K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 6 · गणित

धडा ३: संख्यांच्या जगात

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

नैसर्गिक संख्या आणि पूर्ण संख्या

रोजच्या जीवनातून

आपण फळे 1, 2, 3, … अशी मोजतो आणि रिकाम्या टोपलीत 0 फळे असतात. मोजण्याच्या संख्या आणि शून्य ह्या आपण शिकलेल्या पहिल्या संख्या.

सोपी व्याख्या

1, 2, 3, … ह्या मोजण्याच्या संख्या म्हणजे नैसर्गिक संख्या (natural numbers). नैसर्गिक संख्या आणि 0 मिळून पूर्ण संख्या (whole numbers).

नियम 1 : नैसर्गिक आणि पूर्ण संख्या — नैसर्गिक संख्या : 1, 2, 3, … (कधी संपत नाहीत; सर्वांत लहान 1). पूर्ण संख्या : 0, 1, 2, 3, … (सर्वांत लहान 0). प्रत्येक नैसर्गिक संख्या पूर्ण संख्या असते, पण 0 ही पूर्ण संख्या नैसर्गिक नाही.

  • सोपे : सर्वांत लहान नैसर्गिक संख्या 1 आणि सर्वांत लहान पूर्ण संख्या 0.
  • मध्यम : 0 नैसर्गिक आहे का? नाही. 0 पूर्ण आहे का? होय.
  • परीक्षेसाठी : 6 − 6 = 0 ही पूर्ण संख्या आहे, नैसर्गिक नाही.

नियम 2 : शून्य आणि त्याचा इतिहास — शून्याचा जन्म भारतात झाला. भारताबाहेर त्याला Void, Cipher, Zephyro आणि Zipra अशी नावे होती; Zephyro पासून इंग्रजीत "zero" झाले. संख्येच्या मागे 0 लावला तर किंमत 10 पट होते : 7 → 70.

  • सोपे : 9 च्या मागे एक शून्य लावला की 90.
  • मध्यम : मनोऱ्यांची उंची 120 m, 85 m आणि 64 m. सर्वांत उंच मनोरा सर्वांत लहानापेक्षा 120 − 64 = 56 m उंच.
  • परीक्षेसाठी : 45 च्या उजवीकडे 0 लावला की 450, म्हणजे 45 च्या 10 पट.
लक्षात ठेवा

नैसर्गिक संख्या 1 पासून. पूर्ण संख्या 0 पासून. संख्येच्या मागे शून्य लावल्यास 10 पट.

सामान्य चूक

0 ला नैसर्गिक संख्या म्हणणे. ती फक्त पूर्ण संख्या आहे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "नैसर्गिक = एक पासून; पूर्ण = शून्य पासून".

फरक ओळखा

संचसुरुवात
नैसर्गिक संख्या1
पूर्ण संख्या0

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1सर्वांत लहान नैसर्गिक संख्या कोणती?
  2. 2सर्वांत लहान पूर्ण संख्या कोणती?
  3. 30 ही नैसर्गिक संख्या आहे का?
मध्यम
  1. 47 नंतरच्या पुढील तीन पूर्ण संख्या लिहा.
  2. 59 च्या मागे शून्य लिहिले तर काय होते?
  3. 6प्रत्येक नैसर्गिक संख्या पूर्ण संख्या आहे का?
आव्हानात्मक
  1. 78 − 8 नैसर्गिक संख्या की पूर्ण संख्या?
  2. 8शून्याचा जन्म कुठे झाला आणि कोणत्या नावावरून "zero" झाले?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 11.
  2. 20.
  3. 3नाही.
  4. 48, 9, 10.
  5. 590 होते, म्हणजे 9 च्या 10 पट.
  6. 6होय.
  7. 70, पूर्ण संख्या पण नैसर्गिक नाही.
  8. 8भारतात; Zephyro पासून "zero" झाले.

मोठ्या संख्या : तुलना, बेरीज आणि वजाबाकी

रोजच्या जीवनातून

राज्याची लोकसंख्या किंवा पृथ्वी-सूर्य अंतर ह्या खूप मोठ्या संख्या आहेत. त्या सहज वाचायला आपण लाख आणि कोटी असलेली भारतीय पद्धत वापरतो.

सोपी व्याख्या

भारतीय पद्धतीत स्थाने : एकक, दशक, शतक, हजार, दशहजार, लाख, दशलाख, कोटी, दशकोटी. उजवीकडून पहिल्या तीन अंकांनंतर आणि मग प्रत्येक दोन अंकांनंतर स्वल्पविराम देतात.

नियम 1 : स्थानिक किंमत, वाचन आणि अंकांची मांडणी — 3,05,40,208 हे तीन कोटी पाच लाख चाळीस हजार दोनशे आठ असे वाचतात. 4, 0, 6, 8, 2 हे अंक एकेकदा वापरून सर्वांत मोठी पाच अंकी संख्या 86,420 आणि सर्वांत लहान 20,468 (संख्या 0 ने सुरू करता येत नाही).

Place value chartPlace value chart of the Indian system for the number 20,61,84,350. ten crores: 2, crores: 0, ten lakhs: 6, lakhs: 1, ten thousands: 8, thousands: 4, hundreds: 3, tens: 5, ones: 0. Highlighted: crores.एककहजारलाखकोटीदको2को0दल6ल1दह8ह4श3द5ए0

आकृतीत : आकृतीत 20,61,84,350 ह्या 9 अंकी संख्येचा स्थानिक किंमत तक्ता. रंगवलेला 0 कोटी स्थानी आणि 2 दशकोटी स्थानी आहे.

  • सोपे : 4,56,000 म्हणजे चार लाख छप्पन हजार.
  • मध्यम : 7,08,09,010 म्हणजे सात कोटी आठ लाख नऊ हजार दहा.
  • परीक्षेसाठी : 86,420 आणि 20,468 दोन्हीत शतक स्थानचा अंक 4, म्हणून दोन्हीत त्याची किंमत 400.

नियम 2 : बेरीज, वजाबाकी आणि तुलना — 63,48,125 + 25,17,360 = 88,65,485 आणि 76,40,000 − 28,35,500 = 48,04,500. मोठ्या संख्यांचा क्रम लावायला आधी अंकांची संख्या पाहा, मग डावीकडून अंक अंक तुलना करा : 61,98,76,000 < 62,48,91,720 < 62,84,15,306 < 63,05,12,448.

Place value chartPlace value chart of the Indian system for the number 9,?6,10,475 (a hidden digit is shown as ?). crores: 9, ten lakhs: ?, lakhs: 6, ten thousands: 1, thousands: 0, hundreds: 4, tens: 7, ones: 5.एककहजारलाखकोटीदकोको9दल?ल6दह1ह0श4द7ए59,?6,10,475

आकृतीत : आकृतीत 9,?6,10,475 मधील एक अंक लपवला आहे. तो दशलाख स्थानी आहे; संख्या 9,30,00,000 आणि 9,40,00,000 च्या दरम्यान असेल तर लपलेला अंक 3.

  • सोपे : 45,000 + 28,000 = 73,000.
  • मध्यम : 63,48,125 + 25,17,360 = 88,65,485 (लाख लाखांशी, हजार हजारांशी मिळवा).
  • परीक्षेसाठी : दुकानाने एका वर्षी ₹ 76,40,000 आणि दुसऱ्या वर्षी ₹ 28,35,500 ची विक्री केली. फरक ₹ 48,04,500.
Live आकृती

मोठ्या संख्या : तुलना, बेरीज आणि वजाबाकी

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

भारतीय स्वल्पविराम : 3 अंक, मग प्रत्येकी 2. आधी अंकांची संख्या तुलना करा. बेरीज करताना स्थाने जुळवा.

सामान्य चूक

सगळीकडे तीन-तीनचे स्वल्पविराम देणे, जसे 12,345,678. भारतात 1,23,45,678 लिहा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "तीन, मग दोन-दोन".

फरक ओळखा

स्थान1 ची किंमत
लाख1,00,000
दशलाख10,00,000
कोटी1,00,00,000

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1पाच कोटी तीन लाख अंकांत लिहा.
  2. 28,45,000 शब्दांत वाचा.
  3. 33, 7, 1, 5 एकेकदा वापरून सर्वांत मोठी चार अंकी संख्या तयार करा.
मध्यम
  1. 4बेरीज करा 36,25,000 + 14,75,000.
  2. 5वजाबाकी करा 90,00,000 − 45,50,000.
  3. 6चढत्या क्रमाने लावा : 7,45,300; 7,40,530; 7,54,030.
आव्हानात्मक
  1. 76, 0, 3, 9, 1 एकेकदा वापरून सर्वांत मोठी आणि सर्वांत लहान पाच अंकी संख्या काढा.
  2. 89,?6,10,475 ही संख्या 9,50,00,000 आणि 9,60,00,000 च्या दरम्यान आहे. लपलेला अंक शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 15,03,00,000.
  2. 2आठ लाख पंचेचाळीस हजार.
  3. 37531.
  4. 451,00,000.
  5. 544,50,000.
  6. 67,40,530 < 7,45,300 < 7,54,030.
  7. 7सर्वांत मोठी 96,310; सर्वांत लहान 10,369.
  8. 8लपलेला अंक दशलाख स्थानी आहे आणि संख्या 9,5… ने सुरू व्हायला हवी, म्हणून तो 5.

पूर्णांक संख्या आणि संख्यारेषा

रोजच्या जीवनातून

मनालीत रात्री तापमान −5 °C असू शकते आणि मॉलमधील लिफ्ट तळघर मजल्यावर (−1) जाऊ शकते. अशा गोष्टी सांगायला शून्याखालील संख्या लागतात.

सोपी व्याख्या

0 च्या डावीकडील (−1, −2, −3, …) संख्या ऋण संख्या (negative numbers) आणि उजवीकडील (1, 2, 3, …) धन संख्या (positive numbers). शून्य, धन आणि ऋण संख्या मिळून पूर्णांक (integers).

नियम 1 : संख्यारेषेवर तुलना — उजवीकडील संख्या नेहमी डावीकडील संख्येपेक्षा मोठी : −4 < −1 < 0 < 2. धन संख्येला (+) चिन्ह लागत नाही, पण ऋण संख्येला (−) लागते.

Number lineNumber line from −6 to 6 in steps of 1. Point K at −5. Point L at −1. Point M at 3.−6−5−4−3−2−10123456KलM

आकृतीत : आकृतीत K = −5, L = −1 आणि M = 3. उजवीकडील संख्या मोठी, म्हणून −5 < −1 < 3. एका खुणेची किंमत किती ते नेहमी तपासा.

  • सोपे : −3 < 2 कारण −3 हे 2 च्या डावीकडे.
  • मध्यम : −8 < −5, कारण −8 अधिक डावीकडे आहे.
  • परीक्षेसाठी : −7, 3, −2, 0, −9 चा चढता क्रम −9, −7, −2, 0, 3.

नियम 2 : पूर्णांक आणि पूर्ण संख्या — 7 − 3 = 4 ही पूर्ण संख्या, पण 3 − 7 = −4 ही पूर्ण संख्या नाही, ती पूर्णांक आहे. रोजच्या वापरात : शून्याखालील तापमान, जमिनीखालचे मजले, जमिनीखालील विहिरीची पाणी पातळी (+2 > −3).

  • सोपे : −6 °C हे −2 °C पेक्षा जास्त थंड.
  • मध्यम : तळघर मजले −1 आणि −2 : −2 हा जास्त खाली.
  • परीक्षेसाठी : लिफ्ट मजला 2 वरून −1 ला जाते : 2 − (−1) = 3 मजले खाली.
लक्षात ठेवा

उजवीकडे मोठी. ऋण संख्या 0 च्या डावीकडे. पूर्णांक = ऋण, शून्य, धन.

सामान्य चूक

9 > 2 म्हणून −9 > −2 असे समजणे. संख्यारेषेवर −9 डावीकडे आहे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "डावीकडे जाल तितकी लहान".

फरक ओळखा

प्रकारसंख्यारेषेवर कुठे
ऋण0 च्या डावीकडे
शून्यमध्यभागी
धन0 च्या उजवीकडे

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1−2 की −6 कोणती मोठी?
  2. 20 की −4 कोणती लहान?
  3. 35, −3, 2.5, 0 मधील पूर्णांक कोणते?
मध्यम
  1. 4चढत्या क्रमाने लावा : 2, −5, 0, −1.
  2. 53 − 8 ही पूर्ण संख्या आहे का?
  3. 6तापमाने −6 °C आणि −2 °C आहेत. कोणते जास्त उबदार?
आव्हानात्मक
  1. 7संख्यारेषेवर प्रत्येक खुणेची किंमत 2 आहे आणि एक बिंदू 0 च्या डावीकडे 3 खुणांवर आहे. ती संख्या कोणती?
  2. 8−9 > −2 असे का म्हणता येत नाही?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1−2.
  2. 2−4.
  3. 35, −3 आणि 0.
  4. 4−5, −1, 0, 2.
  5. 5नाही, ती −5 आहे, पूर्णांक.
  6. 6−2 °C.
  7. 7डावीकडे 3 × 2 = 6, म्हणून −6.
  8. 8संख्यारेषेवर −9 हे −2 च्या डावीकडे आहे, म्हणून −9 < −2.

विरुद्ध संख्या आणि पूर्णांकांची बेरीज

रोजच्या जीवनातून

रवी एका खेळात ₹ 5 जिंकतो आणि पुढच्या खेळात ₹ 5 हरतो. एकूण ₹ 0. सारख्या रकमेचा नफा आणि तोटा एकमेकांना रद्द करतात. नफा धन आणि तोटा ऋण.

सोपी व्याख्या

+4 आणि −4 सारख्या विरुद्ध संख्या (opposite numbers) 0 पासून सारख्या अंतरावर पण विरुद्ध बाजूंना असतात. त्यांची बेरीज 0.

नियम 1 : विरुद्ध संख्या — +6 ची विरुद्ध संख्या −6 आणि (−6) + (+6) = 0. शून्याला विरुद्ध संख्या नाही.

Number lineNumber line from −6 to 6 in steps of 1. A jump from −4 to 4 labelled +8. Point D at −4. Point E at 4.−6−5−4−3−2−10123456DE+8

आकृतीत : आकृतीत D = −4 आणि E = 4 ह्या विरुद्ध संख्या आहेत. D पासून E पर्यंतची उडी 8 एकक लांब असून शून्य ओलांडते.

  • सोपे : +9 ची विरुद्ध संख्या −9.
  • मध्यम : (−7) + (+7) = 0.
  • परीक्षेसाठी : x + (−12) = 0 असेल तर x ही −12 ची विरुद्ध संख्या, म्हणून x = 12.

नियम 2 : नियमाने पूर्णांकांची बेरीज — सारखी चिन्हे : संख्या मिळवा आणि चिन्ह तेच ठेवा : (+5) + (+2) = +7 आणि (−4) + (−3) = −7. वेगळी चिन्हे : मोठ्या संख्येतून लहान संख्या वजा करा आणि मोठ्या संख्येचे चिन्ह द्या : (+6) + (−2) = +4 आणि (+2) + (−7) = −5.

Number lineNumber line from −6 to 6 in steps of 1. A jump from 1 to −3 labelled −4.−6−5−4−3−2−10123456−4

आकृतीत : आकृतीत ऋण संख्या मिळवायला डावीकडे उडी मारा : 1 + (−4) = −3.

  • सोपे : (−3) + (−4) = −7.
  • मध्यम : (+9) + (−4) = +5.
  • परीक्षेसाठी : (+3) + (−8) : 8 − 3 = 5 आणि 8 मोठी व ऋण, म्हणून उत्तर −5.

नियम 3 : अनेक उड्या — धन संख्येसाठी उजवीकडे आणि ऋण संख्येसाठी डावीकडे उडी. (−5) + 7 = 2, मग 2 + (−4) = −2.

Number lineNumber line from −6 to 6 in steps of 1. A jump from −4 to 2 labelled +6. A jump from 2 to −1 labelled −3.−6−5−4−3−2−10123456+6−3

आकृतीत : आकृतीत एकामागून एक अनेक उड्या : (−4) + 6 = 2, मग 2 + (−3) = −1.

  • सोपे : 2 + (−5) = −3.
  • मध्यम : (−6) + 4 = −2.
  • परीक्षेसाठी : (−6) + 9 + (−5) = 3 + (−5) = −2.
Live आकृती

विरुद्ध संख्या आणि पूर्णांकांची बेरीज

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

विरुद्ध संख्यांची बेरीज 0. सारखी चिन्हे : मिळवा. वेगळी चिन्हे : वजा करा आणि मोठ्याचे चिन्ह घ्या.

सामान्य चूक

(−3) + (−2) = +5 लिहिणे. सारख्या ऋण चिन्हांचे उत्तर ऋण : −5.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "सारख्या चिन्हांची बेरीज, वेगळ्यांची वजाबाकी".

फरक ओळखा

चिन्हेउदाहरण
सारखी (+, +)(+5) + (+2) = +7
सारखी (−, −)(−4) + (−3) = −7
वेगळी(+6) + (−2) = +4

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1−8 ची विरुद्ध संख्या कोणती?
  2. 2किंमत काढा (−5) + (+5).
  3. 3किंमत काढा (+6) + (+3).
मध्यम
  1. 4किंमत काढा (−7) + (−2).
  2. 5किंमत काढा (+8) + (−3).
  3. 6किंमत काढा (+2) + (−9).
आव्हानात्मक
  1. 7तापमान −3 °C आहे आणि ते 5 °C ने वाढते. नवे तापमान किती?
  2. 8किंमत काढा (−6) + 9 + (−5).
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1+8.
  2. 20.
  3. 3+9.
  4. 4−9.
  5. 5+5.
  6. 6−7.
  7. 7(−3) + 5 = 2 °C.
  8. 8(−6) + 9 = 3, मग 3 + (−5) = −2.

पूर्णांकांची वजाबाकी

रोजच्या जीवनातून

रात्री तापमान −4 °C होते आणि दुपारी 5 °C आहे. किती वाढले? बदल काढायला वजाबाकी करतो.

सोपी व्याख्या

संख्या वजा करायला तिची विरुद्ध संख्या मिळवा : a − b = a + (b ची विरुद्ध संख्या).

नियम 1 : पूर्णांकांची वजाबाकी — (+7) − (+4) = +3. (−7) − (−4) = (−7) + (+4) = −3. (+5) − (−3) = (+5) + (+3) = 8. (−5) − (+3) = (−5) + (−3) = −8. आणखी : 56 − (−24) = 80, (−30) − (−45) = 15, (−60) − 90 = −150, 120 − (−35) = 155.

  • सोपे : 9 − 4 = 5.
  • मध्यम : (−8) − (−3) = (−8) + 3 = −5.
  • परीक्षेसाठी : 6 − (−9) = 6 + 9 = 15. रात्र ते दुपारची वाढ 5 − (−4) = 9 °C.

नियम 2 : शाब्दिक उदाहरणे आणि थोडा इतिहास — पाणबुडी −30 m वरून −12 m ला येते : बदल = (−12) − (−30) = 18 m वर. कौटिल्याच्या अर्थशास्त्रात हिशेबांत ऋण संख्या नोंदलेल्या आहेत. बक्षाली हस्तलिखितात त्या विशेष चिन्हाने दाखवल्या आहेत. ब्रह्मगुप्ताच्या ब्राह्मस्फुटसिद्धान्तात धन, ऋण आणि शून्य ह्यांवरील क्रिया प्रथम स्पष्ट केल्या आहेत.

  • सोपे : सकाळी −2 °C आणि दुपारी 6 °C : वाढ = 6 − (−2) = 8 °C.
  • मध्यम : पाणबुड्या −15 m वरून −40 m ला जातो : बदल = (−40) − (−15) = −25, म्हणजे 25 m खाली.
  • परीक्षेसाठी : कप्रेकर स्थिरांक 6174 : 4321 पासून, 4321 − 1234 = 3087; 8730 − 0378 = 8352; 8532 − 2358 = 6174.
लक्षात ठेवा

वजाबाकी = विरुद्ध संख्या मिळवणे. बदल = अंतिम − सुरुवातीचे.

सामान्य चूक

5 − (−3) = 2 लिहिणे. ते 5 + 3 = 8 आहे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "वजा आणि वजा = मिळवा".

फरक ओळखा

वजाबाकीहोते
5 − (+3)5 + (−3) = 2
5 − (−3)5 + (+3) = 8
(−5) − (−3)(−5) + (+3) = −2

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1किंमत काढा 9 − (+4).
  2. 2किंमत काढा (+3) − (−5).
  3. 3किंमत काढा (−4) − (−6).
मध्यम
  1. 4किंमत काढा (−7) − (+2).
  2. 5किंमत काढा 0 − (−8).
  3. 6किंमत काढा (−12) − (−12).
आव्हानात्मक
  1. 7तापमान 4 °C वरून −3 °C ला येते. बदल किती?
  2. 85432 पासून सुरू करा : 5432 − 2345 काढा, मग कप्रेकर पायऱ्या पुढे करा (8730 − 0378, 8532 − 2358).
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 15.
  2. 23 + 5 = 8.
  3. 3(−4) + 6 = 2.
  4. 4(−7) + (−2) = −9.
  5. 58.
  6. 60.
  7. 7(−3) − 4 = −7, म्हणजे 7 °C ने घट.
  8. 83087 → 8352 → 6174.

झटपट उजळणी

  • नैसर्गिक संख्या 1 पासून सुरू होतात; पूर्ण संख्या 0 पासून; पूर्णांक संख्यांत ऋण संख्या येतात.
  • विरुद्ध संख्यांची बेरीज शून्य असते.
  • एखादी संख्या वजा करणे म्हणजे तिची विरुद्ध संख्या मिळवणे.