K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 6 · गणित

धडा ८: त्रिकोण आणि चौकोन

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

त्रिकोणाचे भाग

रोजच्या जीवनातून

पिझ्झ्याचा तुकडा, खांबावरचा झेंडा आणि सेट-स्क्वेअर, सर्वांना तीन कोपरे आणि तीन सरळ कडा असतात. हा त्रिकोण.

सोपी व्याख्या

त्रिकोण (triangle) म्हणजे एका रेषेत नसलेले तीन बिंदू रेषाखंडांनी जोडून बनलेली बंद आकृती. त्याला 3 शिरोबिंदू, 3 बाजू आणि 3 कोन असतात.

नियम 1 : भागांची नावे — △XYZ चे शिरोबिंदू X, Y, Z; बाजू XY, YZ, XZ; आणि कोन ∠X, ∠Y, ∠Z. कोनाच्या नावातले मधले अक्षर त्याचा शिरोबिंदू असते, म्हणून ∠XYZ म्हणजे Y वरचा कोन.

त्रिकोण PQR : शिरोबिंदू, बाजू आणि कोन.PQRबाजू PQबाजू PRबाजू QR3 शिरोबिंदू3 बाजू3 कोन

आकृतीत : आकृतीत त्रिकोण PQR आणि त्याचे शिरोबिंदू, बाजू व कोन.

  • सोपे : △ABC च्या 3 बाजू AB, BC, AC.
  • मध्यम : ∠LMN चा शिरोबिंदू M.
  • परीक्षेसाठी : ∠QRP आणि ∠PRQ दोन्ही R वरचा कोन.

नियम 2 : सर्वांत लहान आकृती आणि मोजणी — एका सरळ रेषेतील तीन बिंदूंनी त्रिकोण बनत नाही. बंद आकृतीसाठी कमीत कमी तीन काड्या लागतात. मोजणीची युक्ती : A पासून पायावरच्या 5 बिंदूंपर्यंत रेषा काढल्या तर 10 त्रिकोण होतात (5 पैकी 2 बिंदू निवडा : 4 + 3 + 2 + 1 = 10).

  • सोपे : 3 काड्यांचा 1 त्रिकोण.
  • मध्यम : A, B, C एका रेषेत असतील तर त्रिकोण नाही.
  • परीक्षेसाठी : पायावर 3 बिंदू आणि वर A : 3 + 2 + 1 = 6 त्रिकोण.
लक्षात ठेवा

त्रिकोण : 3 शिरोबिंदू, 3 बाजू, 3 कोन. कोनाच्या नावात शिरोबिंदू मध्यभागी.

सामान्य चूक

कोनाच्या नावात शिरोबिंदू शेवटी लिहिणे. तो मध्ये असतो.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "कोनाचे नाव = मध्ये शिरोबिंदू".

फरक ओळखा

भागसंख्याIn △XYZ
शिरोबिंदू3X, Y, Z
बाजू3XY, YZ, XZ
कोन3∠X, ∠Y, ∠Z

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1त्रिकोणाला किती शिरोबिंदू असतात?
  2. 2△XYZ च्या बाजूंची नावे सांगा.
  3. 3∠XYZ चा शिरोबिंदू कोणता?
मध्यम
  1. 4एका रेषेतील तीन बिंदूंनी त्रिकोण बनतो का?
  2. 5बंद आकृतीसाठी कमीत कमी किती काड्या?
  3. 6∠QRP आणि ∠PRQ सारखे आहेत का?
आव्हानात्मक
  1. 7A पासून पायावरच्या 3 बिंदूंपर्यंत रेषा आहेत. किती त्रिकोण?
  2. 8A पासून पायावरच्या 5 बिंदूंपर्यंत रेषा आहेत. किती त्रिकोण?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 13.
  2. 2XY, YZ आणि XZ.
  3. 3Y.
  4. 4नाही.
  5. 53.
  6. 6होय, दोन्ही R वरचा कोन.
  7. 73 + 2 + 1 = 6.
  8. 84 + 3 + 2 + 1 = 10.

अंतर्भाग, बाह्यभाग आणि प्रदेश

रोजच्या जीवनातून

मैदानात रंगवलेल्या त्रिकोणाच्या रेषेवर उभे असलेले मूल त्रिकोणावर असते. मध्यभागी उभे असलेले आत असते, आणि दूर उभे असलेले बाहेर असते.

सोपी व्याख्या

त्रिकोणाच्या आतले बिंदू म्हणजे अंतर्भाग (interior), बाहेरचे बिंदू म्हणजे बाह्यभाग (exterior), आणि बाजूंवरचे व शिरोबिंदूंवरचे बिंदू त्रिकोणावर असतात.

नियम 1 : तीन स्थाने — आकृतीत D त्रिकोणावर, E अंतर्भागात आणि F बाह्यभागात आहे. बाजूवरचा बिंदू आतला नसतो.

E अंतर्भागात, D त्रिकोणावर आणि F बाह्यभागात आहे.E आतD वरF बाहेरत्रिकोणी प्रदेश = त्रिकोण + अंतर्भाग

आकृतीत : आकृतीत D त्रिकोणावर, E आत, F बाहेर.

  • सोपे : शिरोबिंदूवरचा बिंदू त्रिकोणावर.
  • मध्यम : त्रिकोणाचा मध्य अंतर्भागात.
  • परीक्षेसाठी : AB बाजूवरचा बिंदू त्रिकोणावर, अंतर्भागात नाही.

नियम 2 : प्रदेश — त्रिकोण आणि त्याचा अंतर्भाग मिळून त्रिकोणी प्रदेश. तसेच चौकोन आणि त्याचा अंतर्भाग मिळून चौकोनाचा प्रदेश. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ म्हणजे त्याच्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ.

  • सोपे : त्रिकोण + अंतर्भाग = त्रिकोणी प्रदेश.
  • मध्यम : त्रिकोण पूर्ण रंगवला म्हणजे त्याचा प्रदेश रंगवला.
  • परीक्षेसाठी : क्षेत्रफळ प्रदेशाचे मोजतात, रेषेचे नाही.
लक्षात ठेवा

वर, आत, बाहेर. त्रिकोण + अंतर्भाग = प्रदेश.

सामान्य चूक

बाजूवरचा बिंदू आत आहे असे म्हणणे. तो त्रिकोणावर असतो.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "रेषेवर = त्रिकोणावर".

फरक ओळखा

स्थाननाव
बाजूंवरत्रिकोणावर
आतअंतर्भाग
बाहेरबाह्यभाग

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1त्रिकोणाचा अंतर्भाग म्हणजे काय?
  2. 2त्रिकोणाचा बाह्यभाग म्हणजे काय?
  3. 3एक बिंदू शिरोबिंदूवर आहे. तो कुठे आहे?
मध्यम
  1. 4बाजूवरचा बिंदू अंतर्भागात असतो का?
  2. 5त्रिकोणी प्रदेश म्हणजे काय?
  3. 6चौकोनाचा प्रदेश म्हणजे काय?
आव्हानात्मक
  1. 7मूल मैदानातील त्रिकोणाच्या रेषेवर उभे आहे. ते आत आहे का?
  2. 8क्षेत्रफळ रेषेचे नाही तर प्रदेशाचे का मोजतात?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1त्याच्या आतले बिंदू.
  2. 2त्याच्या बाहेरचे बिंदू.
  3. 3त्रिकोणावर.
  4. 4नाही, तो त्रिकोणावर असतो.
  5. 5त्रिकोण आणि त्याचा अंतर्भाग.
  6. 6चौकोन आणि त्याचा अंतर्भाग.
  7. 7नाही, मूल त्रिकोणावर आहे.
  8. 8क्षेत्रफळ म्हणजे व्यापलेली जागा, जी सीमेच्या आत असते.

बाजूंवरून त्रिकोणाचे प्रकार

रोजच्या जीवनातून

दोरीचा त्रिकोण केला तर तिन्ही बाजू सारख्या, फक्त दोन सारख्या, किंवा सर्व वेगळ्या असू शकतात. बाजूंवरून नाव ठरते.

सोपी व्याख्या

समभुज (equilateral) : तिन्ही बाजू सारख्या. समद्विभुज (isosceles) : फक्त दोन बाजू सारख्या. विषमभुज (scalene) : तिन्ही बाजू वेगळ्या.

नियम 1 : बाजूंवरून नाव — बाजू 8, 8, 8 सेमी : समभुज त्रिकोण. बाजू 5, 5, 3 सेमी : समद्विभुज त्रिकोण. बाजू 4.5, 5.2, 6.1 सेमी : विषमभुज त्रिकोण.

बाजूंवरून त्रिकोण : सर्व समान, दोन समान, एकही समान नाही.समभुजसमद्विभुजविषमभुजसारख्या खुणा = समान बाजू

आकृतीत : आकृतीत बाजूंवरून त्रिकोणांचे प्रकार.

  • सोपे : 7, 7, 7 समभुज.
  • मध्यम : 6, 9, 6 समद्विभुज.
  • परीक्षेसाठी : 3, 4, 5 विषमभुज.

नियम 2 : कल्पना वापरणे — 15 m ची दोरी समभुज त्रिकोणात बांधली तर प्रत्येक बाजू 15 ÷ 3 = 5 m. 8, 8, 5 सेमी बाजूंच्या समद्विभुज त्रिकोणाची परिमिती 8 + 8 + 5 = 21 सेमी.

  • सोपे : 12 m दोरी समभुज त्रिकोणात : प्रत्येक बाजू 4 m.
  • मध्यम : समभुज बाजू 6 सेमी, परिमिती 18 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : समद्विभुज 10, 10, 6 सेमी : परिमिती 26 सेमी.
लक्षात ठेवा

समभुज : 3 सारख्या. समद्विभुज : 2 सारख्या. विषमभुज : एकही सारखी नाही.

सामान्य चूक

परीक्षेत समभुजाला समद्विभुज म्हणणे. "फक्त दोन" हा नियम वापरा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "समभुज 3, समद्विभुज 2, विषमभुज 0".

फरक ओळखा

त्रिकोणसारख्या बाजू
समभुज3
समद्विभुज2
विषमभुज0

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1सर्व बाजू सारख्या असलेल्या त्रिकोणाचे नाव सांगा.
  2. 2फक्त दोन बाजू सारख्या असलेल्या त्रिकोणाचे नाव सांगा.
  3. 34.5, 5.2, 6.1 सेमी बाजूंच्या त्रिकोणाचे नाव सांगा.
मध्यम
  1. 46, 9, 6 सेमी बाजूंच्या त्रिकोणाचे नाव सांगा.
  2. 515 m दोरीचा समभुज त्रिकोण केला. प्रत्येक बाजू काढा.
  3. 68, 8, 5 सेमी बाजूंच्या समद्विभुज त्रिकोणाची परिमिती काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7समभुज त्रिकोणाची परिमिती 27 सेमी आहे. बाजू काढा.
  2. 8समद्विभुज त्रिकोणाची परिमिती 22 सेमी आणि दोन सारख्या बाजू 8 सेमी आहेत. तिसरी बाजू काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1समभुज.
  2. 2समद्विभुज.
  3. 3विषमभुज.
  4. 4समद्विभुज.
  5. 515 ÷ 3 = 5 m.
  6. 621 सेमी.
  7. 727 ÷ 3 = 9 सेमी.
  8. 822 − 16 = 6 सेमी.

कोनांवरून त्रिकोणाचे प्रकार

रोजच्या जीवनातून

त्रिकोण छतासारखा टोकदार, सेट-स्क्वेअरसारखा काटकोनी, किंवा अर्धवट उघडलेल्या पुस्तकासारखा रुंद असू शकतो. कोनांवरून नाव ठरते.

सोपी व्याख्या

लघुकोनी (acute-angled) : सर्व कोन 90° पेक्षा लहान. काटकोनी (right-angled) : एक कोन 90°. विशालकोनी (obtuse-angled) : एक कोन 90° पेक्षा मोठा.

नियम 1 : कोनांवरून नाव — कोन 40°, 60°, 80° : लघुकोनी त्रिकोण. कोन 90°, 50°, 40° : काटकोनी त्रिकोण. कोन 100°, 45°, 35° : विशालकोनी त्रिकोण. तिन्ही कोनांची बेरीज नेहमी 180°.

कोनांवरून त्रिकोण : लघुकोन, काटकोन, विशालकोन.लघुकोनसर्व कोन < 90°काटकोनएक कोन = 90°विशालकोनएक कोन > 90°

आकृतीत : आकृतीत कोनांवरून त्रिकोणांचे प्रकार.

Live आकृती

कोनांवरून त्रिकोणाचे प्रकार

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : 50°, 60°, 70° लघुकोनी (बेरीज 180°).
  • मध्यम : 90°, 30°, 60° काटकोनी.
  • परीक्षेसाठी : 20°, 20°, 140° विशालकोनी.

नियम 2 : मर्यादा आणि दुहेरी नावे — त्रिकोणाला दोन काटकोन (90° + 90° = 180°) किंवा दोन विशालकोन असू शकत नाहीत. काटकोनी त्रिकोण समद्विभुज असू शकतो (90°, 45°, 45°). समभुज त्रिकोण नेहमी लघुकोनी (प्रत्येकी 60°). कोन 20°, 20°, 140° असतील तर तो विशालकोनी आणि समद्विभुज.

  • सोपे : समभुजाचे प्रत्येकी 60°, म्हणून लघुकोनी.
  • मध्यम : 90°, 45°, 45° काटकोनी आणि समद्विभुज.
  • परीक्षेसाठी : कोन 70° आणि 50° असतील तर तिसरा 180° − 120° = 60°.
लक्षात ठेवा

लघुकोनी : सर्व 90° पेक्षा लहान. काटकोनी : एक 90°. विशालकोनी : एक 90° पेक्षा मोठा. बेरीज 180°.

सामान्य चूक

त्रिकोणाला दोन विशालकोन देणे. त्यांची बेरीज 180° पेक्षा जास्त होईल.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "मोठा कोन ठरवतो नाव".

फरक ओळखा

त्रिकोणसर्वांत मोठा कोन
लघुकोनी90° पेक्षा लहान
काटकोनी90°
विशालकोनी90° पेक्षा मोठा

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1लघुकोनी त्रिकोण म्हणजे काय?
  2. 2काटकोनी त्रिकोण म्हणजे काय?
  3. 3विशालकोनी त्रिकोण म्हणजे काय?
मध्यम
  1. 4कोन 50°, 60°, 70° आहेत. त्रिकोणाचे नाव सांगा.
  2. 5दोन कोन 70° आणि 50° आहेत. तिसरा काढा.
  3. 6त्रिकोणाला दोन काटकोन असू शकतात का?
आव्हानात्मक
  1. 7कोन 20°, 20°, 140° : त्रिकोणाला दोन प्रकारे नाव द्या.
  2. 8समभुज त्रिकोण नेहमी लघुकोनी का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1तिन्ही कोन 90° पेक्षा लहान.
  2. 2एक कोन 90° असतो.
  3. 3एक कोन 90° पेक्षा मोठा.
  4. 4लघुकोनी.
  5. 560°.
  6. 6नाही, ते आधीच 180° होतील.
  7. 7विशालकोनी आणि समद्विभुज.
  8. 8प्रत्येक कोन 180° ÷ 3 = 60°, जो 90° पेक्षा लहान.

चौकोन आणि त्याचे घटक

रोजच्या जीवनातून

शाळेचा फलक, खिडकी आणि पतंग, सर्वांना चार कोपरे असतात. असा आकार म्हणजे चौकोन.

सोपी व्याख्या

चौकोन (quadrilateral) ला 4 शिरोबिंदू, 4 बाजू, 4 कोन आणि 2 कर्ण (diagonals) असतात; कर्ण म्हणजे संमुख शिरोबिंदूंना जोडणाऱ्या रेषा.

नियम 1 : संमुख आणि संलग्न — PQRS मध्ये ज्या बाजूंचा सामाईक शिरोबिंदू नाही त्या संमुख (PQ आणि SR). ज्यांचा सामाईक शिरोबिंदू आहे त्या संलग्न (PQ आणि QR). संमुख बाजूंच्या 2 जोड्या, संलग्न बाजूंच्या 4 जोड्या, संलग्न कोनांच्या 4 जोड्या आणि संमुख कोनांच्या 2 जोड्या असतात.

चौकोन ABCD आणि त्याचे कर्ण AC व BD.ABCDABDCकर्णAC, BDAB, DC संमुखAB, BC संलग्न

आकृतीत : आकृतीत चौकोन ABCD आणि त्याचे कर्ण AC व BD.

  • सोपे : PQ आणि SR संमुख बाजू.
  • मध्यम : PQ आणि QR संलग्न बाजू.
  • परीक्षेसाठी : PQRS चे कर्ण PR आणि QS.

नियम 2 : चौकोनाचे नाव — शिरोबिंदू क्रमाने फिरत जा : 4 सुरुवातीचे बिंदू × 2 दिशा = 8 नावे, उदा. PQRS, QRSP, RSPQ, SRQP. PRQS चुकीचे आहे कारण त्यात कर्णावरून उडी मारली आहे.

  • सोपे : PQRS हे योग्य नाव.
  • मध्यम : SRQP सुद्धा बरोबर, उलट दिशेने.
  • परीक्षेसाठी : PRQS चुकीचे, कारण P आणि R संमुख शिरोबिंदू आहेत.
लक्षात ठेवा

चौकोन : 4 शिरोबिंदू, 4 बाजू, 4 कोन, 2 कर्ण. नाव फिरत्या क्रमाने.

सामान्य चूक

PRQS सारख्या उड्या मारत नाव देणे. कडेने फिरा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "चौकोनाचे नाव कडेकडेने".

फरक ओळखा

गोष्टसंख्या
संमुख बाजूंच्या जोड्या2
संलग्न बाजूंच्या जोड्या4
कर्ण2
एका चौकोनाची नावे8

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1चौकोनाला किती बाजू असतात?
  2. 2त्याला किती कर्ण असतात?
  3. 3PQRS चे कर्ण सांगा.
मध्यम
  1. 4PQRS मध्ये PQ च्या संमुख बाजू सांगा.
  2. 5PQRS मध्ये PQ ला संलग्न बाजू सांगा.
  3. 6चौकोनाला संलग्न कोनांच्या किती जोड्या असतात?
आव्हानात्मक
  1. 7एका चौकोनाला किती वेगळी नावे देता येतात?
  2. 8PQRS चौकोनाचे PRQS हे योग्य नाव आहे का? का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 14.
  2. 22.
  3. 3PR आणि QS.
  4. 4SR.
  5. 5QR (किंवा PS).
  6. 64.
  7. 74 सुरुवातीचे बिंदू × 2 दिशा = 8.
  8. 8नाही, P आणि R संमुख शिरोबिंदू आहेत, म्हणून क्रम कर्णावरून उडी मारतो.