यादृच्छिक चल आणि संभाव्यता वस्तुमान फल
दोन नाणी उडवली तर छाप्यांची संख्या 0, 1 किंवा 2 येते आणि प्रत्येकाची शक्यता वेगळी असते. प्रत्येक किमतीसमोर तिची शक्यता लिहिलेली यादी म्हणजे संभाव्यता वितरण (probability distribution).
यादृच्छिक चल (random variable) X हा प्रत्येक निष्पत्तीला एक संख्या देतो. खंडित यादृच्छिक चल X साठी संभाव्यता वस्तुमान फल (probability mass function) p(x) = P(X = x) मध्ये p(x) ≥ 0 आणि Σp(x) = 1 असते. संचयी वितरण फल (cumulative distribution function) F(x) = P(X ≤ x).
नियम 1 : तपासणी — सर्व p(x) ≥ 0 आणि त्यांची बेरीज 1.
नियम 2 : अज्ञात काढणे — स्थिरांक काढण्यासाठी Σp(x) = 1 वापरा.
सूत्र कसे मिळते? : दोन नाणी, X = छाप्यांची संख्या : P(0) = ¼, P(1) = ½, P(2) = ¼, बेरीज 1. F(0) = ¼, F(1) = ¾, F(2) = 1.
- सोपे : x = 1, …, 6 साठी p(x) = 1/6 हे वैध वितरण आहे (समतोल फासा).
- मध्यम : x = 1, 2, 3, 4 साठी P(X = x) = kx : k(1 + 2 + 3 + 4) = 1 ⇒ k = 1/10.
- परीक्षेतील प्रकार : P(X = 0, 1, 2, 3) = k, 2k, 3k, 4k असेल तर 10k = 1, म्हणजे k = 1/10 आणि P(X ≤ 1) = 3/10.
सर्व किमतींच्या संभाव्यतांची बेरीज 1 असते.
F(x) ला p(x) समजणे.
दोन ओळींचा तक्ता करा : x आणि p(x). आठवणीची युक्ती : “तक्ता, बेरीज एक.”
खंडित यादृच्छिक चल X साठी P(X < 2) आणि P(X ≤ 2) वेगळे असतात.
CET पद्धतीचे उदाहरण : x = 1, 2, 3, 4 साठी P(X = x) = kx असेल तर k = (A) 1/10 (B) 1/4 (C) 1/5 (D) 1/6
उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ही बेरीज घ्या.
फरक ओळखा
| फल | अर्थ |
|---|---|
| p(x) | P(X = x) |
| F(x) | P(X ≤ x) |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) वितरणातील सर्व p(x) ची बेरीज किती?
- 2) X = दोन उड्यांतील छाप्यांची संख्या : p(1) किती?
- 3) तोच X : F(1) किती?
मध्यम
- 4) x = 1, 2, 3, 4 साठी P(X = x) = kx असेल तर k काढा.
- 5) त्या k साठी P(X ≤ 2) किती?
- 6) x = 0..3 साठी P(X = x) = k, 2k, 3k, 4k : k काढा.
कठीण
- 7) x = 1, 2, 3 साठी P(X = x) = x/3 हे वैध आहे का?
- 8) वरील k = 1/10 असलेल्या वितरणासाठी F(2) काढा.
उत्तरे
- 1) 1.
- 2) 1/2.
- 3) 3/4.
- 4) 1/10.
- 5) 3/10.
- 6) 1/10.
- 7) बेरीज = 2 ≠ 1, म्हणून वैध नाही.
- 8) 0.1 + 0.2 + 0.3 = 3/5.
अपेक्षित मूल्य, विचरण आणि प्रमाप विचलन
एखादा खेळ अनेक वेळा खेळलात तर प्रत्येक खेळातील सरासरी फायदा म्हणजे अपेक्षित मूल्य; आणि निकाल त्या सरासरीभोवती किती हेलकावतात ते विचरण सांगते.
अपेक्षित मूल्य (expected value) E(X) = Σ x p(x). विचरण (variance) Var(X) = E(X²) − [E(X)]², जिथे E(X²) = Σ x² p(x). प्रमाप विचलन (standard deviation) σ = √Var(X).
नियम 1 : मध्य — E(X) = Σ x·p(x).
नियम 2 : विचरण — Var(X) = Σ x²p(x) − (Σ x p(x))².
सूत्र कसे मिळते? : 0, 1, 2, 3 या किमतींच्या संभाव्यता 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 : E(X) = 0 + 0.2 + 0.6 + 1.2 = 2; E(X²) = 0 + 0.2 + 1.2 + 3.6 = 5; Var = 5 − 4 = 1; σ = 1.
- सोपे : दोन नाणी, X = छापे : E(X) = 0·¼ + 1·½ + 2·¼ = 1.
- मध्यम : तोच X : E(X²) = 0 + ½ + 1 = 3/2; Var = 3/2 − 1 = 1/2.
- परीक्षेतील प्रकार : समतोल फासा : E(X) = 7/2 = 3.5; Var = 35/12 ≈ 2.92.
विचरण कधीही ऋण नसते.
[E(X)]² ऐवजी E(X) वजा करून E(X²) − E(X) काढणे.
तक्त्यात x·p आणि x²·p हे स्तंभ जोडा. आठवणीची युक्ती : “वर्गांचा मध्य वजा मध्याचा वर्ग.”
संभाव्यतांचे वर्ग करू नका.
CET पद्धतीचे उदाहरण : समतोल फाशासाठी E(X) = (A) 3.5 (B) 3 (C) 4 (D) 21
उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : 1 ते 6 ची बेरीज 21; तिला 6 ने भागा.
फरक ओळखा
| परिमाण | सूत्र |
|---|---|
| E(X) | Σ x p(x) |
| Var(X) | Σ x²p(x) − [E(X)]² |
| σ | √Var(X) |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) दोन नाणी, X = छापे : E(X) किती?
- 2) त्याच X चे Var(X) किती?
- 3) समतोल फाशासाठी E(X) किती?
मध्यम
- 4) समतोल फाशासाठी Var(X) किती?
- 5) X = 0, 1, 2, 3 आणि p = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 असताना E(X) किती?
- 6) त्याच वितरणासाठी Var(X) किती?
कठीण
- 7) एका खेळात 0.2 संभाव्यतेने ₹10 मिळतात आणि अन्यथा ₹0; E(X) किती?
- 8) E(X) = 2 असेल तर E(2X + 3) किती?
उत्तरे
- 1) 1.
- 2) 1/2.
- 3) 7/2.
- 4) 35/12 ≈ 2.92.
- 5) 2.
- 6) 1.
- 7) ₹2.
- 8) 7.
सलग यादृच्छिक चल : संभाव्यता घनता फल
बसची वाट पाहण्याचा वेळ एखाद्या अंतरालातील कोणतीही किंमत घेऊ शकतो; म्हणून त्याच्या शक्यता आपण वक्राने दाखवतो आणि संभाव्यता म्हणजे त्याखालचे क्षेत्रफळ वाचतो.
संतत X साठी संभाव्यता घनता फल (probability density function) f(x) ≥ 0 असते आणि एकूण क्षेत्रफळ ∫f(x) dx = 1; P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x) dx. E(X) = ∫x f(x) dx आणि Var(X) = ∫x² f(x) dx − [E(X)]².
नियम 1 : प्रमाणित करणे — f खालील एकूण क्षेत्रफळ 1 असते.
नियम 2 : अंतरालाची संभाव्यता — P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f dx.
सूत्र कसे मिळते? : [0, 1] वर f(x) = 2x : ∫₀¹ 2x dx = 1 ✓. P(X < ½) = ∫₀^{½} 2x dx = ¼. E(X) = ∫₀¹ 2x² dx = 2/3. E(X²) = ∫₀¹ 2x³ dx = ½, म्हणून Var = ½ − 4/9 = 1/18.
- सोपे : [0, 1] वर f(x) = 2x चे एकूण क्षेत्रफळ 1 आहे.
- मध्यम : P(X < ½) = 1/4.
- परीक्षेतील प्रकार : E(X) = 2/3 आणि Var(X) = 1/18.
संतत चलासाठी P(X = a) = 0.
f(x) लाच संभाव्यता समजणे.
फक्त हवा तो अंतराल घेऊन समाकलन करा. आठवणीची युक्ती : “संभाव्यता = क्षेत्रफळ.”
f(x) ची किंमत 1 पेक्षा जास्त असू शकते; फक्त क्षेत्रफळ 1 असले पाहिजे.
CET पद्धतीचे उदाहरण : [0, 1] वर f(x) = 2x साठी P(X < ½) = (A) 1/4 (B) 1/2 (C) 1 (D) 1/8
उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : ∫₀^{½} 2x dx = x² ची किंमत ½ वर.
फरक ओळखा
| खंडित | संतत |
|---|---|
| p(x) = P(X = x) | f(x) ही घनता आहे |
| बेरीज | समाकलन |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) [0, 1] वर f(x) = 2x हे घनता फल आहे का?
- 2) त्यासाठी P(X < ½) किती?
- 3) P(X > ½) किती?
मध्यम
- 4) E(X) किती?
- 5) E(X²) किती?
- 6) Var(X) किती?
कठीण
- 7) [0, 3] वर f(x) = kx² हे घनता फल असेल तर k काढा.
- 8) [0, 2] वर f(x) = 1/2 साठी P(X < 1.5) काढा.
उत्तरे
- 1) होय, ∫ = 1.
- 2) 1/4.
- 3) 3/4.
- 4) 2/3.
- 5) 1/2.
- 6) 1/18.
- 7) k·9 = 1 ⇒ k = 1/9.
- 8) 3/4.