काटकोन त्रिकोण आणि त्याच्या बाजू
भिंतीला टेकवलेली शिडी, पुस्तकाचा कोपरा आणि सेट-स्क्वेअर ह्यांत काटकोन दिसतो. त्यातून बनणाऱ्या त्रिकोणाला खास नाव आणि खास नियम आहे.
एक कोन 90° असलेला त्रिकोण म्हणजे काटकोन त्रिकोण (right-angled triangle). काटकोनासमोरची बाजू म्हणजे कर्ण (hypotenuse).
नियम 1 : काटकोन त्रिकोणाच्या बाजू — ∠B = 90° असलेल्या ∆ABC मध्ये कर्ण AC आहे. काटकोन करणाऱ्या दोन बाजू AB आणि BC आहेत.
आकृतीत : आकृतीत काटकोन त्रिकोण आणि कर्ण.
- सोपे : ∠E = 90° असलेल्या ∆DEF मध्ये कर्ण DF.
- मध्यम : ∠Y = 90° असलेल्या ∆XYZ मध्ये XY आणि YZ काटकोन करतात.
- परीक्षेसाठी : तुमच्या पेटीतील सेट-स्क्वेअरचा एक कोपरा 90° असतो, म्हणून तो काटकोन त्रिकोण आहे.
नियम 2 : कर्ण आणि इतर दोन कोन — कर्ण नेहमी सर्वांत लांब बाजू असते. त्रिकोणाला एकच काटकोन असू शकतो, म्हणून इतर दोन कोनांची बेरीज 90°. एक 35° असेल तर दुसरा 90° − 35° = 55°.
- सोपे : कर्ण ही सर्वांत लांब बाजू.
- मध्यम : कोन 90° आणि 48° असतील तर उरलेला 180° − 138° = 42°.
- परीक्षेसाठी : एका त्रिकोणात दोन काटकोन असतील तर आधीच 180° होतात आणि तिसऱ्या कोनाला जागा उरत नाही; म्हणून एकच काटकोन असतो.
कर्ण 90° समोर असतो आणि सर्वांत लांब असतो. इतर दोन कोनांची बेरीज 90°.
काटकोन करणाऱ्या बाजूला कर्ण म्हणणे. कर्ण काटकोनासमोर असतो.
आठवणीची युक्ती : "काटकोनासमोरची बाजू = कर्ण".
फरक ओळखा
| भाग | ∆ABC (∠B = 90°) मध्ये |
|---|---|
| कर्ण | AC |
| काटकोन करणाऱ्या बाजू | AB, BC |
सरावासाठी प्रश्न
- 1कर्ण कोणती बाजू?
- 2∠E = 90° असलेल्या ∆DEF मध्ये कर्णाचे नाव सांगा.
- 3∆DEF मध्ये काटकोन करणाऱ्या बाजूंची नावे सांगा.
- 4काटकोन त्रिकोणातील दोन लघुकोनांची बेरीज किती?
- 5काटकोन त्रिकोणाचा एक लघुकोन 35° आहे. दुसरा काढा.
- 6त्रिकोणाला दोन काटकोन असू शकतात का?
- 7काटकोन त्रिकोणाची सर्वांत लांब बाजू कोणती?
- 8त्रिकोणाचे कोन 90° आणि 48° आहेत. तिसरा कोन काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1काटकोनासमोरची बाजू.
- 2DF.
- 3DE आणि EF.
- 490°.
- 555°.
- 6नाही, ते आधीच 180° होतील.
- 7कर्ण.
- 842°.
बौधायन-पायथागोरस सिद्धांत
सुताराला कपाटाचा कोपरा अगदी काटकोनात आहे का ते तपासायचे असते. तो दोन कडांवर आणि कोपऱ्याच्या आडव्या दिशेने मोजतो. लांबींचा एक नियम त्याला कोपरा काटकोन आहे का ते सांगतो.
बौधायन-पायथागोरस प्रमेय : काटकोन त्रिकोणात (कर्ण)² = (बाजू 1)² + (बाजू 2)².
नियम 1 : चौरसांसह प्रमेय — दोन लहान बाजूंवरील चौरसांचे एकूण क्षेत्रफळ कर्णावरील चौरसाच्या क्षेत्रफळाइतके असते. बाजू 6 आणि 8 : 36 + 64 = 100, जे 10². म्हणून कर्ण 10.
आकृतीत : आकृतीत बाजूंवरील चौरस : 9 + 16 = 25.
बौधायन-पायथागोरस सिद्धांत
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10².
- मध्यम : 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15².
- परीक्षेसाठी : 7, 9, 12 बाजूंचा त्रिकोण काटकोन आहे का? 49 + 81 = 130, पण 12² = 144. नाही.
नियम 2 : इतिहास आणि मर्यादा — बौधायन ह्यांनी हा नियम इ.स.पू. 8 व्या शतकाच्या सुमारास शुल्बसूत्रात सांगितला. ग्रीक पायथागोरस (इ.स.पू. 570–495) ह्यांनी तो मांडला आणि सिद्ध केला. तो फक्त काटकोन त्रिकोणांसाठी चालतो.
- सोपे : प्रमेय फक्त काटकोन त्रिकोणांसाठी चालते.
- मध्यम : बौधायन पायथागोरसच्या खूप आधी होऊन गेले.
- परीक्षेसाठी : बाजू 7 आणि 24 वरील चौरसांची क्षेत्रफळे 49 आणि 576, बेरीज 625 = 25², म्हणून कर्ण 25.
कर्ण² = बाजू₁² + बाजू₂². फक्त काटकोन त्रिकोणांसाठी.
प्रमेय कोणत्याही त्रिकोणाला वापरणे. त्याला काटकोन हवा.
आठवणीची युक्ती : "दोन बाजूंचे वर्ग मिळून कर्णाचा वर्ग".
फरक ओळखा
| गोष्ट | तपशील |
|---|---|
| नियम | c² = a² + b² |
| सांगितले | बौधायन, इ.स.पू. 8 वे शतक |
| सिद्ध केले | पायथागोरस, इ.स.पू. 570–495 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1प्रमेय शब्दांत सांगा.
- 2काढा 6² + 8².
- 3बाजू 9 आणि 12 आहेत. कर्णाचा वर्ग काढा.
- 4इ.स.पू. 8 व्या शतकाच्या सुमारास हा नियम कोणी सांगितला?
- 5तो कोणी सिद्ध केला?
- 6प्रमेय सर्व त्रिकोणांसाठी चालते का?
- 7बाजूंवरील चौरसांची क्षेत्रफळे 36 आणि 64 आहेत. कर्णावरील चौरसाचे क्षेत्रफळ किती?
- 8बाजूंवरील चौरसांची क्षेत्रफळे 49 आणि 576 आहेत. कर्ण काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1काटकोन त्रिकोणात कर्णाचा वर्ग इतर दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो.
- 2100.
- 381 + 144 = 225.
- 4बौधायन.
- 5पायथागोरस.
- 6नाही, फक्त काटकोन त्रिकोणांसाठी.
- 7100.
- 8625 = 25², म्हणून 25.
कर्ण काढणे
मुलगा 6 m पश्चिमेला आणि मग 8 m दक्षिणेला चालतो. सरळ रेषेत तो सुरुवातीपासून किती दूर आहे? वाटेत काटकोन होतो, म्हणून प्रमेयाने अंतर काढता येते.
कर्ण काढायला काटकोन करणाऱ्या दोन बाजूंचे वर्ग मिळवा, मग वर्गमूळ घ्या.
नियम 1 : कर्ण शोधणे — बाजू 8 आणि 15 : 64 + 225 = 289 = 17², म्हणून कर्ण 17. बाजू 6 आणि 8 : 36 + 64 = 100 = 10², म्हणून कर्ण 10.
आकृतीत : आकृतीत कर्ण शोधणे.
- सोपे : बाजू 6 आणि 8 यांचा कर्ण 10.
- मध्यम : बाजू 8 आणि 15 यांचा कर्ण 17.
- परीक्षेसाठी : बाजू 20 आणि 21 : 400 + 441 = 841 = 29², म्हणून कर्ण 29.
नियम 2 : कुठे वापरतात — 6 m पश्चिमेला आणि 8 m दक्षिणेला चालणारा मुलगा सरळ रेषेत सुरुवातीपासून 10 m वर असतो. आयताचा कर्ण हा काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण असतो : 8 सेमी × 15 सेमी आयताचा कर्ण 17 सेमी.
- सोपे : 6 m पश्चिम, मग 8 m दक्षिण : अंतर 10 m.
- मध्यम : 8 सेमी × 15 सेमी आयत : कर्ण 17 सेमी.
- परीक्षेसाठी : बाजू 10 आणि 24 : 100 + 576 = 676 = 26², म्हणून कर्ण 26.
वर्ग मिळवा, मग वर्गमूळ काढा.
वर्गमूळ विसरून कर्ण 289 सांगणे. तो 17 आहे.
आठवणीची युक्ती : "वर्ग जोडा, मग मूळ काढा".
फरक ओळखा
| बाजू | कर्ण |
|---|---|
| 6, 8 | 10 |
| 8, 15 | 17 |
| 20, 21 | 29 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1बाजू 6 आणि 8 आहेत. कर्ण काढा.
- 2बाजू 8 आणि 15 आहेत. कर्ण काढा.
- 3बाजू 20 आणि 21 आहेत. कर्ण काढा.
- 4बाजू 10 आणि 24 आहेत. कर्ण काढा.
- 5मुलगी 15 m उत्तरेला आणि मग 8 m पूर्वेला चालते. ती सुरुवातीपासून किती दूर आहे?
- 6आयत 15 सेमी × 20 सेमी आहे. त्याचा कर्ण काढा.
- 7बाजू 12 आणि 16 आहेत. कर्ण काढा.
- 8शेवटी वर्गमूळ का घेतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 110.
- 217.
- 329.
- 426.
- 5225 + 64 = 289, म्हणून 17 m.
- 6225 + 400 = 625, म्हणून 25 सेमी.
- 7144 + 256 = 400, म्हणून 20.
- 8वर्गांची बेरीज म्हणजे (कर्ण)² मिळते, कर्ण नाही.
उरलेली बाजू काढणे
26 m ची शिडी भिंतीला टेकवली आहे आणि तिचे टोक जमिनीपासून 24 m वरील खिडकीला लागते. शिडीचा पाय भिंतीपासून किती दूर? कर्ण माहीत आहे, म्हणून वजाबाकी करतो.
कर्ण माहीत असेल तर : (बाजू)² = (कर्ण)² − (दुसरी बाजू)².
नियम 1 : हरवलेली बाजू शोधणे — कर्ण 17 आणि एक बाजू 8 : 289 − 64 = 225 = 15², म्हणून दुसरी बाजू 15. कर्ण 29 आणि एक बाजू 21 : 841 − 441 = 400 = 20², म्हणून दुसरी बाजू 20.
- सोपे : कर्ण 10 आणि एक बाजू 6 : 100 − 36 = 64, म्हणून दुसरी बाजू 8.
- मध्यम : कर्ण 17 आणि एक बाजू 8 यांवरून 15.
- परीक्षेसाठी : कर्ण 29, एक बाजू 21 यांवरून दुसरी बाजू 20.
नियम 2 : शिडीचे उदाहरण — 26 m ची शिडी 24 m उंच खिडकीपर्यंत पोहोचते. पायाचे अंतर d, जिथे d² = 26² − 24² = 676 − 576 = 100, म्हणून d = 10 m.
आकृतीत : आकृतीत शिडीचे उदाहरण.
- सोपे : 10 m शिडी, भिंतीची उंची 8 m : पायाचे अंतर = 6 m (100 − 64 = 36).
- मध्यम : 26 m शिडी, 24 m उंची : पाय 10 m वर.
- परीक्षेसाठी : आयताचा कर्ण 13 सेमी आणि एक बाजू 5 सेमी; दुसरी बाजू √(169 − 25) = √144 = 12 सेमी.
कर्ण माहीत असेल तर वजा करा. तपासणी : कर्ण इतर प्रत्येक बाजूपेक्षा लांब असावा.
कर्ण दिला असताना वर्ग मिळवणे. वजा करा.
आठवणीची युक्ती : "कर्ण माहीत — वजा करा; कर्ण शोधायचा — बेरीज करा".
फरक ओळखा
| माहीत | पद्धत |
|---|---|
| दोन्ही बाजू | वर्ग मिळवा |
| कर्ण आणि एक बाजू | वर्ग वजा करा |
सरावासाठी प्रश्न
- 1कर्ण 5 आणि एक बाजू 3. दुसरी बाजू काढा.
- 2कर्ण 13 आणि एक बाजू 12. दुसरी बाजू काढा.
- 3कर्ण 17 आणि एक बाजू 15. दुसरी बाजू काढा.
- 4कर्ण 25 आणि एक बाजू 24. दुसरी बाजू काढा.
- 5कर्ण 20 आणि एक बाजू 16. दुसरी बाजू काढा.
- 610 m ची शिडी भिंतीला 8 m उंचीवर लागते. पाय भिंतीपासून किती दूर?
- 7आयताचा कर्ण 13 सेमी आणि एक बाजू 5 सेमी आहे. दुसरी बाजू काढा.
- 8उत्तरात कर्ण इतर बाजूंपेक्षा लांब का असावा?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 125 − 9 = 16, म्हणून 4.
- 2169 − 144 = 25, म्हणून 5.
- 3289 − 225 = 64, म्हणून 8.
- 4625 − 576 = 49, म्हणून 7.
- 5400 − 256 = 144, म्हणून 12.
- 6100 − 64 = 36, म्हणून 6 m.
- 7169 − 25 = 144, म्हणून 12 सेमी.
- 8तो सर्वांत लांब बाजू असतो, नाहीतर चूक झालेली असते.
त्रिकूट आणि काटकोन त्रिकोण
6, 8 आणि 10 सारख्या तीन संख्या नियमात नेमक्या बसतात. अशा संख्यांच्या संचांना पायथागोरसचे त्रिकूट म्हणतात आणि बांधकामात अचूक काटकोन आखायला ते वापरतात.
तीन नैसर्गिक संख्यांत सर्वांत मोठ्या संख्येचा वर्ग इतर दोघांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असेल तर तो त्रिकूट (triplet) असतो.
नियम 1 : त्रिकूट — (6, 8, 10), (8, 15, 17) आणि (20, 21, 29) ही त्रिकुटे आहेत कारण 6² + 8² = 10², 8² + 15² = 17² आणि 20² + 21² = 29². ह्या बाजूंचा त्रिकोण काटकोन असतो.
आकृतीत : आकृतीत त्रिकुटे तपासणे.
- सोपे : (6, 8, 10) : 36 + 64 = 100 = 10² ✓.
- मध्यम : (8, 15, 17) : 64 + 225 = 289 = 17² ✓.
- परीक्षेसाठी : (9, 12, 16) : 81 + 144 = 225, पण 16² = 256. त्रिकूट नाही.
नियम 2 : नवीन त्रिकुटे बनवणे — त्रिकुटातील प्रत्येक संख्येला त्याच संख्येने गुणले तरी पुन्हा त्रिकूट मिळते. (3, 4, 5) × 3 = (9, 12, 15) आणि (8, 15, 17) × 2 = (16, 30, 34).
- सोपे : (3, 4, 5) × 2 = (6, 8, 10).
- मध्यम : (3, 4, 5) × 4 = (12, 16, 20); 144 + 256 = 400 ✓.
- परीक्षेसाठी : (16, 30, 34) : 256 + 900 = 1156 = 34² ✓.
चाचणी : लहान वर्गांची बेरीज = सर्वांत मोठा वर्ग. त्रिकुटाचे गुणाकार त्रिकूटच असतात.
चुकीची संख्या सर्वांत मोठी धरणे. सर्वांत मोठी संख्या नेहमी एकटी उजव्या बाजूला जाते.
आठवणीची युक्ती : "लहान दोन वर्ग = मोठा वर्ग".
फरक ओळखा
| त्रिकूट | तपासणी |
|---|---|
| (6, 8, 10) | 36 + 64 = 100 |
| (8, 15, 17) | 64 + 225 = 289 |
| (9, 12, 16) | 81 + 144 ≠ 256 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1(6, 8, 10) त्रिकूट आहे का?
- 2(5, 12, 13) त्रिकूट आहे का?
- 3(7, 8, 9) त्रिकूट आहे का?
- 4(3, 4, 5) ला 4 ने गुणा. काय मिळते?
- 5(20, 21, 29) त्रिकूट आहे का?
- 6(16, 30, ?) मधील हरवलेली संख्या शोधा.
- 710, 24, 26 बाजूंचा त्रिकोण काटकोन आहे का?
- 87, 9, 11 बाजूंचा त्रिकोण काटकोन आहे का? का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय, 36 + 64 = 100.
- 2होय, 25 + 144 = 169.
- 3नाही, 49 + 64 = 113 पण 9² = 81.
- 4(12, 16, 20).
- 5होय, 400 + 441 = 841 = 29².
- 6256 + 900 = 1156 = 34², म्हणून 34.
- 7होय, 100 + 576 = 676 = 26².
- 8नाही, 49 + 81 = 130 पण 11² = 121.