K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 6 · गणित

धडा ६: अपूर्णांक

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

अपूर्णांकांचे प्रकार

रोजच्या जीवनातून

पिझ्झा 8 सारख्या तुकड्यांत कापला आणि तुम्ही 3 खाल्ले. तुम्ही पिझ्झ्याचा 38 भाग खाल्ला. अपूर्णांक म्हणजे संपूर्णातील काही समान भाग.

सोपी व्याख्या

अपूर्णांक अंशछेद असा लिहितात. वरची संख्या अंश (numerator) आणि खालची संख्या छेद (denominator).

नियम 1 : अपूर्णांकांचे प्रकार — एकक अपूर्णांक (unit fraction) : अंश 1 : 15, 18, 110. छेद जितका मोठा तितका भाग लहान. छेद सारखे असतील तर सजातीय (like) : 59 आणि 29. छेद वेगळे असतील तर विजातीय (unlike) : 14 आणि 16. अंश छेदापेक्षा लहान असेल तर व्यवहारी (proper); लहान नसेल तर अव्यवहारी (improper) जसे 114. 234 सारखा मिश्र अपूर्णांक (mixed fraction) म्हणजे पूर्ण भाग आणि अपूर्णांक भाग.

एकक अपूर्णांक : छेद जितका मोठा तितका भाग लहान.11/21/31/41/5जास्त भाग : प्रत्येक भाग लहान

आकृतीत : आकृतीत एकक अपूर्णांक : जास्त भाग, लहान भाग.

  • सोपे : 6 हे 9 पेक्षा लहान म्हणून 16 हा 19 पेक्षा मोठा.
  • मध्यम : 77, 38, 95 मध्ये फक्त 38 व्यवहारी; 77 आणि 95 अव्यवहारी.
  • परीक्षेसाठी : पिझ्झ्याचे 8 तुकडे, 3 खाल्ले. खाल्ले 38; उरले 88 − 38 = 58.

नियम 2 : समतुल्य अपूर्णांक आणि सोपे रूप — किंमत सारखी असलेले अपूर्णांक समतुल्य (equivalent) : 25 = 410 = 615. अंश-छेदाला त्याच संख्येने गुणा किंवा भागा. सोपे रूप (simplest form) मिळवायला दोघांना त्यांच्या मसावि (GCD) ने भागा : 1824 = 34 (मसावि 6).

  • सोपे : 13 = 26 (2 ने गुणा).
  • मध्यम : 1520 = 34 (5 ने भागा).
  • परीक्षेसाठी : 4256 सोपे करा : मसावि 14, म्हणून 4256 = 34.
Live आकृती

अपूर्णांकांचे प्रकार

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

अंश वर, छेद खाली. किंमत सारखी = समतुल्य. सोप्या रूपासाठी मसाविने भागा.

सामान्य चूक

समतुल्य अपूर्णांकासाठी अंश-छेदात बेरीज करणे. त्याऐवजी गुणा किंवा भागा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "अंश वर, छेद खाली; दोघांना सारखे गुणा-भागा".

फरक ओळखा

प्रकारउदाहरण
एकक15
सजातीय59, 29
अव्यवहारी114
मिश्र234

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 114 की 19 कोणता मोठा?
  2. 2311 चा एक सजातीय अपूर्णांक लिहा.
  3. 383 व्यवहारी की अव्यवहारी?
मध्यम
  1. 412 छेद 8 असलेल्या रूपात लिहा.
  2. 51624 सोप्या रूपात लिहा.
  3. 62736 सोप्या रूपात लिहा.
आव्हानात्मक
  1. 7दोरी 12 समान तुकड्यांत कापली आणि 5 वापरले. किती भाग वापरला आणि किती उरला?
  2. 813 = 26 का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 114.
  2. 2711 (छेद 11 असलेला कोणताही).
  3. 3अव्यवहारी.
  4. 448.
  5. 5मसावि 8, म्हणून 23.
  6. 6मसावि 9, म्हणून 34.
  7. 7वापरला 512; उरला 712.
  8. 8अंश-छेदाला 2 ने गुणल्याने किंमत बदलत नाही.

अपूर्णांकांची तुलना

रोजच्या जीवनातून

मीना 12 ग्लास दूध पिते आणि सीता 13 ग्लास. कोणी जास्त प्यायले? अपूर्णांकांची तुलना करायला समान आकाराचे भाग हवेत.

सोपी व्याख्या

अपूर्णांकांची तुलना (compare) करायला लसावि (LCM) वापरून छेद सारखे करा, मग अंशांची तुलना करा.

नियम 1 : सजातीय आणि एकक अपूर्णांक — सजातीय अपूर्णांकांत अंश मोठा तर अपूर्णांक मोठा : 59 > 49. एकक अपूर्णांकांत छेद लहान तर अपूर्णांक मोठा : 15 > 18.

  • सोपे : 710 > 310.
  • मध्यम : 16 आणि 14 : 4 < 6, म्हणून 14 मोठा.
  • परीक्षेसाठी : 211, 911, 511 मध्ये सर्वांत लहान 211.

नियम 2 : विजातीय अपूर्णांक — छेदांचा लसावि घ्या आणि समतुल्य अपूर्णांक बनवा. 23 आणि 35 : लसावि 15, म्हणून 1015 आणि 915. 10 > 9, म्हणून 23 > 35.

1/2 = 3/6 हा 1/3 = 2/6 पेक्षा लांब आहे.1/21/33/6>2/6छेद समान करा (LCM 6), मग अंश तपासा

आकृतीत : आकृतीत 12 = 36 हा 13 = 26 पेक्षा लांब आहे.

  • सोपे : 12 आणि 25 : लसावि 10, म्हणून 510 > 410.
  • मध्यम : 34 आणि 56 : लसावि 12, म्हणून 912 < 1012.
  • परीक्षेसाठी : फक्त अंशांची तुलना करू नका. 5 < 7 असले तरी 56 > 79, कारण 1518 > 1418.
Live आकृती

अपूर्णांकांची तुलना

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

सजातीय : अंशांची तुलना. एकक : छेद लहान तो मोठा. विजातीय : आधी लसावि.

सामान्य चूक

9 मोठा म्हणून 29 हा 13 पेक्षा मोठा म्हणणे. 29 आणि 39 ची तुलना करा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "छेद सारखे करा, मग अंश पाहा".

फरक ओळखा

अपूर्णांकमोठा
49 and 7979
110 and 1313
23 and 3523

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 149 की 79 कोणता मोठा?
  2. 2110 की 13 कोणता मोठा?
  3. 3तुलना करा 25 आणि 12.
मध्यम
  1. 4तुलना करा 37 आणि 23.
  2. 5> किंवा < घाला : 58 __ 34.
  3. 6राम 23 तास आणि श्याम 34 तास अभ्यास करतो. जास्त कोण?
आव्हानात्मक
  1. 778 हा 89 पेक्षा मोठा आहे का?
  2. 8विजातीय अपूर्णांकांची तुलना फक्त अंशांनी का करता येत नाही?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 179.
  2. 213.
  3. 3410 < 510, म्हणून 25 < 12.
  4. 4लसावि 21 : 921 < 1421, म्हणून 23 मोठा.
  5. 558 < 68, म्हणून 58 < 34.
  6. 6812 < 912, म्हणून श्याम.
  7. 7नाही : 6372 < 6472, म्हणून 89 मोठा.
  8. 8भागांचे आकार वेगळे असतात. उदा. 5 < 7 तरी 56 > 79.

चढता आणि उतरता क्रम

रोजच्या जीवनातून

तीन मित्रांनी 12, 38 आणि 34 लिटर रस प्यायला. त्यांना कमीतून जास्त क्रमाने लावायला तीच तुलनेची पद्धत लागते.

सोपी व्याख्या

चढता क्रम (ascending) म्हणजे लहानाकडून मोठ्याकडे आणि उतरता क्रम (descending) म्हणजे मोठ्याकडून लहानाकडे. संख्यारेषेवर उजवीकडील अपूर्णांक मोठा.

नियम 1 : अपूर्णांकांचा क्रम लावणे — सजातीय : अंशांवरून क्रम लावा. विजातीय : सर्वांना छेदांच्या लसावितील रूपात आणा. 34, 16, 512 चे 912, 212, 512 होतात, म्हणून चढता क्रम 16, 512, 34.

1/6, 5/9 आणि 2/3 संख्यारेषेवर : 1/6 < 5/9 < 2/3.011/63/185/910/182/312/18अठराव्या भागांत : 3 < 10 < 12

आकृतीत : आकृतीत संख्यारेषेवर 16, 59, 23.

  • सोपे : 27, 67, 47 चा चढता क्रम 27, 47, 67.
  • मध्यम : 12, 38, 34 चा उतरता क्रम : 48, 38, 68 वरून 34, 12, 38.
  • परीक्षेसाठी : 23, 56, 79 चा चढता क्रम : लसावि 18 वरून 1218, 1518, 1418, म्हणून 23, 79, 56.
लक्षात ठेवा

चढता = लहान ते मोठा. उतरता = मोठा ते लहान. विजातीय : आधी लसावि.

सामान्य चूक

बदललेले अपूर्णांक लावून उत्तरात तेच लिहिणे. उत्तरात मूळ अपूर्णांक लिहा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "चढता = जिना चढणे, लहान पायरीपासून मोठीकडे".

फरक ओळखा

क्रमदिशा
चढतालहान → मोठा
उतरतामोठा → लहान

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1चढत्या क्रमाने लावा : 59, 29, 79.
  2. 2उतरत्या क्रमाने लावा : 310, 910, 110.
  3. 3संख्यारेषेवर उजवीकडील अपूर्णांक लहान की मोठा?
मध्यम
  1. 412, 13, 14 चा चढता क्रम.
  2. 525, 310, 12 चा चढता क्रम.
  3. 656, 23, 712 चा उतरता क्रम.
आव्हानात्मक
  1. 7दोऱ्या 34 m, 58 m आणि 78 m आहेत. सर्वांत लहान कोणती?
  2. 845, 34, 710, 920 चा चढता क्रम.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 129, 59, 79.
  2. 2910, 310, 110.
  3. 3मोठा.
  4. 414, 13, 12.
  5. 5410, 310, 510, म्हणून 310, 25, 12.
  6. 61012, 812, 712, म्हणून 56, 23, 712.
  7. 768, 58, 78 : 58 m ची दोरी.
  8. 8लसावि 20 : 1620, 1520, 1420, 920, म्हणून 920, 710, 34, 45.

अपूर्णांकांची बेरीज आणि वजाबाकी

रोजच्या जीवनातून

आई चहासाठी 14 kg साखर आणि गोड पदार्थांसाठी 24 kg वापरते. एकूण 34 kg वापरली. अपूर्णांक मिळवणे म्हणजे समान तुकडे मिळवणे.

सोपी व्याख्या

फक्त समान आकाराचे भाग मिळवता किंवा वजा करता येतात, म्हणून आधी छेद सारखे हवेत.

नियम 1 : सजातीय अपूर्णांक — छेद तोच ठेवा आणि अंशांची बेरीज किंवा वजाबाकी करा. 29 + 49 = 69 = 23, 910 − 310 = 610 = 35 आणि 38 + 58 = 1.

  • सोपे : 310 + 410 = 710.
  • मध्यम : 1112 − 512 = 612 = 12.
  • परीक्षेसाठी : भूखंडाच्या 37 भागावर घर आहे. बाकीची बाग : 1 − 37 = 77 − 37 = 47.

नियम 2 : विजातीय अपूर्णांक (ब्रह्मगुप्ताची पद्धत) — छेदांचा लसावि काढा, त्यानुसार समतुल्य अपूर्णांक लिहा, मग बेरीज किंवा वजाबाकी करा. 14 + 16 = 312 + 212 = 512. 56 − 14 = 1012 − 312 = 712.

1/2 + 1/3 : दोन्ही सहावे भाग करा, मग अंश मिळवा : 5/6.1/2+1/3= 3/6= 2/63/6 + 2/6 = 5/6

आकृतीत : आकृतीत पट्ट्यांनी 12 + 13 = 56.

  • सोपे : 12 + 14 = 24 + 14 = 34.
  • मध्यम : 35 − 12 = 610 − 510 = 110.
  • परीक्षेसाठी : 78 − 13 = 2124 − 824 = 1324.
लक्षात ठेवा

छेद सारखे : फक्त अंशांची बेरीज-वजाबाकी. वेगळे : आधी लसावि.

सामान्य चूक

छेदही मिळवणे : 14 + 14 = 28. बरोबर उत्तर 24.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "छेद सारखा तर अंश मिळवा; छेद वेगळा तर लसावि काढा".

फरक ओळखा

प्रकारपद्धत
सजातीयअंश मिळवा / वजा करा
विजातीयलसावि, मग बेरीज / वजाबाकी
उरलेला भाग1 − part

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1बेरीज करा 27 + 37.
  2. 2वजाबाकी करा 89 − 59.
  3. 3बेरीज करा 15 + 310.
मध्यम
  1. 4वजाबाकी करा 34 − 13.
  2. 5बेरीज करा 16 + 14.
  3. 6टाकी 25 भरलेली आहे. किती भाग रिकामा?
आव्हानात्मक
  1. 7रिटा सोमवारी पुस्तकाचा 14 भाग आणि मंगळवारी 13 भाग वाचते. किती वाचले आणि किती उरले?
  2. 8किंमत काढा 56 − 12 + 13.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 157.
  2. 239 = 13.
  3. 3210 + 310 = 510 = 12.
  4. 4912 − 412 = 512.
  5. 5212 + 312 = 512.
  6. 61 − 25 = 35.
  7. 7वाचले 312 + 412 = 712; उरले 512.
  8. 856 − 36 + 26 = 46 = 23.

मिश्र अपूर्णांक आणि शाब्दिक उदाहरणे

रोजच्या जीवनातून

एका पाककृतीला 212 कप पीठ लागते. म्हणजे दोन पूर्ण कप आणि अर्धा कप, एक मिश्र अपूर्णांक. असे अंक मिळवायला किंवा वजा करायला आपण त्यांना अव्यवहारी अपूर्णांकात बदलतो.

सोपी व्याख्या

मिश्र → अव्यवहारी : पूर्ण × छेद + अंश, छेद तोच. अव्यवहारी → मिश्र : अंशाला छेदाने भागा.

नियम 1 : रूप बदलणे — 235 = (2 × 5 + 3)5 = 135. 236 : 23 ÷ 6 भागाकार 3 बाकी 5, म्हणून 236 = 356.

मिश्र अपूर्णांक 3 3/4 म्हणजे विषम अपूर्णांक 15/4.3 पूर्ण3/43 3/4 = (3 × 4 + 3)/4 = 15/43 पूर्ण = 12 चतुर्थांश, अधिक 3 चतुर्थांश = 15 चतुर्थांश

आकृतीत : आकृतीत 334 = 154.

  • सोपे : 112 = 32.
  • मध्यम : 423 = (4 × 3 + 2)3 = 143.
  • परीक्षेसाठी : 298 : 29 ÷ 8 भागाकार 3 बाकी 5, म्हणून 298 = 358.

नियम 2 : मिश्र अपूर्णांकांची बेरीज-वजाबाकी — अव्यवहारी अपूर्णांकात बदला, छेद सारखे करा, मग बेरीज किंवा वजाबाकी. 212 + 123 = 52 + 53 = 156 + 106 = 256 = 416. 514 − 212 = 214 − 104 = 114 = 234. शाब्दिक उदाहरण : 4 मित्र प्रत्येकी पिझ्झ्याचा 13 भाग खातात, म्हणून 43 = 113 पिझ्झे खाल्ले.

  • सोपे : 114 + 214 = 54 + 94 = 144 = 312.
  • मध्यम : 313 − 116 = 103 − 76 = 206 − 76 = 136 = 216.
  • परीक्षेसाठी : 234 + 156 = 114 + 116 = 3312 + 2212 = 5512 = 4712.
Live आकृती

मिश्र अपूर्णांक आणि शाब्दिक उदाहरणे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

मिश्र → अव्यवहारी : पूर्ण × छेद + अंश. अव्यवहारी → मिश्र : भागाकार. अव्यवहारी रूपात बेरीज-वजाबाकी.

सामान्य चूक

पूर्ण भाग आणि अपूर्णांक भाग वेगवेगळे मिळवताना अपूर्णांक भाग 1 ओलांडतो का ते न पाहणे. खात्रीसाठी अव्यवहारी अपूर्णांक वापरा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "पूर्ण गुणिले छेद, अधिक अंश".

फरक ओळखा

बदलपद्धत
मिश्र → अव्यवहारीwhole × denominator + numerator
अव्यवहारी → मिश्रdivide numerator by denominator

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1213 अव्यवहारी अपूर्णांकात लिहा.
  2. 2175 मिश्र अपूर्णांकात लिहा.
  3. 3512 अव्यवहारी अपूर्णांकात लिहा.
मध्यम
  1. 4बेरीज करा 112 + 212.
  2. 5वजाबाकी करा 413 − 123.
  3. 6बेरीज करा 214 + 112.
आव्हानात्मक
  1. 7फीत 312 m लांब आहे आणि 134 m वापरली. किती उरली?
  2. 8सहा मुलांना प्रत्येकी आंब्याचा 14 भाग मिळतो. एकूण किती आंबे दिले?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 173.
  2. 2325.
  3. 3112.
  4. 432 + 52 = 82 = 4.
  5. 5133 − 53 = 83 = 223.
  6. 694 + 64 = 154 = 334.
  7. 7144 − 74 = 74 = 134 m.
  8. 864 = 112 आंबे.