द्विमितीय आकृत्या आणि त्रिमितीय वस्तू
तुमच्या वहीचे पान सपाट असते, पण शाळेची बॅग हातात धरता येणारी घन वस्तू असते. पान म्हणजे 2-D आकृतीसारखे आणि बॅग म्हणजे 3-D वस्तूसारखी.
2-D (सपाट) आकृतीला फक्त लांबी आणि रुंदी असते, उदा. चौरस किंवा वर्तुळ. 3-D (घन) वस्तूला लांबी, रुंदी आणि उंची असते, उदा. घनाकृती किंवा चेंडू.
आकृतीत : रोजच्या घन वस्तू : घन, वृत्तचिती, शंकू आणि गोल.
नियम 1 : वस्तू आणि घन आकार जुळवा — वस्तू पाहा आणि मूलभूत घन आकाराशी तुलना करा.
- सोपे : फासा घन (cube) आहे. वीट चौकोनी ठोकळा (cuboid) आहे. चेंडू गोल (sphere) आहे.
- मध्यम : मेणबत्ती वृत्तचिती (cylinder) आहे. पार्टी टोपी शंकू (cone) आहे.
- परीक्षेसाठी : त्रिकोणी बाजू असलेला तंबू त्रिकोणी प्रिझमसारखा असतो.
नियम 2 : 2-D की 3-D? — विचारा : मी ते धरू शकतो का आणि त्याला उंची आहे का? असेल तर 3-D.
- सोपे : कागदावर काढलेले वर्तुळ 2-D; चेंडू 3-D.
- मध्यम : भिंतीवरची सावली सपाट (2-D) असते, वस्तू मात्र घन (3-D).
- परीक्षेसाठी : कागदावरचे घनाचे चित्र हे 3-D वस्तूचे 2-D चित्र आहे.
घन वस्तूला लांबी, रुंदी आणि उंची असते. सपाट आकृतीला उंची नसते.
घनाचे चित्र म्हणजे घन असे म्हणणे. कागदावरचे चित्र सपाट असते; ते फक्त घन दाखवते.
आठवणीची युक्ती : 2 मापे = सपाट; 3 मापे = घन.
फरक ओळखा
| नाव | मापे |
|---|---|
| चौरस, वर्तुळ | 2-D |
| घन, ठोकळा | 3-D |
| चेंडू | 3-D |
सरावासाठी प्रश्न
- 1फासा कोणता घन आकार आहे?
- 2वीट कोणता घन आकार आहे?
- 3फुटबॉल कोणता घन आकार आहे?
- 4पार्टी टोपी कोणता घन आकार आहे?
- 5वर्तुळ 2-D की 3-D?
- 6मेणबत्ती 2-D की 3-D? तिचा आकार सांगा.
- 7चेंडूची भिंतीवरची सावली कोणत्या आकाराची आणि कोणत्या मापांची?
- 8राजू म्हणतो कागदावरचे घनाचे चित्र हे 3-D वस्तू आहे. त्याला दुरुस्त करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1घन (cube)
- 2चौकोनी ठोकळा (cuboid)
- 3गोल (sphere)
- 4शंकू (cone)
- 52-D
- 63-D; वृत्तचिती (cylinder)
- 7वर्तुळ, ते 2-D आहे.
- 8कागदावरचे चित्र सपाट (2-D) आहे. ते फक्त 3-D घन दाखवते.
पृष्ठे, कडा आणि शिरोबिंदू
आगपेटीला सपाट बाजू, दोन बाजू जिथे भेटतात ती लांब कडा आणि टोकदार कोपरे असतात. प्रत्येक पेटीला हे तीन भाग असतात.
सपाट पृष्ठभाग म्हणजे पृष्ठ (face). दोन पृष्ठे भेटतात ती रेषा म्हणजे कडा (edge). कडा भेटतात ते कोपऱ्याचे बिंदू म्हणजे शिरोबिंदू (vertex). घन आणि ठोकळा यांना 6 पृष्ठे, 12 कडा आणि 8 शिरोबिंदू असतात.
आकृतीत : घनाला 6 पृष्ठे, 12 कडा आणि 8 शिरोबिंदू असतात.
नियम 1 : घन आणि ठोकळ्याची पृष्ठे — घनाची 6 पृष्ठे समान चौरस असतात. ठोकळ्याची पृष्ठे आयताकृती; समोरासमोरची पृष्ठे समान.
- सोपे : 6 सेमी × 4 सेमी × 3 सेमी ठोकळ्याची 6 पृष्ठे : दोन 6 × 4, दोन 6 × 3 आणि दोन 4 × 3.
- मध्यम : 4 सेमी × 4 सेमी × 7 सेमी ठोकळ्याला दोन चौरस पृष्ठे (4 × 4) आणि चार आयत (4 × 7) असतात.
- परीक्षेसाठी : घनाच्या प्रत्येक शिरोबिंदूत 3 कडा भेटतात; 8 शिरोबिंदू × 3 ÷ 2 = 12 कडा.
नियम 2 : सर्व कडांची एकूण लांबी — a कडेचा घन : 12 × a. ल, रु, उ असलेला ठोकळा : 4 × (ल + रु + उ).
- सोपे : 6 सेमी कडेचा घन : 12 × 6 = 72 सेमी.
- मध्यम : 5, 4, 2 सेमी ठोकळा : 4 × (5 + 4 + 2) = 4 × 11 = 44 सेमी.
- परीक्षेसाठी : 96 सेमी तारेतून घनाचा सांगाडा केला : कडा = 96 ÷ 12 = 8 सेमी.
पृष्ठे, कडा आणि शिरोबिंदू
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाघन आणि ठोकळा दोघांनाही 6 पृष्ठे, 12 कडा, 8 शिरोबिंदू असतात.
चित्रात दिसणाऱ्याच कडा मोजणे. घनाला 12 कडा असतात, 3 न दिसणाऱ्यासह.
आठवणीची युक्ती : 6 – 12 – 8 : पृष्ठे, कडा, शिरोबिंदू (याच क्रमाने).
फरक ओळखा
| भाग | घन / ठोकळा |
|---|---|
| पृष्ठे | 6 |
| कडा | 12 |
| शिरोबिंदू | 8 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1ठोकळ्याला किती पृष्ठे असतात?
- 2घनाला किती कडा असतात?
- 3ठोकळ्याला किती शिरोबिंदू असतात?
- 46 सेमी कडेच्या घनाच्या सर्व कडांची एकूण लांबी काढा.
- 55 सेमी × 4 सेमी × 2 सेमी ठोकळ्याच्या सर्व कडांची एकूण लांबी काढा.
- 64 × 4 × 7 सेमी ठोकळा : किती पृष्ठे चौरस आणि किती आयत?
- 796 सेमी तारेचा घनाचा सांगाडा केला. कडा काढा.
- 8सीता म्हणते घनाला 8 शिरोबिंदू आहेत म्हणून 8 कडा आहेत. काय चुकले?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 16
- 212
- 38
- 412 × 6 = 72 सेमी
- 54 × 11 = 44 सेमी
- 62 चौरस आणि 4 आयत
- 796 ÷ 12 = 8 सेमी
- 8कडा आणि शिरोबिंदू वेगळे असतात. घनाला 12 कडा आणि 8 शिरोबिंदू असतात.
वृत्तचिती, शंकू, गोलक, प्रिझम आणि पिरॅमिड
नरसाळे, डबा आणि चेंडू वक्र असतात, तर तंबू आणि भेटवस्तूची पेटी यांच्या बाजू सपाट असतात. पृष्ठे, कडा आणि शिरोबिंदू मोजून प्रत्येक घन ओळखा.
वृत्तचितीला 2 सपाट वर्तुळाकार पृष्ठे, 1 वक्र पृष्ठ आणि शिरोबिंदू नाही. शंकूला 1 सपाट पृष्ठ, 1 वक्र पृष्ठ आणि 1 शिरोबिंदू. गोलाला फक्त वक्र पृष्ठ.
आकृतीत : सामान्य घन आकारांची पृष्ठे, कडा आणि शिरोबिंदू.
नियम 1 : सपाट पृष्ठांचे घन — चौरस पिरॅमिड 5 पृ, 8 क, 5 शि. त्रिकोणी प्रिझम 5 पृ, 9 क, 6 शि. त्रिकोणी पिरॅमिड 4 पृ, 6 क, 4 शि.
- सोपे : त्रिकोणी पिरॅमिड : 4 त्रिकोणी पृष्ठे, 6 कडा, 4 शिरोबिंदू.
- मध्यम : पंचकोनी प्रिझम : 7 पृष्ठे, 15 कडा, 10 शिरोबिंदू.
- परीक्षेसाठी : षटकोनी पिरॅमिड : 7 पृष्ठे, 12 कडा, 7 शिरोबिंदू.
नियम 2 : युलरचा नियम — सपाट पृष्ठांच्या घनासाठी शिरोबिंदू − कडा + पृष्ठे = 2.
- सोपे : घन : 8 − 12 + 6 = 2.
- मध्यम : त्रिकोणी प्रिझम : 6 − 9 + 5 = 2.
- परीक्षेसाठी : घनाला 6 शिरोबिंदू आणि 9 कडा आहेत. पृष्ठे = 2 − 6 + 9 = 5.
वक्र घन (वृत्तचिती, शंकू, गोल) युलरचा नियम पाळत नाहीत.
शंकूचे टोक कडा म्हणून मोजणे. शंकूला 1 शिरोबिंदू असतो आणि सरळ कडा नसते.
आठवणीची युक्ती : शि − क + पृ = 2 (शिरोबिंदू, कडा, पृष्ठे याच क्रमाने).
फरक ओळखा
| घन | F / E / V |
|---|---|
| त्रिकोणी पिरॅमिड | 4 / 6 / 4 |
| चौरस पिरॅमिड | 5 / 8 / 5 |
| त्रिकोणी प्रिझम | 5 / 9 / 6 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1शंकूला किती शिरोबिंदू?
- 2वृत्तचितीला किती सपाट पृष्ठे?
- 3गोलाला किती सपाट पृष्ठे?
- 4त्रिकोणी पिरॅमिडची पृ, क, शि सांगा.
- 5चौरस पिरॅमिडसाठी युलरचा नियम तपासा.
- 6घनाला 6 शिरोबिंदू आणि 9 कडा आहेत. पृष्ठे काढा आणि नाव सांगा.
- 7षटकोनी पिरॅमिडची पृष्ठे, कडा आणि शिरोबिंदू सांगा आणि युलरचा नियम तपासा.
- 8मीना म्हणते शंकूला 2 शिरोबिंदू असतात. बरोबर संख्या कोणती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11
- 22
- 3नाहीत; फक्त 1 वक्र पृष्ठ.
- 44, 6, 4
- 5V − E + F = 5 − 8 + 5 = 2
- 6पृ = 2 − 6 + 9 = 5; त्रिकोणी प्रिझम
- 77 पृष्ठे, 12 कडा, 7 शिरोबिंदू; 7 − 12 + 7 = 2.
- 81 शिरोबिंदू, टोकाशी. पाया वर्तुळ आहे, कोपरा नाही.
घनाकृतींची जाळी
रिकामा खोक्याचा डबा काळजीपूर्वक उघडून सपाट पसरा. मिळालेला सपाट आराखडा म्हणजे जाळे. तो परत दुमडला की पुन्हा खोका मिळतो.
जाळे (net) म्हणजे दुमडून घन तयार होणारा सपाट आराखडा. घनाच्या जाळ्यात 6 चौरस असतात; ठोकळ्याच्या जाळ्यात 6 आयत.
आकृतीत : क्रॉस रचनेतील सहा चौरस दुमडून घन तयार होतो.
नियम 1 : घन आणि ठोकळ्याची जाळी — घन : 6 समान चौरस. ठोकळा : 6 आयत, 3 समान जोड्या.
- सोपे : घनाच्या जाळ्यात 6 चौरस असतात.
- मध्यम : ठोकळ्याच्या जाळ्यात 6 आयत असतात. समोरासमोरची पृष्ठे समान.
- परीक्षेसाठी : 6 चौरसांची एक रांग दुमडून घन होत नाही, कारण चौरस एकमेकांवर येतात आणि खोका बंद होत नाही.
आकृतीत : चौरस पिरॅमिडचे जाळे : एक चौरस आणि चार त्रिकोण.
नियम 2 : इतर घनांची जाळी — वृत्तचिती : 1 आयत + 2 वर्तुळे. चौरस पिरॅमिड : 1 चौरस + 4 त्रिकोण. त्रिकोणी प्रिझम : 2 त्रिकोण + 3 आयत.
- सोपे : डबा : लेबल म्हणजे आयत, वर-खालची झाकणे म्हणजे 2 वर्तुळे.
- मध्यम : 2 त्रिकोण आणि 3 आयतांचे जाळे दुमडून त्रिकोणी प्रिझम होतो.
- परीक्षेसाठी : 3 सेमी कडेच्या घनाचे पृष्ठफळ : 6 × 3 × 3 = 54 सेमी².
घनाकृतींची जाळी
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाजाळ्याचे एकूण क्षेत्रफळ = सर्व पृष्ठांच्या क्षेत्रफळांची बेरीज. 5 × 3 × 2 सेमी ठोकळा : 2 × (15 + 6 + 10) = 62 सेमी².
जाळ्यात कमी पृष्ठे मोजणे. घनासाठी नेहमी नेमके 6 चौरस लागतात.
आठवणीची युक्ती : जाळे = उघडलेला खोका : पसरा – दुमडा – घडवा.
फरक ओळखा
| घन | Net |
|---|---|
| घन | 6 चौरस |
| वृत्तचिती | 1 आयत + 2 वर्तुळे |
| चौरस पिरॅमिड | 1 चौरस + 4 त्रिकोण |
सरावासाठी प्रश्न
- 1घनाच्या जाळ्यात किती चौरस?
- 2ठोकळ्याच्या जाळ्यात किती आयत?
- 3वृत्तचितीचे जाळे कोणत्या आकारांचे असते?
- 4जाळ्यात 1 चौरस आणि 4 त्रिकोण आहेत. कोणता घन?
- 5जाळ्यात 2 त्रिकोण आणि 3 आयत आहेत. कोणता घन?
- 63 सेमी कडेच्या घनाचे पृष्ठफळ काढा.
- 75 सेमी × 3 सेमी × 2 सेमी ठोकळ्याचे पृष्ठफळ काढा.
- 86 चौरसांची एक रांग दुमडून घन होईल का? कारण द्या.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 16
- 26
- 31 आयत आणि 2 वर्तुळे
- 4चौरस पिरॅमिड
- 5त्रिकोणी प्रिझम
- 66 × 9 = 54 सेमी²
- 72 × (15 + 6 + 10) = 62 सेमी²
- 8नाही. चौरस एकमेकांवर येतात आणि खोका बंद होत नाही.
दृश्ये आणि घनाकृतींवरील उदाहरणे
रंगाचा डबा टेबलावर ठेवा आणि वरून व बाजूने पाहा. वरून वर्तुळ दिसते आणि बाजूने आयत. एकाच घनाचे वेगवेगळे दृश्य वेगळे दिसते.
घन वरून, बाजूने आणि समोरून वेगळा दिसतो. एकक घनांनी भरलेला खोका : घनांची संख्या = लांबी × रुंदी × उंची.
नियम 1 : घनांचे दृश्य — घन : प्रत्येक बाजूने चौरस. उभी वृत्तचिती : वरून वर्तुळ, बाजूने आयत. शंकू : वरून वर्तुळ, बाजूने त्रिकोण. गोल : सर्व बाजूंनी वर्तुळ.
- सोपे : फासा वरून चौरस दिसतो.
- मध्यम : उभी मेणबत्ती वरून वर्तुळ आणि बाजूने आयत दिसते.
- परीक्षेसाठी : पार्टी टोपी बाजूने त्रिकोण आणि वरून वर्तुळ दिसते.
नियम 2 : घन मोजणे — घन = ल × रु × उ, किंवा एका थरातील घन × थरांची संख्या.
- सोपे : 5 × 4 × 3 सेमी खोक्यात 1 सेमीचे 5 × 4 × 3 = 60 घन बसतात.
- मध्यम : एका थरात 4 × 3 = 12 घन; 5 थर = 60 घन.
- परीक्षेसाठी : 100 घन 5 × 5 × 4 खोका बरोबर भरतात (5 × 5 × 4 = 100).
आकड्यांवरून घन ओळखा : 5 पृ, 8 क, 5 शि म्हणजे चौरस पिरॅमिड; 2 सपाट पृष्ठे, 1 वक्र पृष्ठ आणि शिरोबिंदू नाही म्हणजे वृत्तचिती.
घन मोजण्यासाठी ल + रु + उ मिळवणे. गुणायला हवे.
आठवणीची युक्ती : वरचे दृश्य = पाया; बाजूचे दृश्य = उंची.
फरक ओळखा
| घन | वरचे / बाजूचे दृश्य |
|---|---|
| घन | चौरस / चौरस |
| वृत्तचिती | वर्तुळ / आयत |
| शंकू | वर्तुळ / त्रिकोण |
सरावासाठी प्रश्न
- 1फासा वरून कसा दिसतो?
- 2शंकू बाजूने कसा दिसतो?
- 3चेंडू सर्व बाजूंनी कसा दिसतो?
- 45 × 4 × 3 सेमी खोक्यात 1 सेमीचे किती घन बसतात?
- 5घनाला 2 सपाट पृष्ठे, 1 वक्र पृष्ठ आणि शिरोबिंदू नाही. नाव सांगा.
- 6घनाला 5 पृष्ठे, 8 कडा आणि 5 शिरोबिंदू आहेत. नाव सांगा.
- 7खोक्याच्या खालच्या थरात 4 × 3 घन आहेत आणि 5 थर आहेत. एकूण घन?
- 8मीनाकडे 1 सेमीचे 100 घन आहेत. ती 5 × 5 × 4 सेमी खोका बरोबर भरू शकते का? कसे ते दाखवा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1चौरस
- 2त्रिकोण
- 3वर्तुळ
- 460
- 5वृत्तचिती
- 6चौरस पिरॅमिड
- 712 × 5 = 60
- 8होय, 5 × 5 × 4 = 100 घन.