K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 5 · गणित

धडा १६: बीजगणिताची पूर्वतयारी

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

अज्ञात संख्यांसाठी अक्षरे

रोजच्या जीवनातून

बिस्किटच्या पुड्यात काही बिस्किटे आहेत, पण किती ते तुम्हाला माहीत नाही. ती संख्या p म्हटली तर 4 पुड्यांत 4p बिस्किटे असतील, p काहीही असो. अक्षर एका संख्येची जागा घेते.

सोपी व्याख्या

बीजगणितात n किंवा x सारखे अक्षर अजून माहीत नसलेल्या संख्येचे प्रतिनिधित्व करते. किंमत बदलू शकणारे अक्षर म्हणजे चल (variable). 5 सारखी साधी संख्या म्हणजे स्थिरांक (constant). 5y मध्ये 5 हा y चा सहगुणक (coefficient) आहे.

n हे अक्षर एक संख्या लपवते; n + 3 ही राशी आहे.nअज्ञात संख्या+ 3n + 3राशी

आकृतीत : अक्षर n संख्या लपवते; n + 3 ही राशी (expression) आहे.

नियम 1 : अक्षरांनी लिहिणे — 3 × n हे 3n असे आणि n ÷ 4 हे n/4 असे लिहितात.

  • सोपे : एक वही ₹ x ची. 5 वह्या 5x रुपयांच्या.
  • मध्यम : माझे वय n वर्षे. 3 वर्षांनी ते n + 3.
  • परीक्षेसाठी : n गोळ्या 4 मुलांमध्ये वाटल्या : प्रत्येकाला n/4.

नियम 2 : चल, स्थिरांक, सहगुणक — 7y + 9 मध्ये : y चल, 7 सहगुणक, 9 स्थिरांक.

  • सोपे : 5y मध्ये सहगुणक 5.
  • मध्यम : 2x + 6 मध्ये : सहगुणक 2, स्थिरांक 6.
  • परीक्षेसाठी : 4m म्हणजे 4 × m; ती 4 आणि m शेजारी शेजारी असलेली संख्या नाही.
लक्षात ठेवा

अक्षर संख्येचे प्रतिनिधित्व करते. आपण कोणतेही अक्षर वापरू शकतो : n, x, p, y.

सामान्य चूक

n + 3 ही एकच संख्या आहे असे समजणे. n बदलला की ही राशी बदलते.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : अक्षर = कुलूप; आतली संख्या म्हणजे किल्ली.

फरक ओळखा

शब्दअर्थ
चलकिंमत बदलणारे अक्षर
स्थिरांकठरलेली संख्या
सहगुणकअक्षराला गुणणारी संख्या

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1वही ₹ x ची. 5 वह्यांची किंमत लिहा.
  2. 2माझे वय n वर्षे. 3 वर्षांनंतरचे वय लिहा.
  3. 3n गोळ्या 4 मुलांत वाटल्या. प्रत्येकाला किती?
मध्यम
  1. 45y मधील सहगुणक कोणता?
  2. 57y + 9 मधील चल, सहगुणक आणि स्थिरांक सांगा.
  3. 6पुड्यात p बिस्किटे आहेत. 4 आणि 10 पुड्यांत किती बिस्किटे?
आव्हानात्मक
  1. 7"संख्या x ला 6 ने भागले" हे बीजगणितात लिहा.
  2. 8राजू म्हणतो 3n ही 30 आणि 39 मधील संख्या आहे. त्याची चूक काय?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 15x
  2. 2n + 3
  3. 3n/4
  4. 45
  5. 5y; 7; 9
  6. 64p आणि 10p
  7. 7x/6
  8. 83n म्हणजे 3 × n. ती "3 आणि n शेजारी लिहिलेली" संख्या नाही.

शब्दांवरून राशी लिहिणे

रोजच्या जीवनातून

"रवीकडे सीतापेक्षा 7 गोट्या जास्त आहेत" हे सीताकडे s गोट्या असतील तर s + 7 होते. बीजगणित म्हणजे संख्यांच्या वाक्यांचे संक्षिप्त रूप.

सोपी व्याख्या

शब्दांवरून राशी लिहिताना मुख्य शब्द शोधा : बेरीज, जास्त, वाढवले → +; कमी, घटवले → −; दुप्पट, तिप्पट, पट → ×; निम्मे, एक-चतुर्थांश, वाटले → ÷.

शब्द आणि त्यांना जुळणारी बीजगणितीय राशी.n पेक्षा 3 जास्तn + 3n पेक्षा 3 कमीn − 3n चे 3 पट3nn ला 3 ने भागणेn/3

आकृतीत : शब्द आणि त्यांना जुळणारी बीजगणिती राशी.

नियम 1 : एका पायरीचे वाक्य — मुख्य शब्द शोधा आणि योग्य चिन्ह लिहा.

  • सोपे : "y मध्ये 9 वाढवले" म्हणजे y + 9.
  • मध्यम : "m पेक्षा 6 कमी" म्हणजे m − 6 (6 − m नाही).
  • परीक्षेसाठी : "p चा एक-चतुर्थांश" म्हणजे p/4 आणि "k चा तिप्पट" म्हणजे 3k.

नियम 2 : दोन पायऱ्यांची वाक्ये आणि सूत्रे — शब्दांच्या क्रमाने आधी पहिली क्रिया, मग दुसरी लिहा.

  • सोपे : "संख्येच्या दुप्पटीपेक्षा 3 जास्त" म्हणजे 2n + 3.
  • मध्यम : "संख्येच्या तिप्पटीपेक्षा 5 कमी" म्हणजे 3n − 5.
  • परीक्षेसाठी : बाजू a असलेला समभुज त्रिकोण : परिमिती 3a. ल × रु आयत : क्षेत्रफळ lb.
लक्षात ठेवा

वजाबाकीत क्रम महत्त्वाचा : m − 6 आणि 6 − m वेगळे आहेत.

सामान्य चूक

"m पेक्षा 6 कमी" हे 6 − m लिहिणे. m पासून सुरुवात करा, मग 6 वजा करा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "पेक्षा कमी" उलटे लिहितात : m पेक्षा 6 कमी = m − 6.

फरक ओळखा

शब्दराशी
y मध्ये 9 वाढवलेy + 9
m पेक्षा 6 कमीm − 6
k चा तिप्पट3k

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1"y मध्ये 9 वाढवले" लिहा.
  2. 2"m पेक्षा 6 कमी" लिहा.
  3. 3"k चा तिप्पट" लिहा.
मध्यम
  1. 4"p चा एक-चतुर्थांश" लिहा.
  2. 5"संख्या n च्या दुप्पटीपेक्षा 3 जास्त" लिहा.
  3. 6"संख्या n च्या तिप्पटीपेक्षा 5 कमी" लिहा.
आव्हानात्मक
  1. 7बाजू a असलेल्या समभुज त्रिकोणाची परिमिती लिहा.
  2. 8मीना "m पेक्षा 6 कमी" हे 6 − m लिहिते. तिला दुरुस्त करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1y + 9
  2. 2m − 6
  3. 33k
  4. 4p/4
  5. 52n + 3
  6. 63n − 5
  7. 73a
  8. 8m पासून सुरुवात करा आणि 6 वजा करा : m − 6.

राशीची किंमत काढणे

रोजच्या जीवनातून

दुकान प्रत्येक वहीवर ₹ 10 चे कूपन देते, वहीची किंमत ₹ 3n + 1. दिलेल्या n साठी किंमत काढायला n च्या जागी संख्या घालावी लागते. यालाच राशीची किंमत काढणे म्हणतात.

सोपी व्याख्या

राशीची किंमत काढण्यासाठी अक्षराच्या जागी संख्या घाला आणि हिशेब करा. मिळवण्या-वजा करण्यापूर्वी गुणा-भागा करा.

2n + 3 मध्ये n = 1, 2, 3, 4 घातल्यास 5, 7, 9, 11 मिळतात.राशी 2n + 3n2n + 31527394112 × 3 + 3 = 9

आकृतीत : 2n + 3 मध्ये n = 1, 2, 3, 4 घाला : 5, 7, 9, 11 मिळतात.

नियम 1 : किंमत घाला आणि हिशेब करा — अक्षराच्या जागी संख्या घाला; 3n म्हणजे 3 × n आठवा.

  • सोपे : m = 3 साठी : 4m − 7 = 4 × 3 − 7 = 12 − 7 = 5.
  • मध्यम : n = 5 साठी : 3n + 2 = 15 + 2 = 17.
  • परीक्षेसाठी : x = 12 साठी : x/2 + 5 = 6 + 5 = 11.

नियम 2 : किमतींचा तक्ता — n = 1, 2, 3, 4 एकेक करून घाला.

  • सोपे : n = 1, 2, 3, 4 साठी n + 6 : 7, 8, 9, 10.
  • मध्यम : n = 1, 2, 3, 4 साठी 3n + 1 : 4, 7, 10, 13.
  • परीक्षेसाठी : x = 3 साठी 10 − 2x = 10 − 6 = 4.
लक्षात ठेवा

आधी गुणा, मग मिळवा किंवा वजा करा. 4 × 3 − 7 = 5, 4 × (3 − 7) नाही.

सामान्य चूक

n = 5 असताना 3n ला 35 वाचणे. ते 3 × 5 = 15 आहे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : बदला, मग गुणा, मग मिळवा.

फरक ओळखा

राशीn = 4 साठी किंमत
n + 610
3n + 113
2n + 311

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1m = 3 साठी 4m − 7 काढा.
  2. 2n = 5 साठी 3n + 2 काढा.
  3. 3x = 12 साठी x/2 + 5 काढा.
मध्यम
  1. 4x = 3 साठी 10 − 2x काढा.
  2. 5n = 1, 2, 3, 4 साठी n + 6 चा तक्ता बनवा.
  3. 6n = 1, 2, 3, 4 साठी 3n + 1 चा तक्ता बनवा.
आव्हानात्मक
  1. 7आयताची लांबी l = 8 सेमी आणि रुंदी b = 5 सेमी. क्षेत्रफळ lb आणि परिमिती 2l + 2b काढा.
  2. 8अनिल n = 5 साठी 3n चे उत्तर 35 काढतो. त्याची चूक काय?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 15
  2. 217
  3. 311
  4. 44
  5. 57, 8, 9, 10
  6. 64, 7, 10, 13
  7. 740 सेमी²; 16 + 10 = 26 सेमी
  8. 83n म्हणजे 3 × 5 = 15.

सोपी समीकरणे

रोजच्या जीवनातून

तागडीच्या एका बाजूला पिशवी आणि 5 गोट्या आणि दुसऱ्या बाजूला 12 गोट्या ठेवल्या तर ती समतोल राहते. पिशवीत किती गोट्या ते शोधायला दोन्ही बाजूंमधून 5 काढा.

सोपी व्याख्या

समीकरण (equation) म्हणजे दोन्ही बाजू समान असल्याचे सांगणारे विधान, उदा. x + 5 = 12. एका बाजूला जे कराल ते दुसऱ्या बाजूलाही करा. सोडवण्यासाठी उलटी क्रिया वापरा.

तराजू : x + 5 = 12, म्हणून x = 7.x + 512दोन्ही बाजूंतून 5 वजा करा : x = 7

आकृतीत : तागडी : x + 5 = 12, म्हणून x = 7.

नियम 1 : एका पायरीची समीकरणे — मिळवणे उलटवायला वजा करा. वजा करणे उलटवायला मिळवा. गुणणे उलटवायला भागा. भागणे उलटवायला गुणा.

  • सोपे : y + 8 = 15, म्हणून y = 15 − 8 = 7.
  • मध्यम : m − 6 = 9, म्हणून m = 9 + 6 = 15.
  • परीक्षेसाठी : 4n = 36, म्हणून n = 36 ÷ 4 = 9. आणि k/5 = 6, म्हणून k = 6 × 5 = 30.

नियम 2 : दोन पायऱ्यांची समीकरणे — आधी मिळवणे-वजा करणे उलटवा, मग गुणणे उलटवा. उत्तर परत घालून तपासा.

  • सोपे : 2x + 3 = 11 → 2x = 8 → x = 4.
  • मध्यम : 5x − 4 = 21 → 5x = 25 → x = 5.
  • परीक्षेसाठी : तपासा : 5 × 5 − 4 = 21. डावी बाजू = उजवी बाजू.
Live आकृती

सोपी समीकरणे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

तागडी समतोल ठेवा : दोन्ही बाजूंना सारखेच करा.

सामान्य चूक

क्रिया फक्त एकाच बाजूला करणे. दोन्ही बाजूंना वजा करा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : उलटी क्रिया, दोन्ही बाजू, मग तपासा.

फरक ओळखा

समीकरणउत्तर
y + 8 = 15y = 7
4n = 36n = 9
2x + 3 = 11x = 4

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1सोडवा y + 8 = 15.
  2. 2सोडवा m − 6 = 9.
  3. 3सोडवा 4n = 36.
मध्यम
  1. 4सोडवा k/5 = 6.
  2. 5सोडवा 2x + 3 = 11.
  3. 6सोडवा 5x − 4 = 21 आणि तपासा.
आव्हानात्मक
  1. 7सोडवा 3x + 2 = 20 आणि तपासा.
  2. 8सीता x + 5 = 12 चे उत्तर x = 17 काढते. तिने काय चुकीचे केले?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1y = 7
  2. 2m = 15
  3. 3n = 9
  4. 4k = 30
  5. 5x = 4
  6. 6x = 5; 5 × 5 − 4 = 21
  7. 73x = 18; x = 6; 3 × 6 + 2 = 20
  8. 8तिने 5 मिळवले. वजा करायला हवे : x = 12 − 5 = 7.

संख्यांची कोडी आणि शाब्दिक उदाहरणे

रोजच्या जीवनातून

जादूगार म्हणतो : "एक संख्या मनात धर, तिला तिप्पट कर आणि 2 वजा कर. मला 19 मिळाले." समीकरण लिहून सोडवून किंवा मागे जाऊन तुम्ही ती संख्या शोधू शकता.

सोपी व्याख्या

शाब्दिक उदाहरण सोडवताना : अज्ञात संख्येसाठी अक्षर घ्या, गोष्टीवरून समीकरण लिहा, सोडवा आणि गोष्टीशी पडताळा. फंक्शन मशीन एका नियमाने चालते; इनपुट शोधायला मागे जा.

फंक्शन यंत्र : 6 घातले तर 19 मिळते. उत्तर 19 म्हणजे घातलेली संख्या 6.आत6यंत्र3n + 1बाहेर193 × 6 + 1 = 19

आकृतीत : फंक्शन मशीन : 6 घातले तर 19 मिळते.

नियम 1 : गोष्टीपासून समीकरण — प्रत्येक वाक्य बीजगणितात लिहा, मग सोडवा.

  • सोपे : "संख्येला तिप्पट करून 2 वजा केले, 19 मिळाले" : 3n − 2 = 19 → 3n = 21 → n = 7.
  • मध्यम : "b पेन्सिलींचा डबा आणि 5 सुट्या मिळून 29" : b + 5 = 29 → b = 24.
  • परीक्षेसाठी : "आई रिटापेक्षा 28 वर्षांनी मोठी, आई 40 वर्षांची" : x + 28 = 40 → x = 12.

नियम 2 : क्रमागत संख्या आणि मशीन — क्रमागत संख्या n आणि n + 1. मशीनसाठी उलट क्रियांनी मागे जा.

  • सोपे : n + (n + 1) = 41 → 2n + 1 = 41 → n = 20. संख्या 20 आणि 21.
  • मध्यम : मशीन 4n + 2 चे उत्तर 22 : 22 − 2 = 20; 20 ÷ 4 = 5. इनपुट = 5.
  • परीक्षेसाठी : तपासा : 4 × 5 + 2 = 22.
लक्षात ठेवा

उत्तर फक्त समीकरणात नव्हे, गोष्टीतही तपासा.

सामान्य चूक

2n + 1 = 19 मध्ये मिळवून n = 20 काढणे. 1 वजा करा, मग 2 ने भागा : n = 9.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : विचार – लिहा – सोडवा – तपासा.

फरक ओळखा

पायरीकाय करायचे
1अज्ञातासाठी अक्षर घ्या
2समीकरण लिहा
3सोडवा आणि तपासा

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1मी एक संख्या तिप्पट करून 2 वजा करतो तर 19 मिळते. संख्या शोधा.
  2. 2b पेन्सिलींचा डबा आणि 5 सुट्या मिळून 29 पेन्सिली. b शोधा.
  3. 3आई रिटापेक्षा 28 वर्षांनी मोठी आणि आई 40 वर्षांची. रिटाचे वय शोधा.
मध्यम
  1. 4दोन क्रमागत संख्यांची बेरीज 41 आहे. त्या शोधा.
  2. 5मशीन 4n + 2 चे उत्तर 22 आहे. इनपुट शोधा.
  3. 6लिहा आणि सोडवा : "संख्येला दुप्पट करून 1 मिळवल्यास 19".
आव्हानात्मक
  1. 7मशीन 3n + 1 चे उत्तर 19 आहे. इनपुट शोधा आणि तपासा.
  2. 8राजू 2n + 1 = 19 सोडवून n = 20 काढतो. त्याची चूक आणि बरोबर उत्तर काय?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 17
  2. 224
  3. 312 वर्षे
  4. 420 आणि 21
  5. 55
  6. 62n + 1 = 19; n = 9
  7. 719 − 1 = 18; 18 ÷ 3 = 6. तपासा : 3 × 6 + 1 = 19.
  8. 8त्याने 1 मिळवले. 1 वजा करून 2n = 18, मग भागा : n = 9.