मिळवून-वजा करून होणारे नमुने
दर रविवारी मीना मागच्या आठवड्यापेक्षा ₹ 5 जास्त साठवते : ₹ 7, ₹ 12, ₹ 17, ₹ 22. ती एका नियमाने जाते, म्हणून तिला न विचारता पुढे काय येईल ते सांगता येते. हा संख्यांचा नमुना.
नमुना (pattern) म्हणजे नियमाने जाणारी संख्या किंवा आकारांची यादी. नियम शोधण्यासाठी शेजारच्या संख्यांतील फरक पाहा. फरक प्रत्येक वेळी सारखा असेल तर नियम "ती संख्या मिळवा" किंवा "वजा करा".
आकृतीत : नियम 3 मिळवा : 3, 6, 9, 12, 15.
नियम 1 : नियम शोधा — संख्येला पुढच्या संख्येतून वजा करा. उत्तर सर्वत्र सारखे असेल तर तोच नियम.
- सोपे : 7, 12, 17, 22 → 5 मिळवा, म्हणून पुढची 27.
- मध्यम : 90, 83, 76, 69 → 7 वजा करा, म्हणून पुढची 62.
- परीक्षेसाठी : 5, 9, __, 17 → 4 मिळवा, म्हणून हरवलेली संख्या 13.
नियम 2 : दूरच्या संख्या — पहिली संख्या नियमाच्या संख्येइतकी असेल तर n वी संख्या = पहिली × n. नाहीतर n वी = पहिली + (n − 1) × नियम.
- सोपे : 6, 12, 18, ... 10 वी संख्या 6 × 10 = 60.
- मध्यम : 5, 8, 11, 14, ... 10 वी संख्या 5 + 9 × 3 = 32.
- परीक्षेसाठी : तपासा : 32 − 5 = 27 आणि 27 ÷ 9 = 3, नियमाची संख्या.
नमुना वर किंवा खाली जाऊ शकतो. नियम मिळवा किंवा वजा करा असू शकतो.
फक्त पहिल्या दोन संख्या पाहणे. नियम सर्व शेजारच्या संख्यांवर तपासा.
आठवणीची युक्ती : पुढची वजा ही = नियम.
फरक ओळखा
| नमुना | नियम |
|---|---|
| 7, 12, 17 | 5 मिळवा |
| 90, 83, 76 | 7 वजा करा |
| 6, 12, 18 | 6 मिळवा |
सरावासाठी प्रश्न
- 1पुढची संख्या शोधा : 7, 12, 17, 22, __.
- 2पुढची संख्या शोधा : 90, 83, 76, 69, __.
- 3पुढची संख्या शोधा : 4, 8, 12, 16, __.
- 4हरवलेली संख्या शोधा : 5, 9, __, 17.
- 56, 12, 18, ... ची 10 वी संख्या शोधा.
- 65, 8, 11, 14, ... ची 10 वी संख्या शोधा.
- 7टाकीत 100 लिटर पाणी आहे आणि दर तासाला 8 लिटर कमी होते. पहिल्या पाच संख्या लिहा.
- 8राजू म्हणतो 2, 5, 9, 14 चा नियम 3 मिळवा आहे. तो बरोबर आहे का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 127
- 262
- 320
- 413
- 560
- 65 + 9 × 3 = 32
- 7100, 92, 84, 76, 68
- 8नाही. फरक 3, 4, 5 आहेत, म्हणजे फरक प्रत्येक वेळी 1 ने वाढतो.
गुणाकार-भागाकाराचे नमुने
अफवा पसरते : 1 जण 3 जणांना सांगतो, त्या प्रत्येकाने आणखी 3 जणांना. 1, 3, 9, 27 या संख्या गुणाकाराने वाढतात. काही गोष्टी भागाकाराने कमी होतात, जसा पिझ्झा पुन्हा पुन्हा निम्मा कापला जातो.
काही नमुन्यांत प्रत्येक संख्येला त्याच संख्येने गुणून पुढची मिळते. इतरांत भागून. आधीच्या संख्येने भागून नियम शोधा.
आकृतीत : दुप्पट करणे : 2, 4, 8, 16, 32.
नियम 1 : गुणाकाराचे नमुने — पुढची संख्या ÷ ही संख्या = गुणक.
- सोपे : 5, 10, 20, 40, 80 प्रत्येक वेळी दुप्पट होते.
- मध्यम : 2, 6, 18, 54 ला 3 ने गुणले जाते.
- परीक्षेसाठी : खाऊचे ₹ 1 रोज दुप्पट : 10 व्या दिवशी ₹ 512 (1 ला 9 वेळा दुप्पट).
नियम 2 : भागाकार आणि मिश्र नमुने — भागाकार : प्रत्येक संख्येला त्याच संख्येने भागतात. मिश्र : प्रत्येक वेळी दोन पायऱ्या.
- सोपे : 640, 320, 160, 80, 40, 20 प्रत्येक वेळी निम्मे (÷ 2).
- मध्यम : 243, 81, 27, 9 ला 3 ने भागतात; पुढची 3.
- परीक्षेसाठी : "3 ने गुणा, 1 वजा करा" 2 पासून : 2, 5, 14, 41.
गुणाकाराचे नमुने खूप वेगाने वाढतात. रोप 5, 10, 20, 40 सेमी असे चार आठवड्यांत दुप्पट वाढते.
गुणाकाराचा नमुना असताना मिळवा असा नियम लावणे. 2, 6, 18 म्हणजे "4 मिळवा" नाही.
आठवणीची युक्ती : फरक सारखा → मिळवा/वजा; भागाकार सारखा → गुणा/भागा.
फरक ओळखा
| नमुना | नियम |
|---|---|
| 5, 10, 20, 40 | × 2 |
| 243, 81, 27, 9 | ÷ 3 |
| 2, 5, 14, 41 | × 3, − 1 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1पुढची संख्या शोधा : 5, 10, 20, 40, __.
- 2पुढची संख्या शोधा : 2, 6, 18, 54, __.
- 3पुढची संख्या शोधा : 243, 81, 27, 9, __.
- 4नियम शोधा : 640, 320, 160, 80.
- 5रोप 5 सेमी उंच आहे आणि दर आठवड्याला दुप्पट होते. 4 आठवड्यांनी उंची किती?
- 6"3 ने गुणा, 1 वजा करा" हा नियम 2 पासून. चार संख्या लिहा.
- 7₹ 1 रोज दुप्पट होते. दहाव्या दिवशी किती?
- 8सीता म्हणते 2, 6, 18 "4 मिळवा" असे आहे. तिला दुरुस्त करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 180
- 2162
- 33
- 42 ने भागा
- 55, 10, 20, 40, 80 → 4 आठवड्यांनी 80 सेमी
- 62, 5, 14, 41
- 7₹ 512
- 82 + 4 = 6 पण 6 + 4 = 10, 18 नाही. नियम × 3 आहे.
वाढत जाणारे आकृती नमुने
काड्यांच्या रांगोळी किंवा घरांची रांग करताना प्रत्येक नवीन घराला काही काड्या जास्त लागतात. प्रत्येक नवीन आकृती किती वाढते ते कळले की चित्र न काढता कोणतीही आकृती काढता येते.
वाढणाऱ्या आकारांच्या नमुन्याचा नियम : प्रत्येक आकृती किती वाढते (पायरी) ते मोजा, मग पहिली आकृती निश्चित करा. काड्या = पायरी × आकृती क्रमांक + (पहिली − पायरी).
आकृतीत : काड्यांचे त्रिकोण : 3, 5, 7 काड्या, म्हणून प्रत्येक त्रिकोण 2 वाढवतो.
नियम 1 : रांगेत त्रिकोण — काड्या = 2 × n + 1.
- सोपे : 15 त्रिकोणांना 2 × 15 + 1 = 31 काड्या लागतात.
- मध्यम : 12 त्रिकोणांना 25 काड्या लागतात.
- परीक्षेसाठी : 51 काड्यांचे किती त्रिकोण? 2n + 1 = 51, म्हणून n = 25.
नियम 2 : रांगेतील इतर आकार — पंचकोन : 5, 9, 13 → 4n + 1. षटकोन : 6, 11, 16 → 5n + 1.
- सोपे : 10 पंचकोनांना 4 × 10 + 1 = 41 काड्या लागतात.
- मध्यम : 10 षटकोनांना 5 × 10 + 1 = 51 काड्या लागतात.
- परीक्षेसाठी : 41 काड्यांचे (41 − 1) ÷ 4 = 10 पंचकोन.
वाढत जाणारे आकृती नमुने
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाठिपक्यांचे नमुने : 1, 3, 5, 7 (L आकार) हे 2n − 1; 1, 4, 9, 16 हे n × n.
"+1" विसरणे कारण पहिल्या आकाराला सर्व काड्या लागतात. नियम आकृती 1 वर तपासा.
आठवणीची युक्ती : पायरी शोधा, मग आकृती 1 वर तपासा.
फरक ओळखा
| रांगेतील आकार | n साठी काड्या |
|---|---|
| त्रिकोण | 2n + 1 |
| पंचकोन | 4n + 1 |
| षटकोन | 5n + 1 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1रांगेतील 15 त्रिकोणांना किती काड्या?
- 2रांगेतील 10 पंचकोनांना किती काड्या?
- 3रांगेतील 10 षटकोनांना किती काड्या?
- 425 पंचकोनांना किती काड्या?
- 551 काड्यांचे किती त्रिकोण?
- 641 काड्यांचे किती पंचकोन?
- 7रांगेतील चौरस 4, 7, 10, 13 काड्या वापरतात. नियम लिहा आणि 20 चौरसांना किती काड्या ते काढा.
- 8अनिल म्हणतो 10 त्रिकोणांना 2 × 10 = 20 काड्या लागतात. त्याला दुरुस्त करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 131
- 241
- 351
- 4101
- 525
- 610
- 73n + 1; 3 × 20 + 1 = 61
- 8तो +1 विसरला : 2 × 10 + 1 = 21 काड्या.
पुनरावृत्ती होणारे नमुने
वाहतूक दिवा लाल, पिवळा, हिरवा, लाल, पिवळा, हिरवा असा पुन्हा पुन्हा येतो. गट कळला तर 100 बदलांनंतर कोणता दिवा येईल ते थांबून न बघताही सांगता येते.
पुनरावृत्ती नमुन्यात एक गट पुन्हा पुन्हा येतो. दूरच्या स्थानाची वस्तू शोधण्यासाठी स्थान क्रमांकाला गटाच्या आकाराने भागा. बाकी गटातील स्थान सांगते. बाकी 0 असेल तर ती गटातील शेवटची वस्तू.
आकृतीत : चार रंग पुन्हा पुन्हा : 15 वे स्थान म्हणजे 12 + 3, तिसरा रंग.
नियम 1 : स्थान ÷ गटाचा आकार — बाकी गटातील स्थान देते.
- सोपे : R G B Y पुन्हा पुन्हा : 22 ÷ 4 = 5 बाकी 2, म्हणून 22 वा G.
- मध्यम : 40 वा : 40 ÷ 4 = 10 बाकी 0, म्हणून शेवटची वस्तू Y.
- परीक्षेसाठी : मणी ● ● ○ पुन्हा पुन्हा : 50 वा मणी 50 ÷ 3 = 16 बाकी 2, म्हणून ●.
नियम 2 : दिनदर्शिकेचे नमुने — वार दर 7 दिवसांनी पुन्हा येतात. महिने दर 12 ने.
- सोपे : शुक्रवार + 20 दिवस : 20 ÷ 7 = 2 बाकी 6, म्हणून शुक्रवार + 6 = गुरुवार.
- मध्यम : रविवार + 45 दिवस : 45 ÷ 7 = 6 बाकी 3, म्हणून बुधवार.
- परीक्षेसाठी : जानेवारी + 25 महिने : 25 ÷ 12 = 2 बाकी 1, म्हणून फेब्रुवारी.
बाकी म्हणजे गटातील स्थान. बाकी 0 म्हणजे शेवटची वस्तू.
बाकीऐवजी भागाकार वापरणे. 22 ÷ 4 = 5 हे स्थान नाही.
आठवणीची युक्ती : बाकी स्थान सांगते, शून्य म्हणजे शेवटचे.
फरक ओळखा
| स्थान | R G B Y मधील वस्तू |
|---|---|
| 22 | G (बाकी 2) |
| 25 | R (बाकी 1) |
| 40 | Y (बाकी 0) |
सरावासाठी प्रश्न
- 1R G B Y पुन्हा पुन्हा आल्यास 22 वा कोणता?
- 2R G B Y पुन्हा पुन्हा आल्यास 25 वा कोणता?
- 3R G B Y पुन्हा पुन्हा आल्यास 40 वा कोणता?
- 4मणी लाल, निळा, हिरवा पुन्हा पुन्हा येतात. 100 वा कोणता?
- 5आज शुक्रवार आहे. 20 दिवसांनी कोणता वार?
- 6आज रविवार आहे. 45 दिवसांनी कोणता वार?
- 7जानेवारीनंतर 25 व्या महिन्यात कोणता महिना?
- 8मीना म्हणते R G B Y चा 22 वा म्हणजे 5 वा, कारण 22 ÷ 4 = 5. चूक काय?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1G
- 2R (25 ÷ 4 = 6 बाकी 1)
- 3Y
- 4100 ÷ 3 = 33 बाकी 1, म्हणून लाल.
- 5गुरुवार
- 6बुधवार
- 7फेब्रुवारी
- 8बाकी (2) स्थान देते, म्हणून G.
खास संख्यांचे नमुने
सूर्यफुलातील बिया आणि पाकळ्यांची संख्या विशेष संख्यांच्या नमुन्यांप्रमाणे असते, आणि चौरस फरशीतील टाइलही. काही संख्या नमुन्यांना प्रसिद्ध नावे आहेत.
वर्ग संख्या 1, 4, 9, 16, 25, 36. त्रिकोणी संख्या 1, 3, 6, 10, 15, 21. फिबोनाची संख्या 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 : प्रत्येक आधीच्या दोन संख्यांची बेरीज.
आकृतीत : वर्ग आणि त्रिकोणी संख्यांची ठिपक्यांची चित्रे आणि फिबोनाची नियम.
नियम 1 : वर्ग आणि त्रिकोणी संख्या — वर्ग : n × n. त्रिकोणी : 1 + 2 + ... + n.
- सोपे : 12 वी वर्ग संख्या 12 × 12 = 144.
- मध्यम : 10 वी त्रिकोणी संख्या 1 + 2 + ... + 10 = 55.
- परीक्षेसाठी : पहिल्या 8 विषम संख्यांची बेरीज 8 × 8 = 64 (1 + 3 + ... + 15).
नियम 2 : फिबोनाची आणि जोड्या — फिबोनाची : शेवटच्या दोन संख्या मिळवा. जोड्या : प्रत्येक जोडीत पहिली + शेवटची.
- सोपे : 21 नंतर 13 + 21 = 34, मग 21 + 34 = 55.
- मध्यम : 1 + 2 + ... + 20 = 21 च्या 10 जोड्या = 210.
- परीक्षेसाठी : 1 + 2 + ... + 100 = 101 च्या 50 जोड्या = 5,050.
स्थान n सह नियम : 3, 7, 11, 15 हे 4n − 1; 10 वी संख्या 4 × 10 − 1 = 39.
फिबोनाची 1, 1 ऐवजी 1, 2 ने सुरू करणे. दोन्ही सुरुवातीच्या संख्या 1 आहेत.
आठवणीची युक्ती : फिबोनाची : शेवटच्या दोन मिळवा; वर्ग : n गुणिले n.
फरक ओळखा
| नाव | संख्या |
|---|---|
| वर्ग | 1, 4, 9, 16, 25 |
| त्रिकोणी | 1, 3, 6, 10, 15 |
| फिबोनाची | 1, 1, 2, 3, 5, 8 |
सरावासाठी प्रश्न
- 112 वी वर्ग संख्या लिहा.
- 210 वी त्रिकोणी संख्या लिहा.
- 321 नंतरच्या दोन फिबोनाची संख्या शोधा.
- 4भरा : 1, 1, 2, 3, __, 8.
- 51 + 3 + 5 + 7 + 9 काढा.
- 6जोड्या लावून 1 + 2 + 3 + ... + 20 काढा.
- 71 + 2 + 3 + ... + 100 काढा.
- 8नियम : 3, 7, 11, 15, ... हे 4n − 1 आहे. 10 वी संख्या काढा आणि वारंवार 4 मिळवून तपासा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1144
- 255
- 334, 55
- 45
- 525 (5 × 5)
- 621 च्या 10 जोड्या = 210
- 750 × 101 = 5,050
- 84 × 10 − 1 = 39. तपासा : 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39.