Lesson 4: Definite Integration

नियम 1 : किंमत काढणे — प्रतिअवकलज (antiderivative) काढा, वरची मर्यादा ठेवा, आणि खालच्या मर्यादेवरील किंमत वजा करा.

नियम 2 : उलटणे — ∫ₐᵇ f dx = −∫ᵇₐ f dx; ∫ₐᵃ f dx = 0; ∫ₐᵇ f = ∫ₐᶜ f + ∫ᶜᵇ f.

सूत्र कसे मिळते? : ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667.

• सोपे : ∫₀² x² dx = 8/3.
• मध्यम : ∫₀^{π/2} cos x dx = sin(π/2) − sin 0 = 1.
• परीक्षेतील प्रकार : ∫₁^e (1/x) dx = log e − log 1 = 1.

CET पद्धतीचे उदाहरण : ∫₀² x² dx = (A) 8/3 (B) 4 (C) 2 (D) 8

उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : x³/3 वापरा.

फरक ओळखा

सराव प्रश्न

सोपे

• 1) ∫₀¹ x dx
• 2) ∫₀² x² dx
• 3) ∫₀^{π/2} cos x dx

मध्यम

• 4) ∫₁^e dx/x
• 5) ∫₀¹ eˣ dx
• 6) ∫₁² (x + 1/x²) dx

कठीण

• 7) ∫₀^π sin x dx
• 8) ∫₀^1 x eˣ dx

उत्तरे

• 1) 1/2.
• 2) 8/3.
• 3) 1.
• 4) 1.
• 5) e − 1 ≈ 1.718.
• 6) [x²/2 − 1/x]₁² = (2 − ½) − (½ − 1) = 2.
• 7) 2.
• 8) [(x − 1)eˣ]₀¹ = 0 − (−1) = 1.

नियम 1 : मर्यादा बदला — x = a ⇒ u = g(a); x = b ⇒ u = g(b).

सूत्र कसे मिळते? : ∫₀¹ (2x + 1)³ dx : u = 2x + 1, du = 2dx, मर्यादा 1 ते 3. ½∫₁³ u³ du = ½ [u⁴/4]₁³ = (81 − 1)/8 = 10. तपासणी : विस्तार करूनही 10 येते.

• सोपे : ∫₀¹ 2x/(1 + x²) dx : u = 1 + x², मर्यादा 1 ते 2 ⇒ [log u]₁² = log 2.
• मध्यम : ∫₀^{√3} x√(x² + 1) dx : u = x² + 1, मर्यादा 1 ते 4 ⇒ ½·(2/3)[u^{3/2}]₁⁴ = (1/3)(8 − 1) = 7/3.
• परीक्षेतील प्रकार : ∫₀^{π/2} sin x cos x dx = ½ (u = sin x, मर्यादा 0 ते 1).

CET पद्धतीचे उदाहरण : ∫₀¹ 2x/(1 + x²) dx = (A) log 2 (B) 1 (C) π/4 (D) 2

उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : u = 1 + x², मर्यादा 1, 2.

फरक ओळखा

सराव प्रश्न

सोपे

• 1) ∫₀¹ 2x/(1 + x²) dx
• 2) ∫₀¹ (2x + 1)³ dx
• 3) ∫₀^{π/2} sin x cos x dx

मध्यम

• 4) ∫₀¹ x e^{x²} dx
• 5) ∫₁² 1/(2x + 1) dx
• 6) ∫₀^{√3} x√(x² + 1) dx

कठीण

• 7) ∫₀^{π/4} tan x dx
• 8) ∫₀¹ x/(x² + 1)² dx

उत्तरे

• 1) log 2.
• 2) 10.
• 3) 1/2.
• 4) (e − 1)/2.
• 5) ½ log(5/3) ≈ 0.255.
• 6) 7/3.
• 7) [−log cos x]₀^{π/4} = ½ log 2.
• 8) [−1/(2(x² + 1))]₀¹ = −¼ + ½ = 1/4.

नियम 1 : सम / विषम — सम : f(−x) = f(x); विषम : f(−x) = −f(x).

नियम 2 : राजाची युक्ती — I = ∫f(x) आणि I = ∫f(a − x) यांची बेरीज करून 2I मिळवा.

सूत्र कसे मिळते? : I = ∫₀^{π/2} sin x/(sin x + cos x) dx. राजाच्या गुणधर्माने I = ∫₀^{π/2} cos x/(cos x + sin x) dx. बेरीज : 2I = ∫₀^{π/2} 1 dx = π/2, म्हणून I = π/4.

• सोपे : ∫₋₁¹ x³ dx = 0 (विषम फल).
• मध्यम : ∫₋₂² x² dx = 2∫₀² x² dx = 16/3.
• परीक्षेतील प्रकार : ∫₀^{π/2} sin x/(sin x + cos x) dx = π/4.

CET पद्धतीचे उदाहरण : ∫₋₁¹ x³ dx = (A) 0 (B) 1/2 (C) 2 (D) 1/4

उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : x³ विषम आहे.

फरक ओळखा

सराव प्रश्न

सोपे

• 1) ∫₋₁¹ x³ dx
• 2) ∫₋₂² x² dx
• 3) ∫₋π^π sin x dx

मध्यम

• 4) ∫₋π/2^{π/2} cos x dx
• 5) ∫₀^{π/2} sin x/(sin x + cos x) dx
• 6) ∫₀^{π/2} cos x/(sin x + cos x) dx

कठीण

• 7) राजाचा गुणधर्म वापरून ∫₀¹ x(1 − x) dx
• 8) ∫₀^{π} sin²x dx

उत्तरे

• 1) 0.
• 2) 16/3.
• 3) 0.
• 4) 2.
• 5) π/4.
• 6) π/4.
• 7) ∫₀¹ (1 − x)x dx; थेट : ½ − ⅓ = 1/6.
• 8) π/2.