K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 6 · गणित

धडा ९: समीकरणे

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

क्रियांचा क्रम

रोजच्या जीवनातून

दुकानदार वही ₹ 20 ला आणि 2 पेन प्रत्येकी ₹ 5 ला विकतो. बिल 20 + 2 × 5 = ₹ 30 येते, 110 नाही. क्रिया कोणत्या क्रमाने करतो त्यावर उत्तर ठरते.

सोपी व्याख्या

संख्या आणि क्रिया यांच्या मांडणीला राशी (expression) म्हणतात. सगळ्यांना एकच उत्तर यावे म्हणून एकच क्रम पाळतो : आधी कंस, मग × आणि ÷ डावीकडून उजवीकडे, मग + आणि − डावीकडून उजवीकडे.

नियम 1 : क्रियांचा क्रम — कंस → × आणि ÷ (डावीकडून उजवीकडे) → + आणि − (डावीकडून उजवीकडे). उदाहरण : 5 + 3 × 4 = 5 + 12 = 17, पण (5 + 3) × 4 = 8 × 4 = 32.

क्रियांचा क्रम : कंस, मग ÷ आणि ×, मग + आणि −.1कंस2÷ आणि ×3+ आणि −8 + 4 × 2 − 6= 8 + 8 − 6= 16 − 6 = 10आधी गुणाकार, मग बेरीज-वजाबाकी

आकृतीत : आकृतीत क्रियांचा क्रम उदाहरणासह.

  • सोपे : 9 − 2 × 3 = 9 − 6 = 3.
  • मध्यम : 48 ÷ 6 × 2 = 8 × 2 = 16 (÷ आणि × डावीकडून उजवीकडे).
  • परीक्षेसाठी : 72 ÷ (3 + 6) − 2 × 3 = 72 ÷ 9 − 6 = 8 − 6 = 2.

नियम 2 : अनेक कंस असतील तेव्हा — सर्वांत आतल्या कंसापासून सुरू करून बाहेर या : 30 − [6 + (28 ÷ 4 − 5)] = 30 − [6 + (7 − 5)] = 30 − [6 + 2] = 30 − 8 = 22.

  • सोपे : 10 − (2 + 3) = 10 − 5 = 5.
  • मध्यम : 25 − [3 + (12 ÷ 3)] = 25 − [3 + 4] = 25 − 7 = 18.
  • परीक्षेसाठी : 50 − [8 + (45 ÷ 5 − 4)] = 50 − [8 + 5] = 50 − 13 = 37.
लक्षात ठेवा

आधी कंस. मग × आणि ÷. मग + आणि −. एकाच पातळीवर : डावीकडून उजवीकडे.

सामान्य चूक

8 + 4 × 2 मध्ये आधी बेरीज करून 24 काढणे. आधी गुणाकार : 8 + 8 = 16.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "कंस, गुणा-भागा, मग बेरीज-वजाबाकी".

फरक ओळखा

पायरीकाय करायचे
1कंस सोडवा
2गुणा / भागा, डावीकडून उजवीकडे
3बेरीज / वजाबाकी, डावीकडून उजवीकडे

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1किंमत काढा 6 + 2 × 5.
  2. 2किंमत काढा (6 + 2) × 5.
  3. 3किंमत काढा 20 − 12 ÷ 4.
मध्यम
  1. 4किंमत काढा 36 ÷ 6 × 3.
  2. 5किंमत काढा 100 − (20 + 5 × 4).
  3. 6किंमत काढा 45 ÷ (2 + 3) + 7 × 2.
आव्हानात्मक
  1. 7किंमत काढा 40 − [5 + (18 ÷ 3 − 2)].
  2. 88 + 4 × 2 = 16 आहे, 24 का नाही?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 16 + 10 = 16.
  2. 28 × 5 = 40.
  3. 320 − 3 = 17.
  4. 46 × 3 = 18.
  5. 5100 − (20 + 20) = 100 − 40 = 60.
  6. 69 + 14 = 23.
  7. 740 − [5 + 4] = 40 − 9 = 31.
  8. 8गुणाकार बेरजेआधी करतात : 4 × 2 = 8, मग 8 + 8 = 16.

समानता आणि तिचे गुणधर्म

रोजच्या जीवनातून

तराजूच्या दोन्ही पारड्यांत 5 kg चे वजन असेल तर तो समतोल राहतो. दोन समान गोष्टी म्हणजे समतोल तराजूसारख्या.

सोपी व्याख्या

दोन राशींची किंमत सारखी असेल तर त्या समान (equal) असतात. दोन्ही बाजूंना सारखीच क्रिया केली तर त्या समानच राहतात.

नियम 1 : समानता तपासणे — दोन्ही बाजूंची किंमत काढा. 4 × 6 = 12 + 12 (दोन्ही 24), पण 18 ÷ 3 ≠ 10 − 3 (6 आणि 7).

  • सोपे : 9 + 6 = 3 × 5 (दोन्ही 15), म्हणून समान.
  • मध्यम : 40 ÷ 8 आणि 2 + 4 या 5 आणि 6, म्हणून समान नाहीत.
  • परीक्षेसाठी : रिकामी संख्या शोधा : 25 + 5 = 18 + ☐. डावी बाजू 30, म्हणून ☐ = 12.

नियम 2 : दोन्ही बाजूंना सारखी क्रिया — दोन्ही बाजूंना तीच संख्या मिळवा, वजा करा, तिने गुणा किंवा (शून्य नसलेल्या) संख्येने भागा; समानता टिकते. 8 + 2 = 5 × 2 (10 = 10) मध्ये 4 मिळवल्यावर 14 = 14 आणि 3 ने गुणल्यावर 30 = 30.

दोन्ही बाजूंना सारखीच क्रिया केली तर समतोल राहतो.6 + 45 × 210 = 1010 + 510 + 5दोन्ही बाजूंना 5 मिळवा : तरी समान (15 = 15)

आकृतीत : आकृतीत दोन्ही बाजूंना सारखी क्रिया केल्यावर समतोल टिकतो.

  • सोपे : 7 + 3 = 10; दोन्ही बाजूंतून 2 वजा : 8 = 8.
  • मध्यम : 12 = 3 × 4; दोन्ही बाजूंना 2 ने भागा : 6 = 6.
  • परीक्षेसाठी : 9 + 6 = 5 × 3 (15 = 15). दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणले : 30 = 30, अजूनही समान.
लक्षात ठेवा

दोन्ही बाजूंना सारखा बदल = समतोल टिकतो. 0 ने कधीही भागू नका.

सामान्य चूक

फक्त एकाच बाजूला 3 मिळवणे. मग तराजू झुकतो.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "जे डावीला, तेच उजवीला".

फरक ओळखा

क्रियासमानता टिकते का?
दोन्ही बाजूंना सारखी संख्या मिळवणेहोय
दोन्ही बाजूंना सारख्या संख्येने गुणणेहोय
फक्त एका बाजूला मिळवणेनाही

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 17 + 8 = 3 × 5 आहे का?
  2. 224 ÷ 4 = 9 − 2 आहे का?
  3. 3☐ शोधा : 14 + 6 = 11 + ☐.
मध्यम
  1. 410 = 4 + 6. दोन्ही बाजूंना 5 मिळवा. काय मिळते?
  2. 56 × 4 = 24. दोन्ही बाजूंना 4 ने भागा.
  3. 6☐ शोधा : 36 ÷ 6 = 2 × ☐.
आव्हानात्मक
  1. 75 + 4 = 9. डाव्या बाजूला 2 ने आणि उजव्या बाजूला 3 ने गुणले. अजून समान आहे का?
  2. 8दोन्ही बाजूंना 0 ने का भागता येत नाही?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1होय, दोन्ही 15.
  2. 2नाही, 6 ≠ 7.
  3. 320 = 11 + ☐, म्हणून ☐ = 9.
  4. 415 = 15.
  5. 56 = 6.
  6. 66 = 2 × ☐, म्हणून ☐ = 3.
  7. 7नाही : 18 ≠ 27. दोन्ही बाजूंना एकच संख्या वापरायला हवी.
  8. 80 ने भागण्याला अर्थ नसतो.

संख्यांसाठी अक्षरे आणि सूत्रे

रोजच्या जीवनातून

एक वही ₹ 12 ला. मग n वह्यांची किंमत 12 × n रुपये. n हे अक्षर वह्यांची कोणतीही संख्या दाखवते.

सोपी व्याख्या

अज्ञात किंवा बदलणाऱ्या संख्येसाठी वापरलेल्या अक्षराला चल (variable) म्हणतात. अक्षरांत लिहिलेल्या नियमांना सूत्र (formula) म्हणतात.

नियम 1 : शब्दांपासून राशी — "x पेक्षा 5 जास्त" म्हणजे x + 5, "x पेक्षा 3 कमी" म्हणजे x − 3, "x चे 4 पट" म्हणजे 4x, "20 वजा x" म्हणजे 20 − x. संख्या अक्षराच्या आधी लिहितात आणि × चिन्ह वगळतात : 3 × a = 3a.

  • सोपे : "m पेक्षा 9 जास्त" म्हणजे m + 9.
  • मध्यम : "20 वजा n" म्हणजे 20 − n; n = 8 असेल तर 12.
  • परीक्षेसाठी : "एका संख्येचे 7 पट, मग 2 जास्त" म्हणजे 7x + 2; x = 3 साठी 23.

नियम 2 : सूत्रे — वर्तुळाचा व्यास त्रिज्येच्या दुप्पट : d = 2r. चौरसाची परिमिती P = 4a. आयताची परिमिती P = 2(l + b). नफा = S − C (विक्री किंमत वजा खरेदी किंमत).

अक्षरांचा नियम : व्यास म्हणजे दोन त्रिज्या, d = 2r.Orrdd = r + rd = 2 × rd = 2r

आकृतीत : आकृतीत d = 2r हा नियम.

  • सोपे : r = 7 सेमी म्हणजे d = 2 × 7 = 14 सेमी; a = 5 सेमी म्हणजे P = 4 × 5 = 20 सेमी.
  • मध्यम : आयत l = 8 सेमी, b = 5 सेमी : P = 2 × (8 + 5) = 26 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : S = ₹ 540 आणि C = ₹ 450 म्हणजे नफा = 540 − 450 = ₹ 90.
लक्षात ठेवा

अक्षर = अज्ञात संख्या. संख्या अक्षराआधी. 3 × a = 3a.

सामान्य चूक

"x पेक्षा 5 कमी" ला 5 − x लिहिणे. ते x − 5 आहे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "पेक्षा जास्त → +; पेक्षा कमी → −; पट → गुणाकार".

फरक ओळखा

शब्दराशी
x पेक्षा 5 जास्तx + 5
x पेक्षा 3 कमीx − 3
x चे 4 पट4x

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1"y पेक्षा 6 जास्त" लिहा.
  2. 2"a पेक्षा 5 कमी" लिहा.
  3. 3"p चे 8 पट" लिहा.
मध्यम
  1. 4"15 वजा x" लिहा.
  2. 5a = 4 असताना 3a + 2 ची किंमत काढा.
  3. 6चौरसाची बाजू 6 सेमी आहे. P = 4a वापरून परिमिती काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7एका पेनची किंमत ₹ p आहे. 7 पेनांची किंमत लिहा. p = 9 असेल तर किती?
  2. 8"एका संख्येचे 5 पट, त्यातून 3 वजा" लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1y + 6.
  2. 2a − 5.
  3. 38p.
  4. 415 − x.
  5. 53 × 4 + 2 = 14.
  6. 64 × 6 = 24 सेमी.
  7. 77p; 7 × 9 = ₹ 63.
  8. 85x − 3.

एका चलातील समीकरणे

रोजच्या जीवनातून

एका पारड्यात अज्ञात वजनाची पिशवी x आणि 5 kg आहेत; दुसऱ्यात 12 kg, आणि तराजू समतोल आहे. म्हणजे x + 5 = 12. पिशवीचे वजन हीच आपल्याला शोधायची संख्या.

सोपी व्याख्या

दोन बाजू समान आहेत असे सांगणाऱ्या आणि चल असलेल्या विधानाला समीकरण (equation) म्हणतात. दोन्ही बाजू समान करणाऱ्या चलाच्या किमतीला उकल (solution) म्हणतात.

नियम 1 : प्रयत्न करून उकल — चलाच्या जागी किंमती घालून पाहा. x + 3 = 8 साठी : x = 4 घेतल्यावर 7 (8 नाही), x = 5 घेतल्यावर 8, म्हणून उकल x = 5.

y + 6 = 7 हे समीकरण फक्त y = 1 साठी संतुलित होते.y + 67y = 0 : 6 ≠ 7 y = 1 : 7 = 7 ✓उत्तर y = 1

आकृतीत : आकृतीत y + 6 = 7 हे y = 1 साठी समतोल होते.

Live आकृती

एका चलातील समीकरणे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : x + 2 = 9 हे x = 7 साठी खरे.
  • मध्यम : 2y = 14 हे y = 7 साठी खरे (2 × 7 = 14).
  • परीक्षेसाठी : z = 8 ही z − 4 = 6 ची उकल आहे का? 8 − 4 = 4 ≠ 6, म्हणून नाही; z = 10 घेतल्यावर 6 = 6, म्हणून होय.

नियम 2 : शब्दांपासून समीकरण — "एका संख्येचे 3 पट 21 आहे" म्हणजे 3x = 21. "40 मधून एक संख्या वजा केल्यावर 25 उरतात" म्हणजे 40 − x = 25.

  • सोपे : "एका संख्येत 8 मिळवल्यावर 15" म्हणजे x + 8 = 15.
  • मध्यम : "एका संख्येपेक्षा 6 कमी म्हणजे 9" म्हणजे n − 6 = 9.
  • परीक्षेसाठी : "एका संख्येचे दुप्पट, त्यात 3 मिळवले तर 17" म्हणजे 2x + 3 = 17.
लक्षात ठेवा

समीकरण = समान बाजू + एक चल. उकल दोन्ही बाजू समान करते.

सामान्य चूक

x + 5 ला समीकरण म्हणणे. त्यात "=" चिन्ह नाही, म्हणून ती फक्त राशी आहे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "समीकरण = तराजू; उकल = समतोल करणारी किंमत".

फरक ओळखा

गोष्टउदाहरण
राशीx + 5
समीकरणx + 5 = 12
उकलx = 7

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1सोडवा x + 7 = 12.
  2. 2सोडवा y − 3 = 9.
  3. 3सोडवा 4a = 20.
मध्यम
  1. 4x = 3 ही 2x + 1 = 7 ची उकल आहे का?
  2. 5समीकरण लिहा : एका संख्येचे 5 पट 35 आहे.
  3. 6m = 6 ही m + 9 = 14 ची उकल आहे का?
आव्हानात्मक
  1. 730 मधून एक संख्या वजा केल्यावर 18 उरतात. समीकरण लिहा आणि संख्या शोधा.
  2. 8एका पारड्यात 2 सारख्या पिशव्या आणि 1 kg; दुसऱ्यात 9 kg; तराजू समतोल. समीकरण लिहा आणि पिशवीचे वजन शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1x = 5.
  2. 2y = 12.
  3. 3a = 5.
  4. 4होय, 2 × 3 + 1 = 7.
  5. 55x = 35.
  6. 6नाही, 6 + 9 = 15 ≠ 14.
  7. 730 − x = 18, म्हणून x = 12.
  8. 82x + 1 = 9, म्हणून 2x = 8 आणि x = 4 kg.

समीकरणे सोडवणे आणि शाब्दिक उदाहरणे

रोजच्या जीवनातून

दुकानदार सांगतो की वही आणि बॅग मिळून ₹ 700 आणि बॅग ₹ 100 ने महाग. प्रत्येकाची किंमत शोधायला समीकरण लिहून सोडवतो.

सोपी व्याख्या

समीकरण सोडवायला दोन्ही बाजूंना सारखी क्रिया करून चल एकटे करतो. उत्तर परत घालून नेहमी तपासा.

नियम 1 : समीकरण सोडवणे — x + 6 = 20 वरून x = 20 − 6 = 14. 5x = 45 वरून x = 45 ÷ 5 = 9. k ÷ 4 = 7 वरून k = 7 × 4 = 28.

  • सोपे : x + 5 = 13 वरून x = 13 − 5 = 8.
  • मध्यम : x − 9 = 11 वरून x = 11 + 9 = 20.
  • परीक्षेसाठी : 3x + 4 = 25. 4 वजा करा : 3x = 21. 3 ने भागा : x = 7.

नियम 2 : शाब्दिक उदाहरणे — वहीची किंमत x आणि बॅगची x + 100; मिळून ₹ 700. म्हणून 2x + 100 = 700, 2x = 600, x = 300. वही ₹ 300, बॅग ₹ 400, आणि 300 + 400 = 700 ✓.

शर्ट x, पँट x + 250, एकूण 1250 : समीकरणाने x = 500.शर्टxपँटx250x + (x + 250) = 12502x = 1000, x = 500शर्ट ₹ 500, पँट ₹ 750

आकृतीत : आकृतीत शर्टची किंमत x आणि पँटची किंमत x + 250.

  • सोपे : रवीचे वय x वर्षे; 5 वर्षांनी तो 17 वर्षांचा होईल. x + 5 = 17, म्हणून x = 12.
  • मध्यम : 3 सारख्या पेनांची किंमत ₹ 36. 3x = 36, म्हणून x = 12.
  • परीक्षेसाठी : एक संख्या आणि तिचे दुप्पट मिळून 45. x + 2x = 45, 3x = 45, x = 15; तपासणी : 15 + 30 = 45 ✓.
लक्षात ठेवा

दोन्ही बाजूंना सारखी क्रिया. चल एकटे. उत्तर तपासा.

सामान्य चूक

तपासायला विसरणे. उत्तर परत घाला : 3 × 7 + 4 = 25 ✓.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "उलटी क्रिया करा — + चा −, × चा ÷".

फरक ओळखा

समीकरणातकरा
x + aदोन्ही बाजूंतून a वजा करा
x − aदोन्ही बाजूंना a मिळवा
axदोन्ही बाजूंना a ने भागा

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1सोडवा x + 9 = 20.
  2. 2सोडवा 6x = 48.
  3. 3सोडवा x − 7 = 15.
मध्यम
  1. 4सोडवा 2x + 5 = 17.
  2. 5सोडवा 4x − 3 = 21.
  3. 6पेन्सिलची किंमत x आणि पेनची x + 4. मिळून ₹ 16. दोन्ही किंमती काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7एक संख्या आणि तिचे दुप्पट मिळून 36. संख्या शोधा.
  2. 8x = 7 ही 3x + 4 = 25 ची उकल आहे का ते तपासा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1x = 11.
  2. 2x = 8.
  3. 3x = 22.
  4. 42x = 12, x = 6.
  5. 54x = 24, x = 6.
  6. 62x + 4 = 16, x = 6. पेन्सिल ₹ 6, पेन ₹ 10.
  7. 73x = 36, x = 12.
  8. 83 × 7 + 4 = 21 + 4 = 25, होय.