भूमितीची साधने
तुमची भूमितीची पेटी उघडा. प्रत्येक साधन एकच काम करते : एक वर्तुळ काढते, एक सरळ रेषा काढते, एक कोन मोजते. योग्य कामासाठी योग्य साधन माहीत असले की आकृत्या नीटनेटक्या आणि अचूक येतात.
कंपास (compass) वर्तुळ आणि चाप काढतो, पट्टी (ruler) रेषा काढते आणि मोजते, कोनमापक (protractor) कोन मोजतो आणि काढतो, विभाजक (divider) लांबी उचलतो, आणि सेट-स्क्वेअर (set square) 90°, 45°, 30° आणि 60° काढतो.
नियम 1 : साधने आणि चिन्हे — रेषाखंड AB ची लांबी l(AB) अशी लिहितात, उदा. l(AB) = 6 सेमी. O केंद्र असलेल्या वर्तुळावरील प्रत्येक बिंदू O पासून सारख्याच अंतरावर असतो. ते अंतर म्हणजे त्रिज्या (radius) आणि व्यास (diameter) = 2 × त्रिज्या.
आकृतीत : आकृतीत वर्तुळाचे भाग, रेषाखंड आणि कोन.
- सोपे : पट्टीने l(AB) = 6 सेमी असा रेषाखंड AB काढा.
- मध्यम : 3 सेमी त्रिज्येच्या वर्तुळाचा व्यास 2 × 3 = 6 सेमी.
- परीक्षेसाठी : O केंद्र आणि 4 सेमी त्रिज्येच्या वर्तुळावरील प्रत्येक बिंदू O पासून 4 सेमी वर असतो आणि सर्वांत लांब जीवा (व्यास) 8 सेमी.
नियम 2 : कोनमापकाने कोन काढणे — 40° चा कोन काढायला : आधार किरण LM काढा. कोनमापकाचा मध्य L वर आणि शून्य रेषा LM वर ठेवा. LM वर 0 पासून सुरू होणाऱ्या मापपट्टीवर 40° वर N बिंदू खुणा करा. L आणि N जोडा. मग ∠NLM = 40°.
- सोपे : ∠ABC = 50° काढा.
- मध्यम : 120° काढायला, आधार किरणावर 0 पासून सुरू होणारी मापपट्टी वाचा.
- परीक्षेसाठी : ∠XYZ = 75° काढा, मग दुसऱ्या बाजूने कोनमापकाने तपासा; तिथेही 75° आले पाहिजे.
कंपास → वर्तुळ. पट्टी → रेषा. कोनमापक → कोन. सेट-स्क्वेअर → 90°, 45°, 60°. विभाजक → लांबी उचलणे.
कोनमापकाची चुकीची मापपट्टी वाचणे. आधार किरणावर 0 असलेल्या पट्टीपासून सुरू करा.
आठवणीची युक्ती : "कंपास गोल, पट्टी सरळ, कोनमापक कोन".
फरक ओळखा
| साधन | उपयोग |
|---|---|
| कंपास | वर्तुळ, चाप |
| कोनमापक | कोन मोजणे, काढणे |
| विभाजक | लांबी उचलणे |
सरावासाठी प्रश्न
- 1कोन कोणते साधन मोजते?
- 2वर्तुळ कोणते साधन काढते?
- 3वर्तुळाची त्रिज्या 5 सेमी आहे. व्यास काढा.
- 4"रेषाखंड PQ ची लांबी 7 सेमी" चिन्हांत लिहा.
- 5सेट-स्क्वेअरने कोणते कोन काढता येतात?
- 6∠PQR = 65° काढण्याच्या पायऱ्या लिहा.
- 7वर्तुळाचा व्यास 14 सेमी आहे. त्रिज्या काढा.
- 8विभाजक का वापरतात?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1कोनमापक.
- 2कंपास.
- 310 सेमी.
- 4l(PQ) = 7 सेमी.
- 590°, 45°, 30° आणि 60°.
- 6किरण QR काढा; कोनमापकाचा मध्य Q वर आणि शून्य रेषा QR वर ठेवा; 65° वर खूण करा; Q ला त्या बिंदू P शी जोडा.
- 714 ÷ 2 = 7 सेमी.
- 8एका ठिकाणची लांबी उचलून दुसऱ्या ठिकाणी खुणा करायला किंवा मोजल्याशिवाय लांबींची तुलना करायला.
लंब रेषा
वहीचा कोपरा, भिंत आणि जमिनीचा जोड, आणि घड्याळात 3 वाजता काट्यांचा कोन; हे सगळे परिपूर्ण चौकोनी कोपरे बनवतात. गणितज्ञ अशा रेषांना लंब म्हणतात.
90° मध्ये भेटणाऱ्या दोन रेषा लंब (perpendicular) असतात. PQ ⊥ RS असे लिहितात.
नियम 1 : लंब रेषा — PQ ⊥ RS असेल आणि त्या O मध्ये छेदत असतील तर O येथील चारही कोन काटकोन असतात : ∠POR = ∠ROQ = ∠QOS = ∠SOP = 90°.
आकृतीत : आकृतीत लंब रेषा.
- सोपे : खोलीतील भिंत आणि जमीन लंब असतात.
- मध्यम : 9 वाजता घड्याळाचे काटे 90° चा कोन करतात, म्हणून ते लंब आहेत.
- परीक्षेसाठी : 6 वाजता काटे 180° (सरळ रेषा) करतात, म्हणून ते लंब नाहीत.
नियम 2 : लंब तपासणे आणि वापरणे — सेट-स्क्वेअरची एक बाजू एका रेषेवर ठेवा. दुसरी रेषा दुसऱ्या बाजूवर आली तर रेषा लंब आहेत. ओळंबा (दोऱ्याला बांधलेले वजन) सरळ खाली लोंबतो, म्हणून गवंडी भिंत जमिनीला लंब ठेवायला त्याचा वापर करतात.
- सोपे : सपाट जमिनीवर सरळ उभा ध्वजस्तंभ जमिनीला लंब असतो.
- मध्यम : दोन रेषा 85° मध्ये भेटतात. त्या लंब नाहीत, कारण कोन अगदी 90° हवा.
- परीक्षेसाठी : T अक्षरात उभी रेषा आणि आडवी रेषा 90° मध्ये भेटतात, म्हणून उभी रेषा आडवीला लंब आहे.
लंब = 90°. चिन्ह ⊥. दोन लंब रेषा चार काटकोन बनवतात.
कोणत्याही दोन छेदणाऱ्या रेषांना लंब म्हणणे. कोन अगदी 90° हवा.
आठवणीची युक्ती : "लंब = ⊥ = 90° = चौकोनी कोपरा".
फरक ओळखा
| प्रसंग | लंब आहे का? |
|---|---|
| भिंत आणि जमीन | होय |
| 9 वाजता घड्याळाचे काटे | होय |
| 6 वाजता घड्याळाचे काटे | नाही |
सरावासाठी प्रश्न
- 1लंब रेषांमधील कोन किती?
- 2लंबाचे चिन्ह कोणते?
- 3"PQ हा RS ला लंब आहे" चिन्हांत लिहा.
- 4दोन लंब रेषा छेदतात तेव्हा किती काटकोन होतात?
- 5वर्गातील लंब रेषांची दोन उदाहरणे द्या.
- 66 वाजता घड्याळाचे काटे लंब असतात का?
- 7दोन रेषा 85° मध्ये भेटतात. त्या लंब आहेत का? का?
- 8गवंडी ओळंबा का वापरतात?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 190°.
- 2⊥.
- 3PQ ⊥ RS.
- 44.
- 5फळ्याच्या दोन लगतच्या कडा; भिंत आणि जमीन.
- 6नाही, ते 180° करतात.
- 7नाही, लंब रेषा अगदी 90° मध्ये भेटतात.
- 8तो सरळ खाली लोंबतो, म्हणून जमिनीला लंब भिंत बांधायला अचूक उभी रेषा दाखवतो.
लंब काढणे
सुताराला फळीच्या कडेला अगदी काटकोनात रेषा आखायची असते. फक्त कंपास आणि पट्टी वापरून, सेट-स्क्वेअर न वापरता अचूक लंब काढता येतो.
लंब (1) रेषेवरील बिंदूवर, किंवा (2) रेषेबाहेरील बिंदूपासून काढता येतो. दोन्हीत समान त्रिज्येचे चाप वापरतात.
नियम 1 : रेषेवरील बिंदूवर लंब — XY रेषेवर C हा बिंदू आहे. (1) C केंद्र घेऊन XY ला E आणि F मध्ये छेदणारे चाप काढा. (2) मोठ्या त्रिज्येने (EF च्या निम्म्यापेक्षा जास्त) E आणि F पासून चाप काढा, ते G मध्ये भेटतील. (3) C आणि G जोडा. मग CG ⊥ XY.
आकृतीत : आकृतीत बिंदूवरील लंब आणि बाहेरील बिंदूपासूनचा लंब.
- सोपे : XY = 8 सेमी रेषा काढा आणि त्यावर C खूण करा. पायऱ्या वापरून CG ⊥ XY काढा.
- मध्यम : E आणि F पासूनचे चाप समान त्रिज्येचे हवेत, नाहीतर G बरोबर C च्या वर येणार नाही.
- परीक्षेसाठी : त्रिज्या EF च्या निम्म्यापेक्षा जास्त का? कमी त्रिज्येचे चाप कधीच भेटत नाहीत.
नियम 2 : रेषेबाहेरील बिंदूपासून लंब — XY रेषेबाहेर D हा बिंदू आहे. (1) D केंद्र घेऊन XY ला M आणि N मध्ये छेदणारा चाप काढा. (2) M आणि मग N केंद्र घेऊन, तीच त्रिज्या वापरून, रेषेच्या पलीकडे H मध्ये भेटणारे चाप काढा. (3) D आणि H जोडा. मग DH ⊥ XY.
- सोपे : रेषा XY आणि तिच्यावर 4 सेमी वर D बिंदू काढा; DH ⊥ XY काढा.
- मध्यम : DH आणि XY O मध्ये भेटतात. मग ∠DOX = ∠DOY = 90°.
- परीक्षेसाठी : D पासून XY रेषेचे सर्वांत कमी अंतर लंबावर मोजलेले l(DO).
रेषेवरील दोन बिंदूंपासून समान चाप नवीन बिंदूत भेटतात. तो दिलेल्या बिंदूशी जोडा. कोनमापकाने तपासा.
दोन चापांमध्ये कंपासची त्रिज्या बदलणे. ती स्थिर ठेवा.
आठवणीची युक्ती : "दोन चाप भेटतात, मग जोडा".
फरक ओळखा
| प्रसंग | पहिले चाप रेषेला कुठे छेदतात |
|---|---|
| रेषेवरील बिंदू (C) | E and F |
| बाहेरील बिंदू (D) | M and N |
सरावासाठी प्रश्न
- 1चाप कोणते साधन काढते?
- 2लंब काढल्यावर तपासणी कशी करता?
- 3रेषेवरील C बिंदूवर लंब काढण्याची शेवटची पायरी कोणती?
- 4C बिंदूवरील रचनेत पहिले चाप रेषेला कुठे छेदतात?
- 5बाहेरील बिंदू D पासूनच्या रचनेत M आणि N मध्ये रेषा छेदल्यावर काय करता?
- 6AB रेषेवरील P बिंदूवर लंब काढण्याच्या पायऱ्या लिहा.
- 7त्रिज्या EF च्या निम्म्यापेक्षा जास्त का हवी?
- 8रचनेनंतर विद्यार्थ्याला ∠DOX = 88° आला. काय चुकले असेल?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1कंपास.
- 2कोनमापकाने कोन मोजा; तो 90° असला पाहिजे.
- 3C आणि G जोडा.
- 4E आणि F मध्ये, C पासून समान अंतरावर.
- 5M आणि N पासून समान त्रिज्येचे चाप रेषेच्या पलीकडे H मध्ये भेटवा, मग D आणि H जोडा.
- 6P पासूनचे चाप AB ला दोन बिंदूंत छेदतात; त्या बिंदूंपासून मोठे समान चाप Q मध्ये भेटतात; PQ जोडा.
- 7कमी असेल तर दोन चाप भेटत नाहीत.
- 8दोन चापांमध्ये त्रिज्या बदलली असेल किंवा चाप समान नसतील.
कोनाची प्रत
शिंपी नमुन्याचा तुकडा नवीन कापडावर उतरवतो. भूमितीत आपण कोन असाच उतरवतो, म्हणजे कोनमापकाशिवाय नवीन कोन जुन्या कोनाइतकाच होतो.
कोन उतरवण्यासाठी (copy an angle) समान त्रिज्येचे चाप आणि कंपासने मोजलेले एक अंतर वापरतो.
नियम 1 : कोन उतरवण्याच्या पायऱ्या — ∠CBD हा दिलेला कोन आहे आणि शिरोबिंदू B. (1) किरण ST काढा. (2) B केंद्र घेऊन BC ला P मध्ये आणि BD ला Q मध्ये छेदणारा चाप काढा. (3) तीच त्रिज्या घेऊन S केंद्रावरून ST ला U मध्ये छेदणारा चाप काढा. (4) कंपासने PQ मोजा. U पासून पहिल्या चापाला V मध्ये छेदा. (5) किरण SV काढा. मग ∠VSU = ∠CBD.
आकृतीत : आकृतीत कोन उतरवणे.
- सोपे : कोणताही लघुकोन ∠CBD किरण ST वर उतरवा.
- मध्यम : उतरवल्यावर दोन्ही कोन कोनमापकाने मोजा; ते सारखे येतील, उदा. 50° आणि 50°.
- परीक्षेसाठी : ह्याच पद्धतीने विशालकोन उतरवता येतो, उदा. 110°.
नियम 2 : हे कसे चालते — B आणि S येथे चापाची त्रिज्या सारखीच असते आणि PQ चे अंतर UV वर उतरवले जाते. म्हणून दोन्ही कोपऱ्यांची उघडण समान असते आणि कोन समान.
- सोपे : दोन चापांमध्ये त्रिज्या बदलली तर प्रत चुकीची येईल.
- मध्यम : 70° कोनाची प्रत 70° मोजली पाहिजे.
- परीक्षेसाठी : एकाच कोनाच्या वेगवेगळ्या किरणांवरील दोन प्रती एकमेकींबरोबर समान असतात.
दोन्ही शिरोबिंदूंवर तीच त्रिज्या. PQ कंपासने मोजून उतरवा.
पहिला चाप काढल्यावर कंपासची उघडण बदलणे. दुसरा चाप होईपर्यंत ती तशीच ठेवा.
आठवणीची युक्ती : "त्रिज्या तीच, अंतर PQ तेच".
फरक ओळखा
| पायरी | कृती |
|---|---|
| 1 | किरण ST काढा |
| 2 | B पासूनचा चाप बाहूंना P, Q मध्ये छेदतो |
| 3 | S पासून तोच चाप ST ला U मध्ये छेदतो |
| 4 | PQ चे अंतर UV वर उतरवा, SV काढा |
सरावासाठी प्रश्न
- 1कोन उतरवण्याची पहिली पायरी कोणती?
- 2PQ मोजायला कोणते साधन वापरतात?
- 3दोन चापांची त्रिज्या सारखी हवी की वेगळी?
- 4प्रत काढल्यावर तपासणी कशी करता?
- 5∠CBD किरण ST वर उतरवण्याच्या पायऱ्या लिहा.
- 6उतरवल्यावर कोणता कोन ∠CBD बरोबर असतो?
- 7ह्या पद्धतीने विशालकोन उतरवता येतो का?
- 8विद्यार्थ्याने पहिल्या चापानंतर कंपासची उघडण बदलली. प्रतीचे काय होते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1नवीन किरण काढा.
- 2कंपास.
- 3सारखी.
- 4दोन्ही कोन कोनमापकाने मोजा; ते समान असले पाहिजेत.
- 5B पासून चाप, बाहूंना P, Q मध्ये छेदतो; S पासून तोच चाप ST ला U मध्ये छेदतो; PQ चे अंतर U पासून घेऊन चापाला V मध्ये छेदा; SV काढा.
- 6∠VSU.
- 7होय, पायऱ्या त्याच.
- 8नवीन कोन जुन्या कोनाइतका येणार नाही.
कोनदुभाजक
कागदाची घडी अशी घाला की कोनाचे दोन बाहू एकमेकांवर बरोबर येतील. घडीची रेषा कोनाचे दोन समान भाग करते. ही घडी म्हणजे कोनदुभाजक.
कोनाचे दोन समान भाग करणाऱ्या किरणाला कोनदुभाजक (angle bisector) म्हणतात.
नियम 1 : कंपासने दुभाजक — ∠AOB हा कोन आणि शिरोबिंदू O. (1) O केंद्र घेऊन OA ला P मध्ये आणि OB ला Q मध्ये छेदणारा चाप काढा. (2) P आणि मग Q केंद्र घेऊन, तीच त्रिज्या वापरून, चाप काढा; ते C मध्ये भेटतील. (3) किरण OC काढा. मग ∠AOC = ∠COB, प्रत्येक ∠AOB चा निम्मा.
आकृतीत : आकृतीत कोनदुभाजक.
- सोपे : 70° चा दुभाजक 35° आणि 35° देतो.
- मध्यम : 90° चा दुभाजक 45° आणि 45° देतो.
- परीक्षेसाठी : 60° चे दोनदा दुभाजन : 60° → 30° → 15°.
कोनदुभाजक
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 2 : कागदाची घडी आणि अर्धे कोन — बाहू एकमेकांवर येतील अशी घडी घाला. घडीची रेषा दुभाजक. 120° चा निम्मा 60°, 80° चा निम्मा 40° आणि 50° चा निम्मा 25°.
- सोपे : 100° चा दुभाजक 50° चे दोन कोन करतो.
- मध्यम : 180° च्या सरळ कोनाचे दुभाजन केल्यावर 90° चे दोन कोन मिळतात.
- परीक्षेसाठी : किरण YW हा ∠XYZ = 140° चा दुभाजक आहे. मग ∠XYW = ∠WYZ = 70°.
दुभाजक = समान अर्धे. P आणि Q पासून समान त्रिज्या. दोन्ही अर्धे कोनमापकाने तपासा.
P आणि Q पासून चाप काढताना कंपासची उघडण बदलणे. ती स्थिर ठेवा.
आठवणीची युक्ती : "घडी घाला, अर्धे अर्धे".
फरक ओळखा
| कोन | प्रत्येक अर्धा |
|---|---|
| 120° | 60° |
| 90° | 45° |
| 50° | 25° |
सरावासाठी प्रश्न
- 1100° चे दुभाजन केल्यावर प्रत्येक भाग किती?
- 264° कोनाचे दुभाजन केल्यावर प्रत्येक भाग किती?
- 3काटकोनाचा प्रत्येक अर्धा किती अंशांचा?
- 4∠AOB चे दुभाजन करण्याच्या पायऱ्या लिहा.
- 530° कोनाचे दोनदा दुभाजन करा. कोणता कोन मिळतो?
- 6किरण YW हा ∠XYZ = 140° चा दुभाजक आहे. ∠XYW आणि ∠WYZ काढा.
- 7कागदाच्या घडीने कोनाचे दुभाजन कसे करता येते?
- 8सरळ कोनाचे दुभाजन केल्यावर कोणते कोन मिळतात?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1प्रत्येकी 50°.
- 232°.
- 345°.
- 4O पासून चाप OA, OB ला P, Q मध्ये छेदतो; P आणि Q पासून समान चाप C मध्ये भेटतात; किरण OC काढा.
- 530° → 15° → 7.5°.
- 6दोन्ही 70°.
- 7दोन्ही बाहू एकमेकांवर बरोबर येतील अशी घडी घाला; घडीची रेषा दुभाजक.
- 8दोन काटकोन (प्रत्येकी 90°), म्हणून दुभाजक रेषेला लंब असतो.