 5 असताना सरासरी 6 आली. 6 > 5, म्हणून बेरीज किंवा N चुकला आहे.
Live आकृती

वारंवारता सारणीवरून सरासरी

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

सरासरी = (गुण × वारंवारता यांची बेरीज) ÷ N. आकृतीत 58 ÷ 20 = 2.9.

सामान्य चूक

N ऐवजी वेगवेगळ्या गुणांच्या संख्येने भागणे. आकृतीत 58 ÷ 5 नाही, 58 ÷ 20 करायचे.

शॉर्टकट

सारणीत तिसरा स्तंभ गुण × वारंवारता असा लिहा आणि त्याची बेरीज करा.

फरक ओळखा

मुद्दाNगुणाकारांची बेरीज
आकृतीतील किंमत2058
कशाची बेरीजवारंवारतांचीगुण × वारंवारता यांची
भागाकारातभाजकभाज्य
58 ÷ 20 मध्ये2058

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1गुण 3 सहा वेळा आला. त्याचा गुणाकार किती?
  2. 2गुण 1, 2 आणि वारंवारता 3, 3. सरासरी किती?
  3. 3वारंवारता 4, 5, 6 असतील तर N किती?
मध्यम
  1. 4गुण 2, 3, 4 आणि वारंवारता 5, 10, 5. सरासरी किती?
  2. 5गुण 10, 20, 30, 40 आणि वारंवारता 2, 3, 4, 1. सरासरी किती?
  3. 6गुण 0, 1, 2 आणि वारंवारता 6, 3, 1. सरासरी किती?
आव्हानात्मक
  1. 7गुण 1, 2, 3, 4 च्या वारंवारता 3, ?, 4, 1 आहेत आणि N = 12. सरासरी किती?
  2. 8एका सारणीत N = 25 आणि सरासरी 3.2 आहे. सर्व गुणांची बेरीज किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1गुणाकार = 3 × 6 = 18.
  2. 2बेरीज = 1 × 3 + 2 × 3 = 3 + 6 = 9. N = 3 + 3 = 6. सरासरी = 9 ÷ 6 = 1.5. 3) N = 4 + 5 + 6 = 15.
  3. 4बेरीज = 2 × 5 + 3 × 10 + 4 × 5 = 10 + 30 + 20 = 60. N = 5 + 10 + 5 = 20. सरासरी = 60 ÷ 20 = 3.
  4. 5बेरीज = 10 × 2 + 20 × 3 + 30 × 4 + 40 × 1 = 20 + 60 + 120 + 40 = 240. N = 2 + 3 + 4 + 1 = 10. सरासरी = 240 ÷ 10 = 24.
  5. 6बेरीज = 0 × 6 + 1 × 3 + 2 × 1 = 0 + 3 + 2 = 5. N = 6 + 3 + 1 = 10. सरासरी = 5 ÷ 10 = 0.5.
  6. 7दुसरी वारंवारता = 12 − (3 + 4 + 1) = 12 − 8 = 4. बेरीज = 1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 4 + 4 × 1 = 3 + 8 + 12 + 4 = 27. सरासरी = 27 ÷ 12 = 2.25.
  7. 8बेरीज = 3.2 × 25 = 80.

दैनंदिन जीवनातील सरासरी

रोजच्या जीवनातून

क्रिकेटमध्ये फलंदाजाची सरासरी, महिन्याचा सरासरी पाऊस आणि दुकानाची रोजची सरासरी विक्री आपण ऐकतो. अनेक संख्यांचे एक सोपे चित्र सरासरी देते.

सोपी व्याख्या

सरासरी म्हणजे गटाचा एक प्रातिनिधिक आकडा. तिच्यावरून दोन गटांची तुलना करता येते. पण एखादा खूप मोठा किंवा खूप लहान गुण सरासरी आपल्या बाजूला ओढतो.

404535401004052

आकृतीत : खर्च 40, 45, 35, 40 आणि एक मोठा गुण 100. पहिल्या चारांची सरासरी 160 ÷ 4 = 40 (हिरवी रेषा). पाचही मिळून 260 ÷ 5 = 52 (तांबडी रेषा).

नियम १ : एक टोकाचा गुण सरासरीला त्याच्या बाजूला ओढतो — म्हणून सरासरी पाहताना गुणांमध्ये एखादा खूप वेगळा गुण आहे का ते पाहा.

  • सोपे : गुण 10, 10, 10 ची बेरीज 30. त्यात 40 आला : (30 + 40) ÷ 4 = 70 ÷ 4 = 17.5.
  • मध्यम : गुण 21, 25, 17, 21 ची बेरीज 84 आणि सरासरी 21. त्यात 3 जोडला : (84 + 3) ÷ 5 = 87 ÷ 5 = 17.4. सरासरी कमी झाली.
  • परीक्षेसाठी : 5 गुणांची सरासरी 30, म्हणजे बेरीज 150. सहावा गुण 30 आला तर (150 + 30) ÷ 6 = 180 ÷ 6 = 30. सरासरी तीच राहिली. सहावा गुण 36 आला तर (150 + 36) ÷ 6 = 186 ÷ 6 = 31.
888885 × 8 = 40777777778 × 7 = 56

आकृतीत : वरच्या ओळीत 5 मुले, प्रत्येकी 8 पत्रके, एकूण 5 × 8 = 40. खालच्या ओळीत 8 मुले, प्रत्येकी 7, एकूण 8 × 7 = 56. खालच्या ओळीची एकूण संख्या जास्त, पण प्रत्येकी सरासरी वरच्या ओळीची जास्त : 8 > 7.

नियम २ : दोन गटांची तुलना एकूणाने नाही, सरासरीने करा — गटांतील संख्या वेगळी असेल तर एकूण फसवते. प्रत्येक गटाची एकूण ÷ संख्या काढून मग तुलना करा.

  • सोपे : पहिल्या गटात 20 मुलांनी एकूण 100 रुपये, दुसऱ्यात 10 मुलांनी 60 रुपये जमवले. 100 ÷ 20 = 5 आणि 60 ÷ 10 = 6. दुसऱ्याची सरासरी जास्त.
  • मध्यम : पहिल्या संघाच्या 4 सामन्यांत 120 धावा, दुसऱ्याच्या 5 सामन्यांत 125 धावा. 120 ÷ 4 = 30 आणि 125 ÷ 5 = 25. पहिल्या संघाची सरासरी जास्त.
  • परीक्षेसाठी : पहिल्या कुटुंबाचा 6 दिवसांत 420 रुपये आणि दुसऱ्याचा 4 दिवसांत 320 रुपये खर्च. 420 ÷ 6 = 70 आणि 320 ÷ 4 = 80. दुसऱ्याचा रोजचा खर्च जास्त.

नियम ३ : सरासरी म्हणजे प्रत्येकाचा खरा गुण नव्हे — ती कोणाचा तरी प्रत्यक्ष गुण असायला हवी असे नाही. मोजता येणाऱ्या वस्तूंसाठी "सुमारे" असे सांगतात.

  • सोपे : सरासरी 2.9 पुस्तके म्हणजे कोणीही 2.9 पुस्तके घेतली नाहीत; सरासरी सुमारे 3 पुस्तके.
  • मध्यम : एका गावात घरटी सरासरी 4.2 माणसे म्हणजे सुमारे 4 माणसे.
  • परीक्षेसाठी : 10 घरांत एकूण 37 माणसे. 37 ÷ 10 = 3.7, म्हणजे घरटी सुमारे 4 माणसे.
Live आकृती

दैनंदिन जीवनातील सरासरी

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

सरासरी गटाचे एक सोपे चित्र देते. दोन गटांची तुलना करताना एकूणाऐवजी सरासरी पाहा.

सामान्य चूक

गटांतील मुलांची संख्या वेगळी असताना एकूणांची तुलना करणे. आकृतीत 56 > 40, पण सरासरी 7 < 8.

शॉर्टकट

आधी प्रत्येक गटाची एकूण ÷ संख्या करा, मग सरासरींची तुलना करा.

फरक ओळखा

मुद्दाएकूणसरासरी
वरची ओळ (आकृती)408
खालची ओळ (आकृती)567
कोणती जास्तखालचीवरची
तुलनेसाठीचुकीचे, संख्या वेगळीबरोबर, संख्येने भागले

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 15 मुलांची उंची 140, 150, 145, 155, 160 सेमी आहे. सरासरी उंची किती?
  2. 2तीन पोत्यांचे वजन 48, 50, 52 किग्रॅ आहे. सरासरी वजन किती?
  3. 36 दिवसांचा एकूण पाऊस 90 मिमी आहे. रोजची सरासरी किती?
मध्यम
  1. 4गुण 30, 32, 28, 30 आहेत. त्यात 90 हा गुण जोडला. नवी सरासरी किती?
  2. 5पहिल्या गटात 8 मुलांकडे एकूण 96 पत्रके, दुसऱ्यात 12 मुलांकडे एकूण 120. कोणत्या गटाची सरासरी जास्त?
  3. 610 घरांत एकूण 43 माणसे आहेत. घरटी सरासरी किती आणि सुमारे किती?
आव्हानात्मक
  1. 74 दिवसांची सरासरी विक्री 500 रुपये होती. पाचव्या दिवशी विक्री 750 रुपये झाली. पाच दिवसांची सरासरी किती?
  2. 85 गुणांची सरासरी 24 होती. सहावा गुण 12 जोडला. नवी सरासरी किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1बेरीज = 140 + 150 + 145 + 155 + 160 = 750. सरासरी = 750 ÷ 5 = 150 सेमी.
  2. 2बेरीज = 48 + 50 + 52 = 150. सरासरी = 150 ÷ 3 = 50 किग्रॅ. 3) सरासरी = 90 ÷ 6 = 15 मिमी.
  3. 4चार गुणांची बेरीज = 30 + 32 + 28 + 30 = 120. नवी सरासरी = (120 + 90) ÷ 5 = 210 ÷ 5 = 42.
  4. 5पहिला गट 96 ÷ 8 = 12. दुसरा गट 120 ÷ 12 = 10. पहिल्या गटाची सरासरी जास्त.
  5. 6सरासरी = 43 ÷ 10 = 4.3, म्हणजे घरटी सुमारे 4 माणसे.
  6. 7चार दिवसांची बेरीज = 500 × 4 = 2000. पाच दिवसांची = 2000 + 750 = 2750. सरासरी = 2750 ÷ 5 = 550 रुपये.
  7. 8पहिली बेरीज = 24 × 5 = 120. नवी सरासरी = (120 + 12) ÷ 6 = 132 ÷ 6 = 22.