कोन, भुजा आणि शिरोबिंदू
कात्री थोडीशी उघडा. दोन्ही पाती एका बिंदूपासून (स्क्रू) सुरू होऊन वेगळी होतात. पात्यांमधील फट म्हणजे कोन.
दोन किरण एकाच बिंदूपासून सुरू झाले की कोन (angle) तयार होतो. सामायिक सुरुवातीचा बिंदू म्हणजे शिरोबिंदू (vertex) आणि दोन किरण म्हणजे बाहू (arms). कोनाचे माप म्हणजे बाहूंमधील फट, ती अंशांत (degrees, °) मोजतात.
आकृतीत : कोन ABC : शिरोबिंदू B आहे आणि बाहू किरण BA व BC आहेत.
नियम 1 : कोनाचे नाव सांगा — तीन अक्षरे लिहा; मधले अक्षर हा शिरोबिंदू.
- सोपे : ∠PQR मध्ये शिरोबिंदू Q आहे आणि बाहू QP व QR आहेत.
- मध्यम : ∠XYZ आणि ∠ZYX एकच कोन आहेत; शिरोबिंदू Y.
- परीक्षेसाठी : दार आधी 30° आणि मग 60° उघडले. दाराची रुंदी सारखीच असली तरी दुसऱ्या वेळी कोन मोठा आहे.
नियम 2 : माप म्हणजे फट — बाहू लांब असले तरी कोन मोठा होत नाही.
- सोपे : एका आकृतीत बाहू लांब असले तरी दोन 40° चे कोन समान असतात.
- मध्यम : बाहू कितीही लांब काढले तरी 70° चा कोन 50° पेक्षा मोठा असतो.
- परीक्षेसाठी : पेन्सिलने कोनाचे बाहू लांबवले तरी माप तेच राहते.
शिरोबिंदू हा सामायिक बिंदू. माप फक्त बाहूंमधील फटीवर अवलंबून असते.
बाहू लांब म्हणून कोन मोठा समजणे. लांबी नव्हे, फट तपासा.
आठवणीची युक्ती : मधले अक्षर = शिरोबिंदू (∠ABC → B).
फरक ओळखा
| भाग | नाव | In ∠ABC |
|---|---|---|
| सामायिक बिंदू | शिरोबिंदू | B |
| दोन किरण | बाहू | BA, BC |
| माप | अंश | the opening |
सरावासाठी प्रश्न
- 1∠PQR चा शिरोबिंदू सांगा.
- 2∠XYZ चे बाहू कोणते?
- 3कोन कोणत्या एककात मोजतात?
- 4बाहू जास्त लांब असलेला कोन नेहमी मोठा असतो का?
- 5कोणता मोठा : 35° चा की 53° चा?
- 6शिरोबिंदू M आणि बाहू MA व MB असलेल्या कोनाचे नाव दोन प्रकारे लिहा.
- 7रोहन म्हणतो की आकृती मोठी काढली की कोन मोठा होतो. तो बरोबर आहे का?
- 8दार सोमवारी 40° आणि मंगळवारी 65° उघडले. कोणत्या दिवशी जास्त उघडले आणि किती जास्त?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1Q
- 2YX आणि YZ
- 3अंश (°)
- 4नाही. माप फक्त फटीवर अवलंबून असते.
- 553°
- 6∠AMB आणि ∠BMA
- 7नाही. फट तीच आहे; फक्त बाहू लांब आहेत.
- 8मंगळवारी, 65° − 40° = 25° ने.
कोनांचे प्रकार
केकच्या तुकड्याचे टोक टोकदार असते. पुस्तकाचा कोपरा चौकोनी असतो. मागे खूप झुकवलेली खुर्ची खूप उघडलेली असते. यातील प्रत्येक वेगळ्या प्रकारचा कोन दाखवतो.
न्यूनकोन (acute) 90° पेक्षा लहान. काटकोन (right) बरोबर 90°. विशालकोन (obtuse) 90° पेक्षा मोठा आणि 180° पेक्षा लहान. सरळकोन (straight) बरोबर 180°.
आकृतीत : न्यूनकोन 90° पेक्षा लहान, काटकोन 90°, विशालकोन 90° ते 180° दरम्यान, सरळकोन 180°.
नियम 1 : मापावरून प्रकार ठरवा — अंशांची 90° आणि 180° शी तुलना करा.
- सोपे : 45° न्यूनकोन आणि 120° विशालकोन आहे.
- मध्यम : 90° काटकोन आणि 180° सरळकोन आहे.
- परीक्षेसाठी : 89° न्यूनकोन; 91° विशालकोन. रेषा बरोबर 90° वर आहे.
कोनांचे प्रकार
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 2 : पानाच्या कोपऱ्याने झटपट चाचणी — पानाचा कोपरा कोनावर ठेवा. लहान : न्यूनकोन. सारखा : काटकोन. मोठा पण सरळ रेषा नाही : विशालकोन.
- सोपे : वहीचा कोपरा काटकोन असतो.
- मध्यम : पेन्सिलचे टोक न्यूनकोन असते.
- परीक्षेसाठी : घड्याळात 5 वाजता काट्यांमधील कोन 150° आहे; तो विशालकोन आहे कारण 150° हा 90° पेक्षा मोठा आणि 180° पेक्षा लहान आहे.
काटकोन = 90°, सरळकोन = 180° आणि दोन काटकोन मिळून सरळकोन होतो.
सरळकोनाला (180°) विशालकोन म्हणणे. विशालकोन 180° पेक्षा लहान असतो.
आठवणीची युक्ती : न्यून = लहान; विशाल = मोठा.
फरक ओळखा
| प्रकार | माप | उदाहरण |
|---|---|---|
| न्यूनकोन | 90° पेक्षा लहान | 60° |
| काटकोन | 90° | 90° |
| विशालकोन | 90° ते 180° | 130° |
| सरळकोन | 180° | 180° |
सरावासाठी प्रश्न
- 175° न्यूनकोन, काटकोन की विशालकोन?
- 2बरोबर 90° च्या कोनाचे नाव सांगा.
- 3140° न्यूनकोन, काटकोन की विशालकोन?
- 4कोणता कोन सरळ रेषेसारखा दिसतो?
- 530°, 90°, 120°, 180° चे प्रकार सांगा.
- 6पानाचा कोपरा आणि एक कोन एकमेकांवर ठेवले. कोन कोपऱ्यापेक्षा मोठा आहे पण सरळ रेषा नाही. तो कोणता प्रकार?
- 791° चा कोन काटकोनाजवळ आहे का? तो कोणता प्रकार?
- 8घड्याळात 5 वाजता काट्यांमध्ये 150° चा कोन असतो. तो कोणता प्रकार आणि सरळकोन होण्यासाठी किती अंश वाढावा लागेल?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1न्यूनकोन.
- 2काटकोन.
- 3विशालकोन.
- 4सरळकोन (180°).
- 5न्यूनकोन, काटकोन, विशालकोन, सरळकोन.
- 6विशालकोन.
- 7होय; तो विशालकोन आहे कारण 91° > 90°.
- 8विशालकोन; 180° − 150° = 30°.
कोनमापकाने मोजणे
शिडी किती उघडली आहे हे तपासण्यासाठी सुतार अंक असलेले एक छोटे साधन वापरतो. वर्गात ते साधन म्हणजे कोनमापक, 0° ते 180° अंश असलेला अर्धवर्तुळी पट्टा.
कोनमापक (protractor) कोन अंशांत मोजतो. केंद्र शिरोबिंदूवर ठेवा, एक बाहू 0° च्या रेषेवर ठेवा आणि त्या बाहूवर 0° पासून सुरू होणारी पट्टी वाचा.
आकृतीत : केंद्र शिरोबिंदूवर आहे, एक बाहू 0° वर आहे आणि दुसरा बाहू 55° दाखवतो.
नियम 1 : मोजण्याच्या तीन पायऱ्या — केंद्र शिरोबिंदूवर, एक बाहू 0° वर, दुसरा बाहू पट्टीला कुठे छेदतो ते वाचा.
- सोपे : 0° पासून सुरू होणाऱ्या पट्टीवर दुसरा बाहू 55° ला स्पर्श करत असेल तर कोन 55° आहे.
- मध्यम : बाहू 120° ला स्पर्श करत असेल तर कोन 120° आहे, तो विशालकोन.
- परीक्षेसाठी : बाहू दोन्ही पट्ट्यांवर 40° आणि 140° मधील वाचनावर आहे. न्यूनकोन दिसत असेल तर लहान वाचन 40° घ्या.
नियम 2 : योग्य पट्टी निवडा — पायाच्या रेषेवरील बाहूवर ज्या पट्टीचा 0° आहे ती पट्टी वापरा.
- सोपे : न्यूनकोन → वाचन 90° पेक्षा कमी.
- मध्यम : विशालकोन → वाचन 90° पेक्षा जास्त.
- परीक्षेसाठी : आधी प्रकार तपासा. पानाच्या कोपऱ्यापेक्षा लहान दिसणाऱ्या कोनासाठी 130° वाचले तर चुकीची पट्टी वाचली; योग्य वाचन 180° − 130° = 50°.
केंद्र शिरोबिंदूवर, एका बाहूवर 0° आणि दुसरा बाहू त्याच पट्टीवर वाचा.
चुकीची पट्टी वाचणे. आपल्या बाहूवर 0° असलेली पट्टीच वाचा.
आठवणीची युक्ती : केंद्र, शून्य, वाचन.
फरक ओळखा
| पायरी | काय करायचे |
|---|---|
| 1 | केंद्र शिरोबिंदूवर |
| 2 | एक बाहू 0° वर |
| 3 | 0° पासूनची पट्टी वाचा |
सरावासाठी प्रश्न
- 1कोनमापक काय मोजतो?
- 2कोनमापकाचे केंद्र कुठे ठेवतो?
- 30° पासूनच्या पट्टीवर बाहू 55° ला स्पर्श करतो. कोन किती?
- 40° पासूनच्या पट्टीवर बाहू 125° वाचतो. कोनाचा प्रकार कोणता?
- 5न्यूनकोनासारख्या दिसणाऱ्या कोनाची वाचने 35° आणि 145° आहेत. माप कोणते?
- 6विशालकोनासारख्या कोनाची वाचने 70° आणि 110° आहेत. माप कोणते?
- 7मीनाने पानाच्या कोपऱ्यापेक्षा लहान कोनासाठी 140° वाचले. बरोबर माप काढा.
- 8कोनाचा पहिला बाहू 0° वर आहे. दुसरा बाहू बरोबर 90° च्या खुणेवर आहे. कोनाचे नाव सांगा आणि पानाचा कोपरा त्याच्याशी कसा आहे ते सांगा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1कोन.
- 2शिरोबिंदूवर.
- 355°
- 4विशालकोन.
- 535°
- 6110°
- 7तिने चुकीची पट्टी वाचली. 180° − 140° = 40°.
- 8काटकोन; पानाचा कोपरा त्यावर अगदी बसतो.
कोन काढणे आणि तुलना
सुताराला स्टुलाचा पाय 70° मध्ये तिरका हवा आहे. आधी तो कोनमापकाने कागदावर कोन काढतो आणि मग लाकूड कापतो. कोन काढणे आणि तुलना करणे ही रोजच्या कामाची कौशल्ये आहेत.
कोन काढण्यासाठी : पायाचा किरण काढा, त्याच्या सुरुवातीला कोनमापकाचे केंद्र ठेवा, हवे ते अंश खुणावा आणि शिरोबिंदू खुणेशी जोडा. कोनांची अंशांवरून तुलना करता येते, ते मिळवता किंवा विभागता येतात.
नियम 1 : कोन काढणे — पायाचा किरण, सुरुवातीवर केंद्र, अंश खुणावा, जोडा.
- सोपे : 50° काढण्यासाठी : 0° पासूनच्या पट्टीवर 50° खुणा आणि शिरोबिंदूशी जोडा.
- मध्यम : 110° काढण्यासाठी त्याच पट्टीवर 110° खुणा आणि जोडा. कोन विशाल आहे.
- परीक्षेसाठी : ∠PQR = 75° काढा : Q शिरोबिंदू घ्या, QR पायाचा बाहू घ्या आणि P येथे 75° खुणा.
नियम 2 : तुलना, बेरीज आणि विभाजन — अंशांची तुलना करा. शेजारी शेजारचे दोन कोन मिळवतात.
- सोपे : 75° हा 57° पेक्षा मोठा आहे.
- मध्यम : 40°, 100°, 70° चढत्या क्रमाने लावा : 40°, 70°, 100°.
- परीक्षेसाठी : शेजारी शेजारचे दोन 45° चे कोन मिळून काटकोन होतो : 45° + 45° = 90°. दोन काटकोन मिळून सरळकोन : 90° + 90° = 180°.
आकृतीत : काटकोन म्हणजे दोन 45° चे कोन; सरळकोन म्हणजे दोन काटकोन.
शेजारी शेजारचे कोन मिळवतात; म्हणून संपूर्णातून वजा करून एक भाग काढता येतो.
अंशांऐवजी बाहूंच्या लांब्या मिळवणे. फक्त अंश मिळवतात.
आठवणीची युक्ती : 90 + 90 = 180 — दोन काटकोन मिळून सरळ.
फरक ओळखा
| कल्पना | Example |
|---|---|
| तुलना | 75° > 57° |
| बेरीज | 45° + 45° = 90° |
| विभाजन | 180° − 110° = 70° |
सरावासाठी प्रश्न
- 1कोणता मोठा : 75° की 57°?
- 2चढत्या क्रमाने लावा : 100°, 40°, 70°.
- 3दोन काटकोन मिळून काय होते?
- 430° + 60° = ? तयार होणाऱ्या कोनाचे नाव सांगा.
- 5110° चा कोन आणि आणखी एक कोन मिळून सरळकोन होतो. दुसरा कोन काढा.
- 6उतरत्या क्रमाने लावा : 85°, 120°, 60°, 90°.
- 7कंसाचे शेजारी शेजारचे दोन कोन 35° आणि 55° आहेत. एकूण काढा आणि प्रकार सांगा.
- 870° चा कोन काढा आणि पानाचा कोपरा त्याच्याशी कसा आहे ते सांगा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 175°
- 240°, 70°, 100°
- 3सरळकोन, 180°.
- 490°, काटकोन.
- 5180° − 110° = 70°
- 6120°, 90°, 85°, 60°
- 735° + 55° = 90°; काटकोन.
- 870° न्यूनकोन आहे, पानाच्या कोपऱ्यापेक्षा (90°) लहान.
आपल्या भोवतीचे कोन : घड्याळ आणि फेरी
घड्याळाचे काटे फिरत राहतात. 3 वाजता ते काटकोन करतात; 6 वाजता सरळ रेषा करतात. फिरणेही कोनच आहे.
पूर्ण फेरा 360°, अर्धा फेरा 180° आणि पाव फेरा 90°. घड्याळाच्या चेहऱ्यावर 12 तासांचे अंतर असते; प्रत्येक अंतर 360° ÷ 12 = 30°.
आकृतीत : 4 वाजता 4 तासांचे अंतर, प्रत्येकी 30° : कोन 120°.
नियम 1 : घड्याळातील कोन — तासांच्या अंतरांची संख्या × 30° म्हणजे कोन.
- सोपे : 3 वाजता : 3 × 30° = 90°.
- मध्यम : 4 वाजता : 4 × 30° = 120°.
- परीक्षेसाठी : 6 वाजता : 6 × 30° = 180°, सरळकोन. 12 वाजता कोन 0°.
नियम 2 : फेरे आणि दिशा — उत्तरेकडून काटकोनात उजवीकडे वळलात तर पूर्वेकडे तोंड होते.
- सोपे : पाव फेरा 90°; अर्धा फेरा 180°; पूर्ण फेरा 360°.
- मध्यम : उत्तरेकडे तोंड असताना अर्धा फेरा घेतला की दक्षिणेकडे तोंड होते.
- परीक्षेसाठी : उत्तरेकडे तोंड असताना उजवीकडे दोन पाव फेरे (2 × 90° = 180°) घेतले तरी दक्षिणेकडे तोंड होते.
12 तासांची अंतरे × 30° = 360°, पूर्ण फेरा.
तासांच्या खुणांमधील अंतर 12° समजणे. ते 30° असते.
आठवणीची युक्ती : घड्याळ = तास × 30.
फरक ओळखा
| फेरा | अंश | Clock time |
|---|---|---|
| पाव | 90° | 3 वाजता |
| अर्धा | 180° | 6 वाजता |
| पूर्ण | 360° | 12 वाजता |
सरावासाठी प्रश्न
- 1पूर्ण फेऱ्यात किती अंश असतात?
- 2घड्याळात तासांच्या खुणांमधील कोन किती?
- 33 वाजता घड्याळातील कोन काढा.
- 45 वाजता घड्याळातील कोन काढा.
- 5पाव फेरा आणि अर्धा फेरा किती अंशांचा?
- 6पूर्वेकडे तोंड असताना तुम्ही अर्धा फेरा घेता. कोणत्या दिशेला तोंड होते?
- 7घड्याळ किती वाजता 120° चा कोन दाखवते?
- 8उत्तरेकडे तोंड असताना अमित उजवीकडे 90° दोनदा आणि मग आणखी एकदा वळतो. आता तो कोणत्या दिशेला तोंड करतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1360°
- 230°
- 390°
- 4150°
- 590° and 180°
- 6पश्चिम.
- 74 वाजता
- 8तीन उजवे वळणे : उत्तर → पूर्व → दक्षिण → पश्चिम. त्याचे तोंड पश्चिमेकडे (एकूण 270°).