K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 6 · गणित

धडा १५: परिमिती आणि क्षेत्रफळ

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

आयत आणि चौरसाची परिमिती

रोजच्या जीवनातून

शेतकरी आपल्या आयताकृती शेताभोवती कुंपण घालतो. त्याला लागणाऱ्या कुंपणाची लांबी म्हणजे शेताभोवतीचे संपूर्ण अंतर. हे अंतर म्हणजे परिमिती.

सोपी व्याख्या

बंद आकृतीच्या सर्व बाजूंच्या लांबींची बेरीज म्हणजे तिची परिमिती (perimeter). ती लांबी असल्याने सेमी, m किंवा किमी मध्ये मोजतात.

नियम 1 : आयत आणि चौरस — आयत : लांबी + रुंदी + लांबी + रुंदी = 2 × (लांबी + रुंदी). 9.5 सेमी × 6 सेमी च्या कार्डाची परिमिती 2 × (9.5 + 6) = 31 सेमी. चौरस : चारही बाजू समान, म्हणून परिमिती = 4 × बाजू. 15 m बाजूच्या चौरस बागेची परिमिती 60 m.

आयताची परिमिती = 2 × (लांबी + रुंदी).लांबी 8.5लांबी 8.5रुं 5.5रुं 5.5चारी बाजू फिरापरिमिती2 × (l + b)2 × (8.5 + 5.5)= 28 सेमीचौरस : 4 × बाजू

आकृतीत : आकृतीत आयताची परिमिती.

  • सोपे : 12 सेमी × 5 सेमी आयताची परिमिती 2 × (12 + 5) = 34 सेमी.
  • मध्यम : 9 m बाजूच्या चौरसाची परिमिती 4 × 9 = 36 m.
  • परीक्षेसाठी : 15 m चौरस बागेला तारेचे 3 थर लावले तर 3 × 60 = 180 m तार लागते.

नियम 2 : हरवलेली बाजू शोधणे — परिमिती दिली असेल तर उलट काढा. 48 m परिमितीच्या चौरसाची बाजू 48 ÷ 4 = 12 m. 30 सेमी परिमिती आणि 9 सेमी लांबी असलेल्या आयतात लांबी + रुंदी = 15, म्हणून रुंदी = 15 − 9 = 6 सेमी.

  • सोपे : 40 सेमी परिमितीच्या चौरसाची बाजू 10 सेमी.
  • मध्यम : परिमिती 30 सेमी, लांबी 9 सेमी यावरून रुंदी 6 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : आयताची लांबी रुंदीच्या दुप्पट आणि परिमिती 36 सेमी. मग 2 × (2b + b) = 36, 6b = 36, b = 6 सेमी आणि l = 12 सेमी.
Live आकृती

आयत आणि चौरसाची परिमिती

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

परिमिती ही लांबी. आयत 2(l + b). चौरस 4 × बाजू.

सामान्य चूक

आयताची परिमिती l + b लिहिणे. ती दुप्पट करायला हवी.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "आयत: दोन गुणिले (लांबी + रुंदी); चौरस: चार गुणिले बाजू".

फरक ओळखा

आकृतीपरिमिती
आयत2 × (l + b)
चौरस4 × बाजू

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 110 सेमी × 4 सेमी आयताची परिमिती काढा.
  2. 27 सेमी बाजूच्या चौरसाची परिमिती काढा.
  3. 3परिमिती कोणत्या एककांत मोजतात?
मध्यम
  1. 415 m × 8 m शेताची परिमिती काढा.
  2. 5चौरसाची परिमिती 60 m आहे. बाजू काढा.
  3. 6आयताची परिमिती 26 सेमी आणि लांबी 8 सेमी आहे. रुंदी काढा.
आव्हानात्मक
  1. 720 m × 12 m शेताला तारेचे 3 फेरे लावले. किती तार लागेल?
  2. 8परिमिती चौरस सेमी मध्ये का मोजत नाहीत?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 12 × 14 = 28 सेमी.
  2. 228 सेमी.
  3. 3लांबीच्या एककांत : सेमी, m, किमी.
  4. 42 × 23 = 46 m.
  5. 560 ÷ 4 = 15 m.
  6. 613 − 8 = 5 सेमी.
  7. 7परिमिती 64 m, म्हणून 3 × 64 = 192 m.
  8. 8ती लांबी आहे, पृष्ठभाग नाही.

त्रिकोणाची परिमिती

रोजच्या जीवनातून

पिझ्झा बॉक्सचे झाकण, त्रिकोणी झेंडा आणि रस्त्यावरचा फलक ह्यांना तीन बाजू असतात. त्रिकोणी झेंड्याला रिबीनीची किनार लावायला त्याची परिमिती लागते.

सोपी व्याख्या

त्रिकोणाची परिमिती = त्याच्या तीन बाजूंची बेरीज.

नियम 1 : त्रिकोणाची परिमिती — 5 सेमी, 7 सेमी आणि 9 सेमी बाजूंच्या त्रिकोणाची परिमिती 5 + 7 + 9 = 21 सेमी. 8 सेमी बाजूच्या समभुज त्रिकोणाची परिमिती 3 × 8 = 24 सेमी.

त्रिकोणाची परिमिती आणि तार वाकवून आकार बदल.8 सेमी4 सेमी6 सेमीपरिमिती4 + 6 + 8 = 18 सेमीतेवढीच तार :आयत 5×3 → 16 सेमीचौरस बाजू 4 → 16 सेमी

आकृतीत : आकृतीत त्रिकोणाची परिमिती आणि बदललेल्या आकाराची तार.

  • सोपे : 3 सेमी, 4 सेमी, 5 सेमी बाजूंची परिमिती 3 + 4 + 5 = 12 सेमी.
  • मध्यम : समान बाजू 6 सेमी आणि पाया 4 सेमी असलेल्या समद्विभुज त्रिकोणाची परिमिती 6 + 6 + 4 = 16 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : परिमिती 36 सेमी आणि दोन बाजू 11 सेमी व 14 सेमी : तिसरी बाजू = 36 − (11 + 14) = 11 सेमी.

नियम 2 : तीच तार, वेगळे आकार — तारेला वेगवेगळे आकार देता येतात आणि परिमिती तीच राहते. 6 सेमी × 4 सेमी आयताला 20 सेमी तार लागते, म्हणून त्यापासून बनवलेल्या चौरसाची बाजू 20 ÷ 4 = 5 सेमी. बेरीज करण्याआधी सर्व बाजू एकाच एककात आणा : 1 m + 60 सेमी + 90 सेमी = 100 + 60 + 90 = 250 सेमी.

  • सोपे : 20 सेमी तार चौरसात वाकवली तर बाजू 5 सेमी.
  • मध्यम : 24 सेमी तार समभुज त्रिकोणात वाकवली तर बाजू 24 ÷ 3 = 8 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : बाजू 1 m, 60 सेमी आणि 90 सेमी : 100 + 60 + 90 = 250 सेमी = 2.5 m.
लक्षात ठेवा

त्रिकोणाची परिमिती = a + b + c. एकाच एककात. तीच तार = तीच परिमिती.

सामान्य चूक

सेमी आणि m रूपांतर न करता मिळवणे. आधी एकाच एककात आणा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "तीन बाजू जोडा; एकक एकच ठेवा".

फरक ओळखा

आकारपरिमिती
त्रिकोणa + b + c
समभुज त्रिकोण3 × बाजू

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 16, 8 आणि 10 सेमी बाजूंच्या त्रिकोणाची परिमिती काढा.
  2. 29 सेमी बाजूच्या समभुज त्रिकोणाची परिमिती काढा.
  3. 3परिमिती 40 सेमी आणि दोन बाजू 15 सेमी व 12 सेमी आहेत. तिसरी बाजू काढा.
मध्यम
  1. 4समान बाजू 7 सेमी आणि पाया 5 सेमी असलेल्या समद्विभुज त्रिकोणाची परिमिती काढा.
  2. 536 सेमी तार चौरसात वाकवली. बाजू काढा.
  3. 61 m, 60 सेमी आणि 90 सेमी बाजूंच्या त्रिकोणाची परिमिती सेमी मध्ये काढा.
आव्हानात्मक
  1. 79 सेमी × 3 सेमी आयत तारेने बनवला आणि पुन्हा चौरसात वाकवला. बाजू काढा.
  2. 830 सेमी तार समभुज त्रिकोणात वाकवली. बाजू काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 124 सेमी.
  2. 227 सेमी.
  3. 340 − 27 = 13 सेमी.
  4. 47 + 7 + 5 = 19 सेमी.
  5. 59 सेमी.
  6. 6250 सेमी.
  7. 7परिमिती 24 सेमी, म्हणून बाजू 6 सेमी.
  8. 810 सेमी.

आयत आणि चौरसाचे क्षेत्रफळ

रोजच्या जीवनातून

फरशी बसवायला किती जमीन झाकायची आहे ते माहीत हवे. आकृतीच्या आतील सपाट जागेला क्षेत्रफळ म्हणतात.

सोपी व्याख्या

सपाट आकृतीने व्यापलेली जागा म्हणजे क्षेत्रफळ (area). आपण एकक चौरस मोजतो. एकक : चौ. सेमी, चौ. m, चौ. किमी.

नियम 1 : आयत आणि चौरसाचे क्षेत्रफळ — 5 सेमी × 3 सेमी आयतात 1 चौ. सेमी चे 5 × 3 = 15 चौरस बसतात. आयत : क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी. चौरस : क्षेत्रफळ = बाजू × बाजू. 9 सेमी × 6 सेमी आयताचे क्षेत्रफळ 54 चौ. सेमी आणि 7 सेमी चौरसाचे क्षेत्रफळ 49 चौ. सेमी.

क्षेत्रफळ म्हणजे एकक चौरसांची संख्या : लांबी × रुंदी.111111114 सेमी2 सेमी8 चौरस = 8 चौ. सेमीक्षेत्रफळआयत = ल × रुंचौरस = बाजू × बाजू8 × 7 = 56 चौ. सेमी6 × 6 = 36 चौ. सेमीसेमी → चौ. सेमी | मी → चौ. मी | किमी → चौ. किमी

आकृतीत : आकृतीत क्षेत्रफळ म्हणजे एकक चौरस मोजणे.

  • सोपे : 6 सेमी × 4 सेमी आयत : 6 × 4 = 24 चौ. सेमी.
  • मध्यम : 8 सेमी बाजूचा चौरस : 8 × 8 = 64 चौ. सेमी.
  • परीक्षेसाठी : 8 m × 5 m जमिनीला 1 चौ. m च्या 8 × 5 = 40 फरशा लागतात.

नियम 2 : एकके आणि हरवलेली बाजू — लांबी सेमी मध्ये तर क्षेत्रफळ चौ. सेमी मध्ये; m तर चौ. m; किमी तर चौ. किमी. क्षेत्रफळ आणि एक बाजू दिली असेल तर भागा : क्षेत्रफळ 72 चौ. सेमी आणि लांबी 9 सेमी वरून रुंदी 72 ÷ 9 = 8 सेमी.

  • सोपे : 5 m बाजूच्या चौरसाचे क्षेत्रफळ 25 चौ. m.
  • मध्यम : क्षेत्रफळ 72 चौ. सेमी, लांबी 9 सेमी यावरून रुंदी 8 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : 12 m × 9 m जमिनीला 1 चौ. m च्या 108 फरशा. प्रत्येकी ₹ 50 दराने खर्च 108 × 50 = ₹ 5,400.
Live आकृती

आयत आणि चौरसाचे क्षेत्रफळ

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

क्षेत्रफळ = l × b. चौरस = बाजू × बाजू. एकक : चौरस एकके.

सामान्य चूक

क्षेत्रफळ चौ. सेमी ऐवजी सेमी मध्ये लिहिणे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "क्षेत्रफळ = लांबी गुणिले रुंदी, एकक चौरस".

फरक ओळखा

आकृतीक्षेत्रफळ
आयतl × b
चौरसबाजू × बाजू

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 17 सेमी × 3 सेमी आयताचे क्षेत्रफळ काढा.
  2. 28 सेमी बाजूच्या चौरसाचे क्षेत्रफळ काढा.
  3. 3बाजू सेमी मध्ये असतील तर क्षेत्रफळ कोणत्या एककात?
मध्यम
  1. 415 m × 10 m शेताचे क्षेत्रफळ काढा.
  2. 5आयताचे क्षेत्रफळ 96 चौ. सेमी आणि रुंदी 8 सेमी आहे. लांबी काढा.
  3. 6चौरसाचे क्षेत्रफळ 81 चौ. सेमी आहे. बाजू काढा.
आव्हानात्मक
  1. 710 m × 6 m जमीन झाकायला 1 चौ. m च्या किती फरशा लागतात?
  2. 8क्षेत्रफळ चौरस एककांत का लिहितात?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 121 चौ. सेमी.
  2. 264 चौ. सेमी.
  3. 3चौरस सेंटीमीटर (चौ. सेमी).
  4. 4150 चौ. m.
  5. 596 ÷ 8 = 12 सेमी.
  6. 69 सेमी.
  7. 760.
  8. 8कारण पृष्ठभाग झाकणारे एकक चौरस आपण मोजतो.

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ

रोजच्या जीवनातून

आयताकृती कागद कर्णाने कापा. दोन समान त्रिकोण मिळतात, म्हणजे प्रत्येक त्रिकोण आयताचा निम्मा. ह्यावरून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ कळते.

सोपी व्याख्या

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = (पाया × उंची) ÷ 2. उंची (height) म्हणजे समोरच्या शिरोबिंदूपासून पायावर काढलेला लंब.

नियम 1 : त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ — पाया 10 सेमी आणि उंची 6 सेमी असेल तर क्षेत्रफळ = (10 × 6) ÷ 2 = 30 चौ. सेमी.

त्रिकोण हा तितक्याच पाया व उंचीच्या आयताचा निम्मा भाग.b = 8h = 5त्रिकोण = आयताचा निम्माक्षेत्रफळ = (पाया × उंची) ÷ 2(8 × 5) ÷ 2= 20 चौ. सेमीउंची ⊥ पाया

आकृतीत : आकृतीत त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ.

  • सोपे : पाया 6 सेमी, उंची 4 सेमी : (6 × 4) ÷ 2 = 12 चौ. सेमी.
  • मध्यम : पाया 14 सेमी, उंची 10 सेमी : 140 ÷ 2 = 70 चौ. सेमी.
  • परीक्षेसाठी : 8 सेमी × 5 सेमी आयत कर्णाने कापला तर दोन त्रिकोण, प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ 40 ÷ 2 = 20 चौ. सेमी.

नियम 2 : काटकोन त्रिकोण आणि उंची काढणे — काटकोन त्रिकोणात काटकोन करणाऱ्या दोन बाजू म्हणजे पाया आणि उंची. बाजू 5 सेमी आणि 12 सेमी असतील तर (5 × 12) ÷ 2 = 30 चौ. सेमी. क्षेत्रफळ आणि पाया माहीत असतील तर उंची = 2 × क्षेत्रफळ ÷ पाया.

  • सोपे : बाजू 6 सेमी आणि 8 सेमी : (6 × 8) ÷ 2 = 24 चौ. सेमी.
  • मध्यम : बाजू 5 सेमी आणि 12 सेमी : 30 चौ. सेमी.
  • परीक्षेसाठी : क्षेत्रफळ 36 चौ. सेमी आणि पाया 9 सेमी : उंची = 2 × 36 ÷ 9 = 8 सेमी.
Live आकृती

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

क्षेत्रफळ = (पाया × उंची) ÷ 2. उंची पायाला लंब असते.

सामान्य चूक

तिरकी बाजू उंची म्हणून वापरणे. उंची म्हणजे लंब.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "पाया गुणिले उंची, भागिले दोन".

फरक ओळखा

त्रिकोणक्षेत्रफळ
कोणताही त्रिकोणb × h ÷ 2
काटकोन त्रिकोणबाजू × बाजू ÷ 2

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1क्षेत्रफळ काढा : पाया 6 सेमी, उंची 5 सेमी.
  2. 2क्षेत्रफळ काढा : पाया 12 सेमी, उंची 7 सेमी.
  3. 39 सेमी × 4 सेमी आयत कर्णाने कापला. प्रत्येक त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा.
मध्यम
  1. 45 सेमी आणि 12 सेमी बाजू असलेल्या काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा.
  2. 5त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 28 चौ. सेमी आणि पाया 7 सेमी आहे. उंची काढा.
  3. 6त्रिकोणाचा पाया 14 सेमी आणि उंची 10 सेमी आहे. क्षेत्रफळ काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7त्रिकोणाचा पाया 8 सेमी आणि क्षेत्रफळ 20 चौ. सेमी आहे. उंची काढा.
  2. 8त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळात 2 ने का भागतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 115 चौ. सेमी.
  2. 242 चौ. सेमी.
  3. 336 ÷ 2 = 18 चौ. सेमी.
  4. 430 चौ. सेमी.
  5. 52 × 28 ÷ 7 = 8 सेमी.
  6. 670 चौ. सेमी.
  7. 740 ÷ 8 = 5 सेमी.
  8. 8त्रिकोण हा त्याच पाया-उंचीच्या आयताचा निम्मा असतो.

परिमिती आणि क्षेत्रफळाची उदाहरणे

रोजच्या जीवनातून

भिंत रंगवायला क्षेत्रफळ लागते; भोवती किनार लावायला परिमिती. बरोबर निवड करणे हीच उदाहरणे सोडवण्याची गुरुकिल्ली.

सोपी व्याख्या

परिमिती ही लांबी (सेमी, m). क्षेत्रफळ पृष्ठभाग झाकते (चौ. सेमी, चौ. m).

नियम 1 : परिमिती, क्षेत्रफळ आणि न झाकलेला भाग — 7 सेमी × 3 सेमी आयताची परिमिती 2 × 10 = 20 सेमी आणि क्षेत्रफळ 21 चौ. सेमी. न झाकलेले क्षेत्रफळ = एकूण क्षेत्रफळ − झाकलेले. 8 m × 6 m सभागृहात 4 m बाजूचा चौरस गालिचा घातला तर 48 − 16 = 32 चौ. m उरते.

न झाकलेले क्षेत्रफळ = एकूण क्षेत्रफळ − गालिच्याचे क्षेत्रफळ.गालिचा 3×35 m4 mमोकळेहॉल 5 × 4 = 20 चौ. मीगालिचा 3 × 3 = 9 चौ. मी20 − 9 = 11 sq. mपरिमिती → लांबी,क्षेत्रफळ → पृष्ठभाग

आकृतीत : आकृतीत गालिचाने न झाकलेले क्षेत्रफळ.

  • सोपे : 9 सेमी × 4 सेमी : परिमिती 26 सेमी आणि क्षेत्रफळ 36 चौ. सेमी.
  • मध्यम : 10 m × 8 m सभागृह आणि 5 m चौरस गालिचा : 80 − 25 = 55 चौ. m उरते.
  • परीक्षेसाठी : 5 m × 3 m भिंत ₹ 20 प्रति चौ. m ने रंगवायला खर्च 15 × 20 = ₹ 300.

नियम 2 : तीच परिमिती, वेगळे क्षेत्रफळ — 6 × 4 आणि 9 × 1 आयतांची परिमिती 20 सेमी सारखी, पण क्षेत्रफळे 24 आणि 9 चौ. सेमी. चौरसाची बाजू दुप्पट केली तर क्षेत्रफळ 4 पट होते : बाजू 3 तर 9, बाजू 6 तर 36.

  • सोपे : 3 आणि 6 बाजूंचे चौरस : क्षेत्रफळे 9 आणि 36 (4 पट).
  • मध्यम : परिमिती 20 सेमी : 7 × 3 चे क्षेत्रफळ 21 आणि 5 × 5 चे 25.
  • परीक्षेसाठी : ठराविक परिमितीत आयतांमध्ये चौरसाला सर्वाधिक क्षेत्रफळ मिळते.
लक्षात ठेवा

किनार → परिमिती. झाकणे → क्षेत्रफळ. न झाकलेले = एकूण − झाकलेले.

सामान्य चूक

परिमिती आणि क्षेत्रफळ मिळवणे. ती वेगवेगळ्या प्रकारची मापे आहेत.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "किनार = परिमिती; रंग/फरशी = क्षेत्रफळ".

फरक ओळखा

कामवापर
कुंपणपरिमिती
फरशी, रंगकामक्षेत्रफळ

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 19 सेमी × 4 सेमी आयताची परिमिती आणि क्षेत्रफळ काढा.
  2. 26 सेमी बाजूच्या चौरसाची परिमिती आणि क्षेत्रफळ काढा.
  3. 310 m × 8 m सभागृहात 5 m चौरस गालिचा आहे. न झाकलेले क्षेत्रफळ काढा.
मध्यम
  1. 4चौरसाची बाजू 4 सेमी आहे. ती दुप्पट केली तर नवे क्षेत्रफळ किती?
  2. 5परिमिती 20 सेमी : 7 × 3 आणि 5 × 5 ची क्षेत्रफळे तुलना करा.
  3. 65 m × 3 m भिंत ₹ 20 प्रति चौ. m ने रंगवायला किती खर्च?
आव्हानात्मक
  1. 740 m × 25 m शेताला सभोवती कुंपण घालायचे आहे. किती कुंपण लागेल?
  2. 8समान परिमिती म्हणजे समान क्षेत्रफळ का? उदाहरण द्या.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 126 सेमी आणि 36 चौ. सेमी.
  2. 224 सेमी आणि 36 चौ. सेमी.
  3. 380 − 25 = 55 चौ. m.
  4. 4बाजू 8 सेमी, क्षेत्रफळ 64 चौ. सेमी, जे 16 च्या 4 पट.
  5. 521 आणि 25 चौ. सेमी; चौरसाचे क्षेत्रफळ जास्त.
  6. 615 × 20 = ₹ 300.
  7. 7परिमिती 2 × 65 = 130 m.
  8. 8नाही. 6 × 4 आणि 9 × 1 दोन्हींची परिमिती 20 सेमी पण क्षेत्रफळे 24 आणि 9 चौ. सेमी.