K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 5 · गणित

धडा ८: गुणाकार आणि विभाजक

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

गुणाकार

रोजच्या जीवनातून

एक बस दर 9 मिनिटांनी थांब्यावरून सुटते : 9, 18, 27, 36, 45 मिनिटांनी असे. या वेळा म्हणजे 9 चे पाढे (गुणज).

सोपी व्याख्या

एखाद्या संख्येला 1, 2, 3, 4 अशा संख्यांनी गुणून मिळणारे गुणाकार म्हणजे त्या संख्येचे गुणज (multiple). संख्येचा सर्वांत लहान गुणज ती संख्याच असते. गुणज कधीच संपत नाहीत.

दोन ओळींत 6 आणि 8 चे पहिले पाच गुणाकार. दोन्हींत 24 आहे, तोच लसावि.6 आणि 8 चे गुणाकार×6612182430×8816243240सामाईक गुणाकार : 24 (सर्वात लहान, लसावि)

आकृतीत : 6 आणि 8 चे पहिले पाच गुणज : दोन्ही ओळींत 24 आहे, तो सर्वांत लहान सामाईक गुणज.

नियम 1 : गुणज लिहा — संख्येला क्रमाने 1, 2, 3, 4, ... ने गुणा.

  • सोपे : 7 चे गुणज : 7, 14, 21, 28, 35.
  • मध्यम : 12 चे पहिले पाच गुणज : 12, 24, 36, 48, 60.
  • परीक्षेसाठी : बस 6:00 पासून दर 9 मिनिटांनी सुटते. ती 6:09, 6:18, 6:27, 6:36 आणि 6:45 ला सुटते.

नियम 2 : गुणजाचे गुणज — एखादी संख्या 6 चा गुणज असेल तर ती 3 आणि 2 चाही गुणज असते.

  • सोपे : 18 हा 6 चा गुणज आहे, म्हणून तो 3 चाही गुणज आहे कारण 6 = 3 × 2.
  • मध्यम : 48 हा 12 चा गुणज आहे, म्हणून तो 4 आणि 6 चाही गुणज आहे.
  • परीक्षेसाठी : 20 हा 4 आणि 5 चा गुणज आहे; 100 हा 20 चा गुणज आहे, म्हणून 100 हा 4 आणि 5 चाही गुणज आहे.
लक्षात ठेवा

संख्येचा पहिला गुणज ती संख्याच असते आणि शेवटचा गुणज नसतो.

सामान्य चूक

0 हा पहिला गुणज लिहिणे किंवा गुणज 100 वर संपतात असे म्हणणे. संख्येच्या 1 पटीपासून सुरू करा आणि पुढे चालू ठेवा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : गुणज = त्या संख्येचा पाढा.

फरक ओळखा

संख्यापहिले पाच गुणज
66, 12, 18, 24, 30
88, 16, 24, 32, 40
99, 18, 27, 36, 45

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 17 चे पहिले पाच गुणज लिहा.
  2. 215 चा सर्वांत लहान गुणज कोणता?
  3. 342 हा 6 चा गुणज आहे का?
मध्यम
  1. 450 हा 8 चा गुणज आहे का?
  2. 512 चे 50 पेक्षा लहान गुणज लिहा.
  3. 66 आणि 8 च्या पहिल्या पाच गुणजांत कोणती संख्या दोन्हीत येते?
आव्हानात्मक
  1. 7घंटा दर 8 मिनिटांनी वाजते. पहिल्या 40 मिनिटांत ती कोणत्या मिनिटांना वाजते?
  2. 8अमन म्हणतो 0 हा 5 चा पहिला गुणज आहे. हे बरोबर आहे का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 17, 14, 21, 28, 35
  2. 215
  3. 3होय, 6 × 7 = 42.
  4. 4नाही. 8 × 6 = 48 आणि 8 × 7 = 56.
  5. 512, 24, 36, 48
  6. 624
  7. 78, 16, 24, 32, 40
  8. 8नाही, 5 चा पहिला गुणज 5 च आहे (5 × 1).

विभाजक

रोजच्या जीवनातून

बारा गोट्या 1 ओळीत 12, 2 ओळींत 6, 3 ओळींत 4 अशा मांडता येतात. प्रत्येक ओळींची संख्या 12 ला पूर्ण भागते. त्या संख्या म्हणजे अवयव.

सोपी व्याख्या

संख्येला पूर्ण भागणारी, बाकी न उरवणारी संख्या म्हणजे तिचा अवयव (factor). अवयव जोड्यांत येतात आणि त्यांचा गुणाकार ती संख्या असतो. 1 हा प्रत्येक संख्येचा अवयव असतो आणि प्रत्येक संख्या स्वतःचा सर्वांत मोठा अवयव असते.

12 गोट्या 1×12, 2×6 आणि 3×4 आयतांत मांडल्या; यातून 12 च्या विभाजक जोड्या दिसतात.1 × 122 × 63 × 412 गोट्यांच्या ओळी × स्तंभ12 चे विभाजक : 1, 2, 3, 4, 6, 12

आकृतीत : 12 गोट्या 1×12, 2×6 किंवा 3×4 अशा मांडता येतात; त्यातून अवयवांच्या जोड्या दिसतात.

नियम 1 : अवयवांच्या जोड्या शोधा — 1, 2, 3, ... घेऊन पाहा आणि जी संख्या पूर्ण भागते तिची जोडी लिहा.

  • सोपे : 12 चे अवयव : 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 → 1, 2, 3, 4, 6, 12.
  • मध्यम : 18 चे अवयव : 1 × 18, 2 × 9, 3 × 6 → 1, 2, 3, 6, 9, 18.
  • परीक्षेसाठी : 30 चे अवयव : 1 × 30, 2 × 15, 3 × 10, 5 × 6 → 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Live आकृती

विभाजक

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 2 : अवयव आणि गुणज — 7 हा संख्येचा अवयव असेल तर ती संख्या 7 चा गुणज असते.

  • सोपे : 5 हा 20 चा अवयव आहे कारण 20 ÷ 5 = 4; म्हणून 20 हा 5 चा गुणज आहे.
  • मध्यम : 6 हा 42 चा अवयव आहे, म्हणून 42 हा 6 चा गुणज आहे.
  • परीक्षेसाठी : 9 हा 40 चा अवयव नाही कारण 40 ÷ 9 मध्ये बाकी 4 राहते.
लक्षात ठेवा

संख्येचा प्रत्येक अवयव त्या संख्येपेक्षा मोठा नसतो. अवयव मर्यादित असतात; गुणज अमर्याद.

सामान्य चूक

अवयवाची जोडी विसरणे : 3 × 6 = 18 नंतर 3 आणि 6 दोन्ही लिहायला विसरू नका.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : अवयव थोडे, गुणज अनेक.

फरक ओळखा

संख्याअवयवांच्या जोड्यासर्व अवयव
121×12, 2×6, 3×41, 2, 3, 4, 6, 12
181×18, 2×9, 3×61, 2, 3, 6, 9, 18
241×24, 2×12, 3×8, 4×61, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 14 हा 20 चा अवयव आहे का?
  2. 210 चे सर्व अवयव लिहा.
  3. 318 चे सर्व अवयव लिहा.
मध्यम
  1. 424 चे सर्व अवयव लिहा.
  2. 536 चा सर्वांत लहान आणि सर्वांत मोठा अवयव कोणता?
  3. 69 हा 40 चा अवयव आहे का? का?
आव्हानात्मक
  1. 730 मुलांना समान ओळींत बसवायचे आहे. किती प्रकारे बसवता येईल (ओळी × प्रत्येक ओळीत मुले)?
  2. 8एका संख्येचे अवयव फक्त 1, 2, 4, 8 आणि 16 आहेत. ती संख्या कोणती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1होय, 20 ÷ 4 = 5.
  2. 21, 2, 5, 10
  3. 31, 2, 3, 6, 9, 18
  4. 41, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  5. 51 आणि 36
  6. 6नाही, कारण 40 ÷ 9 मध्ये बाकी 4 राहते.
  7. 71×30, 2×15, 3×10, 5×6 आणि प्रत्येकाचे उलट : 8 रचना.
  8. 816

विभाज्यतेच्या कसोट्या

रोजच्या जीवनातून

मोठ्या जेवणापूर्वी स्वयंपाकी 126 लाडू 3 किंवा 9 मुलांत एकही न फोडता समान वाटतो. लांब भागाकार न करता संख्या पूर्ण भागते का हे झटपट चाचण्यांनी कळते.

सोपी व्याख्या

भाज्यतेच्या कसोट्या (divisibility tests) : 2 ने भाज्य जर शेवटचा अंक 0, 2, 4, 6 किंवा 8 असेल; 5 ने जर शेवट 0 किंवा 5 ने होत असेल; 10 ने जर शेवट 0 ने होत असेल; 3 ने जर अंकांची बेरीज 3 च्या पाढ्यात असेल; 9 ने जर अंकांची बेरीज 9 च्या पाढ्यात असेल.

झटपट कसोट्या : 2, 5, 10 साठी शेवटचा अंक; 3 आणि 9 साठी अंकांची बेरीज.÷ 2शेवटचा अंक 0, 2, 4, 6, 8÷ 5शेवटचा अंक 0 किंवा 5÷ 10शेवटचा अंक 0÷ 3अंकबेरीज 3 च्या पाढ्यात : 123 → 6÷ 9अंकबेरीज 9 च्या पाढ्यात : 729 → 18

आकृतीत : 2, 5 आणि 10 साठी शेवटच्या अंकाच्या कसोट्या आणि 3 व 9 साठी अंकांच्या बेरजेच्या कसोट्या.

नियम 1 : शेवटच्या अंकाच्या कसोट्या — 2, 5 आणि 10 साठी फक्त शेवटचा अंक पाहा.

  • सोपे : 4,320 चा शेवट 0 आहे, म्हणून तो 2, 5 आणि 10 ने भाज्य आहे.
  • मध्यम : 1,235 चा शेवट 5 आहे, म्हणून तो 5 ने भाज्य पण 2 किंवा 10 ने नाही.
  • परीक्षेसाठी : 546 चा शेवट 6 आहे, म्हणून तो 2 ने भाज्य पण 5 किंवा 10 ने नाही.

नियम 2 : अंकांच्या बेरजेच्या कसोट्या — सर्व अंक मिळवा. बेरीज 3 च्या पाढ्यात असेल तर संख्या 3 ने भाज्य; 9 च्या पाढ्यात असेल तर 9 ने.

  • सोपे : 123 : 1 + 2 + 3 = 6, 3 च्या पाढ्यात, म्हणून 3 ने भाज्य.
  • मध्यम : 729 : 7 + 2 + 9 = 18, 9 च्या पाढ्यात, म्हणून 9 ने भाज्य (आणि 3 नेही).
  • परीक्षेसाठी : 546 : 5 + 4 + 6 = 15 ही 3 च्या पाढ्यात पण 9 च्या नाही, म्हणून 546 हा 3 ने भाज्य पण 9 ने नाही.
लक्षात ठेवा

2 आणि 5 दोन्हींनी भाज्य म्हणजे 10 ने भाज्य. 2 आणि 3 दोन्हींनी भाज्य म्हणजे 6 ने भाज्य.

सामान्य चूक

3 च्या चाचणीसाठी शेवटचा अंक वापरणे. 3 आणि 9 साठी सर्व अंक मिळवा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : 2-5-10 साठी शेवट पाहा; 3-9 साठी सर्व अंक मिळवा.

फरक ओळखा

भाजककसोटीExample
2शेवटचा अंक 0, 2, 4, 6, 8748
5शेवटचा अंक 0 किंवा 51,235
3अंकबेरीज 3 च्या पाढ्यात123
9अंकबेरीज 9 च्या पाढ्यात729

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1748 हा 2 ने भाज्य आहे का?
  2. 21,235 हा 5 ने भाज्य आहे का?
  3. 3420 हा 10 ने भाज्य आहे का?
मध्यम
  1. 4123 हा 3 ने भाज्य आहे का?
  2. 5729 हा 9 ने भाज्य आहे का?
  3. 6546 ची 2, 3, 5 आणि 9 ने भाज्यता तपासा.
आव्हानात्मक
  1. 74,320 आणि 4,321 पैकी कोणती 2, 3, 5 आणि 9 ने भाज्य आहे?
  2. 8स्वयंपाक्याकडे 126 लाडू आहेत. तो 3 मुलांत समान वाटू शकतो का? 9 मुलांत?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1होय, शेवट 8 आहे.
  2. 2होय, शेवट 5 आहे.
  3. 3होय, शेवट 0 आहे.
  4. 4होय; 1 + 2 + 3 = 6.
  5. 5होय; 7 + 2 + 9 = 18.
  6. 62 ने : होय; 3 ने : होय (15); 5 ने : नाही; 9 ने : नाही.
  7. 74,320 : शेवट 0 आहे आणि 4 + 3 + 2 + 0 = 9.
  8. 81 + 2 + 6 = 9, म्हणून दोन्हींसाठी होय. 126 ÷ 3 = 42, 126 ÷ 9 = 14.

मूळ आणि संयुक्त संख्या

रोजच्या जीवनातून

शेतकऱ्याला 7 रोपे समान ओळींत लावायची आहेत. तो फक्त 1 ओळीत 7 किंवा 7 ओळींत 1 असे लावू शकतो. फक्त दोनच अवयव असलेली अशी संख्या म्हणजे मूळ संख्या.

सोपी व्याख्या

मूळ संख्येला (prime) फक्त दोनच अवयव असतात, 1 आणि ती स्वतः. संयुक्त संख्येला (composite) दोनपेक्षा जास्त अवयव असतात. 1 ही मूळ किंवा संयुक्त नाही. 2 ही एकमेव सम मूळ संख्या आहे.

1 ते 20 संख्यांमध्ये मूळ संख्या 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 आणि 19 अधोरेखित.1234567891011121314151617181920मूळसंयुक्त1 : दोन्हीही नाहीएकमेव सम मूळ संख्या : 2

आकृतीत : 20 पर्यंतच्या मूळ संख्या रंगवल्या आहेत; 1 ही मूळ किंवा संयुक्त नाही.

नियम 1 : मूळ संख्या ओळखा — 1 आणि ती स्वतः यांच्याशिवाय इतर कोणतीही संख्या तिला भागते का ते पाहा.

  • सोपे : 20 पर्यंतच्या मूळ संख्या : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
  • मध्यम : 21 संयुक्त आहे कारण 21 = 3 × 7 चे अवयव 1, 3, 7, 21 आहेत.
  • परीक्षेसाठी : 20 ते 30 मधील मूळ संख्या : 23 आणि 29. 25, 27, 21 आणि 24 संयुक्त आहेत.
Live आकृती

मूळ आणि संयुक्त संख्या

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 2 : मूळ अवयवांत मांडणी — प्रत्येक संयुक्त संख्या मूळ संख्यांचा गुणाकार म्हणून लिहिता येते.

  • सोपे : 12 = 2 × 2 × 3.
  • मध्यम : 30 = 2 × 3 × 5.
  • परीक्षेसाठी : 36 = 2 × 2 × 3 × 3; 100 = 2 × 2 × 5 × 5.
लक्षात ठेवा

1 ही मूळ संख्या नाही. 2 ही एकमेव सम मूळ संख्या; इतर सर्व सम संख्या संयुक्त आहेत.

सामान्य चूक

1 ला किंवा 9 ला मूळ संख्या म्हणणे. 9 = 3 × 3, म्हणून 9 संयुक्त आहे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : मूळ = फक्त 1 आणि मी.

फरक ओळखा

प्रकारअवयवांची संख्याExample
मूळबरोबर 27
संयुक्त2 पेक्षा जास्त21
दोन्ही नाही11

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 17 मूळ संख्या आहे का?
  2. 221 मूळ की संयुक्त?
  3. 320 पर्यंतच्या सर्व मूळ संख्या लिहा.
मध्यम
  1. 4एकमेव सम मूळ संख्या कोणती?
  2. 51 मूळ की संयुक्त?
  3. 630 मूळ संख्यांच्या गुणाकारात लिहा.
आव्हानात्मक
  1. 720 ते 30 मधील सर्व मूळ संख्या लिहा.
  2. 8मीना म्हणते 9 मूळ आहे कारण ती विषम आहे. ती बरोबर आहे का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1होय; त्याचे अवयव फक्त 1 आणि 7.
  2. 2संयुक्त, 21 = 3 × 7.
  3. 32, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
  4. 42
  5. 5दोन्ही नाही.
  6. 62 × 3 × 5
  7. 723 आणि 29
  8. 8नाही. 9 = 3 × 3 चे अवयव 1, 3, 9 आहेत, म्हणून ती संयुक्त.

सामाईक गुणाकार आणि सामाईक विभाजक

रोजच्या जीवनातून

दोन घंटा वाजतात : एक दर 4 मिनिटांनी, दुसरी दर 10 मिनिटांनी. त्या एकत्र कधी वाजतील? त्यासाठी सामाईक गुणज हवा. दोन दोर सर्वांत लांब समान तुकड्यांत कापायचे असतील तर सामाईक अवयव हवा.

सोपी व्याख्या

सामाईक अवयव दोन्ही संख्यांना भागतो; त्यातला सर्वांत मोठा मसावि (HCF). सामाईक गुणज दोन्ही संख्यांचा गुणज असतो; त्यातला सर्वांत लहान लसावि (LCM).

दोन छेदणारी वर्तुळे 12 आणि 18 चे विभाजक दाखवतात; छेदात सामाईक विभाजक 1, 2, 3, 6 आहेत आणि सर्वात मोठा 6 हा मसावि आहे.12184129181236सामाईक : 1, 2, 3, 6 → मसावि = 6

आकृतीत : 12 आणि 18 च्या अवयवांच्या एकत्र भागात सामाईक अवयव 1, 2, 3, 6 आहेत; सर्वांत मोठा मसावि 6.

नियम 1 : सामाईक अवयव आणि मसावि — दोन्ही संख्यांचे अवयव लिहा आणि दोन्हीत असलेला सर्वांत मोठा निवडा.

  • सोपे : 12 आणि 18 : 12 चे अवयव 1, 2, 3, 4, 6, 12; 18 चे 1, 2, 3, 6, 9, 18; मसावि = 6.
  • मध्यम : 24 आणि 36 : सामाईक अवयव 1, 2, 3, 4, 6, 12; म्हणून मसावि 12.
  • परीक्षेसाठी : 16 मी आणि 40 मी चे दोन दोर सर्वांत लांब समान तुकड्यांत कापायचे : 16 आणि 40 चा मसावि 8 मी.
Live आकृती

सामाईक गुणाकार आणि सामाईक विभाजक

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 2 : सामाईक गुणज आणि लसावि — दोन्हींचे गुणज लिहा आणि दोन्हीत असलेला सर्वांत लहान निवडा.

  • सोपे : 4 आणि 6 : 4 चे गुणज 4, 8, 12, 16; 6 चे 6, 12, 18; लसावि = 12.
  • मध्यम : 6 आणि 8 : लसावि = 24.
  • परीक्षेसाठी : दोन घंटा दर 4 आणि 10 मिनिटांनी वाजतात. 4 आणि 10 चा लसावि 20, म्हणून त्या दर 20 मिनिटांनी एकत्र वाजतात.
लक्षात ठेवा

लसावि "पुन्हा एकत्र कधी?" याचे उत्तर देतो; मसावि "सर्वांत मोठे समान गट किंवा तुकडे?" याचे.

सामान्य चूक

दोन्ही गोंधळणे : घंटा कधी एकत्र वाजतील हे काढण्यासाठी मसावि वापरणे. उत्तर गुणज असायला हवे, म्हणून लसावि वापरा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : मसावि = सर्वांत मोठा अवयव (तुकडे); लसावि = सर्वांत लहान गुणज (भेट).

फरक ओळखा

प्रश्नवापरा
पुन्हा एकत्र कधीलसावि
सर्वांत मोठे समान गट किंवा तुकडेमसावि

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 112 आणि 18 चा मसावि काढा.
  2. 24 आणि 6 चा लसावि काढा.
  3. 324 आणि 36 चा मसावि काढा.
मध्यम
  1. 46 आणि 8 चा लसावि काढा.
  2. 518 आणि 30 चा मसावि काढा.
  3. 612 आणि 15 चा लसावि काढा.
आव्हानात्मक
  1. 716 मी आणि 40 मी चे दोन दोर सर्वांत लांब समान तुकड्यांत कापले. प्रत्येक तुकड्याची लांबी किती?
  2. 8दोन घंटा दर 4 आणि 10 मिनिटांनी वाजतात. त्या 9:00 ला एकत्र वाजल्या तर पुन्हा कधी एकत्र वाजतील?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 16
  2. 212
  3. 312
  4. 424
  5. 56
  6. 660
  7. 716 आणि 40 चा मसावि 8 मी.
  8. 84 आणि 10 चा लसावि 20, म्हणून 9:20 ला.