स्मार्ट कार्डांची युक्ती
जादूगार तुम्हाला पाच पत्ते दाखवतो आणि विचारतो, "तुमची गुप्त संख्या कोणत्या पत्त्यांवर आहे?" एका क्षणात तो तुमची संख्या सांगतो. जादू नाही, फक्त हुशार बेरीज.
पाच स्मार्ट पत्त्यांवर 1 ते 31 संख्या असतात. संख्या ओळखायला ती असलेल्या पत्त्यांची पहिली संख्या मिळवा. पहिल्या संख्या 1, 2, 4, 8 आणि 16.
नियम 1 : युक्ती — गुप्त संख्या कोणत्या पत्त्यांवर आहे ते विचारा आणि त्या पत्त्यांच्या पहिल्या संख्या मिळवा. संख्या 2, 4 आणि 16 ने सुरू होणाऱ्या पत्त्यांवर असेल तर संख्या 2 + 4 + 16 = 22.
आकृतीत : आकृतीत स्मार्ट पत्ते : 13 = 1 + 4 + 8.
- सोपे : 1 आणि 2 ने सुरू होणारे पत्ते : संख्या 1 + 2 = 3.
- मध्यम : 1, 8 आणि 16 ने सुरू होणारे पत्ते : 1 + 8 + 16 = 25.
- परीक्षेसाठी : 2, 4, 8 आणि 16 ने सुरू होणारे पत्ते : 2 + 4 + 8 + 16 = 30.
नियम 2 : विशेष प्रसंग — संख्या पाचही पत्त्यांवर असेल तर ती 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. ती फक्त एकाच पत्त्यावर असेल तर ती त्या पत्त्याची पहिली संख्या.
- सोपे : फक्त 8 ने सुरू होणाऱ्या पत्त्यावर : संख्या 8.
- मध्यम : 10 हे 2 आणि 8 ने सुरू होणाऱ्या पत्त्यांवर आहे, कारण 2 + 8 = 10.
- परीक्षेसाठी : 31 सर्व पत्त्यांवर आहे कारण 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31.
निवडलेल्या पत्त्यांच्या पहिल्या संख्या मिळवा. पहिल्या संख्या : 1, 2, 4, 8, 16. जास्तीत जास्त 31.
पत्त्यांवरील सगळ्या संख्या मिळवणे, फक्त पहिल्या नाही. फक्त पहिल्या संख्या मिळवा.
आठवणीची युक्ती : "पहिले आकडे जोडा, गुप्त संख्या मिळवा".
फरक ओळखा
| पत्ते (पहिली संख्या) | संख्या |
|---|---|
| 1, 2 | 3 |
| 2, 4, 16 | 22 |
| 1, 2, 4, 8, 16 | 31 |
सरावासाठी प्रश्न
- 11 आणि 2 ने सुरू होणाऱ्या पत्त्यांवर संख्या आहे. ती शोधा.
- 24 आणि 8 ने सुरू होणारे पत्ते. संख्या शोधा.
- 31, 4 आणि 16 ने सुरू होणारे पत्ते. संख्या शोधा.
- 42, 8 आणि 16 ने सुरू होणारे पत्ते. संख्या शोधा.
- 5संख्या पाचही पत्त्यांवर आहे. ती कोणती?
- 611 कोणत्या पत्त्यांवर आहे?
- 720 कोणत्या पत्त्यांवर आहे?
- 8रवी म्हणतो त्याची संख्या एकाही पत्त्यावर नाही. ती कोणती असू शकते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11 + 2 = 3.
- 212.
- 321.
- 426.
- 531.
- 611 = 8 + 2 + 1, म्हणून 1, 2 आणि 8 ने सुरू होणारे पत्ते.
- 720 = 16 + 4, म्हणून 4 आणि 16 ने सुरू होणारे पत्ते.
- 80, कारण कोणत्याही पहिल्या संख्येची बेरीज नसेल तर 0 (किंवा 31 पेक्षा मोठी संख्या).
ताऱ्याचे आणि बहुभुजांचे कोन
स्टारफिशची टोके आणि नटाचे कोपरे ह्यांचे कोन नेटक्या नियमांनी चालतात. त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180° आहे हे माहीत असले की प्रत्येक बहुभुजाचे कोन काढता येतात.
सरळ रेषेवरील कोनांची बेरीज 180° आणि त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180°. n बाजू असलेल्या बहुभुजाच्या कोनांची बेरीज (n − 2) × 180°.
नियम 1 : बहुभुजाच्या कोनांची बेरीज — बहुभुजाला एका कोपऱ्यापासून त्रिकोणांत कापा. चौकोनाचे 2 त्रिकोण, म्हणून 2 × 180° = 360°. समभुज षट्कोनाचे 4 त्रिकोण, म्हणून 4 × 180° = 720° आणि प्रत्येक कोन 720° ÷ 6 = 120°.
- सोपे : चौकोनाच्या कोनांची बेरीज 360°.
- मध्यम : समभुज अष्टकोन : (8 − 2) × 180° = 1080°, म्हणून प्रत्येक कोन 1080° ÷ 8 = 135°.
- परीक्षेसाठी : बहुभुजाच्या कोनांची बेरीज 1440°. मग (n − 2) × 180° = 1440°, n − 2 = 8, म्हणून n = 10 बाजू.
नियम 2 : पंचकोनातून तारा — समभुज पंचकोनाचे 3 त्रिकोण, म्हणून कोनांची बेरीज 3 × 180° = 540° आणि प्रत्येक कोन 540° ÷ 5 = 108°. बाजू वाढवून तारा बनवा. बाहेरचा कोन 180° − 108° = 72°, म्हणून प्रत्येक टोक 180° − 72° − 72° = 36°.
आकृतीत : आकृतीत 36° ची टोके असलेला तारा आणि 108° चा पंचकोन.
- सोपे : समभुज षट्कोनाचा बाहेरचा कोन 180° − 120° = 60°.
- मध्यम : समभुज षट्कोनाच्या बाजू वाढवल्यावर टोके 180° − 60° − 60° = 60°.
- परीक्षेसाठी : पंचकोन-ताऱ्याची पाच टोके मिळून 5 × 36° = 180°.
त्रिकोण 180°. बहुभुज (n − 2) × 180°. समभुज बहुभुज : प्रत्येक कोनासाठी n ने भागा.
कोनांच्या बेरजेसाठी n × 180° वापरणे. (n − 2) × 180° वापरा.
आठवणीची युक्ती : "बाजू वजा दोन, गुणिले एकशे ऐंशी".
फरक ओळखा
| बहुभुज | कोनांची बेरीज |
|---|---|
| त्रिकोण | 180° |
| चौकोन | 360° |
| पंचकोन | 540° |
| षट्कोन | 720° |
सरावासाठी प्रश्न
- 1त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज किती?
- 2चौकोनाच्या कोनांची बेरीज किती?
- 3पंचकोनाच्या कोनांची बेरीज किती?
- 4समभुज षट्कोनाचा प्रत्येक कोन काढा.
- 5समभुज अष्टकोनाचा प्रत्येक कोन काढा.
- 6सप्तकोनाच्या (7 बाजू) कोनांची बेरीज काढा.
- 7बहुभुजाच्या कोनांची बेरीज 1260° आहे. त्याला किती बाजू आहेत?
- 8पंचकोन-ताऱ्याचे प्रत्येक टोक 36° का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1180°.
- 2360°.
- 3540°.
- 4720° ÷ 6 = 120°.
- 51080° ÷ 8 = 135°.
- 6(7 − 2) × 180° = 900°.
- 7n − 2 = 7, म्हणून n = 9.
- 8बाहेरचा कोन 180° − 108° = 72° आणि टोक 180° − 72° − 72° = 36°.
पेंटॅमिनो आणि आच्छादन
कडेला कडा जोडणारे ठोकळे अनेक आकार बनवतात. पेंटोमिनो नेमके पाच सारखे चौरस वापरतो. हे आकार मजेदार कोडी बनवतात.
पेंटोमिनो (pentomino) म्हणजे 5 सारखे चौरस कडेला कडा जोडून बनवलेला आकार. असे नेमके 12 आकार आहेत. फरशीकाम (tiling) म्हणजे जागा एकही अंतर किंवा ओव्हरलॅप न ठेवता झाकणे.
नियम 1 : बारा पेंटोमिनो — त्यांना अक्षरांवरून नावे आहेत : F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y, Z. प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ 5, म्हणून सगळे 12 मिळून क्षेत्रफळ 5 × 12 = 60.
आकृतीत : आकृतीत 12 पेंटोमिनो.
- सोपे : I पेंटोमिनो म्हणजे एका ओळीतले 5 चौरस, 1 × 5 आयत.
- मध्यम : दोन पेंटोमिनोंचे क्षेत्रफळ 10; ते 2 × 5 आयत बनवू शकतात.
- परीक्षेसाठी : 6 × 10, 5 × 12, 4 × 15 आणि 3 × 20 ह्या आयतांचे क्षेत्रफळ 60, म्हणजे सर्व 12 पेंटोमिनोंचे क्षेत्रफळ.
नियम 2 : फरशीकाम आणि क्षेत्रफळाचा नियम — प्रत्येक पेंटोमिनो 5 चौरस झाकतो, म्हणून झाकलेले क्षेत्रफळ 5 चे गुणाकार हवे. 5 × 4 जाळी (क्षेत्रफळ 20) 4 पेंटोमिनोंनी झाकता येऊ शकते. 7 × 8 जाळी (क्षेत्रफळ 56) कधीच पूर्ण झाकता येत नाही.
- सोपे : 5 × 4 जाळीचे क्षेत्रफळ 20 = 4 × 5, म्हणून चार पेंटोमिनो बसू शकतात.
- मध्यम : 6 × 5 जाळीचे क्षेत्रफळ 30 = 6 × 5, म्हणून सहा पेंटोमिनो बसू शकतात.
- परीक्षेसाठी : 7 × 8 जाळीचे क्षेत्रफळ 56, जे 5 चे गुणाकार नाही, म्हणून ती पेंटोमिनोंनी झाकता येत नाही.
प्रत्येकी 5 चौरस. 12 आकार. झाकलेले क्षेत्रफळ = 5 चे गुणाकार.
क्षेत्रफळ 5 चे गुणाकार आहे म्हणून जाळी झाकता येते असे म्हणणे. ते आवश्यक आहे पण नेहमी पुरेसे नाही.
आठवणीची युक्ती : "पाच चौरस, बारा आकार, क्षेत्रफळ पाचाचे पट".
फरक ओळखा
| गोष्ट | किंमत |
|---|---|
| पेंटोमिनोतील चौरस | 5 |
| पेंटोमिनोंची संख्या | 12 |
| सगळ्यांचे एकूण क्षेत्रफळ | 60 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1पेंटोमिनोमध्ये किती चौरस असतात?
- 2किती वेगवेगळे पेंटोमिनो आहेत?
- 3एका पेंटोमिनोचे क्षेत्रफळ किती?
- 4सर्व 12 पेंटोमिनोंचे एकूण क्षेत्रफळ किती?
- 5क्षेत्रफळ 60 असलेले दोन आयत सांगा.
- 6दोन पेंटोमिनो 2 × 5 आयत झाकू शकतात का?
- 77 × 7 जाळी पेंटोमिनोंनी पूर्ण झाकता येईल का?
- 8झाकलेले क्षेत्रफळ 5 चे गुणाकार का हवे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 15.
- 212.
- 35 चौरस एकक.
- 412 × 5 = 60.
- 56 × 10 आणि 5 × 12.
- 6होय, क्षेत्रफळ 10 = 2 × 5; उदा. दोन L आकार बसतात.
- 7नाही, क्षेत्रफळ 49 हे 5 चे गुणाकार नाही.
- 8प्रत्येक पेंटोमिनो नेमके 5 चौरस झाकतो.
बेरीज-वजाबाकीच्या जाळ्या
कोड्याच्या जाळीत ओळींमध्ये बेरीज जुळायला हवी. बेरीज पिरॅमिडमध्ये प्रत्येक विट खालच्या दोन विटांची बेरीज असते. ही कोडी जलद आणि काळजीपूर्वक बेरीज शिकवतात.
बेरीज जाळीत ओळीचा एकूण म्हणजे तिच्यातील संख्यांची बेरीज. वजाबाकी घरात उत्तर म्हणजे फरक. बेरीज पिरॅमिडमध्ये (sum pyramid) प्रत्येक घर खालच्या दोन घरांची बेरीज असते.
नियम 1 : जाळ्या — ओळीत 7, 2 आणि एक हरवलेली संख्या असून एकूण 15 असेल तर हरवलेली संख्या 15 − 7 − 2 = 6. वजाबाकी घरात 12 − 5 = 7.
- सोपे : ओळ 5, ?, 4 आणि एकूण 12 : ? = 12 − 5 − 4 = 3.
- मध्यम : एक घर 9 − 4 = 5.
- परीक्षेसाठी : ओळीचा एकूण 20 आणि 8, ?, 5 : ? = 20 − 8 − 5 = 7.
नियम 2 : बेरीज पिरॅमिड — खालची ओळ 6, 2, 5 असेल तर मधली ओळ 6 + 2 = 8 आणि 2 + 5 = 7, आणि वर 8 + 7 = 15. अपूर्णांकांसहही हेच चालते : खालचे 14 आणि 18 यांचे 28 + 18 = 38.
आकृतीत : आकृतीत बेरीज पिरॅमिड.
- सोपे : खालचे 3 आणि 4 यांचे वर 3 + 4 = 7.
- मध्यम : खालचे 2, 6, 1 यांचे 8 आणि 7, म्हणून वर 15.
- परीक्षेसाठी : वर 21 आणि खाली 5, ?, 4. मधली घरे 5 + x आणि x + 4; वर = 9 + 2x = 21, म्हणून x = 6.
जाळी : एकूण वजा इतर. पिरॅमिड : खालची दोन मिळवा. हरवलेली खालची संख्या : अक्षर वापरा.
चुकीची घरे जोडणे. प्रत्येक वरचे घर त्याच्या थेट खालची दोन घरे वापरते.
आठवणीची युक्ती : "दोन खालची = एक वरची".
फरक ओळखा
| कोडे | नियम |
|---|---|
| बेरीज जाळी | ओळीचा एकूण = बेरीज |
| वजाबाकी घर | उत्तर = फरक |
| बेरीज पिरॅमिड | घर = खालची दोन |
सरावासाठी प्रश्न
- 1? शोधा : 4 + ? = 9.
- 2ओळ 6, 3, ? चा एकूण 14. ? शोधा.
- 3पिरॅमिडचे खालचे 2 आणि 3. वरचे घर शोधा.
- 4खालचे 1, 4, 2. वरचे घर शोधा.
- 5खालचे 5, 1, 7. वरचे घर शोधा.
- 6पिरॅमिडची घरे 12 आणि 14 मिळवा.
- 7वर 17, खाली 3, ?, 6. ? शोधा.
- 8एका ओळीतील तीन सारख्या संख्यांचा एकूण 24. प्रत्येक काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 15.
- 214 − 9 = 5.
- 35.
- 4मधले 5 आणि 6, वर 11.
- 5मधले 6 आणि 8, वर 14.
- 624 + 14 = 34.
- 73 + 2x + 6 = 17, म्हणून x = 4. तपासणी : 7, 10, वर 17 ✓.
- 824 ÷ 3 = 8.
युक्ती का चालते
1, 2, 4, 8 आणि 16 kg वजनांनी प्रत्येक वजन फार तर एकदा वापरून 31 पर्यंत कोणतेही पूर्ण kg वजन करता येते. स्मार्ट पत्ते त्याच कारणाने चालतात.
पहिल्या संख्या 1, 2, 4, 8, 16 प्रत्येक मागच्याच्या दुप्पट. 31 पर्यंतची प्रत्येक संख्या त्यांपैकी काहींची बेरीज असते, प्रत्येक फार तर एकदा.
नियम 1 : हे का चालते — संख्या दुप्पट होत जाणाऱ्या संख्यांच्या बेरजेत लिहा : 19 = 16 + 2 + 1 आणि 27 = 16 + 8 + 2 + 1. म्हणून 19 नेमके 1, 2 आणि 16 ने सुरू होणाऱ्या पत्त्यांवर असते.
आकृतीत : आकृतीत दुप्पट होणाऱ्या संख्या 1, 2, 4, 8, 16.
- सोपे : 5 = 4 + 1, म्हणून 5 पत्ते 1 आणि 4 वर आहे.
- मध्यम : 14 = 8 + 4 + 2, म्हणून 14 पत्ते 2, 4 आणि 8 वर आहे.
- परीक्षेसाठी : 27 = 16 + 8 + 2 + 1 चार पत्त्यांवर आहे : 1, 2, 8, 16.
नियम 2 : जास्त पत्ते, मोठ्या संख्या — 3 पत्त्यांनी सर्वांत मोठी संख्या 1 + 2 + 4 = 7, 4 पत्त्यांनी 15, 5 पत्त्यांनी 31 आणि 6 पत्त्यांनी (32 घातल्यावर) 63. प्रत्येक वेळी सर्वांत मोठी संख्या 2 च्या घातापेक्षा एकने कमी.
- सोपे : 3 पत्त्यांनी : 1 + 2 + 4 = 7.
- मध्यम : 4 पत्त्यांनी : 1 + 2 + 4 + 8 = 15.
- परीक्षेसाठी : 7 पत्त्यांनी (64 घातल्यावर) सर्वांत मोठी संख्या 63 + 64 = 127.
दुप्पट संख्या : 1, 2, 4, 8, 16, 32. n पत्ते → सर्वांत मोठी संख्या पुढच्या दुप्पट संख्येपेक्षा एकने कमी.
एकच दुप्पट संख्या दोनदा वापरणे. प्रत्येक फार तर एकदा.
आठवणीची युक्ती : "१, २, ४, ८, १६ — प्रत्येक पुढची दुप्पट".
फरक ओळखा
| पत्ते | सर्वांत मोठी संख्या |
|---|---|
| 3 | 7 |
| 4 | 15 |
| 5 | 31 |
| 6 | 63 |
सरावासाठी प्रश्न
- 16 दुप्पट संख्यांच्या बेरजेत लिहा.
- 29 दुप्पट संख्यांच्या बेरजेत लिहा.
- 321 दुप्पट संख्यांच्या बेरजेत लिहा.
- 430 दुप्पट संख्यांच्या बेरजेत लिहा.
- 53 पत्त्यांवर सर्वांत मोठी संख्या कोणती?
- 66 पत्त्यांवर सर्वांत मोठी संख्या कोणती?
- 7100 पर्यंतच्या संख्यांसाठी किती पत्ते लागतील?
- 832 ही संख्या पाच पत्त्यांवर का असू शकत नाही?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 14 + 2.
- 28 + 1.
- 316 + 4 + 1.
- 416 + 8 + 4 + 2.
- 57.
- 663.
- 77 पत्ते (सर्वांत मोठी 127), कारण 6 पत्ते 63 वर थांबतात.
- 8पाच पत्त्यांची बेरीज जास्तीत जास्त 31, म्हणून 32 साठी 32 ने सुरू होणारा सहावा पत्ता लागतो.