धडा ८: बीजगणितीय राशी

आकृतीत : 1 त्रिकोणाला 3 काड्या, 2 त्रिकोणांना 5, 3 त्रिकोणांना 7 आणि 4 त्रिकोणांना 9 काड्या लागतात. प्रत्येक नवीन त्रिकोणामागे 2 काड्या वाढतात, म्हणून n त्रिकोणांना 2n + 1 काड्या लागतात.

नियम १ : बदलणारी संख्या अक्षराने लिहून राशी बनवा — जे बदलते त्याच्या जागी अक्षर लिहा आणि दिलेल्या क्रिया त्या अक्षराभोवती तशाच लिहा.

• सोपे : एका पेनाची किंमत 7 रुपये असेल तर n पेनांची किंमत 7n रुपये.
• मध्यम : त्रिकोणांच्या रांगेत n = 6 असेल तर काड्या 2n + 1 म्हणजे 2 × 6 + 1 = 13.
• परीक्षेसाठी : मुलाजवळ x रुपये होते आणि त्याने 15 रुपये खर्च केले. उरलेले पैसे x − 15. x = 40 असेल तर 40 − 15 = 25 रुपये उरतात.

आकृतीत : राशी 6a² − 3b + 5 मध्ये 3 पदे आहेत : पद 1 चा गुणांक 6, पद 2 चा गुणांक −3 आणि पद 3 हे स्थिर पद 5 आहे. a² मधील 2 हा घात आहे.

नियम २ : पद, गुणांक आणि स्थिर पद ओळखा — चलाच्या आधीची संख्या गुणांक असते. फक्त x लिहिले असेल तर गुणांक 1 आणि −x असेल तर −1. चल नसलेल्या संख्येच्या पदाला स्थिर पद म्हणतात.

• सोपे : 9m मध्ये गुणांक 9 आणि चल m आहे.
• मध्यम : 5 − k मध्ये 2 पदे आहेत : स्थिर पद 5 आणि पद −k. k चा गुणांक −1.
• परीक्षेसाठी : 8p² − p + 12 मध्ये 3 पदे आहेत. गुणांक 8 आणि −1, तर 12 हे स्थिर पद.

नियम ३ : सजातीय पदे म्हणजे सारखी चले आणि सारखे घात — गुणांक वेगळे असले तरी चालतात. चलांचा क्रम बदलला (xy आणि yx) तरी पदे सजातीय असतात.

• सोपे : 4x आणि 9x सजातीय आहेत, म्हणून 4x + 9x = (4 + 9)x = 13x.
• मध्यम : 6xy आणि yx सजातीय आहेत. पण 4x आणि 4x² सजातीय नाहीत, कारण घात वेगळे आहेत.
• परीक्षेसाठी : 7m, 2n, −3m, m² यांपैकी फक्त 7m आणि −3m सजातीय आहेत. 2n मध्ये चल वेगळे आणि m² मध्ये घात वेगळा आहे.

फरक ओळखा

आकृतीत : एका पिशवीत 2x + 3y आणि दुसरीत 4x + y आहे. x चे 2 + 4 = 6 तुकडे आणि y चे 3 + 1 = 4 तुकडे होतात. म्हणून (2x + 3y) + (4x + y) = 6x + 4y.

नियम १ : सजातीय पदांची बेरीज — गुणांक जोडा — चल जसेच्या तसे ठेवा आणि फक्त गुणांकांची बेरीज किंवा वजाबाकी करा.

• सोपे : 6a + 5a = (6 + 5)a = 11a.
• मध्यम : 9m − 4m = (9 − 4)m = 5m आणि −7k + 3k = (−7 + 3)k = −4k.
• परीक्षेसाठी : 5x − 8x + 2x = (5 − 8 + 2)x = −x.

नियम २ : दोन राशींची बेरीज — सजातीय पदे एकत्र करा — कंस काढा, सजातीय पदे एकत्र लिहा आणि प्रत्येक गटाची बेरीज करा.

• सोपे : (3a + 5b) + (2a + 4b) = (3a + 2a) + (5b + 4b) = 5a + 9b.
• मध्यम : (3x + 4) + (5x − 2) = (3x + 5x) + (4 − 2) = 8x + 2.
• परीक्षेसाठी : (7x² + 3x) + (2x² − 5x) = (7x² + 2x²) + (3x − 5x) = 9x² − 2x.

आकृतीत : (7a + 5b) − (3a − 2b) = 7a + 5b − 3a + 2b = 4a + 7b. दुसऱ्या कंसातील प्रत्येक चिन्ह बदलले की −2b चे +2b होते.

नियम ३ : वजाबाकी — दुसऱ्या कंसातील प्रत्येक चिन्ह बदला — कंसाआधी − चिन्ह असेल तर कंसातील सर्व पदांची चिन्हे उलटी करा आणि मग बेरीज करा.

• सोपे : (9a + 4) − (3a + 1) = 9a + 4 − 3a − 1 = 6a + 3.
• मध्यम : (3x + 4) − (5x − 2) = 3x + 4 − 5x + 2 = −2x + 6.
• परीक्षेसाठी : (6m − 2n) − (m − 7n) = 6m − 2n − m + 7n = 5m + 5n.

नियम ४ : असजातीय पदे जोडता येत नाहीत; उत्तर तपासा — असजातीय पदे तशीच लिहा. उत्तर बरोबर आहे का ते पाहण्यासाठी x ची एक किंमत घालून दोन्ही बाजू तपासा.

• सोपे : 3x + 7y मध्ये पदे असजातीय आहेत, म्हणून बेरीज 3x + 7y तशीच राहते.
• मध्यम : (5a + 2b) + (3a + 4c) = 8a + 2b + 4c, कारण 2b आणि 4c मिळत नाहीत.
• परीक्षेसाठी : (2x + 5) + (4x − 1) = 6x + 4. x = 3 घेतले : (2 × 3 + 5) + (4 × 3 − 1) = 11 + 11 = 22 आणि 6 × 3 + 4 = 22; दोन्ही सारखे.

फरक ओळखा

नियम १ : एकपदी × एकपदी — आधी गुणांक, मग चले — गुणांकांचा चिन्हांसह गुणाकार करा. सारखे चल गुणले की त्याचा घात वाढतो : x × x = x².

• सोपे : 4a × 5b = 4 × 5 × a × b = 20ab.
• मध्यम : (−3x) × 6y² = −3 × 6 × x × y² = −18xy².
• परीक्षेसाठी : (−2m²) × (−5mn) = (−2) × (−5) × m² × m × n = 10m³n.

आकृतीत : 3 आणि x + 4 या बाजू असलेल्या आयताचे दोन भाग 3x आणि 12 आहेत. म्हणून 3(x + 4) = 3x + 12.

नियम २ : एकपदी × द्विपदी — प्रत्येक पदाला गुणा — एकपदी प्रत्येक पदाशी गुणा आणि चिन्हे सांभाळा.

• सोपे : 2(x + 5) = 2 × x + 2 × 5 = 2x + 10.
• मध्यम : x(x + 6) = x × x + x × 6 = x² + 6x.
• परीक्षेसाठी : (5a − 2b) × 3c = 5a × 3c − 2b × 3c = 15ac − 6bc.

आकृतीत : x + 3 आणि x + 2 या बाजू असलेल्या आयताचे चार भाग x², 3x, 2x आणि 6 आहेत. बेरीज (x + 3)(x + 2) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.

नियम ३ : द्विपदी × द्विपदी — चार गुणाकार करून सजातीय पदे मिळवा — पहिल्या कंसातील प्रत्येक पद दुसऱ्या कंसातील प्रत्येक पदाने गुणा आणि मग सजातीय पदे एकत्र करा.

• सोपे : (x + 1)(x + 4) = x² + 4x + x + 4 = x² + 5x + 4.
• मध्यम : (2x + 3)(x − 1) = 2x² − 2x + 3x − 3 = 2x² + x − 3.
• परीक्षेसाठी : (a + 2b)(3a − b) = 3a² − ab + 6ab − 2b² = 3a² + 5ab − 2b².

नियम ४ : क्षेत्रफळ आणि तपासणी — बाजू राशींत असतील तर क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी. उत्तर बरोबर आहे का ते पाहण्यासाठी x ची एक किंमत घालून दोन्ही बाजू तपासा.

• सोपे : x = 4 घेतले : (4 + 3) × (4 + 2) = 7 × 6 = 42 आणि 4² + 5 × 4 + 6 = 16 + 20 + 6 = 42. म्हणजे (x + 3)(x + 2) = x² + 5x + 6 बरोबर.
• मध्यम : आयताची लांबी (3x + 2) मीटर आणि रुंदी (x + 1) मीटर असेल तर क्षेत्रफळ (3x + 2)(x + 1) = 3x² + 3x + 2x + 2 = 3x² + 5x + 2 चौरस मीटर.
• परीक्षेसाठी : वरच्या आयतात x = 4 असेल तर लांबी 14 आणि रुंदी 5 मीटर; क्षेत्रफळ 14 × 5 = 70. सूत्रातही 3 × 4² + 5 × 4 + 2 = 48 + 20 + 2 = 70 येते.

फरक ओळखा

आकृतीत : 1 पदाची 9m एकपदी, 2 पदांची 4a − 7b द्विपदी, 3 पदांची x² + 3x − 10 त्रिपदी आणि 4 पदांची y³ − 2y² + 5y − 6 बहुपदी आहे.

नियम १ : + आणि − चिन्हांनी राशीचे तुकडे करून पदे मोजा — राशीची सुरुवातीची − चिन्हे पदाचा भाग असतात. पदांच्या संख्येवरून नाव सांगा.

• सोपे : 8k मध्ये 1 पद आहे, म्हणून ती एकपदी.
• मध्यम : 5p − 2q मध्ये 2 पदे आहेत, म्हणून ती द्विपदी.
• परीक्षेसाठी : x² + 5x + 6 मध्ये 3 पदे आहेत, म्हणून ती त्रिपदी.

नियम २ : आधी सजातीय पदे मिळवा, मग पदे मोजा — साधे रूप केल्यावर पदांची संख्या कमी होऊ शकते आणि नावही बदलते.

• सोपे : 3k + 2k = 5k. आधी 2 पदे होती, आता 1 पद; ती एकपदी आहे.
• मध्यम : 6a + 2b − 4a = 2a + 2b. आधी 3 पदे होती, साधे रूप केल्यावर 2; ती द्विपदी आहे.
• परीक्षेसाठी : x² + 2x + 3x − 7 = x² + 5x − 7. आधी 4 पदे होती, साधे रूप केल्यावर 3; ती त्रिपदी आहे.

नियम ३ : घात किंवा केवळ संख्या यांनी नाव बदलत नाही — फक्त संख्या असेल तरी ते एक पद आहे आणि मोठा घात असला तरी पद एकच असू शकते.

• सोपे : 9 हे फक्त संख्येचे एक पद आहे, म्हणून एकपदी.
• मध्यम : x⁵ मध्ये घात 5 आहे तरी पद एकच आहे, म्हणून एकपदी.
• परीक्षेसाठी : y³ − 2y² + 5y − 8 मध्ये 4 पदे आहेत, म्हणून बहुपदी.

फरक ओळखा

आकृतीत : 2x + 3 = 11 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4. दोन्ही पारड्यांतून 3 काढले की 2x आणि 8 राहतात. मग दोन्ही बाजू 2 ने भागल्या की x ची किंमत 4 मिळते.

नियम १ : दोन्ही बाजूंतून सारखीच संख्या मिळवा किंवा वजा करा — चलाजवळची संख्या काढण्यासाठी तिच्या उलट क्रिया दोन्ही बाजूंना करा.

• सोपे : x + 6 = 15 ⇒ x + 6 − 6 = 15 − 6 ⇒ x = 9.
• मध्यम : y − 4 = 11 ⇒ y − 4 + 4 = 11 + 4 ⇒ y = 15.
• परीक्षेसाठी : 3x − 5 = 16 ⇒ 3x − 5 + 5 = 16 + 5 ⇒ 3x = 21 ⇒ x = 7.

नियम २ : दोन्ही बाजूंना सारख्या संख्येने गुणा किंवा भागा — चलाला गुणांक असेल तर दोन्ही बाजू त्या गुणांकाने भागा.

• सोपे : 4x = 28 ⇒ 4x ÷ 4 = 28 ÷ 4 ⇒ x = 7.
• मध्यम : x ÷ 5 = 6 ⇒ x ÷ 5 × 5 = 6 × 5 ⇒ x = 30.
• परीक्षेसाठी : 5y + 2 = 27 ⇒ 5y = 25 ⇒ y = 5. आधी 2 वजा केले आणि मग दोन्ही बाजू 5 ने भागल्या.

नियम ३ : दोन्ही बाजूंना चल असेल तर पद बाजू बदलते आणि चिन्ह बदलते — चल असलेली पदे एका बाजूला आणि संख्या दुसऱ्या बाजूला न्या. पद ओलांडले की त्याचे चिन्ह उलटे होते.

• सोपे : 5x = 2x + 12 ⇒ 5x − 2x = 12 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4.
• मध्यम : 7y − 3 = 3y + 9 ⇒ 7y − 3y = 9 + 3 ⇒ 4y = 12 ⇒ y = 3.
• परीक्षेसाठी : 3(x + 2) = 2x + 11 ⇒ 3x + 6 = 2x + 11 ⇒ 3x − 2x = 11 − 6 ⇒ x = 5.

नियम ४ : शब्दसमस्येतून समीकरण मांडा आणि उत्तर तपासा — अज्ञात संख्येला अक्षर द्या, वाक्यावरून समीकरण लिहा, सोडवा आणि उत्तर मूळ प्रश्नात घालून पाहा.

• सोपे : एका संख्येत 9 मिळवले की 25 येतात. x + 9 = 25 ⇒ x = 16. तपासणी : 16 + 9 = 25.
• मध्यम : आयताची लांबी रुंदीपेक्षा 4 सेमी जास्त आहे आणि परिमिती 28 सेमी आहे. रुंदी x घेतली तर 2(x + x + 4) = 28 ⇒ 4x + 8 = 28 ⇒ x = 5. रुंदी 5 सेमी, लांबी 9 सेमी; तपासणी : 2 × (5 + 9) = 28.
• परीक्षेसाठी : सायलीकडे x गोट्या आहेत आणि रोहनकडे 7 जास्त आहेत. दोघांकडे मिळून 51 गोट्या असतील तर x + (x + 7) = 51 ⇒ 2x + 7 = 51 ⇒ x = 22. सायलीकडे 22 आणि रोहनकडे 29; तपासणी : 22 + 29 = 51.

फरक ओळखा