अवकल समीकरणाची कोटी, घात आणि निर्मिती
चहा थंड होण्याचे वर्णन त्याचे तापमान आणि तापमान घटण्याचा दर यांना जोडणाऱ्या समीकरणाने केले जाते; तेच अवकल समीकरण.
ज्या समीकरणात अवकलज असतात त्याला अवकल समीकरण (differential equation) म्हणतात. त्याची कोटी (order) म्हणजे त्यातील सर्वोच्च अवकलजाची कोटी; त्याचा घात (degree) म्हणजे अवकलजांमध्ये मूळचिन्ह आणि अपूर्णांक नसताना त्या सर्वोच्च अवकलजाचा घातांक. व्यापक उत्तर (general solution) मध्ये कोटीइतके स्वैर स्थिरांक असतात.
नियम 1 : निर्मिती — वक्रकुलात जितके स्वैर स्थिरांक असतील तितक्या वेळा अवकलन करा, मग स्थिरांक वगळा.
सूत्र कसे मिळते? : y = Ae^x : y′ = Ae^x = y, म्हणून हे कुल dy/dx = y ला पाळते (कोटी 1, घात 1). y = mx + c (दोन स्थिरांक) : y′ = m, y″ = 0, म्हणून d²y/dx² = 0.
- सोपे : dy/dx + y = 0 : कोटी 1, घात 1.
- मध्यम : (y″)² + (y′)³ = x : कोटी 2, घात 2.
- परीक्षेतील प्रकार : कुल y = Ax² + B : y′ = 2Ax, y″ = 2A; y′/x = y″ यावरून A वगळला जातो आणि x y″ = y′ मिळते.
कोटी म्हणजे सर्वोच्च अवकलजाची कोटी; घात म्हणजे त्याचा घातांक.
y किंवा x च्या घातांकाला घात समजणे.
स्वैर स्थिरांकांची संख्या = समीकरणाची कोटी. आठवणीची युक्ती : “स्थिरांक = कोटी.”
समीकरण अवकलजांमध्ये बहुपदी असेल तरच घात निश्चित असतो.
CET पद्धतीचे उदाहरण : (y″)² + (y′)³ = x ची कोटी आणि घात (A) 2, 2 (B) 2, 3 (C) 3, 2 (D) 1, 2
उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : सर्वोच्च अवकलज y″ आहे, त्याचा घातांक 2.
फरक ओळखा
| संज्ञा | अर्थ |
|---|---|
| कोटी | सर्वोच्च अवकलज |
| घात | सर्वोच्च अवकलजाचा घातांक |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) dy/dx + y = 0 ची कोटी किती?
- 2) dy/dx + y = 0 चा घात किती?
- 3) d²y/dx² + y = 0 ची कोटी किती?
मध्यम
- 4) (y″)² + (y′)³ = x ची कोटी आणि घात किती?
- 5) y = Ae^x चे अवकल समीकरण लिहा.
- 6) y = mx (m स्वैर) चे अवकल समीकरण लिहा.
कठीण
- 7) y = mx + c चे अवकल समीकरण लिहा.
- 8) y = A cos x + B sin x चे अवकल समीकरण लिहा.
उत्तरे
- 1) 1.
- 2) 1.
- 3) 2.
- 4) कोटी 2, घात 2.
- 5) dy/dx = y.
- 6) y = x dy/dx.
- 7) d²y/dx² = 0.
- 8) y″ + y = 0.
चल विभाजन (variable separable) समीकरणे
लोकसंख्या तिच्या आकाराच्या प्रमाणात वाढत असेल तर समाकलन करण्याआधी चल P आणि वेळ t वेगवेगळ्या बाजूंना नेता येतात.
dy/dx = f(x)·g(y) असेल तर dy/g(y) = f(x) dx असे लिहा आणि दोन्ही बाजूंचे समाकलन करा. विशिष्ट उत्तर (particular solution) दिलेल्या अटीने स्थिरांक ठरवते.
नियम 1 : वेगळे करा — सर्व y आणि dy एका बाजूला, सर्व x आणि dx दुसऱ्या बाजूला.
नियम 2 : समाकलन — दोन्ही बाजूंचे समाकलन करा आणि एक स्थिरांक जोडा.
सूत्र कसे मिळते? : dy/dx = 2xy : dy/y = 2x dx ⇒ log y = x² + C ⇒ y = Ke^{x²}.
- सोपे : y(0) = 1 सह dy/dx = 3x² : y = x³ + C, C = 1 ⇒ y = x³ + 1.
- मध्यम : dy/dx = y/x : log y = log x + C ⇒ y = kx.
- परीक्षेतील प्रकार : dy/dx = 2xy : y = Ke^{x²}.
दोन्ही बाजूंचे समाकलन केल्यावर फक्त एकच स्वैर स्थिरांक लागतो.
y ने भागताना y = 0 ही विशेष उकल विसरणे.
∫dy/g(y) = ∫f(x)dx असे लिहा. आठवणीची युक्ती : “y सोबत dy, x सोबत dx.”
लॉग येत असेल तर स्थिरांक log C असा लिहिल्याने सोपे होते.
CET पद्धतीचे उदाहरण : dy/dx = y/x ची उकल (A) y = kx (B) y = k/x (C) y = x + k (D) y = kx²
उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : वेगळे करा : dy/y = dx/x.
फरक ओळखा
| उकल | स्थिरांक |
|---|---|
| व्यापक | स्वैर स्थिरांक |
| विशिष्ट | अटींनी ठरवलेले स्थिरांक |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) y(0) = 1 सह dy/dx = 3x² सोडवा.
- 2) dy/dx = y सोडवा.
- 3) dy/dx = y/x सोडवा.
मध्यम
- 4) dy/dx = 2xy सोडवा.
- 5) dy/dx = x/y सोडवा.
- 6) dy/dx = e^{x − y} सोडवा.
कठीण
- 7) y(0) = 0 सह dy/dx = (1 + y²) सोडवा.
- 8) y(0) = 3 सह dy/dx = y सोडवा.
उत्तरे
- 1) y = x³ + 1.
- 2) y = Ke^x.
- 3) y = kx.
- 4) y = Ke^{x²}.
- 5) y dy = x dx ⇒ y² = x² + c.
- 6) e^y dy = e^x dx ⇒ e^y = e^x + C.
- 7) tan⁻¹y = x ⇒ y = tan x.
- 8) y = 3e^x.
समघात अवकल समीकरणे
मोठ्या पार्टीसाठी पाककृती दुप्पट करताना अंश आणि छेद दोन्ही बरोबर वाढतात; तसेच y/x हे गुणोत्तर संपूर्ण वर्तन सांगते.
dy/dx = f(y/x) हे समघात (homogeneous) समीकरण आहे. y = vx घ्या, म्हणून dy/dx = v + x dv/dx; यामुळे v आणि x मध्ये चल वेगळे करता येणारे समीकरण मिळते. शेवटी v = y/x ठेवा.
नियम 1 : चाचणी — x च्या जागी kx आणि y च्या जागी ky ठेवा; गुणोत्तर बदलले नाही तर समीकरण समघात आहे.
नियम 2 : प्रतिस्थापन — y = vx ⇒ v + x dv/dx = f(v).
सूत्र कसे मिळते? : dy/dx = (x + y)/x : v + x dv/dx = 1 + v ⇒ x dv/dx = 1 ⇒ dv = dx/x ⇒ v = log x + C ⇒ y = x(log x + C).
- सोपे : dy/dx = y/x हे समघात आहे (v = y/x).
- मध्यम : dy/dx = (x + y)/x यावरून y = x(log x + C).
- परीक्षेतील प्रकार : dy/dx = (x² + y²)/(2xy) : v + x v′ = (1 + v²)/(2v) ⇒ x v′ = (1 − v²)/(2v) ⇒ ∫2v/(1 − v²) dv = log x + c ⇒ x² − y² = Cx.
शेवटी नेहमी y/x कडे परत या.
समीकरण न जुळवता v = x/y वापरणे.
अंश आणि छेद x ने भागा म्हणजे f(y/x) दिसते. आठवणीची युक्ती : “y = vx, मग वेगळे करा.”
x v′ हा फक्त v चा अवकलज नाही; dv/dx ला x ने गुणलेले आहे हे लक्षात ठेवा.
CET पद्धतीचे उदाहरण : dy/dx = (x + y)/x ची उकल (A) y = x(log x + C) (B) y = x + C (C) y = C/x (D) y = x²
उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : v + x v′ = 1 + v.
फरक ओळखा
| प्रकार | प्रतिस्थापन |
|---|---|
| समघात | y = vx |
| चल वेगळे करता येणारे | काही नाही |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) dy/dx = (x + y)/x हे समघात आहे का?
- 2) समघात समीकरणांसाठी प्रतिस्थापन कोणते?
- 3) तेव्हा dy/dx = ?
मध्यम
- 4) dy/dx = (x + y)/x सोडवा.
- 5) y(1) = 0 असताना dy/dx = y/x + 1 सोडवा.
- 6) x dy/dx = y + x सोडवा.
कठीण
- 7) dy/dx = (x² + y²)/(2xy) सोडवा.
- 8) dy/dx = y/x + 1 साठी y = x log x ची तपासणी करा.
उत्तरे
- 1) होय; ते 1 + y/x इतके आहे.
- 2) y = vx.
- 3) v + x dv/dx.
- 4) y = x(log x + C).
- 5) y = x log x.
- 6) y = x(log x + C).
- 7) x² − y² = Cx.
- 8) y′ = log x + 1 = y/x + 1 ✓.
प्रथम कोटीची रेषीय अवकल समीकरणे
स्वतःच्या पातळीशी संबंधित दराने रिकामी होत असताना भरणारी टाकी हे रेषीय समीकरण आहे : दर हा y मधील पद आणि x मधील पद यांची बेरीज असतो.
dy/dx + P y = Q (P, Q हे x चे फल) हे रेषीय (linear) समीकरण आहे. समाकलक गुणक (integrating factor) I.F. = e^{∫P dx}. उकल : y·(I.F.) = ∫Q·(I.F.) dx + C.
नियम 1 : प्रमाणित रूप — I.F. काढण्याआधी समीकरण dy/dx + P y = Q असे लिहा.
नियम 2 : सोडवा — y × I.F. = ∫ Q × I.F. dx + C.
सूत्र कसे मिळते? : dy/dx + 2y = e^{−x} : P = 2, I.F. = e^{2x}. y e^{2x} = ∫e^{x} dx = e^{x} + C ⇒ y = e^{−x} + C e^{−2x}.
- सोपे : dy/dx + y = 0 : I.F. = e^x; y e^x = C ⇒ y = Ce^{−x}.
- मध्यम : dy/dx + y/x = x² : I.F. = x; xy = x⁴/4 + C ⇒ y = x³/4 + C/x.
- परीक्षेतील प्रकार : dy/dx + 2y = e^{−x} : y = e^{−x} + Ce^{−2x}.
समाकलक गुणकामुळे डावी बाजू y × I.F. चा अवकलज बनते.
dy/dx चा गुणांक आधी 1 करून समीकरण न लिहिणे.
e^{log f} = f; म्हणून P = 1/x साठी I.F. = x. आठवणीची युक्ती : “I.F. = e चा (P चे समाकलन) घात.”
I.F. काढताना स्थिरांक जोडू नका.
CET पद्धतीचे उदाहरण : dy/dx + y/x = x² चा I.F. (A) x (B) 1/x (C) e^x (D) log x
उत्तर : (A). e^{log x} = x. वेळ वाचवणारी पद्धत : e^{∫(1/x)dx} वापरा.
फरक ओळखा
| भाग | अर्थ |
|---|---|
| P | y चा गुणांक |
| Q | उजवी बाजू |
| I.F. | e^{∫P dx} |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) dy/dx + y = x चा I.F. किती?
- 2) dy/dx + 2y = e^{−x} चा I.F. किती?
- 3) dy/dx + y/x = x² चा I.F. किती?
मध्यम
- 4) dy/dx + y = 0 सोडवा.
- 5) dy/dx + y/x = x² सोडवा.
- 6) dy/dx + 2y = e^{−x} सोडवा.
कठीण
- 7) dy/dx + y = x सोडवा.
- 8) y(1) = 2 असताना dy/dx + y/x = 1 सोडवा.
उत्तरे
- 1) e^x.
- 2) e^{2x}.
- 3) x.
- 4) y = Ce^{−x}.
- 5) y = x³/4 + C/x.
- 6) y = e^{−x} + Ce^{−2x}.
- 7) y = x − 1 + Ce^{−x}.
- 8) xy = x²/2 + C; 2 = ½ + C ⇒ y = x/2 + 3/(2x).