K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 11 · गणित भाग २

धडा ५: संच आणि संबंध

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

संच, उपसंच आणि अंतराल

रोजच्या जीवनातून

वर्गातील मुलांची यादी, आठवड्याचे वार, स्वरांचा गट : स्पष्टपणे ठरवता येणारा गट म्हणजे संच. "हुशार मुले" हा संच नाही, कारण कोण हुशार हे ठरवता येत नाही. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे संच आणि त्यांच्या क्रिया शिकलो; येथे उपसंच, घात संच आणि अंतराल जोडतो.

सोपी व्याख्या

संच म्हणजे स्पष्ट ठरलेल्या वस्तूंचा गट. संच यादी पद्धतीने {1, 2, 3} किंवा गुणधर्म पद्धतीने {x : x नैसर्गिक संख्या, x < 4} लिहितात. A चा प्रत्येक घटक B चा घटक असेल तर A हा B चा उपसंच (A ⊆ B). सर्व उपसंचांचा संच म्हणजे घात संच P(A).

नियम 1 : उपसंचांची संख्या — n घटकांच्या संचाचे उपसंच 2ⁿ ; योग्य उपसंच 2ⁿ − 1 ; रिकामा संच φ प्रत्येक संचाचा उपसंच ; एका ठरावीक घटकासह उपसंच 2ⁿ⁻¹.

नियम 2 : अंतराल — उघडे (a, b) = {x : a < x < b} ; बंद [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b} ; अर्धे उघडे (a, b] किंवा [a, b). वर्तुळ रिकामे म्हणजे टोक नाही, भरलेले म्हणजे टोक आहे.

ABUA ⊆ B15(1, 5]

आकृतीत : A ⊆ B आणि अंतराल (1, 5] संख्यारेषेवर.

सूत्र कसे मिळाले? : प्रत्येक घटकाला दोन पर्याय : उपसंचात घ्यायचा किंवा नाही. n घटकांसाठी 2 × 2 × … (n वेळा) = 2ⁿ.

  • सोपे : {1, 2, 3} चे उपसंच 2³ = 8 : φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.
  • मध्यम : A = {x : x नैसर्गिक संख्या, x² < 30} = {1, 2, 3, 4, 5} ; घटक 5, घात संचाचे घटक 2⁵ = 32.
  • परीक्षेसाठी : 4 घटकांच्या संचाचे रिकामे नसलेले योग्य उपसंच : 2⁴ − 2 = 14. (2, 7] = {x : 2 < x ≤ 7}.
लक्षात ठेवा

φ आणि संच स्वतः हे दोन्ही प्रत्येक संचाचे उपसंच ; φ ≠ {0}.

सामान्य चूक

घटक आणि उपसंच यांचे चिन्ह गोंधळणे : 2 ∈ {1, 2}, पण {2} ⊆ {1, 2}.

शॉर्टकट

उपसंच मोजण्यासाठी 2 घालून घटकसंख्येइतका घात : 2ⁿ ; योग्य उपसंच एक कमी. आठवणीची युक्ती : "प्रत्येकाला दोन पर्याय".

CET सापळा

योग्य उपसंच आणि रिकामे नसलेले योग्य उपसंच वेगळे : 2ⁿ − 1 आणि 2ⁿ − 2.

CET-स्टाइल उदाहरण : 4 घटकांच्या संचाचे एका ठरावीक घटकासह उपसंच ? (A) 8 (B) 16 (C) 4 (D) 12

उत्तर : (A). 2⁴⁻¹ = 8. वेळ वाचवण्याची पद्धत : तो घटक निश्चित ; उरलेल्या 3 साठी 2³.

फरक ओळखा

चिन्हअर्थउदाहरण
∈घटक आहे2 ∈ {1, 2}
⊆उपसंच{2} ⊆ {1, 2}
φरिकामा संचn(φ) = 0

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1BOOK शब्दातील अक्षरांचा संच यादी पद्धतीने लिहा.
  2. 25 घटकांच्या संचाच्या घात संचात किती घटक?
  3. 3(−1, 3] गुणधर्म पद्धतीने लिहा.
मध्यम
  1. 4{1, 2, 3, 4, 5, 6} चे 1 असलेले उपसंच किती?
  2. 5{x : x पूर्णांक, −2 ≤ x < 3} चे घटक किती?
  3. 6{1, 2} हा {1, 2, 3} चा योग्य उपसंच आहे का?
आव्हानात्मक
  1. 7{1, 2, 3, 4, 5} चे नेमके 2 घटक असलेले उपसंच किती?
  2. 86 घटकांच्या संचाचे योग्य उपसंच किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1{B, O, K}.
  2. 22⁵ = 32.
  3. 3{x : x वास्तव संख्या, −1 < x ≤ 3}.
  4. 42⁵ = 32.
  5. 5−2, −1, 0, 1, 2 : 5 घटक.
  6. 6हो ; सर्व घटक आहेत आणि संचापेक्षा वेगळा.
  7. 7⁵C₂ = 10.
  8. 82⁶ − 1 = 63.

संचांवरील क्रिया आणि नियम

रोजच्या जीवनातून

दोन वर्गांच्या खेळाडूंची एकत्र यादी, दोन्ही संघांत असलेले खेळाडू, एकाच संघातले पण दुसऱ्यात नसलेले : या तीन कृती म्हणजे संयोग, छेद आणि फरक. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे A ∪ B आणि A ∩ B शिकलो; येथे पूरक, फरक आणि डी मॉर्गन नियम.

सोपी व्याख्या

A ∪ B : दोन्हींपैकी कुठेही असलेले घटक. A ∩ B : दोन्हींत असलेले घटक. A − B : A चे घटक जे B चे नाहीत. A′ : सार्वत्रिक संच U चे घटक जे A चे नाहीत.

नियम 1 : डी मॉर्गन आणि इतर नियम — डी मॉर्गन : (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ आणि (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′. वितरण : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). A − B = A ∩ B′. (A′)′ = A.

A ∪ BA ∩ BA − BA′

आकृतीत : चार आकृत्यांत छायांकित भाग : A ∪ B, A ∩ B, A − B, A′.

सूत्र कसे मिळाले? : x ∈ (A ∪ B)′ म्हणजे x हा A चा घटक नाही आणि B चाही नाही, म्हणजे x ∈ A′ आणि x ∈ B′ ; यावरून (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′.

  • सोपे : U = {1, …, 10}, A = {1, …, 6}, B = {4, …, 8} : A ∪ B = {1, …, 8} ; A ∩ B = {4, 5, 6}.
  • मध्यम : याच संचांसाठी A − B = {1, 2, 3} ; A′ = {7, 8, 9, 10}.
  • परीक्षेसाठी : डी मॉर्गन पडताळा : (A ∪ B)′ = {9, 10} ; A′ ∩ B′ = {7, 8, 9, 10} ∩ {1, 2, 3, 9, 10} = {9, 10}.
लक्षात ठेवा

A − B ≠ B − A ; A ∪ B आणि A ∩ B मात्र क्रम बदलला तरी तेच.

सामान्य चूक

पूरक काढताना U ऐवजी दुसरा संच वापरणे. A′ नेहमी U मधून.

शॉर्टकट

डी मॉर्गन : पूरक घेतले की ∪ चे ∩ आणि ∩ चे ∪ होते. आठवणीची युक्ती : "पूरक आले, चिन्ह पालटले".

CET सापळा

"किंवा" म्हणजे संयोग ∪ ; "आणि" म्हणजे छेद ∩ ; "फक्त A" म्हणजे A − B.

CET-स्टाइल उदाहरण : A = 20 पर्यंतच्या सम संख्या, B = 20 पर्यंतच्या 3 च्या पटीतील संख्या ; A ∩ B चे घटक किती? (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 2

उत्तर : (A). 6 च्या पटी 6, 12, 18. वेळ वाचवण्याची पद्धत : सम आणि 3 ची पट म्हणजे 6 ची पट ; 20/6 चा पूर्णांक भाग 3.

फरक ओळखा

क्रियाअर्थवरील उदाहरण
A ∪ Bकुठेही{1, …, 8}
A ∩ Bदोन्हींत{4, 5, 6}
A − Bफक्त A{1, 2, 3}
A′U चे घटक जे A चे नाहीत{7, 8, 9, 10}

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1P = {1, …, 5}, Q = {4, 5, 6, 7} : P ∪ Q लिहा.
  2. 2P ∩ Q लिहा.
  3. 3P − Q लिहा.
मध्यम
  1. 4U = {1, …, 8} असेल तर P′ लिहा.
  2. 5Q − P लिहा.
  3. 6U = {1, …, 8} साठी (P ∪ Q)′ लिहा.
आव्हानात्मक
  1. 7(P ∩ Q)′ लिहा आणि P′ ∪ Q′ शी तपासा.
  2. 8n(P ∪ Q) + n(P ∩ Q) आणि n(P) + n(Q) यांची तुलना करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
  2. 2{4, 5}.
  3. 3{1, 2, 3}.
  4. 4{6, 7, 8}.
  5. 5{6, 7}.
  6. 6{8}.
  7. 7{1, 2, 3, 6, 7, 8} ; P′ ∪ Q′ = {6, 7, 8} ∪ {1, 2, 3, 8} = तेच.
  8. 87 + 2 = 9 आणि 5 + 4 = 9 ; समान.

संचांच्या घटकांची मोजणी

रोजच्या जीवनातून

40 मुलांपैकी 25 जण चहा आणि 20 जण कॉफी पितात, तर काही दोन्ही पितात. दोन्हींचे मिळून 45 मोजले तर दोन्ही पिणारे दोनदा मोजले गेले. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे व्हेन आकृतीने गट मोजले; येथे सूत्र वापरतो.

सोपी व्याख्या

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). तीन संचांसाठी n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C).

नियम 1 : उपयुक्त संबंध — फक्त A = n(A) − n(A ∩ B) ; दोन्हींपैकी नाही = n(U) − n(A ∪ B) ; नेमके एक = फक्त A + फक्त B.

1258ABn(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)17 + 13 − 5 = 25

आकृतीत : फक्त A 12, दोन्ही 5, फक्त B 8 ; n(A) = 17, n(B) = 13, n(A ∪ B) = 25.

सूत्र कसे मिळाले? : n(A) + n(B) या बेरजेत A ∩ B चे घटक दोनदा येतात ; एकदा वजा केले की प्रत्येक घटक एकदाच मोजला जातो.

  • सोपे : 40 मुलांत 25 चहा, 20 कॉफी, 8 दोन्ही : चहा किंवा कॉफी = 25 + 20 − 8 = 37 ; दोन्ही नाही = 40 − 37 = 3.
  • मध्यम : n(A) = 17, n(B) = 13, n(A ∩ B) = 5 : n(A ∪ B) = 25 ; फक्त A = 12.
  • परीक्षेसाठी : n(A) = 30, n(B) = 25, n(C) = 20, n(A ∩ B) = 10, n(B ∩ C) = 8, n(A ∩ C) = 6, n(A ∩ B ∩ C) = 4 : 30 + 25 + 20 − 24 + 4 = 55.
लक्षात ठेवा

तीन संचांच्या सूत्रात चिन्हे + − + : एकेक, जोड्या, तिन्ही.

सामान्य चूक

n(A) + n(B) हेच संयोगाचे उत्तर मानणे. छेद वजा करणे विसरू नका.

शॉर्टकट

आधी व्हेन आकृती काढा आणि सर्वात आतून (तिन्हींचा छेद) भरत बाहेर या. आठवणीची युक्ती : "आतून बाहेर".

CET सापळा

n(A ∩ B) ऋण आला तर दिलेली माहिती विसंगत आहे ; उत्तर ठरवण्यापूर्वी तपासा.

CET-स्टाइल उदाहरण : n(A) = 20, n(B) = 15, n(A ∪ B) = 28 असेल तर n(A ∩ B) ? (A) 7 (B) 8 (C) 5 (D) 13

उत्तर : (A). 20 + 15 − 28 = 7. वेळ वाचवण्याची पद्धत : सूत्र उलटे : n(A ∩ B) = n(A) + n(B) − n(A ∪ B).

फरक ओळखा

गटसूत्रवरील उदाहरण
दोनपैकी कुठेहीn(A) + n(B) − n(A ∩ B)37
फक्त एकातn(A) − n(A ∩ B)17
दोन्हींत नाहीn(U) − n(A ∪ B)3

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1n(A) = 12, n(B) = 9, n(A ∩ B) = 4 असेल तर n(A ∪ B) काढा.
  2. 2n(A ∪ B) = 20, n(A) = 11, n(B) = 14 असेल तर n(A ∩ B) काढा.
  3. 3n(U) = 60, n(A) = 35 असेल तर n(A′) काढा.
मध्यम
  1. 445 मुलांपैकी प्रत्येकाला गणित किंवा विज्ञान आवडते ; 28 ला गणित, 22 ला विज्ञान. दोन्ही आवडणारे किती?
  2. 5100 जणांत 60 मराठी, 45 इंग्रजी, 20 दोन्ही बोलतात. फक्त मराठी किती?
  3. 6वरील प्रश्नात नेमकी एकच भाषा बोलणारे किती?
आव्हानात्मक
  1. 7n(A) = 10, n(B) = 12, n(C) = 8, n(A ∩ B) = 4, n(B ∩ C) = 3, n(A ∩ C) = 2, n(A ∩ B ∩ C) = 1 असेल तर n(A ∪ B ∪ C) काढा.
  2. 880 जणांत 50 ला A, 40 ला B आवडतो आणि 10 जणांना दोन्ही नाही. दोन्ही आवडणारे किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 112 + 9 − 4 = 17.
  2. 211 + 14 − 20 = 5.
  3. 360 − 35 = 25.
  4. 428 + 22 − 45 = 5.
  5. 560 − 20 = 40.
  6. 640 + (45 − 20) = 65.
  7. 730 − 9 + 1 = 22.
  8. 8n(A ∪ B) = 70 ; 50 + 40 − 70 = 20.

कार्टेशियन गुणाकार आणि संबंध

रोजच्या जीवनातून

3 शर्ट आणि 2 पँटच्या सर्व जोड्या मांडल्या तर प्रत्येक जोडी (शर्ट, पँट) अशी क्रमवार लिहिता येते. अशा जोड्यांचा संच म्हणजे कार्टेशियन गुणाकार. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे नियमित जोड्या (x, y) आलेखावर मांडल्या; येथे त्यांना संबंध म्हणून अभ्यासतो.

सोपी व्याख्या

A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} ; घटक n(A) × n(B). A पासून B पर्यंतचा संबंध R म्हणजे A × B चा कोणताही उपसंच. प्रांत = पहिले घटक, सहप्रांत = B, विस्तार = दुसरे घटक.

नियम 1 : मोजणी — n(A) = m, n(B) = n तर A × B च्या mn जोड्या ; A पासून B पर्यंत 2ᵐⁿ संबंध. A × B ≠ B × A (A = B किंवा एक रिकामा संच असल्यास सोडून).

123126 pointsa < b : 1(1, 2)R ⊆ A × B

आकृतीत : A = {1, 2, 3}, B = {1, 2} : 6 बिंदू ; a < b हा संबंध फक्त (1, 2).

सूत्र कसे मिळाले? : प्रत्येक पहिल्या घटकासोबत सर्व दुसरे घटक येतात : m × n. प्रत्येक जोडी संबंधात असते किंवा नसते : 2 × 2 × … (mn वेळा) = 2ᵐⁿ.

  • सोपे : A = {1, 2}, B = {3, 4, 5} : A × B च्या 2 × 3 = 6 जोड्या.
  • मध्यम : A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, R : b = a + 2 → R = {(1, 3), (2, 4), (3, 5)} ; प्रांत {1, 2, 3}, विस्तार {3, 4, 5}.
  • परीक्षेसाठी : A = {1, 2, 3, 4} वर a < b : 6 जोड्या, प्रांत {1, 2, 3}, विस्तार {2, 3, 4}.
लक्षात ठेवा

जोडीचा क्रम महत्त्वाचा : (1, 2) ≠ (2, 1).

सामान्य चूक

विस्तार आणि सहप्रांत एकच मानणे. विस्तार हा सहप्रांताचा उपसंच असतो.

शॉर्टकट

संबंधातील जोड्यांची यादी करून पहिले घटक = प्रांत, दुसरे घटक = विस्तार. आठवणीची युक्ती : "पहिला प्रांत, दुसरा विस्तार".

CET सापळा

A × B च्या घटकांची संख्या m × n, बेरीज नाही.

CET-स्टाइल उदाहरण : n(A) = 3, n(B) = 2 तर A पासून B पर्यंत संबंध किती? (A) 64 (B) 6 (C) 8 (D) 32

उत्तर : (A). 2³ˣ² = 2⁶ = 64. वेळ वाचवण्याची पद्धत : जोड्या 6 ; प्रत्येक घ्यायची किंवा नाही : 2⁶.

फरक ओळखा

पदअर्थवरील उदाहरण (b = a + 2)
प्रांतपहिले घटक{1, 2, 3}
सहप्रांतB{1, 2, 3, 4, 5}
विस्तारदुसरे घटक{3, 4, 5}

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1A = {1, 2, 3}, B = {1, 2} : n(A × B) काढा.
  2. 2A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4} : A × B च्या घटकांची संख्या काढा.
  3. 3(1, 2) आणि (2, 1) समान आहेत का?
मध्यम
  1. 4{1, 2, 3, 4} वर a + b = 5 हा संबंध जोड्यांनी लिहा.
  2. 5वरील संबंधाचा प्रांत लिहा.
  3. 62 घटकांच्या संचावरील एकूण संबंध किती?
आव्हानात्मक
  1. 7A = {1, …, 6} वर b = 2a हा संबंध जोड्यांनी लिहा.
  2. 8{1, 2} × {1, 2} चे नेमक्या 2 जोड्या असलेले उपसंच किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 13 × 2 = 6.
  2. 22 × 4 = 8.
  3. 3नाही.
  4. 4{(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}.
  5. 5{1, 2, 3, 4}.
  6. 62⁴ = 16.
  7. 7{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}.
  8. 8⁴C₂ = 6.

संबंधांचे प्रकार

रोजच्या जीवनातून

"समवयस्क आहे" हा संबंध सर्वांशी स्वतःपुरता खरा, दोन्ही बाजूंनी खरा आणि साखळीत पुढे नेता येणारा असतो. अशा संबंधांमुळे गट पडतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे समान गुणधर्मांचे गट केले (उदा. समान कोनाचे त्रिकोण); येथे त्याचे नियम.

सोपी व्याख्या

A वरील संबंध R : स्वतःशी जर प्रत्येक a साठी (a, a) ∈ R ; सममित जर (a, b) ∈ R तर (b, a) ∈ R ; संक्रामक जर (a, b), (b, c) ∈ R तर (a, c) ∈ R. तिन्ही असतील तर तुल्यता संबंध.

नियम 1 : तुल्यता वर्ग — तुल्यता संबंध संचाचे असे गट पाडतो की प्रत्येक घटक नेमक्या एका गटात ; गट एकमेकांना छेदत नाहीत.

rem 03, 6, 9rem 11, 4, 7rem 22, 5, 8a R b if a − b is divisible by 3reflexive, symmetric, transitiveclasses do not overlap

आकृतीत : a − b ला 3 ने भाग गेला तर a R b : बाकी 0, 1, 2 चे तीन गट.

सूत्र कसे मिळाले? : a − a = 0 ला 3 ने भाग जातो (स्वतःशी) ; a − b ला भाग गेला तर b − a लाही (सममित) ; a − b आणि b − c ला गेला तर बेरीज a − c लाही (संक्रामक).

  • सोपे : {1, 2, 3} वर R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} : स्वतःशी, सममित, संक्रामक ; म्हणजे तुल्यता संबंध.
  • मध्यम : R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} : तिन्ही गुण आहेत (उदा. (1, 2), (2, 1) वरून (1, 1) आहे) ; तुल्यता संबंध.
  • परीक्षेसाठी : नैसर्गिक संख्यांवर a < b : स्वतःशी नाही, सममित नाही, संक्रामक आहे. "a ने b ला भाग जातो" : स्वतःशी, संक्रामक ; सममित नाही (2 | 4 पण 4 ∤ 2).
लक्षात ठेवा

तुल्यता संबंध = स्वतःशी + सममित + संक्रामक ; तिन्हींपैकी एक नसला तरी नाही.

सामान्य चूक

सममित म्हणजे स्वतःशी मानणे. {(1, 2), (2, 1)} सममित पण स्वतःशी नाही.

शॉर्टकट

एकेक गुण तपासा : (a, a) सर्वांसाठी? (a, b) असेल तर (b, a)? साखळीत a → c? आठवणीची युक्ती : "स्व-सम-संक्रा".

CET सापळा

संक्रामकतेसाठी (a, b), (b, c) असतील तेव्हाच (a, c) हवे ; अशा जोड्या नसतील तर अट आपोआप खरी.

CET-स्टाइल उदाहरण : "a − b सम आहे" हा संबंध नैसर्गिक संख्यांवर ; तुल्यता वर्ग किती? (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 4

उत्तर : (A). सम आणि विषम : 2 वर्ग. वेळ वाचवण्याची पद्धत : भागाकार 2 ने : बाकी 0 किंवा 1, म्हणून 2.

फरक ओळखा

संबंधस्वतःशीसममितसंक्रामक
a − b ला 3 ने भागहोहोहो
a < bनाहीनाहीहो
a ने b ला भागहोनाहीहो

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1{1, 2} वर R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2)} स्वतःशी आहे का?
  2. 2याच R सममित आहे का?
  3. 3याच R संक्रामक आहे का?
मध्यम
  1. 4{1, 2, 3} वर R = {(1, 2), (2, 1)} सममित आहे का, स्वतःशी आहे का?
  2. 5या R साठी संक्रामकतेची कोणती जोडी कमी?
  3. 6"समान एकक अंक" हा संबंध तुल्यता संबंध आहे का?
आव्हानात्मक
  1. 71 ते 20 वर a − b ला 5 ने भाग जातो : तुल्यता वर्ग किती आणि प्रत्येकात घटक किती?
  2. 8{1, 2, 3} वरील स्वतःशी आणि सममित असलेल्या सर्वात लहान संबंधात (1, 2) असावे ; जोड्या किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1हो.
  2. 2नाही ; (1, 2) आहे पण (2, 1) नाही.
  3. 3हो.
  4. 4सममित आहे ; स्वतःशी नाही.
  5. 5(1, 1) आणि (2, 2).
  6. 6हो ; तिन्ही गुण आहेत.
  7. 75 वर्ग, प्रत्येकात 4 घटक.
  8. 8(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1) : 5.

धडा ५ : संच आणि संबंध — झटपट उजळणी

विषयसूत्र / मुद्दा
उपसंचn घटकांचे 2ⁿ ; योग्य 2ⁿ − 1 ; एका घटकासह 2ⁿ⁻¹
क्रियाA ∪ B, A ∩ B, A − B = A ∩ B′, A′
डी मॉर्गन(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ ; (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
मोजणीn(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
तीन संचबेरीज − जोड्या + तिन्हींचा छेद
गुणाकारn(A × B) = mn ; संबंध 2ᵐⁿ
तुल्यतास्वतःशी + सममित + संक्रामक ; वर्ग एकमेकांना छेदत नाहीत

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

  • घटक ∈, उपसंच ⊆ : चिन्ह गोंधळू नका.
  • किंवा = ∪, आणि = ∩.
  • व्हेन आकृती आतून बाहेर भरा.
  • जोडीचा क्रम महत्त्वाचा.
  • तुल्यतेसाठी तिन्ही गुण तपासा.
अभ्यासाचा मंत्र

"आतून बाहेर, चिन्ह पाहून".