K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 5 · गणित

धडा ५: अपूर्णांक

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

संपूर्णाचे भाग : अंश आणि छेद

रोजच्या जीवनातून

चपातीची 4 समान भागांत घडी केली आणि मीराने 1 भाग खाल्ला. म्हणजे तिने चपातीचा 14 भाग खाल्ला.

सोपी व्याख्या

संपूर्णाचे समान भाग केले की त्यातील काही भाग अपूर्णांकाने (fraction) सांगतात. रेघेखालची संख्या छेद (denominator) : संपूर्णाचे एकूण किती समान भाग आहेत ते सांगते. रेघेवरची संख्या अंश (numerator) : आपण किती भाग घेतले ते सांगते.

8 समान तुकड्यांचा पिझ्झा, 3 तुकडे रंगवलेले : अपूर्णांक 3/8, अंश आणि छेद दाखवलेले.38अंश : घेतलेले भागछेद : एकूण समान भाग

आकृतीत : पिझ्झाचे 8 समान तुकडे आहेत आणि 3 रंगवले आहेत, म्हणून रंगवलेला भाग 38 आहे. अंश 3, छेद 8.

नियम 1 : अपूर्णांक वाचणे — वरची संख्या = घेतलेले भाग. खालची संख्या = एकूण समान भाग.

  • सोपे : 25 म्हणजे 5 समान भागांपैकी 2 भाग घेतले.
  • मध्यम : फितीचे 6 समान तुकडे केले आणि 5 वापरले. वापरलेले : 56. उरलेले : 16.
  • परीक्षेसाठी : वर्गात 10 मुले आहेत आणि 3 गैरहजर आहेत. गैरहजर : 310. हजर : 710. दोन्ही मिळून 1 पूर्ण होते.
Live आकृती

संपूर्णाचे भाग : अंश आणि छेद

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 2 : भाग समान हवेत — सर्व भाग सारख्या आकाराचे असतील तेव्हाच अपूर्णांक बरोबर ठरतो.

  • सोपे : पट्टीचे 4 समान भाग करून 1 रंगवला की 14 मिळतो.
  • मध्यम : पट्टीचे 4 असमान तुकडे करून 1 रंगवला तर 14 मिळत नाही.
  • परीक्षेसाठी : 12 चौकोनांचा कागद 3 मुलांत समान वाटला. प्रत्येकाला 4 चौकोन मिळतात, म्हणजे कागदाचा 13 भाग.
लक्षात ठेवा

छेद कधीही 0 असत नाही आणि छेद प्रत्येक भागाचा आकार ठरवतो : छेद मोठा तर भाग लहान.

सामान्य चूक

8 असमान तुकड्यांपैकी 3 रंगवले तरी 38 लिहिणे. आधी सर्व तुकडे समान आहेत का ते पाहा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : छेद खाली, अंश वर — "छे-खा, अं-वर" असे म्हणा.

फरक ओळखा

मुद्दाअंशछेद
जागारेघेच्या वररेघेच्या खाली
काय सांगतोघेतलेले भागसंपूर्णाचे एकूण समान भाग
38 मध्ये38

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 159 चा छेद कोणता?
  2. 2712 चा अंश कोणता?
  3. 3चॉकलेटच्या वडीचे 10 समान तुकडे आहेत आणि तुम्ही 4 खाल्ले. खाल्लेला अपूर्णांक लिहा.
मध्यम
  1. 4पिझ्झाचे 8 समान तुकडे केले आणि 5 खाल्ले. उरलेला अपूर्णांक कोणता?
  2. 5संपूर्णाचे 4 समान भाग केले तर एक भाग मोठा की 8 समान भाग केले तर एक भाग मोठा?
  3. 6बागेत 15 झाडे आहेत आणि 6 ना फुले आहेत. फुले असलेला अपूर्णांक आणि फुले नसलेला अपूर्णांक कोणता?
आव्हानात्मक
  1. 7दोरीचे 5 तुकडे केले : तीन सारख्या लांबीचे आणि दोन लहान. प्रत्येक सारखा तुकडा दोरीचा 15 आहे का? का?
  2. 8रवीकडे 12 गोट्या आहेत. त्याने 5 सीताला आणि 4 अमितला दिल्या. त्याच्याकडे गोट्यांचा कोणता अपूर्णांक उरला?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 19
  2. 27
  3. 3410
  4. 48 − 5 = 3 तुकडे उरले, म्हणून 38.
  5. 54 समान भाग केल्यावरचा एक भाग (14), कारण भाग कमी तर प्रत्येक भाग मोठा.
  6. 6फुले असलेली 615; फुले नसलेली 915.
  7. 7नाही, कारण 5 तुकडे सर्व समान नाहीत.
  8. 812 − 5 − 4 = 3 गोट्या उरल्या, म्हणून 312.

प्रकृत, अप्रकृत आणि मिश्र अपूर्णांक

रोजच्या जीवनातून

अर्धा ग्लास दूध एका पूर्ण ग्लासपेक्षा कमी असते, पण अडीच ग्लास म्हणजे 2 पूर्ण आणि अर्धा ग्लास. अपूर्णांक 1 पेक्षा लहान, 1 एवढा किंवा 1 पेक्षा मोठा असू शकतो.

सोपी व्याख्या

प्रकृत अपूर्णांकात (proper fraction) अंश छेदापेक्षा लहान असतो, जसे 34. अप्रकृत अपूर्णांकात (improper fraction) अंश छेदाएवढा किंवा मोठा असतो, जसे 74. मिश्र अपूर्णांकात (mixed fraction) पूर्ण संख्या आणि प्रकृत अपूर्णांक एकत्र असतात, जसे 134.

तीन पट्ट्या : प्रकृत अपूर्णांक 3/4, दोन पट्ट्यांनी दाखवलेला अप्रकृत अपूर्णांक 7/4 आणि मिश्र अपूर्णांक 1 पूर्णांक 3/4.प्रकृतअप्रकृतमिश्र3474134अंश < छेदअंश ≥ छेदपूर्ण + प्रकृत

आकृतीत : 34 हे 1 पट्टीपेक्षा कमी आहे. 74 साठी दोन पट्ट्या लागतात. तोच भाग मिश्र अपूर्णांकात 134 असा लिहितात.

नियम 1 : अपूर्णांकांचे तीन प्रकार — अंशाची छेदाशी तुलना करून प्रकार ठरवा.

  • सोपे : 29 प्रकृत आहे कारण 2 < 9.
  • मध्यम : 99 आणि 116 अप्रकृत आहेत कारण अंश छेदाएवढा किंवा मोठा आहे.
  • परीक्षेसाठी : 58, 85, 33, 212 वेगळे करा : प्रकृत 58; अप्रकृत 85 व 33; मिश्र 212.

नियम 2 : अप्रकृत ते मिश्र — अंशाला छेदाने भागा. भागाकार पूर्ण संख्या आणि बाकी नवीन अंश.

  • सोपे : 72 : 7 ÷ 2 = भागाकार 3, बाकी 1, म्हणून 72 = 312.
  • मध्यम : 175 : 17 ÷ 5 = भागाकार 3, बाकी 2, म्हणून 175 = 325.
  • परीक्षेसाठी : परत बदला : 423 = (4 × 3 + 2) भागिले 3 = 143. पूर्ण संख्येला छेदाने गुणा, अंश मिळवा, छेद तोच ठेवा.
लक्षात ठेवा

प्रकृत अपूर्णांक नेहमी 1 पेक्षा लहान असतो. अप्रकृत अपूर्णांक 1 किंवा 1 पेक्षा मोठा असतो.

सामान्य चूक

94 = 294 असे लिहिणे किंवा बाकी विसरणे. 9 ÷ 4 = 2, बाकी 1, म्हणून 94 = 214.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : भा-बा-छे — भागाकार म्हणजे पूर्ण संख्या, बाकी म्हणजे अंश, छेद तोच.

फरक ओळखा

प्रकारओळखउदाहरण
प्रकृतअंश < छेद56
अप्रकृतअंश ≥ छेद96
मिश्रपूर्ण + प्रकृत136

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1611 प्रकृत की अप्रकृत?
  2. 2134 मिश्र अपूर्णांकात लिहा.
  3. 3235 अप्रकृत अपूर्णांकात लिहा.
मध्यम
  1. 449, 94, 99 पैकी कोणते अप्रकृत आहेत?
  2. 5236 मिश्र अपूर्णांकात लिहा.
  3. 6518 अप्रकृत अपूर्णांकात लिहा.
आव्हानात्मक
  1. 7मीनाकडे 3 पूर्ण चपात्या आणि आणखी एक अर्धी चपाती आहे. ती रक्कम मिश्र आणि अप्रकृत अपूर्णांकात लिहा.
  2. 8बसचा प्रवास 114 तास चालतो. तो मिश्र अपूर्णांकात लिहा आणि 2 तासांपेक्षा जास्त आहे का ते सांगा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1प्रकृत, कारण 6 < 11.
  2. 213 ÷ 4 = 3 बाकी 1, म्हणून 314.
  3. 32 × 5 + 3 = 13, म्हणून 135.
  4. 494 आणि 99.
  5. 523 ÷ 6 = 3 बाकी 5, म्हणून 356.
  6. 65 × 8 + 1 = 41, म्हणून 418.
  7. 7मिश्र 312; अप्रकृत (3 × 2 + 1) ÷ 2 = 72.
  8. 811 ÷ 4 = 2 बाकी 3, म्हणून 234 तास. होय, तो 2 तासांपेक्षा जास्त आहे.

समतुल्य अपूर्णांक आणि सोपे रूप

रोजच्या जीवनातून

दोन मित्र पिझ्झा खातात. आशा आपला 2 समान तुकड्यांत कापून 1 खाते. रवी आपला 4 समान तुकड्यांत कापून 2 खातो. दोघांनी तेवढाच भाग खाल्ला, म्हणून 12 = 24.

सोपी व्याख्या

संपूर्णाचा तोच भाग दाखवणारे अपूर्णांक समतुल्य अपूर्णांक (equivalent fractions) असतात. अंश आणि छेद यांना 1 शिवाय दुसरा सामाईक अवयव नसेल तर अपूर्णांक सोप्या रूपात (simplest form) असतो.

1/2, 2/4 आणि 4/8 रंगवलेल्या तीन समान लांबीच्या पट्ट्या; रंगवलेल्या लांबी सारख्या आहेत.122448रंगवलेली लांबी सारखी → समतुल्य अपूर्णांक

आकृतीत : सारख्या लांबीच्या तीन पट्ट्यांत 12, 24 आणि 48 रंगवले आहेत. रंगवलेली लांबी सारखी आहे, म्हणून हे अपूर्णांक समतुल्य आहेत.

नियम 1 : समतुल्य अपूर्णांक तयार करणे — अंश आणि छेद दोघांनाही एकाच संख्येने गुणा किंवा भागा.

  • सोपे : 13 = 1×23×2 = 26.
  • मध्यम : 35 = 3×45×4 = 1220.
  • परीक्षेसाठी : हरवलेली संख्या शोधा : 27 = ?21. 7 × 3 = 21, म्हणून अंश 2 × 3 = 6 : 27 = 621.
Live आकृती

समतुल्य अपूर्णांक आणि सोपे रूप

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 2 : सोपे रूप — अंश आणि छेद यांना त्यांच्या सर्वात मोठ्या सामाईक अवयवाने भागा.

  • सोपे : 48 = 4÷48÷4 = 12.
  • मध्यम : 1824 : सर्वात मोठा सामाईक अवयव 6, म्हणून 1824 = 34.
  • परीक्षेसाठी : 69 आणि 1015 समतुल्य आहेत का? दोन्ही सोपे करा : 69 = 23 आणि 1015 = 23. होय, ते समतुल्य आहेत.
लक्षात ठेवा

वरचा आणि खालचा आकडा दोन्ही SAME (एकाच) संख्येने गुणा किंवा भागा. अपूर्णांकाची किंमत बदलत नाही.

सामान्य चूक

दोघांत सारखी संख्या मिळवणे : 12 मध्ये दोघांना 2 मिळवून 34 करणे चूक ठरते! 1 आणि 2 ला 2 ने गुणले तर 24 मिळते.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : वर तेच खाली — वरच्याला जे कराल ते खालच्यालाही करा.

फरक ओळखा

मुद्दासमतुल्य अपूर्णांकसोपे रूप
कसे मिळतेदोन्हींना सारख्या संख्येने गुणा/भागादोन्हींना सर्वात मोठ्या सामाईक अवयवाने भागा
उदाहरण12 = 361216 = 34

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 123 चा एक समतुल्य अपूर्णांक लिहा.
  2. 2भरा : 34 = ?12.
  3. 3510 सोपे करा.
मध्यम
  1. 41218 सोपे करा.
  2. 546 सोप्या रूपात आहे का? नसेल तर सोपे करा.
  3. 637 आणि 1228 समतुल्य आहेत का?
आव्हानात्मक
  1. 72050 सोप्या रूपात लिहा.
  2. 8किरणने केकचा 48 भाग आणि ताराने तेवढ्याच केकचा 36 भाग खाल्ला. जास्त कोणी खाल्ला?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 146 (दोन्हींना 2 ने गुणा).
  2. 29, कारण 4 × 3 = 12 आणि 3 × 3 = 9.
  3. 312
  4. 423 (दोन्हींना 6 ने भागा).
  5. 5नाही, 2 हा सामाईक अवयव आहे; 46 = 23.
  6. 6होय, 3 × 4 = 12 आणि 7 × 4 = 28.
  7. 7सर्वात मोठा सामाईक अवयव 10, म्हणून 25.
  8. 8दोघांनी सारखाच खाल्ला, कारण 48 = 12 आणि 36 = 12.

अपूर्णांकांची तुलना आणि क्रम

रोजच्या जीवनातून

दोन दुकानदार साखर देतात. अनिल 34 किलो देतो आणि सुनील 24 किलो देतो. छेद सारखा असल्याने अनिल जास्त देतो हे सहज दिसते.

सोपी व्याख्या

अपूर्णांकांची तुलना (compare) करताना आधी छेद पाहा. छेद सारखे : मोठा अंश असलेला अपूर्णांक मोठा. अंश सारखे : मोठा छेद असलेला अपूर्णांक लहान. छेद वेगळे : आधी छेद सारखे करा.

0 ते 1 ची संख्यारेषा, 1/4, 1/2 आणि 3/4 दाखवलेले; जितके उजवीकडे तितका अपूर्णांक मोठा.01412341जितके उजवीकडे तितका अपूर्णांक मोठा

आकृतीत : संख्यारेषेवर 14 < 12 < 34. जितके उजवीकडे तितका अपूर्णांक मोठा.

नियम 1 : सारखा छेद — फक्त अंशांची तुलना करा.

  • सोपे : 59 > 29 कारण 5 > 2.
  • मध्यम : 710, 310, 910 लहानापासून मोठ्याकडे लावा : 310, 710, 910.
  • परीक्षेसाठी : फितीचा 813 भाग जास्त की 1113 भाग जास्त? 1113, कारण 11 > 8.

नियम 2 : सारखा अंश — छेद मोठा तर अपूर्णांक लहान.

  • सोपे : 18 < 14, कारण 8 भाग केले तर प्रत्येक भाग लहान असतो.
  • मध्यम : 35 > 37 कारण 5 < 7.
  • परीक्षेसाठी : 23, 29, 25 मोठ्यापासून लहानाकडे लावा : 23, 25, 29.

नियम 3 : वेगळे छेद — दोन्ही अपूर्णांक सारख्या छेदाच्या समतुल्य अपूर्णांकांत बदला, मग अंश तपासा.

  • सोपे : 23 आणि 34 : 23 = 812 आणि 34 = 912, म्हणून 23 < 34.
  • मध्यम : 56 आणि 79 : दोन्ही 18 छेदात : 1518 आणि 1418, म्हणून 56 > 79.
  • परीक्षेसाठी : 12, 23, 34 12 च्या छेदात लावा : 612, 812, 912. म्हणून 12 < 23 < 34.
लक्षात ठेवा

छेद सारखा तर मोठा अंश जिंकतो. अंश सारखा तर लहान छेद जिंकतो.

सामान्य चूक

8 हा 4 पेक्षा मोठा म्हणून 18 हा 14 पेक्षा मोठा असे समजणे. छेद मोठा तर भाग लहान.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : खाली सारखे तर वर मोठा जिंकतो; वर सारखे तर खाली लहान जिंकतो.

फरक ओळखा

स्थितीनियमउदाहरण
सारखा छेदमोठा अंश म्हणजे मोठा अपूर्णांक47 > 37
सारखा अंशमोठा छेद म्हणजे लहान अपूर्णांक29 < 25
वेगळे छेदआधी छेद सारखे करा12 = 36 > 26

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1कोणता मोठा : 411 की 711?
  2. 2कोणता लहान : 56 की 58?
  3. 3< किंवा > चिन्ह घाला : 29 __ 59.
मध्यम
  1. 415 च्या छेदात 13 आणि 25 ची तुलना करा.
  2. 5लहानापासून लावा : 38, 18, 78, 58.
  3. 6मोठ्यापासून लावा : 12, 15, 13, 110.
आव्हानात्मक
  1. 7रीनाने बाटलीचे 34 पाणी प्यायले आणि सीमाने तेवढ्याच बाटलीचे 58 पाणी प्यायले. जास्त कोणी प्यायले?
  2. 823, 56, 12 लहानापासून मोठ्याकडे लावा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1711
  2. 258, कारण 8 > 6.
  3. 3<
  4. 4515 आणि 615, म्हणून 13 < 25.
  5. 518, 38, 58, 78
  6. 612, 13, 15, 110
  7. 734 = 68 आणि 68 > 58, म्हणून रीनाने जास्त प्यायले.
  8. 86 च्या छेदात : 46, 56, 36. क्रम : 12, 23, 56.

सारख्या छेदाच्या अपूर्णांकांची बेरीज-वजाबाकी

रोजच्या जीवनातून

दुकानदाराच्या एका डब्यात 27 किलो तांदूळ आणि दुसऱ्यात 37 किलो आहे. दोन्ही एकत्र ओतले तर 57 किलो होतात. सारख्या आकाराचे भाग एकत्र मोजता येतात.

सोपी व्याख्या

सजातीय अपूर्णांकांचे (like fractions) छेद सारखे असतात. सजातीय अपूर्णांक मिळवताना अंश मिळवा आणि छेद तोच ठेवा. वजा करताना अंश वजा करा आणि छेद तोच ठेवा.

7 समान भागांच्या दोन पट्ट्या : 2 भाग आणि 3 भाग मिळून 5 भाग होतात, म्हणून 2/7 + 3/7 = 5/7.पहिलादुसरा27+37=57

आकृतीत : 7 समान भागांच्या संपूर्णातील 2 भाग आणि 3 भाग मिळून 5 भाग होतात, म्हणून 27 + 37 = 57.

नियम 1 : सजातीय अपूर्णांकांची बेरीज — अंश मिळवा. छेद तोच राहतो.

  • सोपे : 16 + 46 = 56.
  • मध्यम : 59 + 79 = 129 = 139 = 113.
  • परीक्षेसाठी : सीता सकाळी 310 किमी आणि संध्याकाळी 910 किमी धावली. एकूण = 1210 = 1210 = 115 किमी.

नियम 2 : सजातीय अपूर्णांकांची वजाबाकी — अंश वजा करा. छेद तोच राहतो.

  • सोपे : 78 − 28 = 58.
  • मध्यम : 1112 − 512 = 612 = 12.
  • परीक्षेसाठी : जगमध्ये 910 लिटर रस आहे आणि 410 लिटर ओतला. उरलेला = 510 = 12 लिटर.
लक्षात ठेवा

फक्त अंश मिळवा किंवा वजा करा. छेद भागाचा आकार सांगतो, तो बदलत नाही.

सामान्य चूक

27 + 37 = 514. चूक! छेद मिळवत नाहीत. उत्तर 57.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : अंश बदलतो, छेद तोच. शेवटी उत्तर सोपे करा.

फरक ओळखा

क्रियानियमउदाहरण
बेरीजअंश मिळवा, छेद तोच38 + 28 = 58
वजाबाकीअंश वजा करा, छेद तोच68 − 18 = 58
सोपे करणेसामाईक अवयवाने भागा48 = 12

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1बेरीज करा : 29 + 59.
  2. 2वजाबाकी करा : 811 − 311.
  3. 3बेरीज करा : 310 + 410. उत्तर सोप्या रूपात लिहा.
मध्यम
  1. 4वजाबाकी करा : 912 − 312. सोपे करा.
  2. 5बेरीज करा : 58 + 78. उत्तर मिश्र अपूर्णांकात लिहा.
  3. 6टाकी 35 भरलेली आहे. आणखी 15 पाणी टाकले. आता किती भरली?
आव्हानात्मक
  1. 7मोहन सोमवारी पुस्तकाचा 29 भाग आणि मंगळवारी 49 भाग वाचतो. वाचायचे किती उरले?
  2. 81112 मी दोरीतून झोक्यासाठी 412 मी आणि पिशवीसाठी 512 मी वापरले. किती दोरी उरली?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 179
  2. 2511
  3. 3710. ते आधीच सोप्या रूपात आहे.
  4. 4612 = 12
  5. 5128 = 148 = 112
  6. 635 + 15 = 45 भरली.
  7. 7वाचले = 69; उरले = 99 − 69 = 39 = 13.
  8. 8वापरलेली = 912; उरलेली = 1112 − 912 = 212 = 16 मी.