K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 7 · गणित

धडा ११: वर्तुळ

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

वर्तुळाचे भाग : त्रिज्या, जीवा, व्यास, कंस

रोजच्या जीवनातून

रांगोळीचे वर्तुळ काढताना मध्यभागी एक खूण करून दोरी बांधलेली काठी फिरवली जाते. खूण म्हणजे केंद्र आणि दोरीची लांबी म्हणजे त्रिज्या. वर्तुळ वाटेल तेवढे मोठे किंवा लहान असले तरी त्याचे भाग तेच असतात.

सोपी व्याख्या

केंद्रापासून वर्तुळावरील कोणत्याही बिंदूपर्यंतचे अंतर म्हणजे त्रिज्या. वर्तुळावरील दोन बिंदू जोडणारी रेषा म्हणजे जीवा. केंद्रातून जाणारी जीवा म्हणजे व्यास. वर्तुळाचा कोणताही तुकडा म्हणजे कंस.

1058

आकृतीत : केशरी रेषा केंद्रातून जाते, तो व्यास 10. हिरवी रेषा केंद्रापासून वर्तुळापर्यंत जाते, ती त्रिज्या 5. निळी रेषा केंद्रातून जात नाही, ती जीवा 8.

नियम १ : सर्व त्रिज्या समान असतात आणि व्यास त्रिज्येच्या दुप्पट असतो — एकाच वर्तुळाच्या सर्व त्रिज्या सारख्या लांबीच्या असतात. व्यास काढायला त्रिज्येला 2 ने गुणा. त्रिज्या काढायला व्यासाला 2 ने भागा.

  • सोपे : त्रिज्या 5 सेमी. व्यास = 2 × 5 = 10 सेमी.
  • मध्यम : व्यास 26 सेमी. त्रिज्या = 26 ÷ 2 = 13 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : त्रिज्या 2.5 मी. व्यास = 2 × 2.5 = 5 मी.
68106 < 8 < 10

आकृतीत : एकाच वर्तुळात जीवा 6, जीवा 8 आणि केंद्रातून जाणारी जीवा 10 काढली आहे. जसजशी जीवा केंद्राजवळ येते तसतशी ती लांब होते. केंद्रातून जाणारी 10 ही सर्वांत लांब आहे. म्हणून 6 < 8 < 10.

नियम २ : व्यास ही वर्तुळातील सर्वांत लांब जीवा असते — जीवा केंद्रापासून जितकी दूर, तितकी लहान. कोणतीही जीवा व्यासापेक्षा लांब होऊ शकत नाही.

  • सोपे : त्रिज्या 5 सेमी. केंद्रापासून 3 सेमी दूर असलेली जीवा = 8 सेमी. ती व्यास 10 सेमी पेक्षा लहान आहे.
  • मध्यम : त्रिज्या 13 सेमी. केंद्रापासून 5 सेमी दूर असलेली जीवा = 24 सेमी. व्यास 26 सेमी आहे आणि 24 < 26.
  • परीक्षेसाठी : त्रिज्या 7 सेमी असलेल्या वर्तुळात 15 सेमी जीवा असणे शक्य नाही. सर्वांत लांब जीवा व्यास 2 × 7 = 14 सेमी आहे.
180°180°

आकृतीत : डावीकडे जीवा केंद्रातून जात नाही, म्हणून ती वर्तुळाचे 2 असमान कंस करते : लघुकंस (केशरी) आणि विशालकंस (निळा). उजवीकडे व्यास वर्तुळाचे 2 समान कंस करतो. प्रत्येक अर्धवर्तुळ 180°.

नियम ३ : जीवा वर्तुळाचे दोन कंस करते — लघुकंस आणि विशालकंस. जीवा व्यास असेल तर दोन्ही कंस समान होतात, त्यांना अर्धवर्तुळ म्हणतात.

  • सोपे : व्यास वर्तुळाचे 2 भाग करतो. दोन्ही भाग समान, प्रत्येक अर्धवर्तुळ.
  • मध्यम : जीवा केंद्रातून जात नसेल तर 2 कंस असमान असतात : एक लहान, एक मोठा.
  • परीक्षेसाठी : लघुकंस आणि विशालकंस मिळून पूर्ण वर्तुळ होते. म्हणून ते एकमेकांचे संगत कंस आहेत.
Live आकृती

वर्तुळाचे भाग : त्रिज्या, जीवा, व्यास, कंस

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

व्यास = 2 × त्रिज्या. जीवा कितीही असली तरी सर्वांत लांब जीवा व्यासच असतो.

सामान्य चूक

त्रिज्येलाच व्यास समजणे. आकृतीत त्रिज्या 5 आहे आणि व्यास 10 आहे; 5 हा व्यास नाही.

शॉर्टकट

एक संख्या दिली असेल तर ती त्रिज्या आहे का व्यास ते आधी ओळखा. त्रिज्या दिली तर 2 ने गुणा; व्यास दिला तर 2 ने भागा.

फरक ओळखा

मुद्दात्रिज्याव्यास
कुठून कुठेकेंद्र ते वर्तुळवर्तुळ ते वर्तुळ केंद्रातून
आकृतीतील माप510
संबंधव्यासाचा निम्मात्रिज्येच्या दुप्पट
जीवा आहे कानाहीहोय, सर्वांत लांब

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1त्रिज्या 12 सेमी असलेल्या वर्तुळाचा व्यास किती?
  2. 2व्यास 50 सेमी असलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या किती?
  3. 3त्रिज्या 7.5 सेमी असलेल्या वर्तुळाचा व्यास किती?
मध्यम
  1. 4त्रिज्या 10 सेमी असलेल्या वर्तुळात 25 सेमी लांबीची जीवा काढता येईल का? सर्वांत लांब जीवा किती?
  2. 5त्रिज्या 13 सेमी असलेल्या वर्तुळात केंद्रापासून 12 सेमी दूर असलेल्या जीवेची लांबी किती? (13² − 12² चे वर्गमूळ घ्या.)
  3. 6वर्तुळाची त्रिज्या 6.5 सेमी आहे. त्याचा व्यास आणि सर्वांत लांब जीवा किती?
आव्हानात्मक
  1. 7दोन वर्तुळांच्या त्रिज्या 4 सेमी आणि 9 सेमी आहेत. त्यांच्या व्यासांतील फरक किती?
  2. 8वर्तुळाचा व्यास 30 सेमी आहे. केंद्रापासून 9 सेमी दूर असलेल्या जीवेची लांबी किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1व्यास = 2 × 12 = 24 सेमी. 2) त्रिज्या = 50 ÷ 2 = 25 सेमी. 3) व्यास = 2 × 7.5 = 15 सेमी.
  2. 4सर्वांत लांब जीवा व्यास = 2 × 10 = 20 सेमी. 25 > 20, म्हणून शक्य नाही.
  3. 513² − 12² = 169 − 144 = 25 आणि √25 = 5. जीवा = 2 × 5 = 10 सेमी. 6) व्यास = 2 × 6.5 = 13 सेमी. सर्वांत लांब जीवा व्यासच, म्हणून 13 सेमी.
  4. 7व्यास 2 × 4 = 8 आणि 2 × 9 = 18. फरक 18 − 8 = 10 सेमी.
  5. 8त्रिज्या 30 ÷ 2 = 15. 15² − 9² = 225 − 81 = 144 आणि √144 = 12. जीवा = 2 × 12 = 24 सेमी.

परिघ आणि π

रोजच्या जीवनातून

गोल ताटाभोवती दोरा गुंडाळून मग तो सरळ करून मोजला तर ताटाचा परिघ मिळतो. ताटाचा व्यास आणि हा परिघ यांचे गुणोत्तर कोणत्याही गोल वस्तूसाठी जवळजवळ सारखेच येते.

सोपी व्याख्या

वर्तुळाभोवतीच्या एका फेऱ्याची लांबी म्हणजे परिघ. परिघ ÷ व्यास ही संख्या सर्व वर्तुळांसाठी सारखी असते. तिला π म्हणतात आणि तिची किंमत सुमारे 3.14 किंवा 22/7 घेतात.

777712222 ÷ 7 ≈ 3.14

आकृतीत : व्यास 7 असलेल्या वर्तुळाचा परिघ सरळ केला तर 22 येतो. त्यात व्यास 7, 7, 7 असे 3 वेळा बसतो आणि 1 उरतो. म्हणजे परिघ व्यासाच्या 3 पट आणि थोडा जास्त; 22 ÷ 7 सुमारे 3.14.

नियम १ : परिघ ÷ व्यास नेहमी सुमारे 3.14 असतो — वर्तुळ लहान असो वा मोठे, परिघाला व्यासाने भागले की सुमारे 3.14 येते. हीच संख्या π.

  • सोपे : व्यास 7 सेमी, परिघ 22 सेमी. 22 ÷ 7 ≈ 3.14.
  • मध्यम : ताटाचा व्यास 35 सेमी, परिघ 110 सेमी. 110 ÷ 35 ≈ 3.14.
  • परीक्षेसाठी : व्यास 50 सेमी, परिघ 157 सेमी. 157 ÷ 50 = 3.14.
422122/7 × 42 = 1322 × 22/7 × 21 = 132परिघ 132

आकृतीत : व्यास 42 आणि त्रिज्या 21 आहे. व्यासावरून 22/7 × 42 = 132. त्रिज्येवरून 2 × 22/7 × 21 = 132. दोन्ही मार्गांनी परिघ 132 येतो.

नियम २ : परिघ = π × व्यास — व्यास माहीत असेल तर π ने गुणा. उत्तर परिघ येतो.

  • सोपे : व्यास 42 सेमी. परिघ = 22/7 × 42 = 132 सेमी.
  • मध्यम : व्यास 21 सेमी. परिघ = 22/7 × 21 = 66 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : व्यास 5 सेमी, π = 3.14. परिघ = 3.14 × 5 = 15.7 सेमी.

नियम ३ : परिघ = 2 × π × त्रिज्या — त्रिज्या माहीत असेल तर आधी 2 ने गुणून व्यास करा, मग π ने गुणा.

  • सोपे : त्रिज्या 21 सेमी. परिघ = 2 × 22/7 × 21 = 132 सेमी.
  • मध्यम : त्रिज्या 3.5 सेमी. परिघ = 2 × 22/7 × 3.5 = 22 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : त्रिज्या 15 सेमी, π = 3.14. परिघ = 2 × 3.14 × 15 = 94.2 सेमी.
2122/7 × 21 = 6653.14 × 5 = 15.7

आकृतीत : व्यास 21 साठी 22/7 वापरले : 22/7 × 21 = 66. व्यास 5 साठी 3.14 वापरले : 3.14 × 5 = 15.7. जिथे संख्या 7 च्या पाढ्यातली असते तिथे 22/7 सोपे पडते.

नियम ४ : कोणता π घ्यायचा ते संख्येवरून ठरवा — संख्येला 7 ने भाग जात असेल तर 22/7 घ्या. नाहीतर 3.14 घ्या. प्रश्नात π ची किंमत दिली असेल तर तीच वापरा.

  • सोपे : व्यास 28 सेमी. 7 ने भाग जातो, म्हणून 22/7 × 28 = 88 सेमी.
  • मध्यम : व्यास 10 सेमी. 7 ने भाग जात नाही, म्हणून 3.14 × 10 = 31.4 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : व्यास 42 सेमी. 22/7 × 42 = 132 आणि 3.14 × 42 = 131.88. दोन्ही किंमती जवळजवळ सारख्या आहेत.
Live आकृती

परिघ आणि π

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

π ही एकच स्थिर संख्या आहे. वर्तुळ कितीही मोठे असले तरी परिघ ÷ व्यास सुमारे 3.14 असतो.

सामान्य चूक

त्रिज्येला थेट π ने गुणणे. त्रिज्या 21 असताना 22/7 × 21 = 66 घेतले तर चूक; खरा परिघ 132 आहे.

शॉर्टकट

त्रिज्या दिली असेल तर आधी व्यास करा. 21 चा दुप्पट 42, मग 22/7 × 42 = 132.

फरक ओळखा

मुद्दाव्यास दिलात्रिज्या दिली
परिघाचे सूत्रπ × व्यास2 × π × त्रिज्या
आकृतीतील माप4221
गणित22/7 × 422 × 22/7 × 21
परिघ132132

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1व्यास 49 सेमी असलेल्या वर्तुळाचा परिघ काढा. (π = 22/7)
  2. 2त्रिज्या 10.5 सेमी असलेल्या वर्तुळाचा परिघ काढा. (π = 22/7)
  3. 3व्यास 40 सेमी असलेल्या वर्तुळाचा परिघ काढा. (π = 3.14)
मध्यम
  1. 4गोल टेबलाचा व्यास 84 सेमी आहे. त्याचा परिघ किती? (π = 22/7)
  2. 5त्रिज्या 5 सेमी असलेल्या वर्तुळाचा परिघ काढा. (π = 3.14)
  3. 6एका वर्तुळाचा व्यास 28 सेमी आणि परिघ 88 सेमी आहे. परिघ ÷ व्यास किती येतो?
आव्हानात्मक
  1. 7वर्तुळाचा व्यास 91 सेमी आहे. त्याचा परिघ आणि अर्ध परिघ काढा. (π = 22/7)
  2. 8दोन वर्तुळांच्या त्रिज्या 7 सेमी आणि 21 सेमी आहेत. त्यांच्या परिघांतील फरक काढा. (π = 22/7)
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1परिघ = 22/7 × 49 = 154 सेमी. 2) परिघ = 2 × 22/7 × 10.5 = 66 सेमी. 3) परिघ = 3.14 × 40 = 125.6 सेमी.
  2. 4परिघ = 22/7 × 84 = 264 सेमी. 5) परिघ = 2 × 3.14 × 5 = 31.4 सेमी. 6) 88 ÷ 28 ≈ 3.14, म्हणजे सुमारे 3.14.
  3. 7परिघ = 22/7 × 91 = 286 सेमी. अर्ध परिघ = 286 ÷ 2 = 143 सेमी.
  4. 8परिघ 2 × 22/7 × 7 = 44 आणि 2 × 22/7 × 21 = 132. फरक 132 − 44 = 88 सेमी.

परिघावरून त्रिज्या आणि व्यास काढणे

रोजच्या जीवनातून

झाडाच्या खोडाभोवती दोरा गुंडाळून तो मोजला तर परिघ कळतो. खोड किती जाड आहे, म्हणजे त्याचा व्यास किती, हे दोऱ्याच्या लांबीवरून मोजपट्टी न लावता काढता येते.

सोपी व्याख्या

परिघ माहीत असेल तर व्यास काढायला परिघाला π ने भागा. मग त्रिज्या काढायला व्यासाला 2 ने भागा. π = 22/7 असेल तर 22/7 ने भागणे म्हणजे 7 ने गुणून 22 ने भागणे.

?110110 = 22/7 × ?110 ÷ 22/7= 110 × 7 ÷ 22= 3535 ÷ 2 = 17.5

आकृतीत : परिघ 110 आहे आणि व्यास माहीत नाही (?). 110 = 22/7 × ?, म्हणून ? = 110 ÷ 22/7 = 110 × 7 ÷ 22 = 35. त्रिज्या 35 ÷ 2 = 17.5.

नियम १ : व्यास = परिघ × 7 ÷ 22 — परिघाला 7 ने गुणा आणि 22 ने भागा. उत्तर व्यास येतो.

  • सोपे : परिघ 110 सेमी. व्यास = 110 × 7 ÷ 22 = 35 सेमी.
  • मध्यम : परिघ 66 सेमी. व्यास = 66 × 7 ÷ 22 = 21 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : परिघ 154 सेमी. व्यास = 154 × 7 ÷ 22 = 49 सेमी.

नियम २ : त्रिज्या = व्यास ÷ 2 — परिघावरून आधी व्यास काढा. त्यानंतर त्याला 2 ने भागा.

  • सोपे : व्यास 35 सेमी. त्रिज्या = 35 ÷ 2 = 17.5 सेमी.
  • मध्यम : परिघ 88 सेमी. व्यास = 88 × 7 ÷ 22 = 28 सेमी, त्रिज्या = 28 ÷ 2 = 14 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : परिघ 308 सेमी. व्यास = 308 × 7 ÷ 22 = 98 सेमी, त्रिज्या = 98 ÷ 2 = 49 सेमी.

नियम ३ : π = 3.14 दिला असेल तर परिघाला 3.14 ने भागा — दशांश संख्यांचे भागाकार काळजीपूर्वक करा. उत्तर तपासता येते.

  • सोपे : परिघ 94.2 सेमी. व्यास = 94.2 ÷ 3.14 = 30 सेमी.
  • मध्यम : परिघ 125.6 सेमी. व्यास = 125.6 ÷ 3.14 = 40 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : परिघ 18.84 सेमी. व्यास = 18.84 ÷ 3.14 = 6 सेमी, त्रिज्या = 6 ÷ 2 = 3 सेमी.

नियम ४ : उत्तर उलट गुणून पडताळा — मिळालेल्या व्यासाला π ने गुणा. मूळ परिघ यायला हवा.

  • सोपे : व्यास 35 सेमी. 22/7 × 35 = 110. परिघ 110 आला, म्हणून उत्तर बरोबर.
  • मध्यम : व्यास 21 सेमी. 22/7 × 21 = 66. परिघ 66 आला, म्हणून उत्तर बरोबर.
  • परीक्षेसाठी : व्यास 30 सेमी. 3.14 × 30 = 94.2. परिघ 94.2 आला, म्हणून उत्तर बरोबर.
Live आकृती

परिघावरून त्रिज्या आणि व्यास काढणे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

व्यास दिला तर गुणाकार करून परिघ मिळतो. परिघ दिला तर भागाकार करून व्यास मिळतो.

सामान्य चूक

परिघाला 22/7 ने गुणणे. परिघ 110 असताना असे केले तर 110 पेक्षा खूप मोठे उत्तर येते, पण व्यास परिघापेक्षा नेहमी लहान असतो. बरोबर : 110 × 7 ÷ 22 = 35.

शॉर्टकट

22/7 ने भागायचे म्हणजे 7 ने गुणून 22 ने भागायचे. 110 × 7 = 770 आणि 770 ÷ 22 = 35.

फरक ओळखा

मुद्दापरिघ काढणेव्यास काढणे
दिलेलेव्यासपरिघ
क्रियागुणाकारभागाकार
आकृतीतील गणित22/7 × 42 = 132110 × 7 ÷ 22 = 35
उत्तर13235

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1परिघ 132 सेमी असलेल्या वर्तुळाचा व्यास काढा. (π = 22/7)
  2. 2परिघ 264 सेमी असलेल्या वर्तुळाचा व्यास काढा. (π = 22/7)
  3. 3परिघ 66 सेमी असलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या काढा. (π = 22/7)
मध्यम
  1. 4परिघ 31.4 सेमी असलेल्या वर्तुळाचा व्यास काढा. (π = 3.14)
  2. 5परिघ 330 सेमी असलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या काढा. (π = 22/7)
  3. 6परिघ 43.96 सेमी असलेल्या वर्तुळाचा व्यास काढा. (π = 3.14)
आव्हानात्मक
  1. 7दोन वर्तुळांचे परिघ 88 सेमी आणि 132 सेमी आहेत. त्यांच्या त्रिज्यांतील फरक काढा. (π = 22/7)
  2. 8झाडाच्या खोडाभोवती 242 सेमी लांबीचा दोरा एकदा गुंडाळला. खोडाचा व्यास आणि त्रिज्या काढा. (π = 22/7)
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1व्यास = 132 × 7 ÷ 22 = 42 सेमी. 2) व्यास = 264 × 7 ÷ 22 = 84 सेमी. 3) व्यास = 66 × 7 ÷ 22 = 21 सेमी, त्रिज्या = 21 ÷ 2 = 10.5 सेमी.
  2. 4व्यास = 31.4 ÷ 3.14 = 10 सेमी. 5) व्यास = 330 × 7 ÷ 22 = 105 सेमी, त्रिज्या = 105 ÷ 2 = 52.5 सेमी. 6) व्यास = 43.96 ÷ 3.14 = 14 सेमी.
  3. 7पहिला व्यास 88 × 7 ÷ 22 = 28, त्रिज्या 14. दुसरा व्यास 132 × 7 ÷ 22 = 42, त्रिज्या 21. फरक 21 − 14 = 7 सेमी.
  4. 8व्यास = 242 × 7 ÷ 22 = 77 सेमी, त्रिज्या = 77 ÷ 2 = 38.5 सेमी.

परिघाचे उपयोग : कुंपण आणि चाकाचे फेरे

रोजच्या जीवनातून

गोल बागेभोवती तारेचे कुंपण घालायचे असेल तर तारेची लांबी बागेच्या परिघाइतकी हवी. चाक एकदा फिरले की रस्त्यावर त्याच्या परिघाइतके अंतर पुढे जाते.

सोपी व्याख्या

कुंपणाची लांबी = फेरे × परिघ आणि खर्च = लांबी × प्रति मीटर दर. चाकाचे फेरे = एकूण अंतर ÷ परिघ. अंतर आणि परिघ एकाच एककात असायला हवेत.

212 × 22/7 × 21 = 1323 × 132 = 396396 × 25 = 9900

आकृतीत : बागेची त्रिज्या 21 मी आहे. परिघ 2 × 22/7 × 21 = 132 मी. तारेचे 3 फेरे लागतील, म्हणजे 3 × 132 = 396 मी. प्रति मीटर 25 रुपये दराने खर्च 396 × 25 = 9900 रुपये.

नियम १ : कुंपणाची लांबी = फेरे × परिघ, खर्च = लांबी × दर — प्रथम परिघ काढा. मग फेऱ्यांनी गुणा. शेवटी दराने गुणा.

  • सोपे : त्रिज्या 21 मी, 3 फेरे, दर 25 रुपये. परिघ 2 × 22/7 × 21 = 132, लांबी 3 × 132 = 396 मी, खर्च 396 × 25 = 9900 रुपये.
  • मध्यम : त्रिज्या 14 मी, 3 फेरे, दर 30 रुपये. परिघ 2 × 22/7 × 14 = 88, लांबी 3 × 88 = 264 मी, खर्च 264 × 30 = 7920 रुपये.
  • परीक्षेसाठी : व्यास 28 मी, 4 फेरे, दर 20 रुपये. परिघ 22/7 × 28 = 88, लांबी 4 × 88 = 352 मी, खर्च 352 × 20 = 7040 रुपये.
0.351.122/7 × 0.35 = 1.15.5 किमी = 5500 m5500 ÷ 1.1 = 5000

आकृतीत : चाकाचा व्यास 0.35 मी आहे. एका फेऱ्यात चाक परिघाइतके 22/7 × 0.35 = 1.1 मी जाते. अंतर 5.5 किमी म्हणजे 5500 मी. फेरे 5500 ÷ 1.1 = 5000.

नियम २ : चाकाचे फेरे = एकूण अंतर ÷ परिघ — अंतर आणि परिघ एकाच एककात करा. मग भागा.

  • सोपे : व्यास 0.35 मी, अंतर 5.5 किमी. परिघ 22/7 × 0.35 = 1.1 मी, अंतर 5.5 किमी = 5500 मी. फेरे 5500 ÷ 1.1 = 5000.
  • मध्यम : व्यास 56 सेमी, अंतर 3.52 किमी. परिघ 22/7 × 56 = 176 सेमी = 1.76 मी, अंतर 3.52 किमी = 3520 मी. फेरे 3520 ÷ 1.76 = 2000.
  • परीक्षेसाठी : व्यास 42 सेमी, अंतर 660 मी = 66000 सेमी. परिघ 22/7 × 42 = 132 सेमी. फेरे 66000 ÷ 132 = 500.

नियम ३ : अंतर = फेरे × परिघ — फेरे माहीत असतील तर उलट गुणाकार करा. उत्तराचे एकक परिघाच्या एककासारखे येते.

  • सोपे : परिघ 2 मी, 300 फेरे. अंतर 300 × 2 = 600 मी.
  • मध्यम : परिघ 1.76 मी, 500 फेरे. अंतर 500 × 1.76 = 880 मी.
  • परीक्षेसाठी : व्यास 28 सेमी. परिघ 22/7 × 28 = 88 सेमी = 0.88 मी. 1500 फेऱ्यांत अंतर 1500 × 0.88 = 1320 मी, म्हणजे 1.32 किमी.
Live आकृती

परिघाचे उपयोग : कुंपण आणि चाकाचे फेरे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

चाकाचा एक फेरा म्हणजे एक परिघ अंतर. म्हणून फेरे काढायला नेहमी अंतराला परिघाने भागा.

सामान्य चूक

किमी आणि मीटर मिसळणे. 5.5 ÷ 1.1 = 5 चूक आहे. 5.5 किमी = 5500 मी करून 5500 ÷ 1.1 = 5000 बरोबर.

शॉर्टकट

परिघ मीटरमध्ये आणि अंतर मीटरमध्ये करा. मग अंदाज घ्या : एक फेरा 1.1 मी चा असेल तर 5500 मी साठी काही हजार फेरे येतात.

फरक ओळखा

मुद्दाकुंपणचाकाचे फेरे
आकृतीतील गणित2 × 22/7 × 21 = 13222/7 × 0.35 = 1.1
पुढची पायरी3 × 132 = 3965500 ÷ 1.1 = 5000
क्रियागुणाकारभागाकार
अंतिम उत्तर9900 रुपये5000 फेरे

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1बागेचा व्यास 42 मी आहे. तिच्या भोवतीचा परिघ किती? (π = 22/7)
  2. 2बागेची त्रिज्या 63 मी आहे. भोवती 2 फेरे तार लावायची आहे. तारेची लांबी किती? (π = 22/7)
  3. 3बागेचा परिघ 88 मी आहे. 3 फेरे तार प्रति मीटर 10 रुपये दराने घेतली तर खर्च किती?
मध्यम
  1. 4चाकाचा व्यास 77 सेमी आहे. 4.84 किमी जाण्यासाठी चाक किती फेरे घेईल? (π = 22/7)
  2. 5चाकाचा व्यास 21 सेमी आहे. 990 मी जाण्यासाठी किती फेरे लागतील? (π = 22/7)
  3. 6चाकाचा परिघ 1.5 मी आहे. 400 फेऱ्यांत किती अंतर जाईल?
आव्हानात्मक
  1. 7गोल मैदानाचा व्यास 70 मी आहे. भोवती 2 फेरे कुंपण घालायचे आहे. प्रति मीटर 15 रुपये दर असेल तर खर्च किती? (π = 22/7)
  2. 8चाकाचा व्यास 49 सेमी आहे. 3.08 किमी जाण्यासाठी किती फेरे लागतील? (π = 22/7)
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1परिघ = 22/7 × 42 = 132 मी. 2) परिघ = 2 × 22/7 × 63 = 396 मी. 2 फेरे 2 × 396 = 792 मी. 3) लांबी 3 × 88 = 264 मी. खर्च 264 × 10 = 2640 रुपये.
  2. 4परिघ 22/7 × 77 = 242 सेमी = 2.42 मी. अंतर 4.84 किमी = 4840 मी. फेरे 4840 ÷ 2.42 = 2000.
  3. 5परिघ 22/7 × 21 = 66 सेमी = 0.66 मी. फेरे 990 ÷ 0.66 = 1500. 6) अंतर 400 × 1.5 = 600 मी.
  4. 7परिघ 22/7 × 70 = 220 मी. लांबी 2 × 220 = 440 मी. खर्च 440 × 15 = 6600 रुपये.
  5. 8परिघ 22/7 × 49 = 154 सेमी = 1.54 मी. अंतर 3.08 किमी = 3080 मी. फेरे 3080 ÷ 1.54 = 2000.

कंसाचे माप आणि मध्यकेंद्री कोन

रोजच्या जीवनातून

पिझ्झा कापताना केंद्रातून दोन कापे केले तर त्यामधला कोन तो तुकडा किती मोठा आहे ते सांगतो. त्या तुकड्याच्या कडेचा भाग म्हणजे कंस आणि केंद्राजवळचा कोन म्हणजे मध्यकेंद्री कोन.

सोपी व्याख्या

ज्या कोनाचा शिरोबिंदू वर्तुळाचे केंद्र आहे त्याला मध्यकेंद्री कोन म्हणतात. कंसाचे माप म्हणजे त्या कंसासमोरच्या मध्यकेंद्री कोनाचे माप. पूर्ण वर्तुळाचे माप 360°.

100°100°260°360° − 100° = 260°

आकृतीत : मध्यकेंद्री कोन 100° आहे, म्हणून समोरचा लघुकंस 100°. उरलेला विशालकंस 360° − 100° = 260°. 100° आणि 260° मिळून पूर्ण वर्तुळ 360°.

नियम १ : लघुकंसाचे माप = त्याचा मध्यकेंद्री कोन — कोनाचे माप आणि कंसाचे माप सारखेच असते.

  • सोपे : मध्यकेंद्री कोन 100°. लघुकंस = 100°.
  • मध्यम : मध्यकेंद्री कोन 55°. लघुकंस = 55°.
  • परीक्षेसाठी : मध्यकेंद्री कोन 145°. लघुकंस = 145°.

नियम २ : विशालकंसााचे माप = 360° − लघुकंसाचे माप — संगत कंस मिळून पूर्ण वर्तुळ होते, म्हणून त्यांची बेरीज 360°.

  • सोपे : लघुकंस 100°. विशालकंस = 360° − 100° = 260°.
  • मध्यम : लघुकंस 85°. विशालकंस = 360° − 85° = 275°.
  • परीक्षेसाठी : लघुकंस 130°. विशालकंस = 360° − 130° = 230°.
360°180°90°

आकृतीत : पूर्ण वर्तुळ 360° आहे. त्याचा अर्धा भाग अर्धवर्तुळ 180° आहे. त्याचा चौथा भाग 90° आहे.

नियम ३ : पूर्ण वर्तुळ 360°, अर्धवर्तुळ 180° — व्यास वर्तुळाचे दोन समान भाग करतो. प्रत्येक भागाचे माप 360° चा निम्मा असते.

  • सोपे : व्यासाने 2 समान कंस. प्रत्येक = 360° ÷ 2 = 180°.
  • मध्यम : वर्तुळाचे 4 समान भाग केले तर प्रत्येक कंस = 360° ÷ 4 = 90°.
  • परीक्षेसाठी : दोन संगत कंसांपैकी एक 180° असेल तर दुसरा 360° − 180° = 180° असतो.
Live आकृती

कंसाचे माप आणि मध्यकेंद्री कोन

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

कंसाचे माप अंशांत असते, लांबीत नाही. लघुकंस 180° पेक्षा लहान असतो आणि विशालकंस 180° पेक्षा मोठा.

सामान्य चूक

विशालकंसाासाठी 180° वजा करणे. लघुकंस 100° असताना विशालकंस 180° − 100° = 80° चूक आहे. बरोबर : 360° − 100° = 260°.

शॉर्टकट

दोन संगत कंसांची बेरीज नेहमी 360° असते. एक माहीत असेल तर 360° मधून वजा करा. 360° − 100° = 260°.

फरक ओळखा

मुद्दालघुकंसविशालकंस
माप180° पेक्षा कमी180° पेक्षा जास्त
आकृतीत100°260°
कसे काढायचेकोनाइतके360° − लघुकंस
दोघांची बेरीज360°360°

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1मध्यकेंद्री कोन 40° असेल तर लघुकंसाचे माप किती?
  2. 2लघुकंस 150° असेल तर विशालकंस किती?
  3. 3व्यासाने झालेल्या एका कंसाचे माप किती?
मध्यम
  1. 4लघुकंस 25° असेल तर विशालकंस किती?
  2. 5विशालकंस 300° असेल तर लघुकंस किती?
  3. 6दोन संगत कंसांपैकी विशालकंस लघुकंसाच्या 3 पट आहे. दोन्ही कंसांचे माप काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7मध्यकेंद्री कोन 72° आहे. विशालकंसााचे माप काढा आणि तो लघुकंसाच्या किती पट आहे ते सांगा.
  2. 8वर्तुळाचे 5 समान कंस केले आहेत. एका कंसाचे माप किती? आणि 2 कंस मिळून किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1लघुकंस = 40°. 2) विशालकंस = 360° − 150° = 210°. 3) व्यासाने अर्धवर्तुळ होते, म्हणून 180°.
  2. 4विशालकंस = 360° − 25° = 335°. 5) लघुकंस = 360° − 300° = 60°.
  3. 6लहान आणि विशालकंस मिळून 1 + 3 = 4 भाग, 360° ÷ 4 = 90°. लघुकंस 90° आणि विशालकंस 3 × 90° = 270°.
  4. 7विशालकंस = 360° − 72° = 288°. 288° ÷ 72° = 4, म्हणजे 4 पट.
  5. 8एक कंस = 360° ÷ 5 = 72°. 2 कंस मिळून 2 × 72° = 144°.