बर्नौली चाचण्या आणि द्विपद संभाव्यता
नाणे 5 वेळा उडवून छापे मोजणे, किंवा 10 बल्ब तपासून नादुरुस्त बल्ब मोजणे — ही प्रत्येक वेळी सारखी शक्यता असलेली, होय/नाही स्वरूपाची पुनरावृत्त चाचण्या आहेत.
बर्नौली चाचणी (Bernoulli trial) मध्ये दोनच निष्पत्ती असतात — यश (संभाव्यता p) आणि अपयश (q = 1 − p). n स्वतंत्र चाचण्यांत यशांची संख्या X असेल तर X चे द्विपद वितरण (binomial distribution) B(n, p) असते : P(X = r) = ⁿCᵣ pʳ qⁿ⁻ʳ, r = 0, 1, …, n.
नियम 1 : अटी — n ठराविक, दोन निष्पत्ती, चाचण्या स्वतंत्र, p स्थिर.
नियम 2 : सूत्र — P(X = r) = ⁿCᵣ pʳ (1 − p)ⁿ⁻ʳ.
सूत्र कसे मिळते? : एक समतोल नाणे 4 वेळा उडवले : P(अगदी 2 छापे) = ⁴C₂ (½)² (½)² = 6/16 = 3/8.
- सोपे : n = 4, p = ½ : P(X = 2) = 3/8.
- मध्यम : नाणे 5 वेळा उडवले : P(किमान 4 छापे) = ⁵C₄/32 + 1/32 = 6/32 = 3/16.
- परीक्षेतील प्रकार : फासा 6 वेळा टाकला : P(अगदी दोन सहा) = ⁶C₂(1/6)²(5/6)⁴ = 15 × 625/46656 ≈ 0.201.
r = 0 ते n साठीच्या सर्व संभाव्यतांची बेरीज 1 असते.
ⁿCᵣ विसरणे.
n मोठा असेल तर “किमान” = 1 − P(एकही नाही). आठवणीची युक्ती : “n मधून r निवड, p चा r घात, q चा उरलेला घात.”
सर्व चाचण्यांत p आणि q एकाच घटनेसाठी असले पाहिजेत.
CET पद्धतीचे उदाहरण : एक समतोल नाणे 4 वेळा उडवले; अगदी 2 छापे येण्याची संभाव्यता (A) 3/8 (B) 1/4 (C) 1/2 (D) 5/16
उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : ⁴C₂ = 6, त्याला 16 ने भागा.
फरक ओळखा
| चिन्ह | अर्थ |
|---|---|
| n | चाचण्यांची संख्या |
| p | यशाची संभाव्यता |
| q | 1 − p |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) द्विपद वितरणाच्या अटी कोणत्या?
- 2) n = 3, p = ½ : P(X = 0) किती?
- 3) n = 4, p = ½ : P(X = 2) किती?
मध्यम
- 4) नाणे 5 वेळा उडवले : अगदी 3 छापे येण्याची संभाव्यता किती?
- 5) नाणे 5 वेळा उडवले : किमान 4 छापे येण्याची संभाव्यता किती?
- 6) 10 बल्ब, प्रत्येक p = 0.1 ने नादुरुस्त : एकही नादुरुस्त नसण्याची संभाव्यता किती?
कठीण
- 7) फासा 6 वेळा टाकला : अगदी दोन सहा येण्याची संभाव्यता किती?
- 8) नाणे 3 वेळा उडवले : किमान एक छापा येण्याची संभाव्यता किती?
उत्तरे
- 1) n ठराविक, दोन निष्पत्ती, स्वतंत्र चाचण्या, p स्थिर.
- 2) 1/8.
- 3) 3/8.
- 4) 10/32 = 5/16.
- 5) 3/16.
- 6) 0.9¹⁰ ≈ 0.349.
- 7) ≈ 0.201.
- 8) 1 − 1/8 = 7/8.
द्विपद वितरणाचा मध्य, विचरण आणि प्रमाप विचलन
एखादा बास्केटबॉल खेळाडू 5 पैकी सरासरी 3 वेळा गोल करत असेल, तर 100 प्रयत्नांत सुमारे 60 गोल अपेक्षित असतात, आणि त्याभोवती थोडा नैसर्गिक फरक असतो.
X ~ B(n, p) साठी : मध्य (mean) E(X) = np, विचरण (variance) Var(X) = npq, प्रमाप विचलन (standard deviation) σ = √(npq). नेहमी 0 < q < 1, म्हणून Var(X) < E(X).
नियम 1 : मध्य — np.
नियम 2 : विचरण — npq.
सूत्र कसे मिळते? : n = 12, p = 1/3 : मध्य = 12 × 1/3 = 4; विचरण = 12 × (1/3)(2/3) = 8/3; σ = √(8/3) ≈ 1.63.
- सोपे : n = 10, p = 0.5 : मध्य 5, विचरण 2.5.
- मध्यम : n = 12, p = 1/3 : मध्य 4, विचरण 8/3.
- परीक्षेतील प्रकार : मध्य = 6 आणि विचरण = 4.5 असेल तर q = 4.5/6 = 0.75, p = 0.25, n = 24.
विचरण हे मध्यापेक्षा लहान असते.
npq ला मध्य समजणे.
विचरण ÷ मध्य = q, यावरून p काढा. आठवणीची युक्ती : “मध्य np, पसारा npq.”
दिलेले विचरण मध्यापेक्षा मोठे असेल तर ती माहिती द्विपद असू शकत नाही.
CET पद्धतीचे उदाहरण : B(12, 1/3) चे विचरण (A) 8/3 (B) 4 (C) 3 (D) 2/3
उत्तर : (A). npq = 12 × 1/3 × 2/3. वेळ वाचवणारी पद्धत : आधी np काढा, मग q ने गुणा.
फरक ओळखा
| राशी | B(n, p) |
|---|---|
| मध्य | np |
| विचरण | npq |
| प्रमाप विचलन | √(npq) |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) B(10, 0.5) चा मध्य किती?
- 2) B(10, 0.5) चे विचरण किती?
- 3) B(12, 1/3) चा मध्य किती?
मध्यम
- 4) B(12, 1/3) चे विचरण किती?
- 5) B(12, 1/3) चे σ किती?
- 6) मध्य 6 आणि विचरण 4.5 : p काढा.
कठीण
- 7) मध्य 6, विचरण 4.5 : n काढा.
- 8) द्विपद वितरणाचा मध्य 4 आणि विचरण 5 असू शकते का?
उत्तरे
- 1) 5.
- 2) 2.5.
- 3) 4.
- 4) 8/3.
- 5) ≈ 1.63.
- 6) q = 0.75, p = 0.25.
- 7) n = 6/0.25 = 24.
- 8) नाही; कारण विचरण npq < np.