Lesson 2: Applications of Derivatives

नियम 1 : स्पर्शिका — बिंदूवरचा उतार m = dy/dx; y − y₁ = m(x − x₁).

नियम 2 : अभिलंब — उतार −1/m (m ≠ 0 असेल तर); स्पर्शिका आडवी ⇔ अभिलंब उभा.

सूत्र कसे मिळते? : y = x² − 3x + 2 चे (2, 0) वर : dy/dx = 2x − 3 = 1. स्पर्शिका : y = x − 2. अभिलंबाचा उतार −1 : y = −x + 2.

• सोपे : y = x³ चे (1, 1) वर : उतार 3; स्पर्शिका y − 1 = 3(x − 1), म्हणजे y = 3x − 2.
• मध्यम : y = x³ चा (1, 1) वरील अभिलंब : उतार −1/3, म्हणून y − 1 = −(1/3)(x − 1).
• परीक्षेतील प्रकार : y = x² − 3x + 2 ची स्पर्शिका y = 5x ला समांतर तेव्हा असते जेव्हा 2x − 3 = 5, म्हणजे x = 4.

CET पद्धतीचे उदाहरण : y = x³ च्या (1, 1) वरील अभिलंबाचा उतार (A) 3 (B) −3 (C) 1/3 (D) −1/3

उत्तर : (D). वेळ वाचवणारी पद्धत : स्पर्शिकेचा उतार 3, म्हणून अभिलंबाचा −1/3.

फरक ओळखा

सराव प्रश्न

सोपे

• 1) y = x² च्या x = 3 वरील स्पर्शिकेचा उतार किती?
• 2) y = x³ च्या x = 1 वरील स्पर्शिकेचा उतार किती?
• 3) y = x³ च्या x = 1 वरील अभिलंबाचा उतार किती?

मध्यम

• 4) y = x² − 3x + 2 ची (2, 0) वरील स्पर्शिका काढा.
• 5) y = x² − 3x + 2 चा (2, 0) वरील अभिलंब काढा.
• 6) y = x² − 3x + 2 ची स्पर्शिका y = 5x ला कुठे समांतर असते?

कठीण

• 7) y = x² − 4x + 3 ची स्पर्शिका कोणत्या बिंदूवर आडवी असते?
• 8) y = x³ ची x = 2 वरील स्पर्शिका x-अक्षाला कुठे छेदते?

उत्तरे

• 1) 6.
• 2) 3.
• 3) −1/3.
• 4) y = x − 2.
• 5) y = −x + 2.
• 6) x = 4, बिंदू (4, 6).
• 7) 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2; बिंदू (2, −1).
• 8) y = 8 + 12(x − 2); y = 0 ⇒ x = 4/3.

नियम 1 : चाचणी — f′(x) काढा, f′(x) = 0 सोडवा, मग प्रत्येक अंतरालात f′ चे चिन्ह तपासा.

सूत्र कसे मिळते? : f = x³ − 6x² + 9x : f′ = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3). x < 1 आणि x > 3 साठी धन; 1 < x < 3 साठी ऋण.

• सोपे : f = x² हे x < 0 साठी घटते आणि x > 0 साठी वाढते.
• मध्यम : f = 2x − 5 साठी f′ = 2 > 0, म्हणून सर्वत्र वाढते.
• परीक्षेतील प्रकार : f = x³ − 6x² + 9x हे (−∞, 1) आणि (3, ∞) मध्ये वाढते; (1, 3) मध्ये घटते.

CET पद्धतीचे उदाहरण : f(x) = x³ − 6x² + 9x हे कुठे घटते? (A) (1, 3) (B) (0, 1) (C) (3, 5) (D) (−∞, 1)

उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : f′ चे अवयव पाडा आणि चिन्हे तपासा.

फरक ओळखा

सराव प्रश्न

सोपे

• 1) f = 3x + 1 हे वाढते की घटते?
• 2) f = −2x हे वाढते की घटते?
• 3) f = x² हे कुठे वाढते?

मध्यम

• 4) f = x³ − 6x² + 9x साठी f′ काढा.
• 5) f = x³ − 6x² + 9x हे कुठे घटते?
• 6) f = x³ − 3x हे कुठे वाढते?

कठीण

• 7) f = x³ + x हे सर्व x साठी वाढते हे दाखवा.
• 8) f = x² − kx हे x > 2 साठी वाढते असण्यासाठी k काढा.

उत्तरे

• 1) वाढते; f′ = 3.
• 2) घटते; f′ = −2.
• 3) x > 0.
• 4) 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3).
• 5) 1 < x < 3.
• 6) f′ = 3(x² − 1) > 0 ⇒ x < −1 किंवा x > 1.
• 7) f′ = 3x² + 1 > 0 नेहमी.
• 8) x > 2 साठी f′ = 2x − k ≥ 0 ⇒ k ≤ 4.

नियम 1 : प्रथम अवकलज चाचणी — f′ + वरून − झाले ⇒ कमाल; − वरून + झाले ⇒ किमान.

नियम 2 : द्वितीय अवकलज चाचणी — f′(c) = 0 आणि f″(c) < 0 ⇒ कमाल; f″(c) > 0 ⇒ किमान.

सूत्र कसे मिळते? : f = x³ − 6x² + 9x : x = 1, 3 वर f′ = 0. f″ = 6x − 12 : f″(1) = −6 < 0 (कमाल, f = 4), f″(3) = 6 > 0 (किमान, f = 0).

• सोपे : f = x² − 4x : f′ = 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2; f″ = 2 > 0 ⇒ किमान किंमत −4.
• मध्यम : दोन संख्यांची बेरीज 20; गुणाकार x(20 − x) हा x = 10 ला सर्वाधिक, गुणाकार 100.
• परीक्षेतील प्रकार : भिंतीलगत शेताच्या तीन बाजूंना 100 मी कुंपण : 2x + y = 100, A = x(100 − 2x); A′ = 100 − 4x = 0 ⇒ x = 25, y = 50, A = 1250 m².

CET पद्धतीचे उदाहरण : भिंतीलगत तीन बाजूंना 100 मी कुंपण घेऊन मिळणारे कमाल क्षेत्रफळ (A) 1250 (B) 625 (C) 2500 (D) 1000

उत्तर : (A). x = 25, y = 50. वेळ वाचवणारी पद्धत : A = x(100 − 2x) चे अवकलन करा.

फरक ओळखा

सराव प्रश्न

सोपे

• 1) f = x² − 4x चे स्थिर बिंदू कोणते?
• 2) f = x² − 4x ची किमान किंमत किती?
• 3) f = 5 − x² ची कमाल किंमत किती?

मध्यम

• 4) f = x³ − 6x² + 9x : स्थानिक कमाल किंमत काढा.
• 5) तोच f : स्थानिक किमान किंमत काढा.
• 6) बेरीज 20 असलेल्या दोन संख्यांचा सर्वाधिक गुणाकार किती?

कठीण

• 7) तीन बाजूंना 100 मी कुंपण : कमाल क्षेत्रफळ किती?
• 8) परिमिती 40 सेमी असलेल्या आयताचे सर्वाधिक क्षेत्रफळ किती?

उत्तरे

• 1) x = 2.
• 2) x = 2 ला −4.
• 3) x = 0 ला 5.
• 4) x = 1 ला 4.
• 5) x = 3 ला 0.
• 6) 10, 10; गुणाकार 100.
• 7) 1250 m² (25 मी × 50 मी).
• 8) A = x(20 − x); x = 10; क्षेत्रफळ 100 सेमी².

नियम 1 : सन्निकटन — f(x + Δx) ≈ f(x) + f′(x)Δx, जिथे x असा निवडा की f(x) सोपी असेल.

नियम 2 : मध्यमान — प्रमेय वापरण्याआधी अटी (संतता, अवकलनीयता) तपासल्याच पाहिजेत.

सूत्र कसे मिळते? : ∛8.1 : f(x) = x^{1/3}, x = 8, Δx = 0.1, f′(8) = 1/(3·4) = 1/12. म्हणून ∛8.1 ≈ 2 + 0.1/12 ≈ 2.0083 (कॅल्क्युलेटर : 2.00830).

• सोपे : √25.2 ≈ 5 + 0.2/(2·5) = 5.02.
• मध्यम : f = x² − 4x + 3, [1, 3] वर रोल : f(1) = f(3) = 0; f′ = 2x − 4 = 0 ⇒ c = 2.
• परीक्षेतील प्रकार : f = x², [1, 3] वर लॅग्रांज : उतार (9 − 1)/2 = 4 = 2c ⇒ c = 2.

CET पद्धतीचे उदाहरण : ∛8.1 ची अंदाजे किंमत (A) 2.0083 (B) 2.1 (C) 2.01 (D) 2.083

उत्तर : (A). वेळ वाचवणारी पद्धत : f′(8) = 1/12.

फरक ओळखा

सराव प्रश्न

सोपे

• 1) √25.2 ची अंदाजे किंमत काढा.
• 2) √16.1 ची अंदाजे किंमत काढा.
• 3) ∛8.1 ची अंदाजे किंमत काढा.

मध्यम

• 4) (1.02)² ची अंदाजे किंमत काढा.
• 5) f = x² − 4x + 3, [1, 3] वर रोलमधील c काढा.
• 6) f = x², [1, 3] वर लॅग्रांजमधील c काढा.

कठीण

• 7) f = x³, [0, 2] वर लॅग्रांजमधील c काढा.
• 8) [−1, 1] वर f = |x| साठी रोलचे प्रमेय का चालत नाही?

उत्तरे

• 1) 5.02.
• 2) 4 + 0.1/8 = 4.0125.
• 3) 2.0083.
• 4) 1 + 2(0.02) = 1.04 (अचूक 1.0404).
• 5) c = 2.
• 6) c = 2.
• 7) 3c² = (8 − 0)/2 = 4 ⇒ c = 2/√3 ≈ 1.155.
• 8) f हे x = 0 वर अवकलनीय नाही.