K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 6 · गणित

धडा ४: आकृतिबंध

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

मूळ, संयुक्त, जुळी आणि सहमूळ संख्या

रोजच्या जीवनातून

सात गोट्या फक्त एका रांगेत मांडता येतात, पण आठ गोट्यांच्या 4 च्या 2 रांगा करता येतात. काही संख्यांच्या समान रांगा करता येत नाहीत, आणि त्या खास असतात.

सोपी व्याख्या

मूळ संख्येला (prime number) नेमके दोन भाजक असतात : 1 आणि ती स्वतः. संयुक्त संख्येला (composite number) दोनपेक्षा जास्त भाजक असतात.

नियम 1 : मूळ आणि संयुक्त संख्या — 50 पर्यंतच्या मूळ संख्या : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. संयुक्त संख्या : 4, 6, 8, 9, 10, … 1 ही मूळ ही नाही आणि संयुक्त ही नाही. 2 ही सर्वांत लहान मूळ संख्या आणि एकमेव सम मूळ संख्या. 3 ही सर्वांत लहान विषम मूळ संख्या.

123456789101112131415161718192021222324252627282930

आकृतीत : आकृतीत जाळीतील सोनेरी चौरस 30 पर्यंतच्या मूळ संख्या आहेत : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 आणि 29. करडा चौरस 1 आहे, जो मूळ ही नाही आणि संयुक्त ही नाही.

  • सोपे : 13 मूळ आहे, कारण फक्त 1 आणि 13 ने भाग जातो.
  • मध्यम : 21 संयुक्त आहे, कारण 21 = 3 × 7.
  • परीक्षेसाठी : 2 ही एकमेव सम मूळ संख्या, कारण इतर प्रत्येक सम संख्येला 2 नेही भाग जातो.

नियम 2 : जुळ्या मूळ संख्या आणि सहमूळ संख्या — ज्यांच्यातील फरक 2 आहे अशा मूळ संख्या जुळ्या मूळ संख्या (twin primes) : 5 आणि 7, 17 आणि 19, 41 आणि 43. 1 ते 100 मध्ये जुळ्या मूळ संख्यांच्या 8 जोड्या आहेत. ज्यांचा सामाईक भाजक फक्त 1 आहे अशा संख्या सहमूळ (coprime) : 9 आणि 14.

  • सोपे : 11 आणि 13 जुळ्या मूळ संख्या (13 − 11 = 2).
  • मध्यम : 23 आणि 29 जुळ्या मूळ नाहीत, कारण फरक 6.
  • परीक्षेसाठी : 21 आणि 22 सहमूळ, कारण लागोपाठ संख्यांचा सामाईक भाजक फक्त 1. पण 12 आणि 18 सहमूळ नाहीत (मसावि 6).
Live आकृती

मूळ, संयुक्त, जुळी आणि सहमूळ संख्या

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

1 : दोन्ही नाही. 2 : एकमेव सम मूळ. जुळ्या मूळ संख्यांचा फरक 2. सहमूळ : मसावि 1.

सामान्य चूक

1 ला मूळ संख्या म्हणणे. त्याला फक्त एकच भाजक आहे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "मूळ = दोनच भाजक; सहमूळ = मसावि एक".

फरक ओळखा

प्रकारउदाहरण
मूळ2, 3, 5, 7, 11
संयुक्त4, 6, 8, 9, 10
जुळ्या मूळ17 and 19
सहमूळ9 and 14

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 117 मूळ संख्या आहे का?
  2. 227 मूळ संख्या आहे का?
  3. 3सर्वांत लहान मूळ संख्या कोणती?
मध्यम
  1. 41 मूळ की संयुक्त?
  2. 541 ची जुळी मूळ जोडीदार संख्या शोधा.
  3. 66 आणि 35 सहमूळ आहेत का?
आव्हानात्मक
  1. 712 आणि 21 सहमूळ आहेत का?
  2. 82 ही एकमेव सम मूळ संख्या का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1होय.
  2. 2नाही, 27 = 3 × 9.
  3. 32.
  4. 4दोन्ही नाही.
  5. 543.
  6. 6होय, मसावि 1.
  7. 7नाही, मसावि 3.
  8. 8इतर प्रत्येक सम संख्येला 1 आणि स्वतःशिवाय 2 हाही भाजक असतो.

सम, विषम, विरहांक आणि त्रिकोणी संख्या

रोजच्या जीवनातून

बोलिंगचे पिन 1, 2, 3 आणि 4 च्या रांगांत मांडतात आणि 10 पिनांचा त्रिकोण बनतो. असे संख्यांचे नमुने सगळीकडे आढळतात.

सोपी व्याख्या

त्रिकोणी संख्या (triangular numbers) : 1, 3, 6, 10, 15, … विरहांक संख्या (Virahanka numbers) : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … ज्यात प्रत्येक संख्या मागच्या दोन संख्यांची बेरीज असते.

नियम 1 : त्रिकोणी संख्या — त्या 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, … = 1, 3, 6, 10, … ह्यांवरून येतात. सातवी त्रिकोणी संख्या 1 + 2 + … + 7 = 28. लागोपाठच्या दोन त्रिकोणी संख्यांची बेरीज वर्गसंख्या असते : 10 + 15 = 25 आणि 15 + 21 = 36.

1ले2रे3रे4थे

आकृतीत : आकृतीत ठिपक्यांचे नमुने त्रिकोणी संख्या 1, 3, 6 आणि 10 दाखवतात. प्रत्येक नमुन्यात सोनेरी रांग ही नव्याने जोडलेली ठिपक्यांची रांग आहे.

  • सोपे : 15 नंतरची त्रिकोणी संख्या 15 + 6 = 21.
  • मध्यम : 21 + 7 = 28 ही पुढची.
  • परीक्षेसाठी : आठवी त्रिकोणी संख्या 1 + 2 + … + 8 = 36, आणि 36 ही वर्गसंख्याही आहे (6 × 6).

नियम 2 : विरहांक संख्या — 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … प्रत्येक संख्या मागच्या दोनांची बेरीज : 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21. 1, 1, 2, 3, 5 बाजूंचे चौरस एकामागून एक बसतात आणि पुढच्या चौरसाची बाजू 3 + 5 = 8.

11235

आकृतीत : आकृतीत 1, 1, 2, 3 आणि 5 (विरहांक संख्या) बाजूंचे चौरस एकामागून एक बसतात. पुढच्या चौरसाची बाजू 3 + 5 = 8 असेल.

  • सोपे : 13 आणि 21 नंतर 13 + 21 = 34.
  • मध्यम : 21 आणि 34 नंतर 55.
  • परीक्षेसाठी : 21, 22, 34 पैकी विरहांक संख्या कोणत्या? 21 आणि 34.
Live आकृती

सम, विषम, विरहांक आणि त्रिकोणी संख्या

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

त्रिकोणी : 1, 2, 3, … जोडत जा. विरहांक : मागच्या दोन जोडा.

सामान्य चूक

विरहांक संख्या 1, 2 ने सुरू करणे. त्या 0, 1, 1, 2 ने सुरू होतात.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "त्रिकोणी = वाढती बेरीज; विरहांक = मागच्या दोनांची बेरीज".

फरक ओळखा

मालिकापहिल्या संख्या
त्रिकोणी1, 3, 6, 10, 15, 21
विरहांक0, 1, 1, 2, 3, 5, 8

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 115 नंतरची त्रिकोणी संख्या काढा.
  2. 2पाचवी त्रिकोणी संख्या कोणती?
  3. 3विरहांक संख्यांत 8 आणि 13 नंतर काय येते?
मध्यम
  1. 421 आणि 34 नंतर काय येते?
  2. 515 + 21 ही वर्गसंख्या आहे का?
  3. 6आठवी त्रिकोणी संख्या कोणती?
आव्हानात्मक
  1. 710 + 15 ही वर्गसंख्या आहे हे दाखवा.
  2. 820 ही त्रिकोणी संख्या आहे का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 121.
  2. 21 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
  3. 321.
  4. 455.
  5. 5होय, 36 = 6 × 6.
  6. 636.
  7. 725 = 5 × 5.
  8. 8नाही, 15 आणि 21 च्या मध्ये एकही नाही.

वर्ग आणि घन संख्या

रोजच्या जीवनातून

फरशा चौरसात लावता येतात, जसे 4 रांगा आणि प्रत्येकीत 4 फरशा. साखरेचा खडा लांबी, रुंदी, उंची सारखी असलेला घन. अशा संख्यांना नावे आहेत : वर्गसंख्या आणि घनसंख्या.

सोपी व्याख्या

वर्गसंख्या (square number) म्हणजे संख्येला स्वतःने गुणलेली : 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3, … घनसंख्या (cube number) म्हणजे संख्येला स्वतःने तीनदा गुणलेली : 1 × 1 × 1, 2 × 2 × 2, …

नियम 1 : वर्गसंख्या — 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, … पहिल्या विषम संख्या मिळवल्यावर वर्गसंख्या मिळतात : 1 + 3 + 5 + 7 = 16 आणि पहिल्या आठ विषम संख्यांची बेरीज 64. तसेच 1 + 2 + 1 = 4, 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9, आणि 1 + 2 + … + 10 + … + 2 + 1 = 100.

1ले2रे3रे4थे

आकृतीत : आकृतीत ठिपक्यांचे नमुने वर्गसंख्या 1, 4, 9 आणि 16 दाखवतात. प्रत्येक वेळी पुढच्या विषम संख्येइतक्या ठिपक्यांचा सोनेरी L आकाराचा थर जोडला जातो.

  • सोपे : 4 × 4 = 16.
  • मध्यम : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25, म्हणजे 5 × 5.
  • परीक्षेसाठी : 1 + 2 + … + 12 + … + 2 + 1 = 12 × 12 = 144.

नियम 2 : घनसंख्या — 1, 8, 27, 64, 125, 216, … 3 कडेच्या घनात 3 × 3 × 3 = 27 लहान घन असतात. 64 ही संख्या वर्गसंख्या (8 × 8) आणि घनसंख्या (4 × 4 × 4) दोन्ही आहे.

ABC

आकृतीत : आकृतीत घन A, B आणि C ला कडेवर 1, 2 आणि 3 लहान घन आहेत, म्हणून ते 1, 8 आणि 27 लहान घनांचे बनले आहेत. ह्या घनसंख्या.

  • सोपे : 3 × 3 × 3 = 27.
  • मध्यम : 6 × 6 × 6 = 216.
  • परीक्षेसाठी : 5 कडेच्या घनात 5 × 5 × 5 = 125 लहान घन असतात.
लक्षात ठेवा

वर्ग = n × n. घन = n × n × n. पहिल्या n विषम संख्यांची बेरीज = n².

सामान्य चूक

3 चा वर्ग 6 समजणे. तो 3 × 3 = 9 आहे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "वर्ग = दोनदा, घन = तीनदा".

फरक ओळखा

प्रकारपहिल्या संख्या
वर्ग1, 4, 9, 16, 25, 36
घन1, 8, 27, 64, 125

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1काढा 7 × 7.
  2. 212 चा वर्ग काढा.
  3. 3पहिल्या पाच विषम संख्यांची बेरीज काढा.
मध्यम
  1. 4पहिल्या नऊ विषम संख्यांची बेरीज काढा.
  2. 5काढा 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1.
  3. 65 चा घन काढा.
आव्हानात्मक
  1. 76 कडेचा घन बनवायला किती लहान घन लागतात?
  2. 81 शिवाय 100 पेक्षा लहान अशी संख्या सांगा जी वर्ग आणि घन दोन्ही आहे.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 149.
  2. 2144.
  3. 31 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.
  4. 49 × 9 = 81.
  5. 54 × 4 = 16.
  6. 6125.
  7. 76 × 6 × 6 = 216.
  8. 864 = 8² = 4³.

संख्यामालिका

रोजच्या जीवनातून

5, 10, 15, 20 पाहिल्यावर पुढची संख्या 25 आहे हे मोजल्याशिवाय सांगता येते. मालिकेचा नियम शोधला की पुढे काय येईल ते आधी सांगता येते.

सोपी व्याख्या

संख्या मालिका (number series) एका नियमाने चालते. पुढच्या संख्या शोधायला नियम शोधा : ठराविक संख्या मिळवा, ठराविक संख्येने गुणा, किंवा विशेष नमुना.

नियम 1 : नेहमीच्या मालिका — 5, 10, 15, 20 → 25, 30, 35. त्रिकोणी 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 → 36, 45, 55. वर्ग 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 → 64, 81, 100. घन 1, 8, 27, 64, 125 → 216, 343, 512. दुप्पट होणारी 3, 6, 12, 24 → 48, 96, 192.

  • सोपे : 10, 20, 30, 40 → 50, 60, 70.
  • मध्यम : 1, 4, 9, 16, 25 → 36, 49, 64.
  • परीक्षेसाठी : तिप्पट होणारी 2, 6, 18, 54 → 162, 486, 1458.

नियम 2 : लपलेले नियम — विरहांक 0, 1, 1, 2, 3, 5 → 8, 13, 21. घन वजा 1 : 0, 7, 26, 63 → 124, 215, 342, कारण 5³ − 1 = 124, 6³ − 1 = 215 आणि 7³ − 1 = 342.

3×26×212×2?×248

आकृतीत : आकृतीत प्रत्येक संख्या मागच्या संख्येच्या 2 पट आहे, म्हणून हरवलेली संख्या 12 × 2 = 24.

  • सोपे : 3, 6, 9, 12 → 15, 18, 21.
  • मध्यम : 1, 3, 5, 7 → 9, 11, 13.
  • परीक्षेसाठी : 0, 7, 26, 63 : प्रत्येक घन वजा 1, म्हणून पुढच्या संख्या 124, 215, 342.
लक्षात ठेवा

आधी नियम शोधा : मिळवा, गुणा, वर्ग, घन, किंवा मागच्या दोन मिळवा.

सामान्य चूक

नियम ठरवायला फक्त पहिल्या दोन संख्या तपासणे. नियम सर्व संख्यांवर तपासा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "नियम शोधा, मग पुढे जा".

फरक ओळखा

मालिकानियम
5, 10, 15+ 5
3, 6, 12, 24× 2
2, 6, 18, 54× 3

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1पुढच्या तीन संख्या : 3, 6, 9, 12, …
  2. 2पुढच्या तीन संख्या : 1, 3, 5, 7, …
  3. 3पुढच्या तीन संख्या : 20, 22, 24, …
मध्यम
  1. 4पुढच्या तीन संख्या : 2, 4, 8, 16, …
  2. 5पुढच्या तीन संख्या : 1, 3, 9, 27, …
  3. 6पुढच्या तीन संख्या : 1, 3, 6, 10, 15, 21, …
आव्हानात्मक
  1. 7पुढच्या तीन संख्या : 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
  2. 8पुढच्या तीन संख्या : 0, 7, 26, 63, … आणि नियम सांगा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 115, 18, 21.
  2. 29, 11, 13.
  3. 326, 28, 30.
  4. 432, 64, 128.
  5. 581, 243, 729.
  6. 628, 36, 45.
  7. 749, 64, 81.
  8. 8124, 215, 342; प्रत्येक संख्या घन वजा 1.

भग्नाकृती (फ्रॅक्टल)

रोजच्या जीवनातून

नेचाचे पान, फ्लॉवर आणि वळणदार नदी खडबडीत आणि तुटक दिसतात, वर्तुळ किंवा चौरसांसारखी नाहीत. फ्रॅक्टल्स नावाची खास भूमिती अशा नैसर्गिक आकारांचे वर्णन करते.

सोपी व्याख्या

फ्रॅक्टल्स (fractals) म्हणजे असे आकार ज्यांचा लहानात लहान भाग संपूर्ण आकृतीसारखा दिसतो. ह्याला स्वसदृश (self-similar) म्हणतात.

नियम 1 : निसर्गातील फ्रॅक्टल्स आणि फ्रॅक्टल त्रिकोण — नियमित आकार (समान बाजू आणि कोन) काढणे सोपे, पण ग्रहांचे खडबडीत पृष्ठभाग, ढग, खडकाळ किनारे, नद्या, डोंगर, जंगले, झाडाच्या फांद्या, फ्लॉवर आणि अननस ह्यांना फ्रॅक्टल्सची नैसर्गिक भूमिती लागते. लॅटिन शब्दाचा अर्थ "तुटणे". गणितज्ञ बेनॉयट मँडेलब्रॉट ह्यांनी 1975 मध्ये हा शब्द रूढ केला. फ्रॅक्टल्स शाखीय, भौमितिक, सर्पिल आणि बीजगणितीय रूपांत आढळतात. फ्रॅक्टल त्रिकोण काढायला समभुज त्रिकोण घ्या, बाजूंचे मध्यबिंदू जोडून चार समान त्रिकोण करा, आणि तीन कोपऱ्यांच्या त्रिकोणांवर पुन्हा करा, मधल्यावर नाही.

1234

आकृतीत : आकृतीत बाजूंचे मध्यबिंदू जोडल्याने त्रिकोणाचे चार समान त्रिकोण होतात. तीन सोनेरी कोपऱ्यांच्या त्रिकोणांवर प्रक्रिया पुन्हा करतात, मधल्या त्रिकोणावर (4) नाही.

  • सोपे : नेचे, ढग आणि नद्या असे नैसर्गिक आकार आहेत ज्यांचे फ्रॅक्टलने वर्णन करता येते.
  • मध्यम : "फ्रॅक्टल" शब्द लॅटिन शब्दावरून आला, ज्याचा अर्थ "तुटणे".
  • परीक्षेसाठी : मध्यबिंदू जोडल्याने त्रिकोणाचे 4 समान त्रिकोण होतात, प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ मूळाचा एक चतुर्थांश.

नियम 2 : टप्पे मोजणे — प्रत्येक टप्प्यात प्रत्येक सोनेरी त्रिकोणाचे तीन नवे सोनेरी त्रिकोण होतात. टप्पा 1, 2 आणि 3 मध्ये 3, 9 आणि 27 सोनेरी त्रिकोण. फ्रॅक्टलचा लहान भाग संपूर्ण आकृतीसारखा दिसतो.

पायरी 1पायरी 2पायरी 3

आकृतीत : आकृतीत टप्पा 1, 2 आणि 3 मध्ये 3, 9 आणि 27 सोनेरी त्रिकोण आहेत. फ्रॅक्टलचा लहान भाग संपूर्ण आकृतीसारखा दिसतो (स्वसदृश).

  • सोपे : टप्पा 1 मध्ये 3 सोनेरी त्रिकोण.
  • मध्यम : टप्पा 3 मध्ये 3 × 3 × 3 = 27 सोनेरी त्रिकोण.
  • परीक्षेसाठी : टप्पा 4 मध्ये 27 × 3 = 81 सोनेरी त्रिकोण.
लक्षात ठेवा

स्वसदृश. 1975 मध्ये मँडेलब्रॉट ह्यांनी शब्द रूढ केला. त्रिकोण : 3, 9, 27, 81, … (× 3).

सामान्य चूक

मधल्या त्रिकोणावरही प्रक्रिया करणे. फक्त तीन कोपऱ्यांच्या त्रिकोणांवर पुन्हा करतात.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "भाग तोच, आकार तोच".

फरक ओळखा

टप्पासोनेरी त्रिकोण
13
29
327
481

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1फ्रॅक्टल हा शब्द कोणी रूढ केला?
  2. 2कोणत्या वर्षी?
  3. 3"फ्रॅक्टल" मागच्या लॅटिन शब्दाचा अर्थ काय?
मध्यम
  1. 4फ्रॅक्टलसारख्या दिसणाऱ्या दोन नैसर्गिक गोष्टी सांगा.
  2. 5त्रिकोणाच्या बाजूंचे मध्यबिंदू जोडल्यावर किती त्रिकोण होतात?
  3. 6फ्रॅक्टल त्रिकोणात कोणत्या त्रिकोणावर प्रक्रिया पुन्हा करत नाहीत?
आव्हानात्मक
  1. 7टप्पा 4 मध्ये किती सोनेरी त्रिकोण असतात?
  2. 8स्वसदृश म्हणजे काय?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1बेनॉयट मँडेलब्रॉट.
  2. 21975.
  3. 3तुटणे.
  4. 4फ्लॉवर आणि नेचाची पाने (तसेच ढग, नद्या).
  5. 54.
  6. 6मधल्यावर.
  7. 781.
  8. 8आकृतीचा लहान भाग संपूर्ण आकृतीसारखा दिसतो.

झटपट उजळणी

  • 1 मूळही नाही आणि संयुक्तही नाही; 2 ही एकमेव सम मूळ संख्या; जुळ्या मूळ संख्यांत फरक 2 असतो.
  • त्रिकोणी : 1, 3, 6, 10, 15; वर्ग : 1, 4, 9, 16, 25; घन : 1, 8, 27, 64, 125.
  • भग्नाकृती स्वसदृश असतात; हा शब्द बेनोई मँडेलब्रॉट यांनी 1975 मध्ये तयार केला.