वक्राखालील क्षेत्रफळ
वाकड्या सीमेचे शेत मोजताना शेतकरी त्याचे अतिशय पातळ पट्टे करून त्यांची क्षेत्रफळे मिळवतो; समाकलन (integral) नेमके हेच करते.
y = f(x), x-अक्ष आणि रेषा x = a, x = b यांनी मर्यादित केलेले क्षेत्रफळ (f ≥ 0 असताना) A = ∫ₐᵇ f(x) dx. f < 0 असेल तर मापांक (modulus) घ्या. y-अक्षाने मर्यादित प्रदेशासाठी A = ∫ x dy वापरा.
नियम 1 : अक्षाच्या वर — A = ∫ₐᵇ y dx.
नियम 2 : अक्षाच्या खाली — A = |∫ₐᵇ y dx|; वक्र अक्षाला ओलांडत असेल तेव्हा छेदबिंदूंवर भाग करा.
आकृतीत : y = x² खाली 0 ते 3 पर्यंतचे रंगवलेले क्षेत्रफळ ∫₀³ x² dx = 9 आहे.
सूत्र कसे मिळते? : A = ∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = 9 − 0 = 9 चौरस एकके.
- सोपे : y = x² खाली 0 ते 3 पर्यंतचे क्षेत्रफळ 9 आहे.
- मध्यम : y = sin x खाली 0 ते π पर्यंतचे क्षेत्रफळ [−cos x]₀^π = 2.
- परीक्षेतील प्रकार : y = x² − 4 आणि x-अक्ष यांच्यामधील क्षेत्रफळ : −2 ते 2 मध्ये वक्र अक्षाखाली आहे, म्हणून क्षेत्रफळ = ∫₋₂² (4 − x²) dx = 32/3.
क्षेत्रफळ कधीही ऋण नसते.
अक्षाखालील प्रदेशाचे क्षेत्रफळ ऋण लिहिणे.
आधी आकृती काढा; x-छेदबिंदूंवर भाग करा. आठवणीची युक्ती : “काढा, तोडा, जोडा.”
चिन्ह बदलणाऱ्या जागेवरून एकाच वेळी समाकलन करू नका; क्षेत्रफळे एकमेकांत कापली जातात.
CET पद्धतीचे उदाहरण : y = x² खाली x = 0 ते 3 पर्यंतचे क्षेत्रफळ (A) 9 (B) 27 (C) 3 (D) 18
उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : x = 3 वर x³/3.
फरक ओळखा
| प्रदेश | क्षेत्रफळ | ||
|---|---|---|---|
| वक्र x-अक्षाच्या वर | ∫ y dx | ||
| वक्र x-अक्षाच्या खाली | ∫ y dx |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) y = x खाली 0 ते 4 पर्यंतचे क्षेत्रफळ काढा.
- 2) y = x² खाली 0 ते 3 पर्यंतचे क्षेत्रफळ काढा.
- 3) y = sin x खाली 0 ते π पर्यंतचे क्षेत्रफळ काढा.
मध्यम
- 4) y = eˣ खाली 0 ते 1 पर्यंतचे क्षेत्रफळ काढा.
- 5) y = 1/x खाली 1 ते e पर्यंतचे क्षेत्रफळ काढा.
- 6) y = x² − 4 आणि x-अक्ष यांच्यामधील क्षेत्रफळ काढा.
कठीण
- 7) वर्तुळ x² + y² = a² चे क्षेत्रफळ समाकलनाने काढा.
- 8) विवृत्त (ellipse) x²/a² + y²/b² = 1 चे क्षेत्रफळ काढा.
उत्तरे
- 1) 8.
- 2) 9.
- 3) 2.
- 4) e − 1 ≈ 1.718.
- 5) 1.
- 6) 32/3 ≈ 10.67.
- 7) 4∫₀ᵃ √(a² − x²) dx = πa².
- 8) πab.
दोन वक्रांमधील क्षेत्रफळ
दोन नद्यांमधील पायवाटेला दोन काठ असतात; तिचे क्षेत्रफळ म्हणजे वरच्या काठाखालचे क्षेत्रफळ वजा खालच्या काठाखालचे क्षेत्रफळ.
[a, b] वर f(x) ≥ g(x) असेल तर दोन वक्रांमधील क्षेत्रफळ ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx. वक्र कुठे भेटतात ते a आणि b शोधा.
नियम 1 : छेदबिंदू — मर्यादा मिळवण्यासाठी f(x) = g(x) सोडवा.
नियम 2 : वजाबाकी — वरचा वक्र वजा खालचा वक्र.
सूत्र कसे मिळते? : y = x आणि y = x² : x = x² ⇒ x = 0, 1. क्षेत्रफळ = ∫₀¹ (x − x²) dx = ½ − ⅓ = 1/6.
- सोपे : y = x आणि y = x² यांच्यामधील क्षेत्रफळ 1/6.
- मध्यम : y = 2x आणि y = x² यांच्यामधील क्षेत्रफळ : ते 0 आणि 2 वर भेटतात; ∫₀² (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3.
- परीक्षेतील प्रकार : y = x² आणि y = 4 ने वेढलेले क्षेत्रफळ : ∫₋₂² (4 − x²) dx = 32/3.
त्या अंतरालात कोणता वक्र वर आहे ते तपासा.
वरच्या वक्रातून खालचा वजा करण्याऐवजी उलट वजा करून क्षेत्रफळ ऋण काढणे.
अंतरालातील एक बिंदू घेऊन कोणता वक्र वर आहे ते तपासा. आठवणीची युक्ती : “वर वजा खाली.”
वक्र दोनपेक्षा जास्त वेळा छेदू शकतात; प्रत्येक छेदबिंदूवर अंतराल तोडा.
CET पद्धतीचे उदाहरण : y = x आणि y = x² यांच्यामधील क्षेत्रफळ (A) 1/6 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 1/12
उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : ∫₀¹ (x − x²) dx.
फरक ओळखा
| स्थिती | सूत्र |
|---|---|
| f वर, g खाली | ∫(f − g) dx |
| g वर, f खाली | ∫(g − f) dx |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) y = x आणि y = x² जिथे भेटतात ते बिंदू काढा.
- 2) y = x आणि y = x² यांच्यामधील क्षेत्रफळ काढा.
- 3) y = 2x आणि y = x² जिथे भेटतात ते बिंदू काढा.
मध्यम
- 4) y = 2x आणि y = x² यांच्यामधील क्षेत्रफळ काढा.
- 5) y = x² आणि y = 4 यांच्यामधील क्षेत्रफळ काढा.
- 6) y = x² आणि y = x + 2 यांच्यामधील क्षेत्रफळ काढा.
कठीण
- 7) y² = 4x आणि y = x यांच्यामधील क्षेत्रफळ काढा.
- 8) 0 ते 1 मध्ये y = x आणि y = x³ यांच्यामधील क्षेत्रफळ काढा.
उत्तरे
- 1) x = 0 आणि 1.
- 2) 1/6.
- 3) x = 0 आणि 2.
- 4) 4/3.
- 5) 32/3.
- 6) x² = x + 2 ⇒ x = −1, 2; ∫(x + 2 − x²) = 9/2.
- 7) x = 0, 4; ∫₀⁴ (2√x − x) dx = 32/3 − 8 = 8/3.
- 8) ½ − ¼ = 1/4.