धडा ५: मसावि आणि लसावि

नियम 1 : भाजक आणि गुणाकार — 28 चे भाजक : 1, 2, 4, 7, 14, 28. म्हणून 28 हा प्रत्येकाचा गुणाकार. 7 चे गुणाकार : 7, 14, 21, 28, … 53 सारख्या मूळ संख्येला फक्त दोन भाजक असतात : 1 आणि ती स्वतः. 1 ही मूळ ही नाही आणि संयुक्त ही नाही.

• सोपे : 10 चे भाजक 1, 2, 5, 10.
• मध्यम : 36 चे भाजक 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
• परीक्षेसाठी : 91 मूळ आहे का? नाही, 91 = 7 × 13, म्हणून दोनपेक्षा जास्त भाजक.

नियम 2 : मूळ अवयव आणि अवयव-वृक्ष — संख्येचे लहान अवयव करत जा, फक्त मूळ संख्या उरेपर्यंत : 90 = 9 × 10 = (3 × 3) × (2 × 5), म्हणून 90 = 2 × 3 × 3 × 5.

आकृतीत : आकृतीत 60 चा अवयव-वृक्ष : 2 × 2 × 3 × 5.

• सोपे : 12 = 2 × 2 × 3.
• मध्यम : 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2 × 2 × 3 × 7.
• परीक्षेसाठी : 150 = 2 × 75 = 2 × 3 × 25 = 2 × 3 × 5 × 5.

फरक ओळखा

नियम 1 : यादी करून मसावि — 20 चे भाजक : 1, 2, 4, 5, 10, 20. 30 चे भाजक : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. सामाईक भाजक : 1, 2, 5, 10. मसावि 10, म्हणून तुकडे 10 m चे.

आकृतीत : आकृतीत 12 आणि 16 चे भाजक 1, 2, 4 मध्ये एकत्र येतात.

• सोपे : 6 आणि 9 चा मसावि : सामाईक भाजक 1, 3, म्हणून मसावि 3.
• मध्यम : 14 आणि 21 चा मसावि : भाजक 1, 2, 7, 14 आणि 1, 3, 7, 21; मसावि 7.
• परीक्षेसाठी : 8 आणि 15 चा मसावि 1; अशा संख्यांना सहमूळ (co-prime) म्हणतात.

नियम 2 : मूळ अवयव पद्धत — प्रत्येक संख्या मूळ अवयवांच्या गुणाकारात लिहा आणि सामाईक मूळ अवयव गुणा. 40 = 2 × 2 × 2 × 5 आणि 60 = 2 × 2 × 3 × 5 मध्ये 2 × 2 × 5 सामाईक, म्हणून मसावि 20. दोन वेगळ्या मूळ संख्यांचा मसावि नेहमी 1.

• सोपे : 18 = 2 × 3 × 3 आणि 12 = 2 × 2 × 3 मध्ये 2 × 3 सामाईक, म्हणून मसावि = 6.
• मध्यम : 54 = 2 × 3 × 3 × 3 आणि 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 मध्ये 2 × 3 × 3 सामाईक, म्हणून मसावि = 18.
• परीक्षेसाठी : 24, 36 आणि 60 चा मसावि : 24 = 2×2×2×3, 36 = 2×2×3×3, 60 = 2×2×3×5 मध्ये 2×2×3 सामाईक, म्हणून मसावि = 12.

फरक ओळखा

नियम 1 : भागाकार पद्धत — 72 आणि 30 चा मसावि : 72 = 2 × 30 + 12; 30 = 2 × 12 + 6; 12 = 2 × 6 + 0. शेवटचा भाजक 6, म्हणून मसावि 6.

• सोपे : 20 आणि 8 : 20 = 2 × 8 + 4; 8 = 2 × 4 + 0. मसावि = 4.
• मध्यम : 84 आणि 36 : 84 = 2 × 36 + 12; 36 = 3 × 12 + 0. मसावि = 12.
• परीक्षेसाठी : 135 आणि 105 : 135 = 1 × 105 + 30; 105 = 3 × 30 + 15; 30 = 2 × 15 + 0. मसावि = 15.

नियम 2 : मसावि कुठे वापरतात — सर्वांत मोठ्या समान आकारासाठी मसावि वापरतात. 20 m × 12 m खोलीसाठी सर्वांत मोठी चौरस फरशी 4 m बाजूची (20 आणि 12 चा मसावि). 60 m आणि 100 m कापडातून सर्वांत लांब समान तुकडे 20 m चे.

आकृतीत : आकृतीत 15 m × 9 m ची खोली आणि 3 m च्या चौरस फरशा.

• सोपे : 8 m × 6 m खोलीसाठी सर्वांत मोठी चौरस फरशी : मसावि = 2 m.
• मध्यम : 20 m × 12 m खोलीत 4 m च्या फरशा लागतात (20 ÷ 4) × (12 ÷ 4) = 5 × 3 = 15.
• परीक्षेसाठी : 60 m आणि 100 m कापडाचे 20 m चे तुकडे : 60 ÷ 20 + 100 ÷ 20 = 3 + 5 = 8 तुकडे.

फरक ओळखा

नियम 1 : गुणाकारांची यादी करून लसावि — 9 चे गुणाकार : 9, 18, 27, 36, … 12 चे गुणाकार : 12, 24, 36, … पहिला सामाईक गुणाकार 36, म्हणून 9 आणि 12 चा लसावि 36.

आकृतीत : आकृतीत 6 आणि 8 चे गुणाकार पहिल्यांदा 24 वर भेटतात.

• सोपे : 3 आणि 4 चा लसावि : गुणाकार 3, 6, 9, 12 आणि 4, 8, 12; लसावि = 12.
• मध्यम : 6 आणि 10 चा लसावि : 6, 12, 18, 24, 30 आणि 10, 20, 30; लसावि = 30.
• परीक्षेसाठी : 15 आणि 20 चा लसावि : 20 चे गुणाकार 20, 40, 60 आणि 60 ÷ 15 = 4, म्हणून लसावि = 60.

नियम 2 : मूळ अवयव पद्धत आणि पुन्हा भेटण्याची उदाहरणे — प्रत्येक मूळ अवयव कोणत्याही एका संख्येत जितक्या जास्तीत जास्त वेळा येतो तितक्या वेळा घ्या, मग गुणा. 12 = 2×2×3 आणि 18 = 2×3×3 वरून 2×2×3×3 = 36. "पुन्हा कधी भेटतील" उदाहरणांना लसावि वापरतात.

• सोपे : 6 = 2×3 आणि 15 = 3×5 वरून 2×3×5 = 30.
• मध्यम : 20 = 2×2×5 आणि 30 = 2×3×5 वरून 2×2×3×5 = 60.
• परीक्षेसाठी : बसेस सकाळी 6:00 ला एकत्र निघतात आणि मग दर 12, 18 आणि 30 मिनिटांनी. लसावि = 2×2×3×3×5 = 180 मिनिटे, म्हणून त्या पुन्हा सकाळी 9:00 ला भेटतात.

फरक ओळखा

नियम 1 : नियम — 12 आणि 20 साठी मसावि 4 आणि लसावि 60. संख्यांचा गुणाकार = 12 × 20 = 240 आणि मसावि × लसावि = 4 × 60 = 240.

आकृतीत : आकृतीत दोन संख्यांचा गुणाकार = मसावि × लसावि.

• सोपे : 8 आणि 12 : मसावि 4, लसावि 24; 8 × 12 = 96 = 4 × 24.
• मध्यम : 15 आणि 25 : मसावि 5, लसावि 75; 15 × 25 = 375 = 5 × 75.
• परीक्षेसाठी : 36 आणि 60 चा मसावि 12. तर लसावि = (36 × 60) ÷ 12 = 2160 ÷ 12 = 180.

नियम 2 : हरवलेली किंमत शोधणे — चारांपैकी तीन किंमती माहीत असतील तर चौथी काढा. संख्या 16 आणि ?, मसावि 4, लसावि 80 : दुसरी संख्या = (4 × 80) ÷ 16 = 20. लक्षात ठेवा : मसावि लसाविला पूर्ण भाग जातो, आणि लसावि मोठ्या संख्येपेक्षा कधीच लहान नसतो.

• सोपे : संख्या 10 आणि 15, मसावि 5 : लसावि = 150 ÷ 5 = 30.
• मध्यम : मसावि 4, लसावि 80, एक संख्या 16 : दुसरी = 320 ÷ 16 = 20.
• परीक्षेसाठी : सहमूळ 7 आणि 9 : मसावि 1, लसावि = 7 × 9 ÷ 1 = 63.

फरक ओळखा