वर्तुळ, केंद्र आणि त्रिज्या
बांगडी, नाणे आणि घड्याळाचा चेहरा सगळे गोल असतात. घड्याळाच्या मध्यावर दोरा टाचून फिरवला तर त्याचे टोक काठावरील प्रत्येक बिंदूला सारख्या अंतरावर पोहोचते. ते वर्तुळ आहे.
वर्तुळ (circle) हा असा गोल आकार आहे ज्यात काठावरील प्रत्येक बिंदू आतल्या एका निश्चित बिंदूपासून सारख्या अंतरावर असतो. तो निश्चित बिंदू केंद्र (centre). केंद्रापासून वर्तुळावरील कोणत्याही बिंदूपर्यंतची रेषा म्हणजे त्रिज्या (radius). काठाला परिघ (circumference) म्हणतात.
आकृतीत : केंद्र, त्रिज्या, व्यास, जीवा आणि परिघ असलेले वर्तुळ.
नियम 1 : त्रिज्या आणि केंद्र — एका वर्तुळाच्या सर्व त्रिज्या समान असतात.
- सोपे : केंद्र O असलेली बांगडी : OA = OB = OC कारण त्या सर्व त्रिज्या आहेत.
- मध्यम : एक त्रिज्या 6 सेमी असेल तर त्या वर्तुळाची इतर प्रत्येक त्रिज्याही 6 सेमी असते.
- परीक्षेसाठी : केंद्र सारखे पण त्रिज्या वेगळी असलेली दोन वर्तुळे वेगळी असतात. त्रिज्या आकार ठरवते.
आकृतीत : 5 सेमी त्रिज्येच्या वर्तुळासाठी : केंद्रापासून 3 सेमीवरील बिंदू आत, 5 सेमीवरील बिंदू वर्तुळावर, 8 सेमीवरील बिंदू बाहेर.
नियम 2 : आत, वर की बाहेर — केंद्रापासूनच्या अंतराची त्रिज्येशी तुलना करा.
- सोपे : अंतर त्रिज्येपेक्षा कमी → आत.
- मध्यम : अंतर त्रिज्येएवढे → वर्तुळावर.
- परीक्षेसाठी : अंतर त्रिज्येपेक्षा जास्त → बाहेर. त्रिज्या 7 सेमी असताना 9 सेमीवरील बिंदू बाहेर असतो.
वर्तुळावरील प्रत्येक बिंदू केंद्रापासून सारख्या अंतरावर असतो : त्रिज्या.
केंद्र हा वर्तुळावरील बिंदू समजणे. केंद्र आत असते आणि ते काठाचा भाग नसते.
आठवणीची युक्ती : त्रिज्या = केंद्र ते काठ (केंद्र → परिघ).
फरक ओळखा
| भाग | अर्थ |
|---|---|
| केंद्र | आतला निश्चित बिंदू |
| त्रिज्या | केंद्र ते वर्तुळ |
| परिघ | काठ |
सरावासाठी प्रश्न
- 1वर्तुळातील निश्चित बिंदूला काय म्हणतात?
- 2वर्तुळाच्या काठाला काय म्हणतात?
- 3वर्तुळाची एक त्रिज्या 6 सेमी आहे. दुसरी त्रिज्या किती?
- 4वर्तुळाची त्रिज्या 5 सेमी आहे. एक बिंदू केंद्रापासून 3 सेमीवर आहे. तो कुठे आहे?
- 5त्रिज्या 7 सेमी. एक बिंदू केंद्रापासून 9 सेमीवर आहे. तो कुठे आहे?
- 6त्रिज्या 4 सेमी. एक बिंदू केंद्रापासून 4 सेमीवर आहे. तो कुठे आहे?
- 75 सेमी त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रापासून A, B आणि C बिंदू अनुक्रमे 2 सेमी, 5 सेमी आणि 8 सेमी अंतरावर आहेत. प्रत्येकाचे स्थान सांगा.
- 8मीरा म्हणते की केंद्र हा वर्तुळावरील बिंदू आहे. ती बरोबर आहे का? स्पष्ट करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1केंद्र.
- 2परिघ.
- 36 सेमी
- 4वर्तुळाच्या आत.
- 5वर्तुळाच्या बाहेर.
- 6वर्तुळावर.
- 7A आत, B वर्तुळावर, C बाहेर.
- 8नाही. केंद्र आत असते, वर्तुळावरील प्रत्येक बिंदूपासून एका त्रिज्येच्या अंतरावर.
व्यास
गाडीचे चाक मोजण्यासाठी त्याच्या मधून जाणारी सर्वांत रुंद भागावर काठी ठेवतात. काठीची लांबी म्हणजे व्यास.
व्यास (diameter) म्हणजे केंद्रातून जाणारी रेषा जिची दोन्ही टोके वर्तुळावर असतात. तो दोन त्रिज्यांनी बनतो, म्हणून व्यास = 2 × त्रिज्या आणि त्रिज्या = व्यास ÷ 2. वर्तुळाचे सर्व व्यास समान असतात आणि व्यास वर्तुळाचे दोन समान अर्धवर्तुळांत (semicircles) विभाजन करतो.
आकृतीत : व्यास म्हणजे दोन त्रिज्या एकमेकींना जोडलेल्या : d = 2 × r.
नियम 1 : त्रिज्येवरून व्यास — त्रिज्येच्या दुप्पट करा.
- सोपे : त्रिज्या 5 सेमी → व्यास 10 सेमी.
- मध्यम : 35 सेमी त्रिज्येचे चाक 2 × 35 = 70 सेमी रुंद असते.
- परीक्षेसाठी : 60 सेमी त्रिज्येच्या गोल टेबलाचा व्यास 120 सेमी म्हणजे 1 मी 20 सेमी.
व्यास
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 2 : व्यासावरून त्रिज्या — व्यासाचा निम्मा करा.
- सोपे : व्यास 18 सेमी → त्रिज्या 9 सेमी.
- मध्यम : 26 सेमी व्यासाच्या ताटाची त्रिज्या 13 सेमी.
- परीक्षेसाठी : वर्तुळातील सर्वांत लांब सरळ रेषा म्हणजे व्यास. 50 सेमीची काठी 40 सेमी व्यासाच्या वर्तुळात बसू शकत नाही.
d = 2 × r आणि r = d ÷ 2. व्यास केंद्रातून जातो.
त्रिज्येलाच व्यास समजणे. "त्रिज्या 4" असलेल्या वर्तुळाचा व्यास 8 असतो.
आठवणीची युक्ती : व्यास = दुप्पट त्रिज्या (व्य = दु).
फरक ओळखा
| दिलेले | काढा | Rule |
|---|---|---|
| त्रिज्या | व्यास | × 2 |
| व्यास | त्रिज्या | ÷ 2 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1वर्तुळाची त्रिज्या 8 सेमी आहे. व्यास काढा.
- 2व्यास 30 सेमी आहे. त्रिज्या काढा.
- 3व्यास वर्तुळाचे कशात विभाजन करतो?
- 445 सेमी त्रिज्येच्या चाकाचा व्यास काढा.
- 5गोल टेबल 1 मी 20 सेमी रुंद आहे. त्रिज्या सेमीत किती?
- 6बरोबर की चूक : वर्तुळाचे सर्व व्यास समान असतात.
- 750 सेमी लांबीची काठी 40 सेमी व्यासाच्या गोल ताटात ठेवायची आहे. ती सपाट बसेल का? का?
- 8वर्तुळाची त्रिज्या आणि व्यास यांची बेरीज 18 सेमी आहे. त्रिज्या काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 116 सेमी
- 215 सेमी
- 3दोन समान अर्धवर्तुळे.
- 490 सेमी
- 5120 ÷ 2 = 60 सेमी.
- 6बरोबर.
- 7नाही. ताटातील सर्वांत लांब रेषा त्याचा व्यास, 40 सेमी, जी 50 सेमीपेक्षा लहान आहे.
- 8r + 2r = 3r = 18, म्हणून r = 6 सेमी.
जीवा, कंस आणि अर्धवर्तुळ
गोल तळ्यावर दोन बिंदूंमध्ये बांधलेला दोर म्हणजे जीवा. तळ्यावर ताणता येणारा सर्वांत लांब दोर मध्यातून जातो.
वर्तुळावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणारी रेषा म्हणजे जीवा (chord). परिघाचा एक तुकडा म्हणजे कंस (arc). व्यास ही सर्वांत लांब जीवा आहे.
नियम 1 : जीवा आणि व्यास — प्रत्येक व्यास जीवा आहे. जीवा केंद्रातून जाते तेव्हाच ती व्यास असते.
- सोपे : 10 सेमी व्यासाच्या वर्तुळात कोणतीही जीवा 10 सेमीपेक्षा लांब नसते.
- मध्यम : या वर्तुळातील 8 सेमी लांबीची जीवा व्यास नाही, कारण 8 सेमी हे 10 सेमीपेक्षा कमी आहे.
- परीक्षेसाठी : केंद्रातून जाणारी जीवा म्हणजेच व्यास; असे अनेक असतात आणि सर्व समान लांबीचे असतात.
नियम 2 : कंस आणि अर्धवर्तुळ — व्यास वर्तुळाचे दोन समान कंसांत विभाजन करतो, प्रत्येक अर्धवर्तुळ.
- सोपे : अर्धवर्तुळ म्हणजे वर्तुळाचा निम्मा भाग.
- मध्यम : केंद्रातून काटकोनात दोन कापणे केल्यावर चार पाव वर्तुळे मिळतात.
- परीक्षेसाठी : गोल पोळी काटकोनात दोन व्यासांनी कापली तर 4 समान पाव भाग मिळतात; प्रत्येकाच्या दोन बाजू त्रिज्या आणि एक कंस असतो.
व्यास = सर्वांत लांब जीवा. केंद्रातून न जाणारी जीवा लहान असते.
प्रत्येक जीवा व्यास असते असे म्हणणे. फक्त केंद्रातून जाणारी जीवा व्यास असते.
आठवणीची युक्ती : केंद्रातून जाणारी जीवा = व्यास.
फरक ओळखा
| संज्ञा | अर्थ |
|---|---|
| जीवा | वर्तुळावरील दोन बिंदू जोडते |
| व्यास | केंद्रातून जाणारी जीवा |
| कंस | परिघाचा तुकडा |
| अर्धवर्तुळ | वर्तुळाचा निम्मा |
सरावासाठी प्रश्न
- 1वर्तुळावरील दोन बिंदू जोडणाऱ्या रेषेला काय म्हणतात?
- 2वर्तुळाची सर्वांत लांब जीवा कोणती?
- 3परिघाच्या तुकड्याला काय म्हणतात?
- 4प्रत्येक व्यास जीवा असतो का? प्रत्येक जीवा व्यास असते का?
- 5वर्तुळाचा व्यास 12 सेमी आहे. त्याला 14 सेमीची जीवा असू शकते का?
- 6व्यास वर्तुळाचे किती समान कंसांत विभाजन करतो?
- 7दोन व्यास काटकोनात असून पिझ्झा कापला. किती तुकडे होतात आणि प्रत्येक तुकडा पिझ्झाचा कोणता भाग?
- 8रवी 5 सेमी त्रिज्येच्या वर्तुळात 9 सेमीची जीवा काढतो आणि म्हणतो की तो व्यास आहे. तो बरोबर आहे का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1जीवा.
- 2व्यास.
- 3कंस.
- 4होय; नाही.
- 5नाही, कारण कोणतीही जीवा व्यासापेक्षा लांब नसते.
- 6दोन (अर्धवर्तुळे).
- 74 तुकडे; प्रत्येक पिझ्झाचा 14 भाग.
- 8नाही. व्यास 10 सेमी आहे; 9 सेमीची जीवा लहान आहे, म्हणून ती केंद्रातून जात नाही.
कंपासने वर्तुळ काढणे
कुंभार कंपाससारखी काठी वापरतो : एक टोक चाकाच्या केंद्रावर टेकवतो आणि दुसऱ्या टोकाने काठावर खूण करतो. कंपास असेच वर्तुळ काढतो.
कंपासची (compass) सुई केंद्रावर टेकवा, हवी तेवढी त्रिज्या उघडा आणि पेन्सिलचे टोक एकदा फिरवा. केंद्र एकच पण त्रिज्या वेगळी असलेली वर्तुळे म्हणजे एककेंद्री वर्तुळे (concentric circles).
आकृतीत : 2, 4 आणि 6 सेमी त्रिज्येची एककेंद्री वर्तुळे O हे केंद्र सामायिक करतात.
नियम 1 : कंपास उघडा — कंपास त्रिज्येएवढा उघडा, व्यासाएवढा नव्हे.
- सोपे : 3 सेमी त्रिज्येसाठी कंपास 3 सेमी उघडा.
- मध्यम : 8 सेमी व्यासाचे वर्तुळ काढण्यासाठी कंपास 4 सेमी (8 चा निम्मा) उघडा.
- परीक्षेसाठी : 11 सेमी व्यासाच्या वर्तुळासाठी 5.5 सेमी उघडा; त्रिज्या दशांश संख्याही असू शकते.
नियम 2 : एककेंद्री वर्तुळे — सुई तिथेच ठेवा आणि फक्त उघडणे बदला.
- सोपे : तळ्यातील तरंग आणि निशाण्याचा फलक एककेंद्री असतात.
- मध्यम : केंद्र O असलेली 2, 4 आणि 6 सेमी त्रिज्येची वर्तुळे एककेंद्री आहेत; त्यांचे व्यास 4, 8 आणि 12 सेमी.
- परीक्षेसाठी : वेगळी केंद्रे असलेली दोन वर्तुळे, त्रिज्या समान असली तरी, एककेंद्री नसतात.
सुई टेकवा, त्रिज्येएवढे उघडा, एकदा फिरवा.
काढताना सुई हलवणे. त्रिज्या तीच राहण्यासाठी ती स्थिर ठेवा.
आठवणीची युक्ती : सुई केंद्रावर, पेन्सिल काठावर.
फरक ओळखा
| वर्तुळ | त्रिज्या | व्यास |
|---|---|---|
| आतले | 2 सेमी | 4 सेमी |
| मधले | 4 सेमी | 8 सेमी |
| बाहेरचे | 6 सेमी | 12 सेमी |
सरावासाठी प्रश्न
- 1कंपासची सुई कुठे टेकवतात?
- 24 सेमी त्रिज्येचे वर्तुळ काढण्यासाठी कंपासचे उघडणे किती?
- 310 सेमी व्यासाचे वर्तुळ काढण्यासाठी कंपासचे उघडणे किती?
- 4समान केंद्र असलेल्या वर्तुळांना काय म्हणतात?
- 5एककेंद्री वर्तुळांची दोन रोजच्या जीवनातील उदाहरणे सांगा.
- 6तीन एककेंद्री वर्तुळांच्या त्रिज्या 3 सेमी, 6 सेमी आणि 9 सेमी आहेत. त्यांचे व्यास काढा.
- 7कंपास 7.5 सेमी उघडला आहे. काढलेल्या वर्तुळाचा व्यास किती?
- 85 सेमी त्रिज्येची दोन वर्तुळे वेगवेगळ्या केंद्रांनी काढली. ती एककेंद्री आहेत का? कारण सांगा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1केंद्रावर.
- 24 सेमी
- 35 सेमी
- 4एककेंद्री वर्तुळे.
- 5तळ्यातील तरंग; निशाण्याचा फलक.
- 66 सेमी, 12 सेमी, 18 सेमी
- 715 सेमी
- 8नाही. एककेंद्री वर्तुळांचे केंद्र एकच असावे लागते.
आपल्या भोवतीची वर्तुळे
सायकलचे चाक, नाणे, ताट आणि बांगडी ही वर्तुळे आहेत. चाकाचा आस केंद्रावर असतो आणि आरे त्रिज्यांसारखे असतात.
वर्तुळाविषयीचे ज्ञान रोजच्या जीवनात वापरा : गोल वस्तूचा व्यास तिच्या त्रिज्येच्या दुप्पट असतो आणि एक वस्तू दुसऱ्या जागेत बसवायची असेल तर व्यासांची तुलना करा.
आकृतीत : या चाकाचा प्रत्येक आरा 30 सेमी त्रिज्या आहे, म्हणून त्याचा व्यास 60 सेमी.
नियम 1 : चाके आणि आरे — आरे केंद्रात मिळतात; प्रत्येक आरा एक त्रिज्या.
- सोपे : 30 सेमीचा आरा म्हणजे चाकाचा व्यास 60 सेमी.
- मध्यम : 35 सेमी त्रिज्येचे सायकलचे चाक 70 सेमी रुंद असते.
- परीक्षेसाठी : गोल उद्यानाचा व्यास 40 मी आहे. काठावरील एका बिंदूपासून केंद्रातून समोरच्या बिंदूपर्यंतचा रस्ता 40 मी असतो.
नियम 2 : ते बसते का? — वस्तूचा व्यास आणि जागेची रुंदी यांची तुलना करा.
- सोपे : 24 सेमीचे ताट 20 सेमीच्या ट्रेवर बसत नाही.
- मध्यम : 1 सेमी त्रिज्येचे (व्यास 2 सेमी) नाणे 3 सेमी रुंद फटीत बसते.
- परीक्षेसाठी : 60 सेमी त्रिज्येच्या गोल टेबलाला 120 सेमी रुंदी लागते; ते 125 सेमी रुंद कोपऱ्यात बसते पण 110 सेमी रुंद कोपऱ्यात नाही.
व्यास = 2 × त्रिज्या हा दोन मापांमधील मुख्य दुवा आहे.
वस्तूची त्रिज्या जागेच्या रुंदीशी तुलना करणे. व्यासाशी तुलना करा.
आठवणीची युक्ती : बसते का? व्यासाची तुलना करा.
फरक ओळखा
| वस्तू | व्यास | 25 सेमी जागेत बसते? |
|---|---|---|
| ताट | 24 सेमी | होय |
| ट्रे | 26 सेमी | नाही |
| नाणे | 2 सेमी | होय |
सरावासाठी प्रश्न
- 1ज्या चाकाचे आरे 30 सेमी लांब आहेत त्याचा व्यास किती?
- 23 सेमी व्यासाच्या नाण्याची त्रिज्या काढा.
- 3बागेची त्रिज्या 10 मी आहे. केंद्रातून जाणारा रस्ता किती लांब?
- 424 सेमीचे ताट 20 सेमीच्या ट्रेवर ठेवले. ते बसते का?
- 5कोणत्याचा व्यास जास्त : 28 सेमी त्रिज्येचे चाक की 50 सेमी व्यासाचे चाक?
- 6गोल तळ्याचा व्यास 18 मी आहे. 20 मी लांबीची नाव त्याच्या व्यासातून जाते. ती बसेल का?
- 7गोल टेबलाची त्रिज्या 60 सेमी आहे. कोपरा 125 सेमी रुंद आहे. टेबल बसेल का?
- 85 सेमी आणि 8 सेमी त्रिज्येची एककेंद्री वर्तुळे काढली. त्यांच्या व्यासांतील फरक किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 160 सेमी
- 21.5 सेमी
- 320 मी
- 4नाही, 24 सेमी > 20 सेमी.
- 5त्रिज्या 28 सेमी → व्यास 56 सेमी, तो 50 सेमीपेक्षा मोठा आहे.
- 6नाही, कारण 20 मी हे 18 मी पेक्षा जास्त आहे.
- 7व्यास = 120 सेमी < 125 सेमी, म्हणून बसेल.
- 816 − 10 = 6 सेमी.