K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 6 · गणित

धडा २: रेषा आणि कोन

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

बिंदू, रेषा आणि प्रतल

रोजच्या जीवनातून

टोकदार पेन्सिलने दिलेला ठिपका, ताणलेला दोरा आणि टेबलाचा पृष्ठभाग; ह्यांवरून बिंदू, रेषा आणि प्रतल आठवतात. भूमितीच्या ह्या तीन मूलभूत कल्पना.

सोपी व्याख्या

बिंदूला (point) लांबी, रुंदी, जाडी नसते. रेषा (line) दोन्ही बाजूंना अनंत असते. प्रतल (plane) म्हणजे सर्व बाजूंना अनंत असलेला सपाट पृष्ठभाग.

नियम 1 : बिंदू आणि रेषा — बिंदूला इंग्रजी मोठे अक्षर नाव देतात, जसे बिंदू P किंवा बिंदू Q. रेषेच्या दोन्ही टोकांना बाण असतात. तिला त्यावरील कोणत्याही दोन बिंदूंनी (रेषा DE किंवा रेषा ED) किंवा एका लहान अक्षराने (रेषा m) नाव देतात. रेषेवर अनंत बिंदू असतात.

  • सोपे : कागदावर दोन बिंदू A आणि B खूण करा.
  • मध्यम : K आणि L मधून जाणारी रेषा रेषा KL, रेषा LK किंवा रेषा n म्हणता येते.
  • परीक्षेसाठी : दोन दिलेल्या बिंदूंतून नेमकी एकच रेषा जाते, पण एका बिंदूतून अनंत रेषा जातात.

नियम 2 : प्रतल आणि मिती — प्रतलाला मोठ्या अक्षराने नाव देतात, जसे प्रतल M. बिंदूला कोणतीही मिती नसते, रेषेला एक मिती (लांबी) असते आणि प्रतलाला दोन मिती (लांबी आणि रुंदी) असतात.

  • सोपे : सभागृहाची जमीन प्रतलाचा एक भाग आहे.
  • मध्यम : वहीचे पान प्रतलाचा फक्त एक भाग आहे, कारण प्रतलाला कडा नसतात.
  • परीक्षेसाठी : रेषा अनंत असल्याने ती कागदावर पूर्ण काढता येत नाही; आपण बाणांसह तिचा भाग काढतो.
लक्षात ठेवा

बिंदू : आकार नाही. रेषा : अनंत, 1 मिती. प्रतल : सपाट, अनंत, 2 मिती.

सामान्य चूक

बाणांपाशी रेषा संपते असे समजणे. बाण दाखवतात की ती कायम पुढे जाते.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "बिंदू ०, रेषा १, प्रतल २ (मिती)".

फरक ओळखा

कल्पनामिती
बिंदू0
रेषा1
प्रतल2

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1ज्याला लांबी, रुंदी, जाडी नसते ते काय?
  2. 2बिंदूला नाव कसे देतात?
  3. 3रेषेला किती बाण असतात?
मध्यम
  1. 4K आणि L मधून जाणाऱ्या रेषेला दोन प्रकारे नाव द्या.
  2. 5दोन दिलेल्या बिंदूंतून किती रेषा जातात?
  3. 6एका दिलेल्या बिंदूतून किती रेषा जातात?
आव्हानात्मक
  1. 7फळा हे प्रतल आहे का?
  2. 8आपण पूर्ण रेषा कागदावर का काढू शकत नाही?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1बिंदू.
  2. 2मोठ्या अक्षराने.
  3. 3दोन, प्रत्येक टोकाला एक.
  4. 4रेषा KL आणि रेषा LK.
  5. 5नेमकी एक.
  6. 6अनंत.
  7. 7तो प्रतलाचा फक्त एक भाग आहे.
  8. 8रेषा दोन्ही बाजूंना अनंत असते.

एकरेषीय बिंदू, रेषाखंड आणि किरण

रोजच्या जीवनातून

सरळ रस्त्यावरचे मैलाचे दगड एकरेषीय असतात. दोन दगडांमधील रस्ता म्हणजे रेषाखंड आणि बॅटरीतून निघणारा प्रकाशझोत म्हणजे किरण.

सोपी व्याख्या

एकाच रेषेवरील बिंदू एकरेषीय (collinear). रेषाखंडाला (line segment) दोन अंत्यबिंदू असतात. किरणाला (ray) एकच प्रारंभबिंदू असतो आणि तो एका दिशेला कायम पुढे जातो.

नियम 1 : एकरेषीय बिंदू — तीन किंवा जास्त बिंदूंतून एकच रेषा जात असेल तर ते एकरेषीय. त्या सर्वांतून एकही रेषा जाऊ शकत नसेल तर ते अएकरेषीय (non-collinear).

  • सोपे : ताणलेल्या दोऱ्यावरील तीन मणी एकरेषीय असतात.
  • मध्यम : त्रिकोणाचे तीन कोपरे अएकरेषीय असतात.
  • परीक्षेसाठी : P, Q, R मध्ये PQ = 3 सेमी, QR = 4 सेमी, PR = 7 सेमी. 3 + 4 = 7 म्हणून Q रेषाखंड PR वर आहे, म्हणजे बिंदू एकरेषीय.

नियम 2 : रेषाखंड आणि किरण — P पासून Q पर्यंतच्या रेषाखंडाला रेषाखंड PQ किंवा QP म्हणतात; P आणि Q त्याचे अंत्यबिंदू. A आणि B मधील सर्व मार्गांत सर्वांत लहान मार्ग म्हणजे रेषाखंड AB. किरण AB A पासून सुरू होऊन B मधून जातो; तो किरण BA सारखा नाही.

  • सोपे : रेषाखंड PQ चे अंत्यबिंदू P आणि Q.
  • मध्यम : किरण AB A पासून सुरू होतो; किरण BA B पासून सुरू होऊन उलट दिशेला जातो.
  • परीक्षेसाठी : आशा A पासून B पर्यंत वाकड्या वाटेने आणि सीमा सरळ रेषाखंड AB ने चालते. सीमाचा मार्ग लहान.
लक्षात ठेवा

एकरेषीय = एका रेषेवर. रेषाखंड = 2 अंत्यबिंदू. किरण = 1 प्रारंभबिंदू.

सामान्य चूक

किरण AB आणि किरण BA एकच समजणे. त्यांचे प्रारंभबिंदू वेगळे असतात.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "रेषाखंड = दोन टोके; किरण = एक टोक".

फरक ओळखा

आकृतीटोके
रेषानाही
किरण1
रेषाखंड2

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1एकरेषीय बिंदू म्हणजे काय?
  2. 2रेषाखंड PQ चे अंत्यबिंदू कोणते?
  3. 3किरणाला किती प्रारंभबिंदू असतात?
मध्यम
  1. 4रेषाखंड PQ आणि रेषाखंड QP एकच आहेत का?
  2. 5किरण PQ आणि किरण QP एकच आहेत का?
  3. 6त्रिकोणाचे तीन कोपरे एकरेषीय असतात का?
आव्हानात्मक
  1. 7A आणि B ह्या दोन बिंदूंमधील सर्वांत लहान मार्ग कोणता?
  2. 8बिंदू X, Y, Z मध्ये XY = 5 सेमी, YZ = 2 सेमी, XZ = 7 सेमी. ते एकरेषीय आहेत का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1एकाच रेषेवर असलेले बिंदू.
  2. 2P आणि Q.
  3. 3एक.
  4. 4होय.
  5. 5नाही, ते वेगवेगळ्या बिंदूंपासून सुरू होतात.
  6. 6नाही, ते अएकरेषीय असतात.
  7. 7रेषाखंड AB.
  8. 8होय, कारण 5 + 2 = 7, म्हणून Y रेषाखंड XZ वर आहे.

कोन आणि त्याचे भाग

रोजच्या जीवनातून

कात्रीची दोन पाती एका बिंदूत मिळतात आणि उघडून कोन बनवतात. प्रत्येक कोनाला दोन बाहू आणि एक मिलनबिंदू असतो.

सोपी व्याख्या

एका सामाईक प्रारंभबिंदूच्या दोन किरणांनी कोन (angle) बनतो. किरण म्हणजे बाहू (arms) आणि सामाईक बिंदू शिरोबिंदू (vertex).

नियम 1 : कोनाला नाव देणे — ∠PQR मध्ये शिरोबिंदू Q आणि बाहू किरण QP व किरण QR. कोन ∠PQR किंवा ∠RQP असा लिहितात, शिरोबिंदूचे अक्षर मध्ये. Q वर एकच कोन असेल तर ∠Q असेही लिहिता येते.

Angles at a pointRays MK and ML start at point M.KLM

आकृतीत : आकृतीत शिरोबिंदू M आणि बाहू किरण ML व किरण MK. कोन ∠KML किंवा ∠LMK असा लिहितात, शिरोबिंदूचे अक्षर मध्ये.

  • सोपे : ∠XYZ मध्ये शिरोबिंदू Y.
  • मध्यम : ∠XYZ आणि ∠ZYX ही एकाच कोनाची दोन नावे आहेत.
  • परीक्षेसाठी : किरण BA, BC, BD B पासून सुरू होतात, म्हणून ∠B अस्पष्ट ठरेल. त्यांना ∠ABC, ∠ABD, ∠CBD अशी नावे द्या.

नियम 2 : अंतर्भाग आणि बहिर्भाग — बिंदू कोनाच्या अंतर्भागात (interior), बहिर्भागात (exterior) किंवा कोनावर (एखाद्या बाहूवर) असू शकतो.

  • सोपे : दोन बाहूंच्या मधला बिंदू अंतर्भागात.
  • मध्यम : किरण QP वरचा बिंदू कोनावर.
  • परीक्षेसाठी : दोन्ही बाहूंच्या उघडणीच्या बाहेरील बिंदू कोनाच्या बहिर्भागात.
लक्षात ठेवा

दोन किरण + सामाईक शिरोबिंदू = कोन. शिरोबिंदूचे अक्षर मध्ये.

सामान्य चूक

शिरोबिंदू Q असलेल्या कोनाला ∠QPR लिहिणे. Q मध्ये हवा : ∠PQR.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "शिरोबिंदू नेहमी मधला".

फरक ओळखा

भाग∠PQR मध्ये
शिरोबिंदूQ
बाहूकिरण QP, किरण QR

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1∠PQR चा शिरोबिंदू कोणता?
  2. 2∠PQR चे बाहू सांगा.
  3. 3∠PQR चे दुसरे नाव सांगा.
मध्यम
  1. 4शिरोबिंदूचे अक्षर मध्ये का लिहितात?
  2. 5किरण BA, BC, BD B पासून सुरू होतात. त्यांच्या जोड्या किती कोन बनवतात?
  3. 6दोन बाहूंमधला बिंदू कुठे असतो?
आव्हानात्मक
  1. 7शिरोबिंदू M आणि बाहू किरण ML व किरण MK असलेल्या कोनाचे नाव सांगा.
  2. 8B पासून तीन किरण सुरू होत असताना फक्त ∠B लिहिता येते का? का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1Q.
  2. 2किरण QP आणि किरण QR.
  3. 3∠RQP.
  4. 4कोणता कोन म्हणायचा आहे ते स्पष्ट दिसायला.
  5. 5तीन : ∠ABC, ∠ABD, ∠CBD.
  6. 6कोनाच्या अंतर्भागात.
  7. 7∠KML (किंवा ∠LMK).
  8. 8नाही, कोणता कोन ते कळणार नाही.

कोनांचे प्रकार

रोजच्या जीवनातून

मिटलेला पंखा, अर्धे उघडलेले पुस्तक आणि पूर्ण उघडलेला दरवाजा वेगवेगळ्या आकाराचे कोन दाखवतात. कोन किती रुंद आहे त्यावरून त्यांची नावे, अंशांत (°).

सोपी व्याख्या

कोनांची नावे त्यांच्या मापावरून : शून्य, लघु, काटकोन, विशाल, सरळ, प्रवृद्ध, पूर्ण.

नियम 1 : शून्य, लघु, काटकोन, विशाल — शून्य कोन (zero angle) = 0°. लघुकोन (acute angle) 0° पेक्षा मोठा आणि 90° पेक्षा लहान. काटकोन (right angle) = 90°. विशालकोन (obtuse angle) 90° पेक्षा मोठा आणि 180° पेक्षा लहान.

Angles at a pointRays OA, OB, OC and OD start at point O. Angle AOB is 30°. Angle BOC is a right angle. Angle COD is 115°.ABCD30°115°O

आकृतीत : आकृतीत ∠AOB = 30° हा लघुकोन, ∠BOC = 90° हा काटकोन आणि ∠COD = 115° हा विशालकोन आहे.

Live आकृती

कोनांचे प्रकार

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : 35° हा लघुकोन.
  • मध्यम : 100° हा विशालकोन.
  • परीक्षेसाठी : 90° काटकोन, पण 91° आधीच विशालकोन.

नियम 2 : सरळ, प्रवृद्ध, पूर्ण — सरळ कोन (straight angle) = 180°, दोन कडांनी बनलेली सरळ रेषा. प्रवृद्ध कोन (reflex angle) 180° पेक्षा मोठा आणि 360° पेक्षा लहान. पूर्ण कोन (complete angle) = 360°, जेव्हा दोन्ही बाहू पुन्हा एकत्र येतात.

  • सोपे : 180° हा सरळ कोन.
  • मध्यम : 250° हा प्रवृद्ध कोन.
  • परीक्षेसाठी : घड्याळाचा काटा एक पूर्ण फेरी घेतो तेव्हा 360° फिरतो, म्हणजे पूर्ण कोन.
लक्षात ठेवा

0° शून्य, 90° पेक्षा कमी लघु, 90° काटकोन, 90°–180° विशाल, 180° सरळ, 180°–360° प्रवृद्ध, 360° पूर्ण.

सामान्य चूक

180° ला विशालकोन म्हणणे. तो नेमका सरळ कोन आहे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "लघु < काटकोन < विशाल < सरळ < प्रवृद्ध < पूर्ण".

फरक ओळखा

कोनाचा प्रकारमाप
लघु0° to 90°
काटकोन90°
विशाल90° to 180°
सरळ180°

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 125° चे वर्गीकरण करा.
  2. 290° चे वर्गीकरण करा.
  3. 3120° चे वर्गीकरण करा.
मध्यम
  1. 4180° चे वर्गीकरण करा.
  2. 5300° चे वर्गीकरण करा.
  3. 6360° चे वर्गीकरण करा.
आव्हानात्मक
  1. 7कोन 90° पेक्षा मोठा आणि 180° पेक्षा लहान आहे. तो कोणता प्रकार?
  2. 891° लघु की विशाल? का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1लघुकोन.
  2. 2काटकोन.
  3. 3विशालकोन.
  4. 4सरळ कोन.
  5. 5प्रवृद्ध कोन.
  6. 6पूर्ण कोन.
  7. 7विशालकोन.
  8. 8विशाल, कारण तो 90° पेक्षा मोठा आहे.

कोनमापांचा उपयोग

रोजच्या जीवनातून

घड्याळाचे काटे दर तासाला वेगळा कोन करतात. कोनमापे वापरून आपण ते कोन ओळखतो आणि हरवलेले कोन काढतो.

सोपी व्याख्या

सरळ कोन 180° (2 काटकोन) आणि पूर्ण कोन 360° (4 काटकोन). सरळ रेषेवरील कोनांची बेरीज 180°; एका बिंदूभोवतीच्या कोनांची बेरीज 360°.

नियम 1 : वर्गीकरण आणि घड्याळ — 62° लघु, 130° विशाल आणि 200° प्रवृद्ध. घड्याळात प्रत्येक तास 30°. 12 वाजता शून्य कोन, 2 वाजता लघुकोन (60°), 3 वाजता काटकोन, 4 वाजता विशालकोन (120°) आणि 6 वाजता सरळ कोन.

  • सोपे : तीन काटकोन 3 × 90° = 270°, प्रवृद्ध कोन.
  • मध्यम : सरळ कोनाचे 4 समान भाग केले तर प्रत्येकी 180° ÷ 4 = 45°.
  • परीक्षेसाठी : 5 वाजता कोन 5 × 30° = 150°, विशालकोन.

नियम 2 : सरळ रेषेवरील कोन — सरळ रेषेच्या एका बाजूचे कोन मिळून 180°. 65° + x = 180° असेल तर x = 180° − 65° = 115°.

Angles at a pointRays OA, OB and OC start at point O. Angle AOB is 48°. Angle BOC is marked x.ABC48°xO

आकृतीत : आकृतीत 48° + x = 180°, म्हणून x = 132°.

  • सोपे : 70° + x = 180° वरून x = 110°.
  • मध्यम : 110° + y = 180° वरून y = 70°.
  • परीक्षेसाठी : सरळ रेषेवरील दोन कोन x आणि 2x. मग 3x = 180°, म्हणून x = 60° आणि दुसरा 120°.

नियम 3 : बिंदूभोवतीचे कोन — बिंदूभोवतीचे कोन मिळून 360°. 120° + 100° + z = 360° असेल तर z = 360° − 220° = 140°.

Angles at a pointRays OA, OB and OC start at point O. Angle AOB is 100°. Angle BOC is a right angle. Angle COA is marked y.ABC100°yO

आकृतीत : आकृतीत बिंदूभोवती 100° + 90° + y = 360°, म्हणून y = 170°.

  • सोपे : बिंदूभोवती तीन काटकोन आणि w : 270° + w = 360°, म्हणून w = 90°.
  • मध्यम : 150° + 90° + y = 360° वरून y = 120°.
  • परीक्षेसाठी : बिंदूभोवती कोन 80°, 95° आणि u : u = 360° − 175° = 185°, प्रवृद्ध कोन.
लक्षात ठेवा

सरळ रेषा : 180°. बिंदूभोवती : 360°. घड्याळात प्रत्येक तास : 30°.

सामान्य चूक

सरळ रेषेवरील कोनांसाठी 360° वापरणे. तिथे 180° असतात.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "रेषेवर १८०, बिंदूभोवती ३६०".

फरक ओळखा

प्रसंगकोनांची बेरीज
सरळ रेषेवर180°
बिंदूभोवती360°
घड्याळातील प्रत्येक तास30°

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 162° चे वर्गीकरण करा.
  2. 2200° चे वर्गीकरण करा.
  3. 3सरळ कोनात किती काटकोन असतात?
मध्यम
  1. 4x + 70° = 180° असेल तर x काढा.
  2. 5बिंदूभोवती 150°, 90° आणि y बसतात. y काढा.
  3. 64 वाजता घड्याळाचे काटे किती कोन करतात? कोणता प्रकार?
आव्हानात्मक
  1. 7सरळ कोनाचे तीन समान भाग केले. प्रत्येक भाग आणि त्याचा प्रकार सांगा.
  2. 8असा लघुकोन शोधा की त्याचे 2, 3 आणि 4 पट लघु आणि 5 पट विशाल असतील.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1लघुकोन.
  2. 2प्रवृद्ध कोन.
  3. 3दोन.
  4. 4110°.
  5. 5360° − 240° = 120°.
  6. 64 × 30° = 120°, विशालकोन.
  7. 7180° ÷ 3 = 60°, लघुकोन.
  8. 819° : 38°, 57°, 76° लघु आणि 95° विशाल.

झटपट उजळणी

  • बिंदू (आकार नाही), रेषा (दोन्ही बाजूंनी अनंत), प्रतल (सपाट, सर्व बाजूंनी अनंत); रेषाखंडाला दोन अंत्यबिंदू असतात; किरणाला एकच सुरुवातीचा बिंदू असतो.
  • कोन = सामाईक शिरोबिंदू असलेले दोन किरण; शिरोबिंदू मधले अक्षर असते.
  • 0° शून्य, 90° पेक्षा कमी लघु, 90° काटकोन, 90°–180° विशाल, 180° सरळ, 180°–360° प्रविशाल, 360° पूर्ण.