K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 7 · गणित

धडा ९: थेट आणि व्यस्त प्रमाण

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

थेट आणि व्यस्त प्रमाण ओळखणे

रोजच्या जीवनातून

एका पेटीत 4 बाटल्या असतात. 2 पेट्यांत 8 बाटल्या आणि 3 पेट्यांत 12 बाटल्या असतात; पेट्या वाढल्या की बाटल्याही त्याच प्रमाणात वाढतात. पण 24 चॉकलेटे जास्त मुलांत वाटली तर प्रत्येकाला कमी चॉकलेटे मिळतात.

सोपी व्याख्या

दोन राशी एकत्र आणि त्याच प्रमाणात वाढतात किंवा कमी होतात, तेव्हा त्यांचे थेट प्रमाण असते; यात त्यांचे गुणोत्तर (भागाकार) बदलत नाही. एक राशी वाढली की दुसरी त्याच प्रमाणात कमी होते, तेव्हा व्यस्त प्रमाण असते; यात त्यांचा गुणाकार बदलत नाही.

11 : 422 : 833 : 1244 : 161 : 4 = 2 : 8 = 3 : 12 = 4 : 16पेट्या आणि बाटल्यांचे गुणोत्तर नेहमी सारखे

आकृतीत : 1 पेटीत 4 बाटल्या, 2 पेट्यांत 8, 3 पेट्यांत 12 आणि 4 पेट्यांत 16 बाटल्या आहेत. गुणोत्तरे 1 : 4, 2 : 8, 3 : 12 आणि 4 : 16 ही सर्व सारखीच आहेत.

नियम १ : थेट प्रमाण ओळखण्यासाठी गुणोत्तर तपासा — प्रत्येक जोडीत दुसरी राशी भागिले पहिली राशी काढा. उत्तर सर्व जोड्यांत सारखे आले तर प्रमाण थेट आहे.

  • सोपे : 3 वह्यांची किंमत 45 रुपये आणि 5 वह्यांची 75 रुपये. 45 ÷ 3 = 15 आणि 75 ÷ 5 = 15, म्हणून हे थेट प्रमाण आहे.
  • मध्यम : 4 किलो तांदूळ 280 रुपयांना आणि 6 किलो 420 रुपयांना. 280 ÷ 4 = 70 आणि 420 ÷ 6 = 70, म्हणून थेट प्रमाण.
  • परीक्षेसाठी : मोटारसायकल 2 लिटरमध्ये 90 किमी आणि 5 लिटरमध्ये 225 किमी जाते. 90 ÷ 2 = 45 आणि 225 ÷ 5 = 45, म्हणून थेट प्रमाण.
212122 × 1238883 × 8466664 × 664444446 × 42 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6 = 6 × 4 = 24मुले × प्रत्येकाला मिळालेली चॉकलेटे = नेहमी सारखे

आकृतीत : 24 चॉकलेटे 2 मुलांत वाटली तर प्रत्येकी 12, 3 मुलांत 8, 4 मुलांत 6 आणि 6 मुलांत 4 मिळतात. 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6 आणि 6 × 4 हे सर्व 24 आहेत.

नियम २ : व्यस्त प्रमाण ओळखण्यासाठी गुणाकार तपासा — प्रत्येक जोडीतील दोन राशींचा गुणाकार काढा. तो सर्व जोड्यांत सारखा आला तर प्रमाण व्यस्त आहे.

  • सोपे : 36 पेन्सिली 4 मुलांत वाटल्या तर प्रत्येकी 9 आणि 6 मुलांत वाटल्या तर प्रत्येकी 6. 4 × 9 = 36 आणि 6 × 6 = 36, म्हणून व्यस्त प्रमाण.
  • मध्यम : 180 किमी अंतर 30 किमी/तास वेगाने 6 तासांत आणि 45 किमी/तास वेगाने 4 तासांत जातात. 30 × 6 = 180 आणि 45 × 4 = 180, म्हणून व्यस्त प्रमाण.
  • परीक्षेसाठी : 8 नळ टाकी 9 तासांत भरतात आणि 12 नळ 6 तासांत. 8 × 9 = 72 आणि 12 × 6 = 72, म्हणून व्यस्त प्रमाण.

नियम ३ : आधी दिशा पाहा, मग गणिताने खात्री करा — दोन्ही राशी एकाच दिशेने बदलत असतील तर थेट असण्याची शक्यता असते आणि उलट दिशेने बदलत असतील तर व्यस्त असण्याची. गुणोत्तर किंवा गुणाकार तपासूनच निर्णय घ्या.

  • सोपे : दिव्यांची संख्या दुप्पट केली तर विजेचे बिल दुप्पट होते; दोन्ही एकाच दिशेने, म्हणून थेट प्रमाण.
  • मध्यम : कामगार जास्त लावले तर काम संपायला कमी दिवस लागतात; उलट दिशा, म्हणून व्यस्त प्रमाण.
  • परीक्षेसाठी : 5 पिशव्यांचे वजन 40 किलो आणि 9 पिशव्यांचे 72 किलो. 40 ÷ 5 = 8 आणि 72 ÷ 9 = 8, म्हणून दिशा आणि गणित दोन्ही थेट प्रमाण दाखवतात.
Live आकृती

थेट आणि व्यस्त प्रमाण ओळखणे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

थेट प्रमाणात गुणोत्तर स्थिर असते आणि व्यस्त प्रमाणात गुणाकार स्थिर असतो. आकृतीतील लाल सरळ रेषा थेट प्रमाणाची आणि निळा वक्र व्यस्त प्रमाणाचा आहे.

सामान्य चूक

"दोन्ही वाढतात म्हणून थेट प्रमाण" असे ठरवणे. वाढ त्याच प्रमाणात होते का ते गुणोत्तराने पाहा; मुलाचे वय आणि उंची दोन्ही वाढतात, पण त्याच प्रमाणात नाही.

शॉर्टकट

एक राशी दुप्पट करून पाहा. दुसरीही दुप्पट होत असेल तर थेट प्रमाण आणि निम्मी होत असेल तर व्यस्त प्रमाण.

फरक ओळखा

मुद्दाथेट प्रमाणव्यस्त प्रमाण
राशी कशा बदलतातएकाच दिशेनेउलट दिशेने
काय स्थिर राहतेगुणोत्तर (भागाकार)गुणाकार
एक राशी दुप्पट केली तरदुसरी दुप्पट होतेदुसरी निम्मी होते
उदाहरणवस्तू आणि त्यांची किंमतकामगार आणि कामाचे दिवस

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 17 पेनांची किंमत 56 रुपये आणि 9 पेनांची 72 रुपये आहे. हे थेट प्रमाण आहे का? तपासा.
  2. 230 चॉकलेटे 6 मुलांत वाटली तर प्रत्येकी 5 आणि 10 मुलांत वाटली तर प्रत्येकी 3 मिळतात. हे कोणते प्रमाण आहे?
  3. 3खालीलपैकी थेट कोणते आणि व्यस्त कोणते ते लिहा : (अ) वस्तूंची संख्या आणि एकूण किंमत (ब) गाडीचा वेग आणि तेवढे अंतर जायला लागणारा वेळ.
मध्यम
  1. 4पुढील जोड्या थेट प्रमाणात आहेत, व्यस्त प्रमाणात आहेत की दोन्ही नाहीत ते लिहा : (अ) (2, 18), (3, 27), (5, 45) (ब) (2, 30), (3, 20), (5, 12) (क) (1, 5), (2, 8), (3, 9).
  2. 5एक काम 12 कामगारांना 15 दिवसांत आणि 20 कामगारांना 9 दिवसांत होते. हे कोणते प्रमाण आहे? गणिताने दाखवा.
  3. 6एक राशी 3 पट झाली तेव्हा दुसरी राशी 12 वरून 36 झाली. आणखी एका वेळी एक राशी 3 पट झाली आणि दुसरी 12 वरून 4 झाली. प्रत्येक वेळी कोणते प्रमाण?
आव्हानात्मक
  1. 75 पिशव्यांतील तांदळाचे वजन 40 किलो आहे. 8 पिशव्यांतील तांदूळ किती किलो असेल? प्रमाण कोणते वापराल ते कारणासह सांगा.
  2. 8एका सभागृहात 36 आसने आहेत. 4 रांगांत प्रत्येकी 9, 6 रांगांत प्रत्येकी 6 आणि 12 रांगांत प्रत्येकी 3 आसने ठेवता येतात. हे कोणते प्रमाण आहे? 9 रांगा केल्या तर प्रत्येकात किती आसने येतील?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 156 ÷ 7 = 8 आणि 72 ÷ 9 = 8; गुणोत्तर सारखे, म्हणून थेट प्रमाण. 2) 6 × 5 = 30 आणि 10 × 3 = 30; व्यस्त प्रमाण. 3) (अ) थेट (ब) व्यस्त.
  2. 4(अ) 18 ÷ 2 = 9, 27 ÷ 3 = 9, 45 ÷ 5 = 9; थेट. (ब) 2 × 30 = 60, 3 × 20 = 60, 5 × 12 = 60; व्यस्त. (क) 5 ÷ 1 = 5, 8 ÷ 2 = 4; गुणाकार 1 × 5 = 5, 2 × 8 = 16; दोन्ही नाही.
  3. 512 × 15 = 180 आणि 20 × 9 = 180; गुणाकार सारखा, म्हणून व्यस्त प्रमाण. 6) पहिल्या वेळी थेट प्रमाण (दोन्ही 3 पट); दुसऱ्या वेळी व्यस्त प्रमाण (दुसरी राशी 12 ÷ 3 = 4).
  4. 7थेट प्रमाण, कारण पिशव्या वाढल्या की वजन त्याच प्रमाणात वाढते. 40 ÷ 5 = 8 किलो एका पिशवीत, म्हणून 8 × 8 = 64 किलो.
  5. 84 × 9 = 36, 6 × 6 = 36 आणि 12 × 3 = 36; व्यस्त प्रमाण. 9 रांगांत 36 ÷ 9 = 4 आसने.

थेट प्रमाणातील अज्ञात किंमत

रोजच्या जीवनातून

हलवाई 4 किलो पेढ्यांना 1200 रुपये सांगतो. 7 किलोला किती पैसे द्यावे लागतील हे सहज काढता येते : आधी 1 किलोची किंमत काढतात आणि मग 7 ने गुणतात.

सोपी व्याख्या

थेट प्रमाणात गुणोत्तर स्थिर असते. म्हणून दिलेल्या जोडीवरून अज्ञात किंमत दोन पद्धतींनी काढता येते : एकक पद्धत (आधी एकाची किंमत काढा) आणि प्रमाण पद्धत (दोन जोड्यांची गुणोत्तरे समान लिहा).

56666630÷ 516= 6× 886666666648

आकृतीत : 5 वस्तूंची किंमत 30 रुपये आहे. 30 ÷ 5 = 6, म्हणून 1 वस्तूची किंमत 6 रुपये. मग 8 वस्तूंची किंमत 8 × 6 = 48 रुपये.

051015पेन्सिली0306090रुपये5 : 30 = 10 : 60 = 15 : 90

आकृतीत : पेन्सिली 0, 5, 10 आणि 15 असतील तर रुपये 0, 30, 60 आणि 90 होतात. 5 पेन्सिली 30 रुपये, 10 पेन्सिली 60 रुपये आणि 15 पेन्सिली 90 रुपये; प्रत्येक जोडीचे गुणोत्तर 5 : 30 = 1 : 6.

नियम १ : एकक पद्धत — आधी एकाची किंमत काढा — दिलेली एकूण किंमत वस्तूंच्या संख्येने भागा आणि मग हव्या तेवढ्या वस्तूंनी गुणा.

  • सोपे : 4 किलो पेढे 1200 रुपयांना. 1 किलोची किंमत 1200 ÷ 4 = 300 रुपये, म्हणून 7 किलोची किंमत 7 × 300 = 2100 रुपये.
  • मध्यम : 9 मीटर कापडाची किंमत 1170 रुपये. 1 मीटरची किंमत 1170 ÷ 9 = 130 रुपये, म्हणून 14 मीटरची किंमत 14 × 130 = 1820 रुपये.
  • परीक्षेसाठी : एक यंत्र 5 तासांत 360 वस्तू बनवते. 1 तासात 360 ÷ 5 = 72 वस्तू, म्हणून 8 तासांत 8 × 72 = 576 वस्तू.

नियम २ : प्रमाण पद्धत — दोन गुणोत्तरे समान मांडा — पहिली जोडी आणि दुसरी जोडी यांची गुणोत्तरे समान लिहा आणि आडवे गुणाकार करा. दोन्ही जोड्यांत राशींचा क्रम सारखाच ठेवा.

  • सोपे : 2 किलो द्राक्षे 190 रुपये, तर 5 किलोचे x रुपये. 2 : 190 = 5 : x ⇒ 2x = 190 × 5 = 950 ⇒ x = 950 ÷ 2 = 475 रुपये.
  • मध्यम : 7 लिटर पेट्रोलमध्ये 84 किमी, तर 11 लिटरमध्ये x किमी. 7 : 84 = 11 : x ⇒ 7x = 84 × 11 = 924 ⇒ x = 924 ÷ 7 = 132 किमी.
  • परीक्षेसाठी : नकाशावर 3 सेमी म्हणजे 45 किमी, तर 8 सेमी म्हणजे x किमी. 3 : 45 = 8 : x ⇒ 3x = 45 × 8 = 360 ⇒ x = 360 ÷ 3 = 120 किमी.

नियम ३ : उत्तर तपासा — मिळालेल्या उत्तरासह दोन्ही जोड्यांचे गुणोत्तर काढा. ते सारखे आले तर उत्तर बरोबर आहे.

  • सोपे : 2 किलो 190 रुपये आणि 5 किलो 475 रुपये. 190 ÷ 2 = 95 आणि 475 ÷ 5 = 95, म्हणून उत्तर बरोबर.
  • मध्यम : 7 लिटर 84 किमी आणि 11 लिटर 132 किमी. 84 ÷ 7 = 12 आणि 132 ÷ 11 = 12, म्हणून उत्तर बरोबर.
  • परीक्षेसाठी : 3 सेमी 45 किमी आणि 8 सेमी 120 किमी. 45 ÷ 3 = 15 आणि 120 ÷ 8 = 15, म्हणून उत्तर बरोबर.

नियम ४ : आधी एकके सारखी करा — एका जोडीत तास आणि दुसरीत मिनिटे असतील तर आधी दोन्ही एकाच एककात लिहा आणि मग गणित करा.

  • सोपे : 250 ग्रॅम तुपाची किंमत 150 रुपये. 1 किलो म्हणजे 1000 ग्रॅम; 1000 ÷ 250 = 4 पट, म्हणून किंमत 4 × 150 = 600 रुपये.
  • मध्यम : 2 तासांत 240 रुपये मिळतात. 2 तास म्हणजे 120 मिनिटे, तर 1 मिनिटाचे 240 ÷ 120 = 2 रुपये आणि 45 मिनिटांचे 45 × 2 = 90 रुपये.
  • परीक्षेसाठी : 3 मीटर रिबिनीची किंमत 90 रुपये. 3 मीटर म्हणजे 300 सेमी; 300 : 90 = 80 : x ⇒ 300x = 90 × 80 = 7200 ⇒ x = 7200 ÷ 300 = 24 रुपये.
Live आकृती

थेट प्रमाणातील अज्ञात किंमत

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

थेट प्रमाणात वस्तू वाढल्या की किंमतही वाढते. उत्तर पहिल्या किंमतीपेक्षा मोठे येत आहे का ते पाहा.

सामान्य चूक

दुसऱ्या गुणोत्तरात राशींचा क्रम उलटा लिहिणे. पहिल्यात वस्तू : रुपये असेल तर दुसऱ्यातही वस्तू : रुपये असाच क्रम ठेवा.

शॉर्टकट

हवी असलेली संख्या पहिल्या संख्येच्या दुप्पट किंवा तिप्पट असेल तर किंमतही तेवढ्याच पट घ्या, भागाकार न करता.

फरक ओळखा

मुद्दाप्रमाण पद्धतएकक पद्धत
सुरुवातदोन गुणोत्तरे समान मांडाएकाची किंमत काढा
क्रियाआडवे गुणाकारभागाकार, मग गुणाकार
केव्हा सोपीसंख्या अवघड असतानाएकाची किंमत पूर्ण संख्या येताना
तपासणीदोन्ही गुणोत्तरे सारखीएकाची किंमत × संख्या = एकूण

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 16 पेनांची किंमत 72 रुपये आहे. 1 पेनाची किंमत किती?
  2. 24 वह्यांची किंमत 60 रुपये आहे. 9 वह्यांची किंमत किती?
  3. 35 किलो साखरेची किंमत 225 रुपये आहे. 8 किलो साखरेची किंमत किती?
मध्यम
  1. 48 मीटर कापडाची किंमत 640 रुपये आहे. प्रमाण पद्धतीने 13 मीटर कापडाची किंमत काढा.
  2. 59 लिटर दुधाची किंमत 405 रुपये आहे. 14 लिटर दुधाची किंमत एकक पद्धतीने काढा.
  3. 6750 ग्रॅम काजूची किंमत 120 रुपये आहे. 2 किलो काजूची किंमत किती?
आव्हानात्मक
  1. 7एक मोटार 12 लिटर पेट्रोलमध्ये 156 किमी जाते. 20 लिटरमध्ये ती किती किमी जाईल? 325 किमी जाण्यासाठी किती लिटर पेट्रोल लागेल?
  2. 83 तास काम केल्यावर 135 रुपये मिळतात. तेवढ्याच दराने 100 मिनिटे काम केल्यावर किती रुपये मिळतील?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 172 ÷ 6 = 12 रुपये. 2) 1 वही 60 ÷ 4 = 15 रुपये; 9 × 15 = 135 रुपये. 3) 1 किलो 225 ÷ 5 = 45 रुपये; 8 × 45 = 360 रुपये.
  2. 48 : 640 = 13 : x ⇒ 8x = 640 × 13 = 8320 ⇒ x = 8320 ÷ 8 = 1040 रुपये.
  3. 51 लिटर 405 ÷ 9 = 45 रुपये; 14 × 45 = 630 रुपये. 6) 2 किलो म्हणजे 2000 ग्रॅम; 750 : 120 = 2000 : x ⇒ 750x = 120 × 2000 = 240000 ⇒ x = 240000 ÷ 750 = 320 रुपये.
  4. 71 लिटरमध्ये 156 ÷ 12 = 13 किमी; 20 लिटरमध्ये 20 × 13 = 260 किमी. 325 किमीसाठी 325 ÷ 13 = 25 लिटर.
  5. 83 तास म्हणजे 180 मिनिटे; 180 : 135 = 100 : x ⇒ 180x = 135 × 100 = 13500 ⇒ x = 13500 ÷ 180 = 75 रुपये.

व्यस्त प्रमाणातील अज्ञात किंमत

रोजच्या जीवनातून

4 मुली एक रांगोळी 6 तासांत काढतात. 12 मुली असतील तर काम कमी वेळात होते. येथे एकूण काम 4 × 6 = 24 (मुली × तास) आहे, आणि 24 ÷ 12 = 2 तासांत ते होते.

सोपी व्याख्या

व्यस्त प्रमाणात दोन राशींचा गुणाकार स्थिर असतो. म्हणून पहिल्या जोडीचा गुणाकार काढा आणि तो दुसऱ्या जोडीतील माहीत असलेल्या संख्येने भागा.

606106012560154रुंदी = माणसे, उंची = दिवस6 × 10 = 12 × 5 = 15 × 4 = 60

आकृतीत : 6 माणसे 10 दिवस, 12 माणसे 5 दिवस आणि 15 माणसे 4 दिवस काम करतात. 6 × 10, 12 × 5 आणि 15 × 4 हे तिन्ही गुणाकार 60 आहेत, म्हणून तिन्ही आयतांचे क्षेत्रफळ सारखेच.

नियम १ : गुणाकार स्थिर — आधी गुणाकार, मग भागाकार — पहिल्या जोडीचा गुणाकार काढा आणि त्याला दुसऱ्या जोडीतील माहीत असलेल्या संख्येने भागा.

  • सोपे : 8 कामगार काम 9 दिवसांत करतात. 8 × 9 = 72; 12 कामगारांना 72 ÷ 12 = 6 दिवस लागतात.
  • मध्यम : 18 कामगारांना 14 दिवस लागतात. 18 × 14 = 252; 21 कामगारांना 252 ÷ 21 = 12 दिवस लागतात.
  • परीक्षेसाठी : 14 कामगारांना 15 दिवस लागतात. 14 × 15 = 210; 10 कामगारांना 210 ÷ 10 = 21 दिवस लागतात.

नियम २ : एकक पद्धत — आधी एकाला किती लागेल ते काढा — एका माणसाला किंवा एका नळाला किती वेळ लागेल ते गुणून काढा, मग हव्या तेवढ्यांनी भागा.

  • सोपे : 6 मुली एक काम 4 तासांत करतात. 1 मुलगी 6 × 4 = 24 तासांत करेल; 8 मुली 24 ÷ 8 = 3 तासांत करतील.
  • मध्यम : 5 नळ टाकी 12 तासांत भरतात. 1 नळ 5 × 12 = 60 तासांत भरेल; 15 नळ 60 ÷ 15 = 4 तासांत भरतील.
  • परीक्षेसाठी : 9 कामगार काम 20 दिवसांत करतात. 1 कामगार 9 × 20 = 180 दिवसांत करेल; 12 कामगार 180 ÷ 12 = 15 दिवसांत करतील.

नियम ३ : अंतर सारखे असेल तर वेग आणि वेळ व्यस्त प्रमाणात असतात — अंतर = वेग × वेळ. अंतर तेच राहते, म्हणून वेग वाढला की वेळ त्याच प्रमाणात कमी होतो.

  • सोपे : 240 किमी अंतर 60 किमी/तास वेगाने 4 तासांत जातात. 80 किमी/तास वेगाने 240 ÷ 80 = 3 तास लागतात.
  • मध्यम : 150 किमी अंतर 25 किमी/तास वेगाने 150 ÷ 25 = 6 तासांत आणि 50 किमी/तास वेगाने 150 ÷ 50 = 3 तासांत जातात.
  • परीक्षेसाठी : एक गाडी 54 किमी/तास वेगाने 3 तासांत पोहोचते. अंतर 54 × 3 = 162 किमी; 2 तासांत पोहोचण्यासाठी वेग 162 ÷ 2 = 81 किमी/तास हवा.

नियम ४ : उत्तराची खात्री करा — माणसे वाढली तर दिवस कमी यायला हवेत. तसेच दोन्ही जोड्यांचे गुणाकार सारखे आले पाहिजेत.

  • सोपे : 8 कामगार 9 दिवस आणि 12 कामगार 6 दिवस. माणसे वाढली, दिवस कमी झाले; 8 × 9 = 72 आणि 12 × 6 = 72.
  • मध्यम : 5 नळ 12 तास आणि 15 नळ 4 तास. नळ वाढले, तास कमी झाले; 5 × 12 = 60 आणि 15 × 4 = 60.
  • परीक्षेसाठी : 14 कामगार 15 दिवस आणि 10 कामगार 21 दिवस. कामगार कमी झाले, दिवस वाढले; 14 × 15 = 210 आणि 10 × 21 = 210.
Live आकृती

व्यस्त प्रमाणातील अज्ञात किंमत

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

व्यस्त प्रमाणात आधी गुणाकार करतात आणि मग भागाकार. थेट प्रमाणात याच्या उलट, आधी भागाकार आणि मग गुणाकार.

सामान्य चूक

व्यस्त प्रमाणाला थेट प्रमाणाच्या पद्धतीने सोडवणे. 8 कामगार 9 दिवस असताना 12 कामगारांचे दिवस 9 × 12 ÷ 8 = 13.5 असे काढले तर उत्तर चुकते; बरोबर उत्तर 6 दिवस आहे.

शॉर्टकट

माणसांची संख्या दुप्पट झाली तर दिवस निम्मे आणि तिप्पट झाली तर दिवस एक तृतीयांश घ्या.

फरक ओळखा

मुद्दाथेट प्रमाणव्यस्त प्रमाण
काय स्थिरगुणोत्तरगुणाकार
मांडणी3 : 45 = 5 : x3 × 45 = 5 × x
एकासाठी किंमत काढतानाभागाकार, मग गुणाकारगुणाकार, मग भागाकार
उत्तर कसे येतेजास्त संख्येला जास्त किंमतजास्त संख्येला कमी किंमत

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 16 कामगार काम 20 दिवसांत करतात. 10 कामगारांना किती दिवस लागतील?
  2. 24 नळ टाकी 15 तासांत भरतात. 6 नळ किती तासांत भरतील?
  3. 3360 किमी अंतर 90 किमी/तास वेगाने 4 तासांत जातात. 120 किमी/तास वेगाने किती तास लागतील?
मध्यम
  1. 416 कामगारांना एक काम 12 दिवसांत होते. 24 कामगारांना किती दिवस लागतील?
  2. 59 कामगार काम 28 दिवसांत करतात. 12 कामगारांनी तेच काम किती दिवसांत होईल?
  3. 65 पंप एक तलाव 8 तासांत उपसतात. 10 पंपांना किती तास लागतील? 4 पंपांना किती तास लागतील?
आव्हानात्मक
  1. 720 कामगार एक काम 18 दिवसांत करतात. 6 दिवस काम केल्यावर 8 कामगार निघून गेले. उरलेले काम बाकीचे कामगार किती दिवसांत पूर्ण करतील?
  2. 8एका शिबिरात 30 मुलांना 24 दिवस पुरेल एवढे धान्य आहे. 6 मुले आणखी आली तर तेच धान्य किती दिवस पुरेल?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 16 × 20 = 120; 120 ÷ 10 = 12 दिवस. 2) 4 × 15 = 60; 60 ÷ 6 = 10 तास. 3) 90 × 4 = 360; 360 ÷ 120 = 3 तास.
  2. 416 × 12 = 192; 192 ÷ 24 = 8 दिवस. 5) 9 × 28 = 252; 252 ÷ 12 = 21 दिवस.
  3. 65 × 8 = 40; 10 पंपांना 40 ÷ 10 = 4 तास आणि 4 पंपांना 40 ÷ 4 = 10 तास.
  4. 7एकूण काम 20 × 18 = 360 (कामगार × दिवस). 6 दिवसांत 20 × 6 = 120 झाले; उरले 360 − 120 = 240. उरलेले कामगार 20 − 8 = 12; 240 ÷ 12 = 20 दिवस.
  5. 830 × 24 = 720; मुले 30 + 6 = 36; 720 ÷ 36 = 20 दिवस.

दैनंदिन उदाहरणांत थेट की व्यस्त प्रमाण ओळखणे

रोजच्या जीवनातून

बसमध्ये प्रवासी वाढले की तिकिटांचे एकूण पैसे वाढतात. पण एखादे घर रंगवायला जास्त रंगारी लावले तर दिवस कमी लागतात. दोन्ही राशी बदलतात, पण संबंध वेगळा आहे.

सोपी व्याख्या

प्रत्येक उदाहरणात स्वतःला विचारा, "एक राशी दुप्पट झाली तर दुसरी काय होते?" दुसरीही दुप्पट होत असेल तर थेट प्रमाण, निम्मी होत असेल तर व्यस्त प्रमाण आणि दोन्ही नाही होत असेल तर प्रमाणच नाही.

थेट→→गुणोत्तर स्थिरव्यस्त→→गुणाकार स्थिर

आकृतीत : थेट प्रमाणात पहिली राशी वाढली (वर बाण) की दुसरीही वाढते आणि पहिली कमी झाली (खाली बाण) की दुसरीही कमी होते. व्यस्त प्रमाणात पहिली वाढली की दुसरी कमी होते आणि पहिली कमी झाली की दुसरी वाढते.

नियम १ : दुप्पट चाचणी वापरा — एक राशी दुप्पट करा आणि दुसरी राशी कशी बदलते ते पाहा.

  • सोपे : 1 पेनाची किंमत 10 रुपये आणि 2 पेनांची 20 रुपये; दुप्पट पेनांना दुप्पट किंमत, म्हणून थेट प्रमाण.
  • मध्यम : 1 नळ टाकी 12 तासांत भरतो आणि 2 नळ 6 तासांत; दुप्पट नळांना निम्मा वेळ, म्हणून व्यस्त प्रमाण.
  • परीक्षेसाठी : वेग दुप्पट केला तर तेवढ्याच अंतराला वेळ निम्मा लागतो, म्हणून वेग आणि वेळ व्यस्त प्रमाणात असतात.

नियम २ : गुणोत्तर की गुणाकार स्थिर आहे ते तपासा — दिलेल्या जोड्यांचे भागाकार आणि गुणाकार दोन्ही काढून पाहा. जो सर्व जोड्यांत सारखा येईल त्यावरून प्रमाण ठरवा.

  • सोपे : जोड्या (3, 45), (5, 75), (8, 120). 45 ÷ 3 = 15, 75 ÷ 5 = 15 आणि 120 ÷ 8 = 15; गुणोत्तर स्थिर, म्हणून थेट प्रमाण.
  • मध्यम : जोड्या (20, 6), (30, 4), (40, 3). 20 × 6 = 120, 30 × 4 = 120 आणि 40 × 3 = 120; गुणाकार स्थिर, म्हणून व्यस्त प्रमाण.
  • परीक्षेसाठी : जोड्या (6, 110), (8, 124), (10, 134). गुणाकार 6 × 110 = 660, 8 × 124 = 992 आणि 10 × 134 = 1340 सारखे नाहीत; 110 ÷ 6, 124 ÷ 8 आणि 134 ÷ 10 ही गुणोत्तरेही सारखी नाहीत, म्हणून प्रमाण नाही.
Live आकृती

दैनंदिन उदाहरणांत थेट की व्यस्त प्रमाण ओळखणे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम ३ : प्रत्येक संबंध प्रमाणात असतोच असे नाही — दोन राशी बदलत असल्या तरी त्या थेट किंवा व्यस्त प्रमाणात असतीलच असे नाही. दोन्ही चाचण्या अपयशी ठरल्या तर प्रमाण नाही असे लिहा.

  • सोपे : मुलाचे वय आणि उंची दोन्ही वाढतात, पण उंची वयाच्या त्याच प्रमाणात वाढत नाही; म्हणून हे थेट प्रमाण नाही.
  • मध्यम : चौरसाची बाजू 2 असताना क्षेत्रफळ 4 आणि बाजू 4 असताना क्षेत्रफळ 16. बाजू दुप्पट झाली, पण क्षेत्रफळ चौपट; 4 ÷ 2 = 2 आणि 16 ÷ 4 = 4 सारखे नाहीत, म्हणून थेट प्रमाण नाही.
  • परीक्षेसाठी : टॅक्सीचे भाडे 2 किमीला 40 रुपये आणि 4 किमीला 60 रुपये आहे. 40 ÷ 2 = 20 आणि 60 ÷ 4 = 15 सारखे नाहीत, म्हणून थेट प्रमाण नाही.
लक्षात ठेवा

"दोन्ही वाढतात" एवढ्यावरून थेट प्रमाण ठरत नाही. वाढ त्याच प्रमाणात असली पाहिजे.

सामान्य चूक

"मुले जास्त तर चॉकलेटे जास्त" असे समजणे. एकूण चॉकलेटे सारखी असताना मुले वाढली की प्रत्येकाला कमी मिळतात, म्हणून ते व्यस्त प्रमाण आहे.

शॉर्टकट

एकूण सारखे राहत असेल (अंतर, काम, एकूण चॉकलेटे) तर व्यस्त प्रमाण. एकाचा दर सारखा राहत असेल (एका वस्तूची किंमत) तर थेट प्रमाण.

फरक ओळखा

प्रसंगसंबंधकाय स्थिर राहते
वस्तू आणि त्यांची किंमतथेटएका वस्तूची किंमत (गुणोत्तर)
कामगार आणि कामाचे दिवसव्यस्तएकूण काम (गुणाकार)
वेग आणि वेळ (अंतर सारखे)व्यस्तअंतर (गुणाकार)
पेट्रोल आणि कापलेले अंतरथेट1 लिटरमधील अंतर (गुणोत्तर)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1थेट की व्यस्त ते लिहा : (अ) सायकलचा वेग आणि 24 किमी जायला लागणारा वेळ (ब) डझनांची संख्या आणि अंड्यांची एकूण किंमत (क) 60 पाने वाचायला लागणारे दिवस आणि रोज वाचलेली पाने.
  2. 2जोड्या (4, 28), (6, 42), (9, 63) कोणत्या प्रमाणात आहेत?
  3. 3जोड्या (3, 40), (5, 24), (8, 15) कोणत्या प्रमाणात आहेत?
मध्यम
  1. 4जोड्या (2, 9), (4, 16), (6, 25) थेट आहेत, व्यस्त आहेत की दोन्ही नाहीत? तपासा.
  2. 5सहलीला 24 मुले जातात आणि प्रत्येकजण 150 रुपये देतो. एकूण खर्च तोच ठेवून 30 मुले गेली तर प्रत्येकाने किती रुपये द्यावेत?
  3. 65 वर्गांना 40 बाके आहेत. प्रत्येक वर्गाला तेवढीच बाके द्यायची असतील तर 8 वर्गांना किती बाके लागतील?
आव्हानात्मक
  1. 7आयताचे क्षेत्रफळ 60 चौसेमी ठेवून लांबी 5, 6 आणि 10 सेमी घेतली तर रुंदी किती येईल? हे कोणते प्रमाण आहे?
  2. 8एका राशीची किंमते 6, 9, 15 आणि दुसरीची 4, 6, 10 आहेत. हे कोणते प्रमाण आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1(अ) व्यस्त (ब) थेट (क) व्यस्त. 2) 28 ÷ 4 = 7, 42 ÷ 6 = 7 आणि 63 ÷ 9 = 7; थेट प्रमाण. 3) 3 × 40 = 120, 5 × 24 = 120 आणि 8 × 15 = 120; व्यस्त प्रमाण.
  2. 49 ÷ 2 = 4.5 आणि 16 ÷ 4 = 4; तसेच 2 × 9 = 18 आणि 4 × 16 = 64; दोन्ही सारखे नाहीत, म्हणून दोन्ही नाही.
  3. 5एकूण खर्च 24 × 150 = 3600 रुपये; 3600 ÷ 30 = 120 रुपये प्रत्येकी (व्यस्त प्रमाण).
  4. 61 वर्गाला 40 ÷ 5 = 8 बाके; 8 वर्गांना 8 × 8 = 64 बाके (थेट प्रमाण).
  5. 7रुंदी 60 ÷ 5 = 12, 60 ÷ 6 = 10 आणि 60 ÷ 10 = 6 सेमी; लांबी × रुंदी स्थिर, म्हणून व्यस्त प्रमाण.
  6. 86 ÷ 4 = 1.5, 9 ÷ 6 = 1.5 आणि 15 ÷ 10 = 1.5; गुणोत्तर 6 : 4 = 9 : 6 = 15 : 10 = 3 : 2; थेट प्रमाण.

भागीदारी

रोजच्या जीवनातून

दोन मित्र मिळून नाश्त्याची गाडी सुरू करतात. एकाने 2000 रुपये आणि दुसऱ्याने 3000 रुपये घातले. नफा 1500 रुपये झाला तर दोघांत सारखा वाटणे योग्य नाही; ज्याने जास्त पैसे घातले त्याला जास्त हिस्सा मिळतो.

सोपी व्याख्या

व्यवसायासाठी पैसे एकत्र घालणाऱ्यांना भागीदार म्हणतात आणि त्यांच्या पैशांना भांडवल म्हणतात. नफा किंवा तोटा सर्व भागीदारांत त्यांच्या भांडवलाच्या गुणोत्तरात वाटला जातो.

भांडवलनफा वाटणीअ 2000600ब 30009002 : 31500 ÷ 5 = 3002 × 300 = 600 · 3 × 300 = 900

आकृतीत : भांडवल 2000 आणि 3000 यांचे गुणोत्तर 2 : 3 आहे. भागांची बेरीज 2 + 3 = 5; नफा 1500 ÷ 5 = 300 हा एक भाग. वाटे 2 × 300 = 600 आणि 3 × 300 = 900.

नियम १ : भांडवलाचे गुणोत्तर सोपे करा — सर्व भांडवलांना त्यांच्या सामाईक विभाजकाने भागा आणि लहान संख्यांचे गुणोत्तर लिहा.

  • सोपे : भांडवल 4000 आणि 6000. दोन्हींना 2000 ने भागले तर 4000 : 6000 = 2 : 3.
  • मध्यम : तीन भागीदारांचे भांडवल 3000, 4500 आणि 7500. 1500 ने भागले तर 3000 : 4500 : 7500 = 2 : 3 : 5.
  • परीक्षेसाठी : भांडवल 7000 आणि 3500. 3500 ने भागले तर 7000 : 3500 = 2 : 1.

नियम २ : भाग पद्धत — दोन भागीदारांत नफ्याची वाटणी — भागांची बेरीज करा, नफा त्या बेरजेने भागून एक भाग काढा आणि प्रत्येकाचे भाग त्याने गुणा.

  • सोपे : गुणोत्तर 1 : 2, नफा 1800 रुपये. भाग 1 + 2 = 3; एक भाग 1800 ÷ 3 = 600; वाटे 600 आणि 2 × 600 = 1200 रुपये.
  • मध्यम : गुणोत्तर 3 : 4, नफा 4200 रुपये. भाग 3 + 4 = 7; एक भाग 4200 ÷ 7 = 600; वाटे 3 × 600 = 1800 आणि 4 × 600 = 2400 रुपये.
  • परीक्षेसाठी : गुणोत्तर 5 : 7, नफा 9600 रुपये. भाग 5 + 7 = 12; एक भाग 9600 ÷ 12 = 800; वाटे 5 × 800 = 4000 आणि 7 × 800 = 5600 रुपये.
1गुणोत्तर सोपे करा1200 : 1800 : 3000 = 2 : 3 : 52भागांची बेरीज2 + 3 + 5 = 103एका भागाची किंमत (नफा ÷ भाग)5000 ÷ 10 = 5004प्रत्येकाचा वाटा (भाग × 500)1000 · 1500 · 2500

आकृतीत : पायरी 1 : भांडवल 1200 : 1800 : 3000 = 2 : 3 : 5. पायरी 2 : भागांची बेरीज 2 + 3 + 5 = 10. पायरी 3 : एक भाग 5000 ÷ 10 = 500. पायरी 4 : वाटे 2 × 500 = 1000, 3 × 500 = 1500 आणि 5 × 500 = 2500.

नियम ३ : तीन भागीदार — पद्धत तीच, भाग तीन — तिन्ही भांडवलांचे गुणोत्तर लिहा, तिन्ही भागांची बेरीज करा आणि एक भाग काढून प्रत्येकाचा वाटा काढा.

  • सोपे : गुणोत्तर 1 : 1 : 2, नफा 8000 रुपये. भाग 1 + 1 + 2 = 4; एक भाग 8000 ÷ 4 = 2000; वाटे 2000, 2000 आणि 4000 रुपये.
  • मध्यम : गुणोत्तर 2 : 3 : 4, नफा 6300 रुपये. भाग 2 + 3 + 4 = 9; एक भाग 6300 ÷ 9 = 700; वाटे 1400, 2100 आणि 2800 रुपये.
  • परीक्षेसाठी : भांडवल 1500, 2500 आणि 3500, म्हणजे गुणोत्तर 3 : 5 : 7. नफा 9000 रुपये. भाग 3 + 5 + 7 = 15; एक भाग 9000 ÷ 15 = 600; वाटे 1800, 3000 आणि 4200 रुपये.

नियम ४ : नफा किंवा तोटा टक्क्यांत दिला असेल तर आधी रक्कम काढा — एकूण भांडवलाचा दिलेला टक्का काढा आणि मग ती रक्कम गुणोत्तरात वाटा.

  • सोपे : एकूण भांडवल 40000 रुपये आणि नफा 10%. नफा 40000 × 10 ÷ 100 = 4000 रुपये.
  • मध्यम : भांडवल 25000 आणि 35000, एकूण 60000. तोटा 5% म्हणजे 60000 × 5 ÷ 100 = 3000 रुपये. गुणोत्तर 5 : 7, भाग 12; एक भाग 3000 ÷ 12 = 250; तोटा 1250 आणि 1750 रुपये.
  • परीक्षेसाठी : भांडवल 30000 आणि 50000, एकूण 80000. नफा 15% म्हणजे 80000 × 15 ÷ 100 = 12000 रुपये. गुणोत्तर 3 : 5, भाग 8; एक भाग 12000 ÷ 8 = 1500; वाटे 4500 आणि 7500 रुपये.
Live आकृती

भागीदारी

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

नफा आणि तोटा दोन्ही भांडवलाच्या गुणोत्तरात वाटले जातात. सर्व वाटे मिळून पुन्हा एकूण नफा किंवा तोटा येतो.

सामान्य चूक

नफा सर्व भागीदारांत सारखा वाटणे, किंवा मोठ्या संख्यांचे गुणोत्तर सोपे न करता काम करणे आणि चुका करणे.

शॉर्टकट

एक भाग किती रुपये ते आधी काढा. त्यानंतर प्रत्येकाचा वाटा म्हणजे त्याचे भाग × एक भाग. शेवटी सर्व वाटे मिळून नफा येतो का ते पाहा.

फरक ओळखा

पायरीकाय करायचेउदाहरण (भांडवल 2000 आणि 3000, नफा 1500)
पायरी 1गुणोत्तर सोपे करा2000 : 3000 = 2 : 3
पायरी 2भागांची बेरीज करा2 + 3 = 5
पायरी 3एक भाग काढा1500 ÷ 5 = 300
पायरी 4प्रत्येकाचा वाटा काढा600 आणि 900

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1दोन भागीदारांचे भांडवल 3000 आणि 5000 रुपये आहे. त्यांचे गुणोत्तर सोप्या रूपात लिहा.
  2. 2भागीदारांचे गुणोत्तर 2 : 3 आणि नफा 2500 रुपये आहे. प्रत्येकाचा वाटा किती?
  3. 3भागीदारांचे गुणोत्तर 1 : 4 आणि नफा 3500 रुपये आहे. प्रत्येकाचा वाटा किती?
मध्यम
  1. 4भांडवल 6000 आणि 9000 रुपये आहे आणि नफा 4000 रुपये आहे. प्रत्येकाचा वाटा काढा.
  2. 5भागीदारांचे गुणोत्तर 4 : 5 आणि नफा 8100 रुपये आहे. प्रत्येकाचा वाटा किती?
  3. 6तीन भागीदारांचे भांडवल 3000, 4000 आणि 5000 रुपये आहे. नफा 7200 रुपये झाला तर प्रत्येकाचा वाटा किती?
आव्हानात्मक
  1. 7अ ने 20000 आणि ब ने 30000 रुपये घालून व्यवसाय केला आणि भांडवलाच्या 12% तोटा झाला. प्रत्येकाच्या वाट्याचा तोटा किती?
  2. 8अ आणि ब यांचे भांडवल 3 : 4 गुणोत्तरात आहे. ब चा नफ्यातील वाटा 3000 रुपये असेल तर एकूण नफा किती आणि अ चा वाटा किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 13000 : 5000 = 3 : 5. 2) भाग 2 + 3 = 5; एक भाग 2500 ÷ 5 = 500; वाटे 1000 आणि 1500 रुपये. 3) भाग 1 + 4 = 5; एक भाग 3500 ÷ 5 = 700; वाटे 700 आणि 2800 रुपये.
  2. 46000 : 9000 = 2 : 3; भाग 5; एक भाग 4000 ÷ 5 = 800; वाटे 1600 आणि 2400 रुपये.
  3. 5भाग 4 + 5 = 9; एक भाग 8100 ÷ 9 = 900; वाटे 3600 आणि 4500 रुपये.
  4. 63000 : 4000 : 5000 = 3 : 4 : 5; भाग 12; एक भाग 7200 ÷ 12 = 600; वाटे 1800, 2400 आणि 3000 रुपये.
  5. 7एकूण भांडवल 20000 + 30000 = 50000; तोटा 50000 × 12 ÷ 100 = 6000 रुपये. गुणोत्तर 2 : 3, भाग 5; एक भाग 6000 ÷ 5 = 1200; तोटा 2400 आणि 3600 रुपये.
  6. 8ब चे 4 भाग 3000 रुपये, म्हणून एक भाग 3000 ÷ 4 = 750. अ चा वाटा 3 × 750 = 2250 रुपये आणि एकूण नफा 7 × 750 = 5250 रुपये.