उलट अवकलन म्हणून समाकलन आणि प्रमाणित समाकलने
प्रत्येक क्षणीचे स्पीडोमीटरचे वाचन माहीत असेल तर कापलेले अंतर लहान लहान तुकड्यांची बेरीज करून मिळते; अवकलज उलटवणे हेच करते. मागील प्रकरणावरून पुढे : प्रत्येक अवकलनाचे सूत्र उलट वाचता येते.
F′(x) = f(x) असेल तर ∫ f(x) dx = F(x) + C; F हे प्रतिअवकलज (antiderivative) आणि C हा समाकलन स्थिरांक (constant of integration). रेषीयता : ∫(af + bg) dx = a∫f dx + b∫g dx.
नियम 1 : घात — ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1); ∫(1/x) dx = log|x| + C; ∫eˣ dx = eˣ + C.
नियम 2 : त्रिकोणमितीय — ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫sec²x dx = tan x + C.
नियम 3 : विशेष रूपे — ∫dx/(x² + a²) = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C; ∫dx/√(a² − x²) = sin⁻¹(x/a) + C.
सूत्र कसे मिळते? : ∫(3x² + 2x + 1) dx = 3·x³/3 + 2·x²/2 + x + C = x³ + x² + x + C. अवकलन करून तपासा : 3x² + 2x + 1.
- सोपे : ∫(4x³ − 2) dx = x⁴ − 2x + C.
- मध्यम : ∫sin 2x dx = −(cos 2x)/2 + C.
- परीक्षेतील प्रकार : ∫dx/(x² + 9) = (1/3)tan⁻¹(x/3) + C; ∫dx/√(4 − x²) = sin⁻¹(x/2) + C.
नेहमी + C लिहा; उत्तराचे अवकलन करून तपासा.
∫f(ax + b) dx मध्ये 1/a चा गुणक विसरणे; याचे उत्तर F(ax + b)/a असते.
∫f(ax + b) dx साठी प्रमाणित उत्तराला a ने भागा. आठवणीची युक्ती : “समाकलन करा, आतल्या उताराने भागा, C जोडा.”
∫(1/x) dx = log|x|; ऋण x साठी मापांक महत्त्वाचा आहे.
CET पद्धतीचे उदाहरण : ∫ dx/(x² + 9) = (A) (1/3)tan⁻¹(x/3) + C (B) 3tan⁻¹(x/3) + C (C) tan⁻¹(3x) + C (D) log(x² + 9) + C
उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : a = 3 घेऊन a² चे रूप वापरा.
फरक ओळखा
| समाकलन | उत्तर | ||
|---|---|---|---|
| ∫xⁿ dx | xⁿ⁺¹/(n + 1) | ||
| ∫1/x dx | log | x | |
| ∫sin(ax) dx | −cos(ax)/a |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) ∫x² dx
- 2) ∫(3x² + 2x + 1) dx
- 3) ∫cos x dx
मध्यम
- 4) ∫sin 2x dx
- 5) ∫e^{3x} dx
- 6) ∫dx/(x² + 9)
कठीण
- 7) ∫dx/√(4 − x²)
- 8) ∫(x + 1/x)² dx
उत्तरे
- 1) x³/3 + C.
- 2) x³ + x² + x + C.
- 3) sin x + C.
- 4) −cos 2x/2 + C.
- 5) e^{3x}/3 + C.
- 6) (1/3)tan⁻¹(x/3) + C.
- 7) sin⁻¹(x/2) + C.
- 8) ∫(x² + 2 + 1/x²) dx = x³/3 + 2x − 1/x + C.
प्रतिस्थापनाने समाकलन
अंतरे बेरीज करण्याआधी किलोमीटरचे मीटर करून घेतले की बेरीज सोपी होते; प्रतिस्थापन चल बदलते आणि समाकलन प्रमाणित रूपात येते.
समाकल्यात (integrand) एक फल आणि त्याचा अवकलज दोन्ही असतील तर u = g(x), du = g′(x) dx घ्या आणि u मध्ये समाकलन करा. नंतर u च्या जागी g(x) ठेवा. उपयुक्त रूप : ∫f′(x)/f(x) dx = log|f(x)| + C.
नियम 1 : u निवडा — आतले फल u घ्या, ज्याचा अवकलज (एखाद्या स्थिरांकासह) समाकल्यात असतो.
नियम 2 : परत ठेवा — शेवटी x कडे परत या आणि C जोडा.
सूत्र कसे मिळते? : ∫x e^{x²} dx : u = x² घ्या, du = 2x dx, म्हणून x dx = du/2. ∫e^u (du/2) = e^u/2 + C = e^{x²}/2 + C.
- सोपे : ∫2x/(x² + 1) dx = log(x² + 1) + C (u = x² + 1).
- मध्यम : ∫x e^{x²} dx = e^{x²}/2 + C.
- परीक्षेतील प्रकार : ∫sin²x cos x dx = sin³x/3 + C (u = sin x).
du मध्ये एखादा स्थिरांक कमी असेल तर तो गुणून आणि भागून जुळवा.
उत्तर u मध्येच ठेवणे.
अंश हा छेदाचा अवकलज असेल तर उत्तर छेदाचा लॉग असते. आठवणीची युक्ती : “आतले फल u, त्याचा अवकलज du.”
स्थिरांक जुळवल्यानंतरही u चा अवकलज दिसत नसेल तर प्रतिस्थापन हे चुकीचे साधन आहे.
CET पद्धतीचे उदाहरण : ∫2x/(x² + 1) dx = (A) log(x² + 1) + C (B) 2 log x + C (C) tan⁻¹x + C (D) (x² + 1)² + C
उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : अंश हा छेदाचा अवकलज आहे.
फरक ओळखा
| रूप | उत्तर | ||
|---|---|---|---|
| ∫f′/f dx | log | f | + C |
| ∫f(x)ⁿ f′(x) dx | f(x)ⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) ∫2x/(x² + 1) dx
- 2) ∫(2x + 3)⁴ dx
- 3) ∫x e^{x²} dx
मध्यम
- 4) ∫cos x/sin x dx
- 5) ∫sin²x cos x dx
- 6) ∫x/(x² + 4) dx
कठीण
- 7) ∫tan x dx
- 8) ∫e^x/(1 + e^x) dx
उत्तरे
- 1) log(x² + 1) + C.
- 2) (2x + 3)⁵/10 + C.
- 3) e^{x²}/2 + C.
- 4) log|sin x| + C.
- 5) sin³x/3 + C.
- 6) (1/2)log(x² + 4) + C.
- 7) −log|cos x| + C = log|sec x| + C.
- 8) log(1 + e^x) + C.
खंडशः समाकलन
दोन बदलत्या गोष्टींच्या गुणाकाराची (दोन्ही बदलणारी किंमत × संख्या) बेरीज काढताना अवघड भाग सोप्या भागाशी अदलाबदल करतो, जसा सी-सॉ भार बदलतो.
∫u v dx = u ∫v dx − ∫[u′ ∫v dx] dx. u निवडण्यासाठी ILATE क्रम वापरा (Inverse, Logarithmic, Algebraic, Trigonometric, Exponential) : आधीचे अक्षर u असते.
नियम 1 : सूत्र — ∫u dv = uv − ∫v du.
नियम 2 : पुनरावृत्ती — नवे समाकलन पुन्हा गुणाकार असेल तर नियम आणखी एकदा लावा.
सूत्र कसे मिळते? : ∫x eˣ dx : u = x, v = eˣ ⇒ x eˣ − ∫eˣ dx = x eˣ − eˣ + C = (x − 1)eˣ + C.
- सोपे : ∫x eˣ dx = (x − 1)eˣ + C.
- मध्यम : ∫log x dx = x log x − x + C (u = log x, v = 1).
- परीक्षेतील प्रकार : ∫x log x dx = (x²/2)log x − x²/4 + C.
कोणत्या अवयवाचे अवकलन करायचे ते ILATE सांगतो.
u = eˣ आणि v = x घेणे; यामुळे समाकलन आणखी अवघड होते.
एक अवयव लॉग किंवा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय असेल तर तो u घ्या. आठवणीची युक्ती : “ILATE : आधीचे अक्षर u.”
u चे अवकलन करा, v चे समाकलन करा; दोन्ही उलटसुलट करू नका.
CET पद्धतीचे उदाहरण : ∫x eˣ dx = (A) (x − 1)eˣ + C (B) (x + 1)eˣ + C (C) x eˣ + C (D) x²eˣ/2 + C
उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : उत्तराचे अवकलन करून पाहा.
फरक ओळखा
| u म्हणून घ्या | कारण |
|---|---|
| log x | त्याचा अवकलज 1/x सोपा आहे |
| x (बैजिक) | त्याचा अवकलज स्थिरांक आहे |
| eˣ | फक्त v म्हणून; तो कधीच सोपा होत नाही |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) ∫x eˣ dx
- 2) ∫log x dx
- 3) ∫x log x dx
मध्यम
- 4) ∫x cos x dx
- 5) ∫x sin x dx
- 6) ∫tan⁻¹x dx
कठीण
- 7) ∫x² eˣ dx
- 8) ∫eˣ(sin x + cos x) dx
उत्तरे
- 1) (x − 1)eˣ + C.
- 2) x log x − x + C.
- 3) (x²/2)log x − x²/4 + C.
- 4) x sin x + cos x + C.
- 5) −x cos x + sin x + C.
- 6) x tan⁻¹x − (1/2)log(1 + x²) + C.
- 7) eˣ(x² − 2x + 2) + C.
- 8) eˣ sin x + C.
आंशिक अपूर्णांकांनी समाकलन
मिश्र रस त्याच्या साध्या घटकांत वेगळा करता येतो; तसेच गुंतागुंतीचा अपूर्णांक साध्या अपूर्णांकांत फोडला की त्याचे समाकलन सोपे होते.
अवयव पाडलेला छेद असलेला उचित परिमेय फल (proper rational function) साध्या अपूर्णांकांच्या बेरजेत लिहितात : 1/((x + a)(x + b)) = A/(x + a) + B/(x + b). A आणि B हे गुणांकांची तुलना करून, किंवा x ला प्रत्येक मूळ किंमत देऊन काढा.
नियम 1 : फोडणे — एकघाती अवयवांसाठी A/(x + a); पुनरावृत्त अवयवासाठी A/(x + a) + B/(x + a)².
नियम 2 : समाकलन — ∫dx/(x + a) = log|x + a| + C.
सूत्र कसे मिळते? : x/((x + 1)(x + 3)) = A/(x + 1) + B/(x + 3). x = −1 ठेवा : A = (−1)/2 = −1/2. x = −3 ठेवा : B = (−3)/(−2) = 3/2. समाकलन = −½ log|x + 1| + (3/2) log|x + 3| + C.
- सोपे : 1/((x + 1)(x + 2)) = 1/(x + 1) − 1/(x + 2) ⇒ ∫ = log|(x + 1)/(x + 2)| + C.
- मध्यम : 2/(x² − 1) = 1/(x − 1) − 1/(x + 1) ⇒ ∫ = log|(x − 1)/(x + 1)| + C.
- परीक्षेतील प्रकार : ∫x/((x + 1)(x + 3)) dx = −½ log|x + 1| + (3/2) log|x + 3| + C.
फोड बरोबर आहे का ते तपासण्यासाठी x = 0 वर किंमत पडताळा.
अनुचित अपूर्णांकाला आधी न भागता फोडणे.
झाकण्याची पद्धत : एक अवयव झाका आणि त्याचे मूळ बाकीच्यात ठेवा. आठवणीची युक्ती : “अवयव झाका, मूळ ठेवा.”
अंशाची घाताची कोटी ≥ छेदाची कोटी असेल तर आधी भागा.
CET पद्धतीचे उदाहरण : 1/((x + 1)(x + 2)) = (A) 1/(x + 1) − 1/(x + 2) (B) 1/(x + 1) + 1/(x + 2) (C) 2/(x + 1) − 1/(x + 2) (D) 1/(x + 2) − 1/(x + 1)
उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : x = −1 आणि x = −2 वर झाकण्याची पद्धत.
फरक ओळखा
| छेद | फोडीचे रूप |
|---|---|
| (x + a)(x + b) | A/(x + a) + B/(x + b) |
| (x + a)² | A/(x + a) + B/(x + a)² |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) 1/((x + 1)(x + 2)) फोडा.
- 2) ∫dx/((x + 1)(x + 2))
- 3) 2/(x² − 1) फोडा.
मध्यम
- 4) ∫2/(x² − 1) dx
- 5) x/((x + 1)(x + 3)) फोडा.
- 6) ∫x/((x + 1)(x + 3)) dx
कठीण
- 7) ∫dx/(x² − 4)
- 8) ∫(3x + 5)/((x + 1)(x + 2)) dx
उत्तरे
- 1) 1/(x + 1) − 1/(x + 2).
- 2) log|(x + 1)/(x + 2)| + C.
- 3) 1/(x − 1) − 1/(x + 1).
- 4) log|(x − 1)/(x + 1)| + C.
- 5) −½/(x + 1) + (3/2)/(x + 3).
- 6) −½ log|x + 1| + (3/2) log|x + 3| + C.
- 7) (1/4) log|(x − 2)/(x + 2)| + C.
- 8) A = 2, B = 1 ⇒ 2 log|x + 1| + log|x + 2| + C.