K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 7 · गणित

धडा १२: परिमिती आणि क्षेत्रफळ

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

परिमिती

रोजच्या जीवनातून

शेताभोवती कुंपण घालायचे असेल तर शेताच्या चारही बाजूंची लांबी मोजून ती जोडावी लागते. तो एकूण आकडा म्हणजे कुंपणाची लांबी, आणि तीच त्या शेताची परिमिती.

सोपी व्याख्या

आकृतीच्या सर्व बाजूंच्या लांबींची बेरीज म्हणजे परिमिती. ती सेमी, मी अशा लांबीच्या एककात सांगतात. आयताची परिमिती = 2 × (लांबी + रुंदी) आणि चौरसाची परिमिती = 4 × बाजू.

664433336 + 4 + 6 + 4 = 202 × (6 + 4) = 203 + 3 + 3 + 34 × 3 = 12

आकृतीत : आयत 6 सेमी लांब आणि 4 सेमी रुंद आहे. चारही बाजू जोडल्या : 6 + 4 + 6 + 4 = 20, म्हणजेच 2 × (6 + 4) = 20. चौरसाची बाजू 3 आहे; चार बाजू 3 + 3 + 3 + 3 = 12, म्हणजेच 4 × 3 = 12.

नियम १ : सूत्र वापरून परिमिती काढा — आयतासाठी लांबी आणि रुंदी जोडून 2 ने गुणा. चौरसासाठी बाजूला 4 ने गुणा. त्रिकोणासाठी तिन्ही बाजू फक्त जोडा.

  • सोपे : चौरसाची बाजू 25 सेमी आहे. परिमिती 4 × 25 = 100 सेमी.
  • मध्यम : आयत 45 मी लांब आणि 30 मी रुंद आहे. परिमिती 2 × (45 + 30) = 2 × 75 = 150 मी.
  • परीक्षेसाठी : त्रिकोणाच्या बाजू 11 सेमी, 12 सेमी आणि 16 सेमी आहेत. परिमिती 11 + 12 + 16 = 39 सेमी.

नियम २ : परिमितीवरून न कळलेली बाजू काढा — चौरसात परिमितीला 4 ने भागा. आयतात परिमितीला 2 ने भागा; तेव्हा लांबी आणि रुंदीची बेरीज मिळते. त्यातून माहीत असलेली बाजू वजा करा.

  • सोपे : चौरसाची परिमिती 36 सेमी आहे. बाजू 36 ÷ 4 = 9 सेमी.
  • मध्यम : आयताची परिमिती 50 मी आणि लांबी 16 मी आहे. 50 ÷ 2 = 25, मग रुंदी 25 − 16 = 9 मी.
  • परीक्षेसाठी : आयताची परिमिती 120 मी आणि रुंदी 20 मी आहे. 120 ÷ 2 = 60, मग लांबी 60 − 20 = 40 मी.
5234865 + 2 + 3 + 4 + 8 + 6 = 282 × (8 + 6) = 28

आकृतीत : 8 × 6 च्या आयताचा 3 × 2 चा तुकडा कोपऱ्यातून कापला आहे. आता सहा बाजू आहेत : 5, 2, 3, 4, 8 आणि 6. त्यांची बेरीज 5 + 2 + 3 + 4 + 8 + 6 = 28. कोपरा कापूनही परिमिती बदलली नाही, म्हणून 2 × (8 + 6) = 28.

नियम ३ : वाकड्या आकृतीची परिमिती — सर्व बाजू जोडा — L सारख्या आकृतीत बाजू एकेक करून जोडा. कोपरा कापला असेल तर बाहेर वेढणाऱ्या आयताची परिमिती तीच येते; हे तपासण्यासाठी वापरा.

  • सोपे : बाजू 7, 2, 3, 4, 10 आणि 6 आहेत. 7 + 2 + 3 + 4 + 10 + 6 = 32 आणि वेढणाऱ्या आयताची 2 × (10 + 6) = 32.
  • मध्यम : बाजू 9, 3, 4, 5, 13 आणि 8 आहेत. 9 + 3 + 4 + 5 + 13 + 8 = 42 आणि 2 × (13 + 8) = 42.
  • परीक्षेसाठी : 20 मी × 12 मी च्या आयताच्या कोपऱ्यातून 5 मी × 4 मी चा तुकडा कापला आहे. परिमिती तीच राहते : 2 × (20 + 12) = 64 मी.
Live आकृती

परिमिती

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

परिमिती म्हणजे सीमेची लांबी, म्हणून तिचे एकक सेमी, मी असे लांबीचेच असते. चौरस एकक वापरू नका.

सामान्य चूक

आयताची परिमिती काढताना फक्त 6 + 4 = 10 लिहिणे. आकृतीत चार बाजू आहेत, म्हणून 10 ला 2 ने गुणले पाहिजे : 2 × 10 = 20.

शॉर्टकट

आकृतीच्या सर्व बाजू 2 पट केल्या की परिमितीही 2 पट होते. 6 × 4 चा आयत 12 × 8 केला तर 2 × (12 + 8) = 40, आणि 2 × 20 = 40.

फरक ओळखा

मुद्दाआयतचौरस
बाजूसमोरासमोरच्या दोन दोन बाजू सारख्याचारही बाजू सारख्या
सूत्र2 × (लांबी + रुंदी)4 × बाजू
आकृतीतील उदाहरण6 आणि 4 साठी 20बाजू 3 साठी 12
मोजावे लागणारे माप2 (लांबी आणि रुंदी)1 (फक्त बाजू)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1चौरसी बागेची बाजू 14 मी आहे. तिची परिमिती किती?
  2. 2आयताकृती जागा 18 मी लांब आणि 7 मी रुंद आहे. तिची परिमिती किती?
  3. 3एका समभुज त्रिकोणाची बाजू 4 सेमी आहे. त्याची परिमिती किती?
मध्यम
  1. 4आयताची परिमिती 70 मी आणि लांबी 15 मी आहे. रुंदी किती?
  2. 5चौरसी मैदानाची बाजू 20 मी आहे. त्याच्याभोवती 3 फेऱ्या मारल्या तर किती मीटर चालावे लागेल?
  3. 6चौरसाची बाजू 4 सेमी आहे. ती 20 सेमी केली तर परिमिती किती पटींनी वाढेल?
आव्हानात्मक
  1. 7L आकाराच्या आकृतीच्या बाजू 12, 4, 5, 6, 17 आणि 10 मी आहेत. परिमिती काढा आणि वेढणाऱ्या आयताच्या परिमितीशी पडताळा.
  2. 8आयताची लांबी रुंदीच्या दुप्पट आहे आणि परिमिती 54 मी आहे. लांबी आणि रुंदी काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 14 × 14 = 56 मी. 2) 2 × (18 + 7) = 2 × 25 = 50 मी. 3) 3 × 4 = 12 सेमी.
  2. 470 ÷ 2 = 35, मग रुंदी 35 − 15 = 20 मी. 5) एक फेरी 4 × 20 = 80 मी, म्हणून 3 × 80 = 240 मी. 6) 4 × 4 = 16 आणि 4 × 20 = 80; 80 ÷ 16 = 5 पट.
  3. 712 + 4 + 5 + 6 + 17 + 10 = 54 मी. वेढणारा आयत 17 × 10 चा आहे, म्हणून 2 × (17 + 10) = 54; दोन्ही सारखे.
  4. 854 ÷ 2 = 27 ही लांबी आणि रुंदीची बेरीज आहे. ती 3 समान भाग (रुंदीचे 1 आणि लांबीचे 2) आहेत, म्हणून रुंदी 27 ÷ 3 = 9 मी आणि लांबी 9 × 2 = 18 मी.

क्षेत्रफळ

रोजच्या जीवनातून

खोलीत फरशी लावायची असेल तर किती जागा झाकायची आहे ते आधी मोजावे लागते. आकृतीने व्यापलेली ही सपाट जागा म्हणजे तिचे क्षेत्रफळ.

सोपी व्याख्या

आकृतीच्या आतल्या सपाट जागेला क्षेत्रफळ म्हणतात. ते चौरस एककात (चौ. सेमी, चौ. मी) सांगतात. आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी आणि चौरसाचे क्षेत्रफळ = बाजू × बाजू.

64243396 × 4 = 243 × 3 = 9

आकृतीत : 6 × 4 च्या जाळीत 6 चौरसांच्या 4 ओळी आहेत, म्हणून एकूण 6 × 4 = 24 चौरस. 3 × 3 च्या जाळीत 3 × 3 = 9 चौरस आहेत.

नियम १ : सूत्र वापरून क्षेत्रफळ काढा — आयतात लांबी आणि रुंदी गुणा. चौरसात बाजूला बाजूनेच गुणा. उत्तर चौरस एककात लिहा.

  • सोपे : चौरसाची बाजू 8 सेमी आहे. क्षेत्रफळ 8 × 8 = 64 चौ. सेमी.
  • मध्यम : आयत 35 मी लांब आणि 20 मी रुंद आहे. क्षेत्रफळ 35 × 20 = 700 चौ. मी.
  • परीक्षेसाठी : आयत 120 सेमी लांब आणि 90 सेमी रुंद आहे. क्षेत्रफळ 120 × 90 = 10800 चौ. सेमी.

नियम २ : क्षेत्रफळावरून न कळलेली बाजू काढा — क्षेत्रफळाला माहीत असलेल्या बाजूने भागा. चौरसात कोणती संख्या स्वतःला गुणून क्षेत्रफळ येते ते शोधा.

  • सोपे : आयताचे क्षेत्रफळ 96 चौ. सेमी आणि लांबी 12 सेमी आहे. रुंदी 96 ÷ 12 = 8 सेमी.
  • मध्यम : चौरसाचे क्षेत्रफळ 81 चौ. मी आहे. 9 × 9 = 81, म्हणून बाजू 9 मी.
  • परीक्षेसाठी : आयताचे क्षेत्रफळ 600 चौ. मी आणि रुंदी 15 मी आहे. लांबी 600 ÷ 15 = 40 मी, मग परिमिती 2 × (40 + 15) = 110 मी.
1 m210000 सेमी21 m = 100 सेमी1 m1 m2 = 100 × 100 = 10000 सेमी2

आकृतीत : 1 मी बाजूचा चौरस घेतला. 1 मी = 100 सेमी, म्हणून क्षेत्रफळ 100 × 100 = 10000 चौ. सेमी. म्हणजेच 1 चौ. मी = 10000 चौ. सेमी.

नियम ३ : एकक बदलताना क्षेत्रफळ आधी काढा — चौ. मी चे चौ. सेमी करायला 10000 ने गुणा. चौ. सेमी चे चौ. मी करायला 10000 ने भागा. फक्त 100 ने गुणू नका.

  • सोपे : आयत 200 सेमी × 50 सेमी आहे. 200 × 50 = 10000 चौ. सेमी, म्हणजे 1 चौ. मी.
  • मध्यम : आयत 3 मी × 2 मी आहे. 3 × 2 = 6 चौ. मी, मग 6 × 10000 = 60000 चौ. सेमी.
  • परीक्षेसाठी : आयत 400 सेमी × 150 सेमी आहे. 400 × 150 = 60000 चौ. सेमी, मग 60000 ÷ 10000 = 6 चौ. मी.

नियम ४ : क्षेत्रफळ × दर = खर्च — फरशी, रंग, लॉन अशा कामाचा खर्च काढायला आधी क्षेत्रफळ काढा आणि मग प्रति चौ. मी दराने गुणा.

  • सोपे : 6 मी × 3 मी जागेला प्रति चौ. मी 40 रुपये दर आहे. 6 × 3 = 18, मग 18 × 40 = 720 रुपये.
  • मध्यम : 5 मी × 4 मी खोलीला प्रति चौ. मी 150 रुपये दर आहे. 5 × 4 = 20, मग 20 × 150 = 3000 रुपये.
  • परीक्षेसाठी : 50 मी × 30 मी शेताला प्रति चौ. मी 800 रुपये खर्च आहे. 50 × 30 = 1500, मग 1500 × 800 = 1200000 रुपये.
Live आकृती

क्षेत्रफळ

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

क्षेत्रफळाचे एकक चौरस एकक असते, जसे चौ. सेमी आणि चौ. मी. लांबी आणि रुंदी एकाच एककात घेऊनच गुणा.

सामान्य चूक

6 × 4 च्या आयताची परिमिती 20 आणि क्षेत्रफळ 24 यांची अदलाबदल करणे. परिमिती बाजूंची बेरीज आहे; क्षेत्रफळ जाळीतील चौरसांची संख्या आहे.

शॉर्टकट

चौरसाची बाजू 2 पट केली की क्षेत्रफळ 4 पट होते. बाजू 3 साठी 3 × 3 = 9; बाजू 6 साठी 6 × 6 = 36, आणि 4 × 9 = 36.

फरक ओळखा

मुद्दापरिमितीक्षेत्रफळ
काय मोजतोसीमेची लांबीआतली सपाट जागा
एककसेमी, मीचौ. सेमी, चौ. मी
6 × 4 चा आयत2024
बाजू 3 चा चौरस129

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1चौरसी जागेची बाजू 12 मी आहे. तिचे क्षेत्रफळ किती?
  2. 2आयत 15 सेमी लांब आणि 8 सेमी रुंद आहे. त्याचे क्षेत्रफळ किती?
  3. 3आयताकृती जमीन 20 मी लांब आणि 9 मी रुंद आहे. तिचे क्षेत्रफळ किती?
मध्यम
  1. 4आयताचे क्षेत्रफळ 126 चौ. सेमी आणि लांबी 18 सेमी आहे. रुंदी आणि परिमिती काढा.
  2. 58 मी लांब आणि 3 मी उंच भिंतीला प्रति चौ. मी 45 रुपये दराने रंग द्यायचा आहे. खर्च किती?
  3. 6आयताची लांबी 2 मी आणि रुंदी 75 सेमी आहे. क्षेत्रफळ चौ. सेमीत सांगा.
आव्हानात्मक
  1. 7चौरसाची बाजू 4 सेमी वरून 12 सेमी केली. क्षेत्रफळ किती पटींनी वाढले?
  2. 8आयताची परिमिती 28 मी आणि लांबी 8 मी आहे. त्याचे क्षेत्रफळ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 112 × 12 = 144 चौ. मी. 2) 15 × 8 = 120 चौ. सेमी. 3) 20 × 9 = 180 चौ. मी.
  2. 4रुंदी 126 ÷ 18 = 7 सेमी. परिमिती 2 × (18 + 7) = 2 × 25 = 50 सेमी. 5) 8 × 3 = 24 चौ. मी, मग 24 × 45 = 1080 रुपये. 6) 2 मी = 200 सेमी, म्हणून 200 × 75 = 15000 चौ. सेमी.
  3. 74 × 4 = 16 आणि 12 × 12 = 144; 144 ÷ 16 = 9 पट. बाजू 3 पट केली म्हणून क्षेत्रफळ 3 × 3 = 9 पट.
  4. 828 ÷ 2 = 14, मग रुंदी 14 − 8 = 6 मी. क्षेत्रफळ 8 × 6 = 48 चौ. मी.

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ

रोजच्या जीवनातून

आयताकृती कागद एका कर्णाने कापला की दोन समान त्रिकोण मिळतात. प्रत्येक तुकडा कागदाच्या अर्धीच जागा व्यापतो, म्हणून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आयताच्या निम्मे येते.

सोपी व्याख्या

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = ½ × पाया × उंची. उंची म्हणजे पायाच्या समोरच्या कोपऱ्यापासून पायावर काटकोनात काढलेले अंतर. ती नेहमी त्रिकोणाची बाजू असतेच असे नाही.

2424868 × 6 = 4848 ÷ 2 = 24½ × 8 × 6 = 24

आकृतीत : 8 × 6 = 48 चा आयत कर्णाने कापला. दोन समान त्रिकोण मिळाले, प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ 48 ÷ 2 = 24. म्हणजेच ½ × 8 × 6 = 24.

नियम १ : काटकोन त्रिकोणात काटकोन करणाऱ्या बाजू पाया आणि उंची असतात — त्या दोन बाजू गुणा आणि निम्मे करा.

  • सोपे : काटकोन करणाऱ्या बाजू 6 सेमी आणि 5 सेमी आहेत. क्षेत्रफळ ½ × 6 × 5 = 15 चौ. सेमी.
  • मध्यम : काटकोन करणाऱ्या बाजू 9 मी आणि 12 मी आहेत. क्षेत्रफळ ½ × 9 × 12 = 54 चौ. मी.
  • परीक्षेसाठी : काटकोन करणाऱ्या बाजू 1.6 सेमी आणि 2.5 सेमी आहेत. क्षेत्रफळ ½ × 1.6 × 2.5 = 2 चौ. सेमी.
8686½ × 8 × 6 = 24½ × 8 × 6 = 24

आकृतीत : दोन्ही त्रिकोणांचा पाया 8 आणि उंची 6 आहे. पहिल्यात उंची त्रिकोणाच्या आत येते. दुसऱ्यात ती पायाच्या बाहेर, ठिपक्यांच्या रेषेवर पडते. तरीही दोघांचे क्षेत्रफळ ½ × 8 × 6 = 24 सारखेच.

नियम २ : कोणत्याही त्रिकोणासाठी पाया आणि त्यावरची उंची घ्या — उंची पायावर काटकोनात मोजा. उंची त्रिकोणाच्या बाहेर पडली तरी सूत्र तेच राहते.

  • सोपे : पाया 10 सेमी आणि उंची 7 सेमी आहे. क्षेत्रफळ ½ × 10 × 7 = 35 चौ. सेमी.
  • मध्यम : पाया 14 मी आणि उंची 9 मी आहे. क्षेत्रफळ ½ × 14 × 9 = 63 चौ. मी.
  • परीक्षेसाठी : पाया 7.5 सेमी आणि उंची 4 सेमी आहे. क्षेत्रफळ ½ × 7.5 × 4 = 15 चौ. सेमी.

नियम ३ : कोणतीही बाजू पाया घेतली तरी क्षेत्रफळ तेच — बाजू बदलली की त्यावरची उंचीही बदलते, पण ½ × पाया × उंची तसेच राहते.

  • सोपे : 6, 8, 10 बाजूंच्या काटकोन त्रिकोणात 6 आणि 8 मध्ये काटकोन आहे. पाया 8 घेतला तर उंची 6 : ½ × 8 × 6 = 24. पाया 10 घेतला तर उंची 4.8 : ½ × 10 × 4.8 = 24.
  • मध्यम : एका त्रिकोणात पाया 9 असताना उंची 8 आहे : ½ × 9 × 8 = 36. पाया 12 घेतला तर उंची 6 : ½ × 12 × 6 = 36.
  • परीक्षेसाठी : पाया 20 आणि उंची 6 असेल तर ½ × 20 × 6 = 60. पाया 15 घेतला तर उंची 8 : ½ × 15 × 8 = 60.

नियम ४ : क्षेत्रफळावरून पाया किंवा उंची काढा — क्षेत्रफळाला 2 ने गुणा आणि माहीत असलेल्या मापाने भागा.

  • सोपे : क्षेत्रफळ 40 चौ. सेमी आणि पाया 8 सेमी आहे. उंची 2 × 40 ÷ 8 = 10 सेमी.
  • मध्यम : क्षेत्रफळ 54 चौ. मी आणि उंची 9 मी आहे. पाया 2 × 54 ÷ 9 = 12 मी.
  • परीक्षेसाठी : क्षेत्रफळ 90 चौ. सेमी आणि पाया 15 सेमी आहे. उंची 2 × 90 ÷ 15 = 12 सेमी.
Live आकृती

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

उंची नेहमी पायाला काटकोनात मोजतात. तिरकस बाजू उंची नसते; फक्त काटकोन त्रिकोणात काटकोन करणारी बाजू उंची होते.

सामान्य चूक

निम्मे करायला विसरणे. 8 × 6 = 48 हे आयताचे क्षेत्रफळ आहे; त्रिकोणाचे 48 ÷ 2 = 24 आहे.

शॉर्टकट

आधी पाया आणि उंची गुणा, मग उत्तर 2 ने भागा. उदाहरण : पाया 14 आणि उंची 5 साठी 14 × 5 = 70, मग 70 ÷ 2 = 35.

फरक ओळखा

मुद्दाकाटकोन त्रिकोणकोणताही त्रिकोण
उंची कुठे असतेकाटकोन करणारी एक बाजूपायावर काढलेला काटकोन रेषाखंड
सूत्र½ × पाया × उंची½ × पाया × उंची
पाया 8 आणि उंची 6 साठी2424
आयताशी नाते8 × 6 = 48 चा निम्मा8 × 6 = 48 चा निम्मा

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1काटकोन करणाऱ्या बाजू 8 सेमी आणि 5 सेमी असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा.
  2. 2त्रिकोणाचा पाया 18 मी आणि उंची 6 मी आहे. क्षेत्रफळ किती?
  3. 3त्रिकोणाचा पाया 16 सेमी आणि उंची 5 सेमी आहे. क्षेत्रफळ किती?
मध्यम
  1. 4त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 45 चौ. सेमी आणि पाया 15 सेमी आहे. उंची किती?
  2. 5त्रिकोणाचा पाया 6.4 सेमी आणि उंची 5 सेमी आहे. क्षेत्रफळ काढा.
  3. 612, 16, 20 सेमी बाजूंच्या काटकोन त्रिकोणात काटकोन 12 आणि 16 मध्ये आहे. क्षेत्रफळ काढा. मग 20 ही बाजू पाया घेऊन तिच्यावरची उंची काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7त्रिकोणी शेताचा पाया 24 मी आणि उंची 18 मी आहे. त्यात प्रति चौ. मी 15 रुपये खर्चाने गवत लावायचे आहे. खर्च किती?
  2. 8एका त्रिकोणाचा पाया 10 सेमी आणि उंची 6 सेमी आहे. दुसऱ्याचा पाया 15 सेमी आणि उंची 4 सेमी आहे. दोघांचे क्षेत्रफळ समान आहे का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1½ × 8 × 5 = 20 चौ. सेमी. 2) ½ × 18 × 6 = 54 चौ. मी. 3) ½ × 16 × 5 = 40 चौ. सेमी.
  2. 4उंची 2 × 45 ÷ 15 = 6 सेमी. 5) ½ × 6.4 × 5 = 16 चौ. सेमी. 6) क्षेत्रफळ ½ × 12 × 16 = 96 चौ. सेमी. पाया 20 घेतला तर उंची 2 × 96 ÷ 20 = 9.6 सेमी.
  3. 7क्षेत्रफळ ½ × 24 × 18 = 216 चौ. मी, मग खर्च 216 × 15 = 3240 रुपये.
  4. 8पहिल्याचे ½ × 10 × 6 = 30 आणि दुसऱ्याचे ½ × 15 × 4 = 30. दोन्ही 30 चौ. सेमी, म्हणून क्षेत्रफळ समान आहे.

पाऊलवाट आणि फरशी

रोजच्या जीवनातून

बागेच्या कडेने चालण्यासाठी पाऊलवाट तयार करतात. वाटेचे क्षेत्रफळ काढायचे असेल तर वाटेसह पूर्ण जागा आणि वाटेशिवाय जागा यांचे क्षेत्रफळ काढून त्यांतील फरक घेतात.

सोपी व्याख्या

आयताच्या आत किंवा बाहेर सर्वत्र सारख्या रुंदीची पट्टी असेल तर पट्टीचे क्षेत्रफळ = मोठ्या आयताचे क्षेत्रफळ − लहान आयताचे क्षेत्रफळ. पट्टी आत असेल तर आतल्या आयताची लांबी आणि रुंदी प्रत्येकी पट्टीच्या रुंदीच्या 2 पट कमी होतात. पट्टी बाहेर असेल तर तेवढीच वाढतात.

141010 × 6 = 60(14 − 4) × (10 − 4)2214 × 10 = 140140 − 60 = 80

आकृतीत : बाग 14 × 10 ची आहे आणि आतली पाऊलवाट 2 रुंद आहे. आतला आयत (14 − 4) × (10 − 4) = 10 × 6 = 60. पूर्ण बाग 14 × 10 = 140. म्हणून पाऊलवाट 140 − 60 = 80.

नियम १ : आतल्या पाऊलवाटेचे क्षेत्रफळ — पूर्ण जागेचे क्षेत्रफळ काढा. लांबी आणि रुंदी प्रत्येकी वाटेच्या रुंदीच्या 2 पट कमी करून आतला आयत काढा. मोठ्यातून लहान वजा करा.

  • सोपे : बाग 22 मी × 14 मी आहे आणि आत 1 मी रुंद वाट आहे. 22 × 14 = 308, आतला भाग 20 × 12 = 240, वाट 308 − 240 = 68 चौ. मी.
  • मध्यम : बाग 30 मी × 24 मी आहे आणि आत 3 मी रुंद वाट आहे. 30 × 24 = 720, आतला भाग 24 × 18 = 432, वाट 720 − 432 = 288 चौ. मी.
  • परीक्षेसाठी : बाग 17 मी × 12 मी आहे आणि आत 2 मी रुंद वाट आहे. 17 × 12 = 204, आतला भाग (17 − 4) × (12 − 4) = 13 × 8 = 104, वाट 204 − 104 = 100 चौ. मी.
9 × 5 = 45117111 × 7 = 7777 − 45 = 32

आकृतीत : मैदान 9 × 5 = 45 चे आहे आणि बाहेर 1 रुंद वाट आहे. बाहेरचा आयत (9 + 2) × (5 + 2) = 11 × 7 = 77. म्हणून वाट 77 − 45 = 32.

नियम २ : बाहेरच्या पाऊलवाटेचे क्षेत्रफळ — लांबी आणि रुंदी प्रत्येकी वाटेच्या रुंदीच्या 2 पट वाढवून बाहेरचा आयत काढा. त्यातून मूळ जागेचे क्षेत्रफळ वजा करा.

  • सोपे : मैदान 40 मी × 25 मी आहे आणि बाहेर 2 मी रुंद वाट आहे. मैदान 40 × 25 = 1000, बाहेरचा आयत 44 × 29 = 1276, वाट 1276 − 1000 = 276 चौ. मी.
  • मध्यम : मैदान 18 मी × 12 मी आहे आणि बाहेर 1 मी रुंद वाट आहे. मैदान 18 × 12 = 216, बाहेरचा आयत 20 × 14 = 280, वाट 280 − 216 = 64 चौ. मी.
  • परीक्षेसाठी : चौरसी मैदानाची बाजू 10 मी आहे आणि बाहेर 3 मी रुंद वाट आहे. मैदान 10 × 10 = 100, बाहेरचा चौरस (10 + 6) × (10 + 6) = 16 × 16 = 256, वाट 256 − 100 = 156 चौ. मी.

नियम ३ : फरश्यांची संख्या काढा — खोलीचे क्षेत्रफळ आणि एका फरशीचे क्षेत्रफळ एकाच एककात आणा. मग खोलीचे क्षेत्रफळ फरशीच्या क्षेत्रफळाने भागा.

  • सोपे : खोली 6 मी × 4 मी आणि फरशी 20 सेमी बाजूची आहे. खोली 600 × 400 = 240000 चौ. सेमी, फरशी 20 × 20 = 400 चौ. सेमी, फरश्या 240000 ÷ 400 = 600. पडताळा : लांबीला 30 आणि रुंदीला 20 फरश्या, म्हणजे 30 × 20 = 600.
  • मध्यम : खोली 5 मी × 4 मी आणि फरशी 50 सेमी बाजूची आहे. खोली 500 × 400 = 200000, फरशी 50 × 50 = 2500, फरश्या 200000 ÷ 2500 = 80.
  • परीक्षेसाठी : हॉल 8 मी × 6 मी आणि फरशी 40 सेमी बाजूची आहे. हॉल 800 × 600 = 480000, फरशी 40 × 40 = 1600, फरश्या 480000 ÷ 1600 = 300.

नियम ४ : बाजूंच्या पट्ट्या वेगवेगळ्या असतील तेव्हा — लांबीतून डावी आणि उजवी पट्टी वजा करा. रुंदीतून वरची आणि खालची पट्टी वजा करा. मग उरलेल्या आयताचे क्षेत्रफळ काढा.

  • सोपे : 20 सेमी × 15 सेमी पानावर चारही बाजूंना 2 सेमी समास आहे. आतला भाग (20 − 4) × (15 − 4) = 16 × 11 = 176 चौ. सेमी.
  • मध्यम : 24 सेमी × 18 सेमी चित्रात डावी आणि उजवी पट्टी प्रत्येकी 3 सेमी, वरची 2 सेमी आणि खालची 4 सेमी आहे. लांबी 24 − 6 = 18, रुंदी 18 − 6 = 12, म्हणून 18 × 12 = 216 चौ. सेमी.
  • परीक्षेसाठी : 14 सेमी × 8 सेमी पडद्यावर डावी पट्टी 1, उजवी 2, वरची 1 आणि खालची 1 सेमी आहे. लांबी 14 − 3 = 11, रुंदी 8 − 2 = 6, म्हणून 11 × 6 = 66 चौ. सेमी.
Live आकृती

पाऊलवाट आणि फरशी

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
Live आकृती

पाऊलवाट आणि फरशी

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
Live आकृती

पाऊलवाट आणि फरशी

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

पट्टी आत असेल तर आतला आयत लहान होतो आणि बाहेर असेल तर मोठा होतो. दोन्ही वेळी पट्टीचे क्षेत्रफळ म्हणजे मोठा आयत वजा लहान आयत.

सामान्य चूक

आतल्या वाटेसाठी लांबीतून फक्त वाटेची रुंदी वजा करणे, म्हणजे 14 − 2 = 12. वाट दोन्ही कडांना असते, म्हणून 2 × 2 = 4 वजा करावे लागतात : 14 − 4 = 10.

शॉर्टकट

आतली वाट = 2 × वाटेची रुंदी × (लांबी + रुंदी − 2 × वाटेची रुंदी). उदाहरण : 2 × 2 × (14 + 10 − 4) = 4 × 20 = 80. बाहेरची वाट = 2 × वाटेची रुंदी × (लांबी + रुंदी + 2 × वाटेची रुंदी). उदाहरण : 2 × 1 × (9 + 5 + 2) = 2 × 16 = 32.

फरक ओळखा

मुद्दाआतली वाटबाहेरची वाट
लहान आयतआतला भागमूळ जागा
आयताचे मापलांबी आणि रुंदी प्रत्येकी 2 पट रुंदी कमीलांबी आणि रुंदी प्रत्येकी 2 पट रुंदी जास्त
आकृतीतील गणित140 − 60 = 8077 − 45 = 32
वाटेचे क्षेत्रफळ8032

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1बाग 18 मी × 10 मी आहे आणि आत 1 मी रुंद वाट आहे. वाटेचे क्षेत्रफळ किती?
  2. 2बाग 16 मी × 12 मी आहे आणि आत 2 मी रुंद वाट आहे. वाटेचे क्षेत्रफळ किती?
  3. 3खोली 6 मी × 3 मी आहे आणि फरशी 30 सेमी बाजूची आहे. किती फरश्या लागतील?
मध्यम
  1. 4मैदान 21 मी × 11 मी आहे आणि बाहेर 2 मी रुंद वाट आहे. वाटेचे क्षेत्रफळ किती?
  2. 5चौरसी मैदानाची बाजू 20 मी आहे आणि बाहेर 2 मी रुंद वाट आहे. वाटेचे क्षेत्रफळ किती?
  3. 6खोलीचे क्षेत्रफळ 144 चौ. मी आहे. 30 सेमी × 40 सेमी च्या किती फरश्या लागतील?
आव्हानात्मक
  1. 730 मी × 20 मी जागेत आत 2 मी रुंद वाट आहे. वाटेला प्रति चौ. मी 120 रुपये खर्च आहे. एकूण खर्च किती?
  2. 830 सेमी × 22 सेमी चित्राभोवती आतून चारही बाजूंना 2 सेमी समास आहे. समासाचे क्षेत्रफळ किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1बाग 18 × 10 = 180, आतला भाग 16 × 8 = 128, वाट 180 − 128 = 52 चौ. मी. 2) बाग 16 × 12 = 192, आतला भाग 12 × 8 = 96, वाट 192 − 96 = 96 चौ. मी. 3) खोली 600 × 300 = 180000, फरशी 30 × 30 = 900, फरश्या 180000 ÷ 900 = 200.
  2. 4मैदान 21 × 11 = 231, बाहेरचा आयत 25 × 15 = 375, वाट 375 − 231 = 144 चौ. मी. 5) मैदान 20 × 20 = 400, बाहेरचा चौरस 24 × 24 = 576, वाट 576 − 400 = 176 चौ. मी. 6) 144 × 10000 = 1440000 चौ. सेमी, फरशी 30 × 40 = 1200, फरश्या 1440000 ÷ 1200 = 1200.
  3. 730 × 20 = 600, आतला भाग 26 × 16 = 416, वाट 600 − 416 = 184 चौ. मी. खर्च 184 × 120 = 22080 रुपये.
  4. 8चित्र 30 × 22 = 660, आतला भाग (30 − 4) × (22 − 4) = 26 × 18 = 468, समास 660 − 468 = 192 चौ. सेमी.

पृष्ठफळ

रोजच्या जीवनातून

पेटीला बाहेरून रंग द्यायचा असेल तर तिच्या सर्व पृष्ठांना रंग लागतो. त्या सर्व पृष्ठांचे मिळून क्षेत्रफळ म्हणजे पेटीचे पृष्ठफळ.

सोपी व्याख्या

घनाभ किंवा घन यांच्या सर्व पृष्ठांच्या क्षेत्रफळांची बेरीज म्हणजे पृष्ठफळ. घनाभाला 6 पृष्ठे असतात; समोरासमोरची पृष्ठे जोडीने सारखी असतात. घनाभाचे पृष्ठफळ = 2 × (लांबी × रुंदी + रुंदी × उंची + लांबी × उंची). घनाचे पृष्ठफळ = 6 × बाजू × बाजू.

1824126342 × (24 + 12 + 18)= 2 × 54 = 108

आकृतीत : घनाभाची लांबी 6, रुंदी 4 आणि उंची 3 आहे. तीन जोड्यांची पृष्ठे : 6 × 4 = 24, 4 × 3 = 12 आणि 6 × 3 = 18. म्हणून पृष्ठफळ 2 × (24 + 12 + 18) = 2 × 54 = 108.

नियम १ : घनाभाचे पृष्ठफळ — तीन वेगवेगळ्या पृष्ठांचे क्षेत्रफळ काढा, त्यांची बेरीज करा आणि 2 ने गुणा.

  • सोपे : घनाभ 7 सेमी, 3 सेमी आणि 2 सेमी मापाचा आहे. 7 × 3 = 21, 3 × 2 = 6, 7 × 2 = 14, म्हणून 2 × (21 + 6 + 14) = 2 × 41 = 82 चौ. सेमी.
  • मध्यम : घनाभ 40 सेमी, 30 सेमी आणि 20 सेमी मापाचा आहे. 40 × 30 = 1200, 30 × 20 = 600, 40 × 20 = 800, म्हणून 2 × (1200 + 600 + 800) = 2 × 2600 = 5200 चौ. सेमी.
  • परीक्षेसाठी : घनाभ 2 मी, 1.5 मी आणि 1 मी मापाचा आहे. 2 × 1.5 = 3, 1.5 × 1 = 1.5, 2 × 1 = 2, म्हणून 2 × (3 + 1.5 + 2) = 2 × 6.5 = 13 चौ. मी.
161616446 × 42 = 6 × 16 = 96

आकृतीत : घनाची बाजू 4 आहे. प्रत्येक पृष्ठ 4 × 4 = 16 चे आहे. सहा पृष्ठे समान, म्हणून पृष्ठफळ 6 × 16 = 96.

नियम २ : घनाचे पृष्ठफळ — एका पृष्ठाचे क्षेत्रफळ काढा आणि त्याला 6 ने गुणा.

  • सोपे : घनाची बाजू 3 सेमी आहे. पृष्ठफळ 6 × 3² = 6 × 9 = 54 चौ. सेमी.
  • मध्यम : घनाची बाजू 10 सेमी आहे. पृष्ठफळ 6 × 10² = 6 × 100 = 600 चौ. सेमी.
  • परीक्षेसाठी : घनाकृती पेटीची बाजू 0.5 मी आहे. पृष्ठफळ 6 × 0.5² = 6 × 0.25 = 1.5 चौ. मी. रंगाचा दर प्रति चौ. मी 80 रुपये असेल तर खर्च 1.5 × 80 = 120 रुपये.

नियम ३ : काही पृष्ठे नसतील तेव्हा त्यांचे क्षेत्रफळ वजा करा — उघडी पेटी, उघडी टाकी किंवा खोलीच्या फक्त चार भिंती यांसाठी पूर्ण पृष्ठफळातून न लागणारी पृष्ठे वजा करा.

  • सोपे : 6 सेमी × 4 सेमी × 3 सेमी ची पेटी वरून उघडी आहे. पूर्ण पृष्ठफळ 108 आहे आणि वरचे झाकण 6 × 4 = 24. म्हणून 108 − 24 = 84 चौ. सेमी.
  • मध्यम : खोली 5 मी × 4 मी आणि उंची 3 मी आहे. फक्त चार भिंतींचे क्षेत्रफळ 2 × (5 × 3 + 4 × 3) = 2 × (15 + 12) = 54 चौ. मी.
  • परीक्षेसाठी : उघडी टाकी 3 मी लांब, 2 मी रुंद आणि 2 मी उंच आहे. पूर्ण पृष्ठफळ 2 × (6 + 4 + 6) = 32, वरचे झाकण 3 × 2 = 6, म्हणून 32 − 6 = 26 चौ. मी. आतून रंग प्रति चौ. मी 25 रुपये असेल तर खर्च 26 × 25 = 650 रुपये.
Live आकृती

पृष्ठफळ

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

पृष्ठफळाचे एकक चौरस एकक असते. घनाभाला 6 पृष्ठे आणि 3 जोड्या असतात. रंगवायची नसलेली पृष्ठे वगळा.

सामान्य चूक

2 ने गुणायला विसरणे. 24 + 12 + 18 = 54 हे फक्त तीन पृष्ठांचे क्षेत्रफळ आहे; खरे पृष्ठफळ 2 × 54 = 108.

शॉर्टकट

घनात सहाही पृष्ठे सारखी असतात, म्हणून एक काढा आणि 6 ने गुणा. बाजू 4 साठी 6 × 4² = 6 × 16 = 96.

फरक ओळखा

मुद्दाघनाभघन
पृष्ठांची संख्या66
सारखी पृष्ठेसमोरासमोरची जोडीनेसर्व सहा
सूत्र2 × (तीन वेगळ्या पृष्ठांची बेरीज)6 × बाजू × बाजू
आकृतीतील उदाहरण10896

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1घनाची बाजू 7 सेमी आहे. त्याचे पृष्ठफळ किती?
  2. 2घनाभाची लांबी 8 सेमी, रुंदी 5 सेमी आणि उंची 2 सेमी आहे. पृष्ठफळ किती?
  3. 3घनाची बाजू 9 सेमी आहे. त्याचे पृष्ठफळ किती?
मध्यम
  1. 4घनाभाच्या तीन वेगळ्या पृष्ठांचे क्षेत्रफळ 60, 24 आणि 40 चौ. सेमी आहे. त्याचे पृष्ठफळ किती?
  2. 520 सेमी बाजूचे 2 घन रंगवायचे आहेत. एकूण किती चौ. सेमी रंगवावे लागेल?
  3. 65 सेमी × 3 सेमी × 2 सेमी ची पेटी वरून उघडी आहे. तिच्या बाहेरचे पृष्ठफळ किती?
आव्हानात्मक
  1. 7खोली 9 मी × 6 मी आणि उंची 3 मी आहे. फक्त चार भिंतींना प्रति चौ. मी 30 रुपये दराने रंग द्यायचा आहे. खर्च किती?
  2. 8घनाची बाजू 3 सेमी वरून 6 सेमी केली. पृष्ठफळ किती पटींनी वाढले?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 16 × 7² = 6 × 49 = 294 चौ. सेमी. 2) 8 × 5 = 40, 5 × 2 = 10, 8 × 2 = 16, म्हणून 2 × (40 + 10 + 16) = 2 × 66 = 132 चौ. सेमी. 3) 6 × 9² = 6 × 81 = 486 चौ. सेमी.
  2. 42 × (60 + 24 + 40) = 2 × 124 = 248 चौ. सेमी. 5) एक घन 6 × 20² = 6 × 400 = 2400, म्हणून 2 घन 2 × 2400 = 4800 चौ. सेमी. 6) तळ 5 × 3 = 15 आणि चार बाजू 2 × (3 × 2 + 5 × 2) = 2 × 16 = 32, म्हणून 15 + 32 = 47 चौ. सेमी.
  3. 7चार भिंती 2 × (9 × 3 + 6 × 3) = 2 × (27 + 18) = 90 चौ. मी. खर्च 90 × 30 = 2700 रुपये.
  4. 8बाजू 3 साठी 6 × 3² = 6 × 9 = 54 आणि बाजू 6 साठी 6 × 6² = 6 × 36 = 216; 216 ÷ 54 = 4 पट. बाजू 2 पट केली म्हणून पृष्ठफळ 2 × 2 = 4 पट.