साखळी नियम : संयुक्त फलांचे अवकलज
स्पीडोमीटर ओडोमीटर किती वेगाने बदलतो ते दाखवतो; ओडोमीटर स्वतः इंजिनच्या फेऱ्यांवर अवलंबून असतो. साखळीतील प्रत्येक दराचा गुणाकार होतो. 11वीवरून पुढे : तुम्ही साध्या घात आणि त्रिकोणमितीय फलांचे अवकलन केले होते; आता ती एकमेकांच्या आत येतात.
y = f(u) आणि u = g(x) असेल तर संयुक्त फलाचा (composite function) अवकलज dy/dx = (dy/du)·(du/dx). बाहेरून आत जा, आणि आतल्या फलाच्या अवकलजाने गुणा.
नियम 1 : फलाचा घात — d/dx [f(x)]ⁿ = n[f(x)]ⁿ⁻¹ · f′(x).
नियम 2 : चरघातांकी, लॉग, त्रिकोणमिती — d/dx e^f = e^f · f′; d/dx log f = f′/f; d/dx sin f = cos f · f′; d/dx cos f = −sin f · f′.
सूत्र कसे मिळते? : y = (3x + 2)⁵ : बाहेरचा घात 5(3x + 2)⁴, आतल्याचा अवकलज 3, म्हणून dy/dx = 15(3x + 2)⁴; x = 0 ला हे 15 · 16 = 240.
- सोपे : y = (2x + 1)³ ⇒ dy/dx = 3(2x + 1)² · 2 = 6(2x + 1)²; x = 1 ला 54.
- मध्यम : y = sin(x²) ⇒ dy/dx = cos(x²) · 2x; y = e^{x²} ⇒ 2x e^{x²}.
- परीक्षेतील प्रकार : y = √(x² + 1) ⇒ dy/dx = x/√(x² + 1); x = 1 ला 1/√2.
आतल्या फलाचा अवकलज हा लोक विसरतात असा गुणक आहे.
d/dx sin(2x) = cos(2x) लिहून 2 चा गुणक विसरणे.
आतल्याला u नाव द्या, बाहेरचा u मध्ये अवकलित करा, मग du/dx ने गुणा. आठवणीची युक्ती : “आधी बाहेरचे, मग आतल्याचा गुणाकार.”
d/dx log(x² + 1) = 2x/(x² + 1), 1/(x² + 1) नाही.
CET पद्धतीचे उदाहरण : y = e^{x²} असेल तर x = 1 ला dy/dx = (A) e (B) 2e (C) 2 (D) 1
उत्तर : (B). 2x e^{x²} = 2 · e. वेळ वाचवणारी पद्धत : अवकलन केल्यानंतर x = 1 ठेवा.
फरक ओळखा
| फल | अवकलज |
|---|---|
| (f(x))ⁿ | n (f(x))ⁿ⁻¹ f′(x) |
| e^{f(x)} | e^{f(x)} f′(x) |
| log f(x) | f′(x)/f(x) |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) (2x + 1)³ चे x = 1 ला अवकलन करा.
- 2) cos(3x) चे अवकलन करा.
- 3) e^{2x + 1} चे अवकलन करा.
मध्यम
- 4) sin(x²) चे अवकलन करा.
- 5) log(x² + 1) चे x = 1 ला अवकलन करा.
- 6) √(x² + 1) चे x = 1 ला अवकलन करा.
कठीण
- 7) (3x + 2)⁵ चे अवकलन करा आणि x = 0 ला किंमत काढा.
- 8) e^{x²} चे x = 1 ला अवकलन करा.
उत्तरे
- 1) 6(2x + 1)² = 54.
- 2) −3 sin 3x.
- 3) 2e^{2x + 1}.
- 4) 2x cos(x²).
- 5) 2x/(x² + 1) = 1.
- 6) x/√(x² + 1) = 1/√2 ≈ 0.707.
- 7) 15(3x + 2)⁴ = 240.
- 8) 2x e^{x²} = 2e ≈ 5.44.
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलांचे अवकलज
चढाची उंची आणि लांबी यांवरून तिचा कोन काढणे ही प्रतिलोम त्रिकोणमितीची कल्पना आहे : चढ सपाट असताना कोन हळू बदलतो आणि तीव्र असताना वेगाने बदलतो.
−1 < x < 1 साठी : d/dx sin⁻¹x = 1/√(1 − x²), d/dx cos⁻¹x = −1/√(1 − x²). सर्व x साठी : d/dx tan⁻¹x = 1/(1 + x²), d/dx cot⁻¹x = −1/(1 + x²). y = f⁻¹(x) असेल तर dy/dx = 1/(dx/dy).
नियम 1 : साखळीसह — d/dx sin⁻¹(u) = u′/√(1 − u²); d/dx tan⁻¹(u) = u′/(1 + u²).
सूत्र कसे मिळते? : y = sin⁻¹x असेल तर x = sin y, म्हणून dx/dy = cos y = √(1 − x²) आणि dy/dx = 1/√(1 − x²). x = ½ ला हे 2/√3.
- सोपे : x = 1 ला d/dx tan⁻¹x = 1/2.
- मध्यम : d/dx tan⁻¹(2x) = 2/(1 + 4x²); x = ½ ला 1.
- परीक्षेतील प्रकार : d/dx sin⁻¹(x²) = 2x/√(1 − x⁴); x = ½ ला 1/√(15/16) ≈ 1.033.
sin⁻¹ आणि cos⁻¹ चे अवकलज एकमेकांचे ऋण असतात; तसेच tan⁻¹ आणि cot⁻¹ चे.
आतल्याचा अवकलज विसरणे : d/dx sin⁻¹(x²) हे 1/√(1 − x²) नाही.
अवकलन करण्याआधी योग्य त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन करून सोपे करा. आठवणीची युक्ती : “‘को’ वाल्या फलांना वजा चिन्ह.”
1/√(1 − x²) साठी |x| < 1 हवे; x = ±1 ला अवकलज अस्तित्वात नसतो.
CET पद्धतीचे उदाहरण : x = ½ ला d/dx tan⁻¹(2x) = (A) 1 (B) 2 (C) ½ (D) 4/5
उत्तर : (A). 2/(1 + 4·¼) = 2/2 = 1. वेळ वाचवणारी पद्धत : आधी आत 2x = 1 ठेवा.
फरक ओळखा
| फल | अवकलज |
|---|---|
| sin⁻¹x | 1/√(1 − x²) |
| cos⁻¹x | −1/√(1 − x²) |
| tan⁻¹x | 1/(1 + x²) |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) d/dx sin⁻¹x = ?
- 2) d/dx cos⁻¹x = ?
- 3) x = 1 ला d/dx tan⁻¹x किती?
मध्यम
- 4) x = ½ ला d/dx sin⁻¹x किती?
- 5) x = ½ ला d/dx cos⁻¹x किती?
- 6) x = ½ ला d/dx tan⁻¹(2x) किती?
कठीण
- 7) d/dx sin⁻¹(x²) = ?
- 8) y = tan⁻¹(x/3) असेल तर dy/dx काढा.
उत्तरे
- 1) 1/√(1 − x²).
- 2) −1/√(1 − x²).
- 3) 1/2.
- 4) 2/√3 ≈ 1.155.
- 5) −2/√3 ≈ −1.155.
- 6) 1.
- 7) 2x/√(1 − x⁴).
- 8) (1/3)/(1 + x²/9) = 3/(9 + x²).
अव्यक्त आणि लॉगरिथमीय अवकलन
वर्तुळाकार ट्रॅक x² + y² = 25 ने दाखवला जातो; यात x आणि y यांचा संबंध मिळतो, पण y एकटा मिळत नाही. तरीही आपल्याला एखाद्या बिंदूवरील उतार हवा असतो.
अव्यक्त फल (implicit function) F(x, y) = 0 मध्ये दोन्ही बाजूंचे x वर अवकलन करा, y ला x चे फल मानून (d/dx y² = 2y dy/dx), आणि मग dy/dx सोडवा. y = f(x)^{g(x)} साठी आधी लॉगरिथम घ्या (लघुगणकीय अवकलन, logarithmic differentiation).
नियम 1 : अव्यक्त — प्रत्येक पदाचे अवकलन करा, dy/dx असलेली पदे एका बाजूला घ्या, सोडवा.
नियम 2 : लॉगरिथमीय — दोन्ही बाजूंचा लॉग घ्या : log y = g(x) log f(x), मग अवकलन करा; शेवटी dy/dx = y × (मिळालेले उत्तर).
सूत्र कसे मिळते? : y = xˣ ⇒ log y = x log x ⇒ (1/y)(dy/dx) = log x + 1 ⇒ dy/dx = xˣ(1 + log x). x = 2 ला हे 4(1 + log 2) ≈ 6.77.
- सोपे : (3, 4) वर x² + y² = 25 : 2x + 2y y′ = 0 ⇒ y′ = −x/y = −3/4.
- मध्यम : (1, 1) वर x² + xy + y² = 3 : 2x + y + x y′ + 2y y′ = 0 ⇒ 3 + 3y′ = 0 ⇒ y′ = −1.
- परीक्षेतील प्रकार : y = xˣ साठी x = 1 ला dy/dx = 1·(1 + 0) = 1.
प्रत्येक y-पदाला dy/dx चा गुणक येतो.
y² चे अवकलन 2y · dy/dx ऐवजी 2y लिहिणे.
अनेक अवयवांचा गुणाकार किंवा बदलणारा घातांक असेल तर लॉगरिथम वापरा. आठवणीची युक्ती : “जिथे y, तिथे dy/dx.”
xˣ वर घाताचा नियम वापरू नका; घातांकही बदलतो.
CET पद्धतीचे उदाहरण : x² + y² = 25 असेल तर (3, 4) वर dy/dx = (A) −3/4 (B) 3/4 (C) −4/3 (D) 4/3
उत्तर : (A). y′ = −x/y. वेळ वाचवणारी पद्धत : वर्तुळासाठी थेट y′ = −x/y वापरा.
फरक ओळखा
| प्रकार | पहिली पायरी |
|---|---|
| अव्यक्त | दोन्ही बाजूंचे अवकलन |
| बदलणारा घात | आधी लॉगरिथम घ्या |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) x² + y² = 25 साठी (3, 4) वर dy/dx काढा.
- 2) x² + y² = 25 साठी (0, 5) वर dy/dx काढा.
- 3) y² चे x वर अवकलन किती?
मध्यम
- 4) x² + xy + y² = 3 : (1, 1) वर dy/dx काढा.
- 5) xy = 12 : (3, 4) वर dy/dx काढा.
- 6) y = xˣ : dy/dx काढा.
कठीण
- 7) y = xˣ चे x = 2 ला dy/dx काढा.
- 8) y = x^{x²} : dy/dx काढा.
उत्तरे
- 1) −x/y = −3/4.
- 2) 0.
- 3) 2y dy/dx.
- 4) −1.
- 5) y + x y′ = 0 ⇒ y′ = −y/x = −4/3.
- 6) xˣ(1 + log x).
- 7) 4(1 + log 2) ≈ 6.77.
- 8) log y = x² log x ⇒ y′ = x^{x²}(2x log x + x).
प्राचलिक आणि उच्च कोटीचे अवकलज
हवेत फेकलेल्या चेंडूची x आणि y स्थाने दोन्ही वेळ t वर अवलंबून असतात. वाटेचा उतार x च्या तुलनेत y किती वेगाने बदलतो त्यावरून मिळतो.
x = f(t), y = g(t) ही प्राचलिक समीकरणे (parametric equations) असतील तर dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt). द्वितीय अवकलज (second derivative) d²y/dx² = d/dx(dy/dx) = [d/dt(dy/dx)]/(dx/dt).
नियम 1 : उतार — dy/dx = (dy/dt) ÷ (dx/dt), जेव्हा dx/dt ≠ 0.
नियम 2 : द्वितीय कोटी — dy/dx चे t वर अवकलन करा, आणि पुन्हा dx/dt ने भागा.
सूत्र कसे मिळते? : x = t², y = t³ : dy/dx = 3t²/2t = 3t/2; d/dt(3t/2) = 3/2; d²y/dx² = (3/2)/(2t) = 3/(4t). t = 2 ला : dy/dx = 3 आणि d²y/dx² = 3/8.
- सोपे : y = x³ ⇒ y′ = 3x², y″ = 6x.
- मध्यम : x = 2t, y = t² ⇒ dy/dx = 2t/2 = t.
- परीक्षेतील प्रकार : x = t², y = t³ साठी t = 2 ला : dy/dx = 3, d²y/dx² = 3/8.
d²y/dx² म्हणजे (dy/dx)² नाही; ते dy/dx चे अवकलज आहे.
d²y/dx² मिळवण्यासाठी d²y/dt² ला d²x/dt² ने भागणे.
आधी dy/dx हे t चे फल म्हणून काढा, मग पुन्हा एकदा अवकलन करा आणि dx/dt ने भागा. आठवणीची युक्ती : “dx/dt ने दोनदा भागा.”
प्राचलिक वक्राच्या द्वितीय अवकलजासाठी dx/dt ने एक जादा भागाकार लागतो.
CET पद्धतीचे उदाहरण : x = t², y = t³ : t = 2 ला dy/dx = (A) 3 (B) 6 (C) 4 (D) 12
उत्तर : (A). 3t/2 = 3. वेळ वाचवणारी पद्धत : किंमत ठेवण्याआधी t कापा.
फरक ओळखा
| राशी | सूत्र |
|---|---|
| dy/dx | (dy/dt)/(dx/dt) |
| d²y/dx² | [d/dt(dy/dx)]/(dx/dt) |
सराव प्रश्न
सोपे
- 1) y = x³ : d²y/dx² काढा.
- 2) y = sin x : y″ काढा.
- 3) y = e^{2x} : y″ काढा.
मध्यम
- 4) x = 2t, y = t² : dy/dx काढा.
- 5) x = t², y = t³ : t = 2 ला dy/dx किती?
- 6) x = t², y = t³ : d²y/dx² काढा.
कठीण
- 7) x = t², y = t³ : t = 2 ला d²y/dx² किती?
- 8) y = log x असेल तर y‴ काढा.
उत्तरे
- 1) 6x.
- 2) −sin x.
- 3) 4e^{2x}.
- 4) t.
- 5) 3.
- 6) 3/(4t).
- 7) 3/8.
- 8) 2/x³.