K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 11 · गणित भाग २

धडा ४: आगमन आणि द्विपद प्रमेय

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

गणितीय आगमनाचे तत्त्व

रोजच्या जीवनातून

रांगेत जवळजवळ उभे केलेले डोमिनो : पहिला पडला आणि प्रत्येक पडणारा पुढच्याला पाडतो, तर सगळे पडतात. सर्व नैसर्गिक संख्यांसाठी खरे असलेले विधान सिद्ध करण्याची पद्धत अशीच आहे. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे सूत्रे पडताळून पाहिली; येथे सर्व n साठी सूत्र खरे आहे हे सिद्ध करतो.

सोपी व्याख्या

विधान P(n) साठी (1) P(1) खरे आहे आणि (2) P(k) खरे असेल तर P(k + 1) खरे आहे, हे दाखवले की P(n) सर्व नैसर्गिक संख्या n साठी खरे ठरते.

नियम 1 : चार पायऱ्या — पाया : n = 1 साठी पडताळा. गृहीतक : n = k साठी खरे माना. पुढची पायरी : n = k + 1 साठी सिद्ध करा. निष्कर्ष : सर्व n साठी खरे.

P(1) true + P(k) gives P(k+1)12345k1st falls → kth falls → (k+1)th falls

आकृतीत : डोमिनो : पहिला पडतो आणि प्रत्येकाने पुढचा पाडला की सर्व पडतात.

P(1)P(2)P(3)P(4)baseP(k) ⇒ P(k+1)Step 1: check n = 1Step 2: assume n = k, prove n = k + 1Step 3: conclude for all n

आकृतीत : साखळी : P(1) खरे, मग P(1) ने P(2), P(2) ने P(3) असे पुढे.

सूत्र कसे मिळाले? : P(1) खरे आहे. पायरी (2) नुसार P(1) वरून P(2), P(2) वरून P(3) असे कितीही पुढे जाता येते; म्हणून कोणतीही नैसर्गिक संख्या या साखळीत येते.

  • सोपे : 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2. n = 1 : डावी बाजू 1, उजवी 1 × 2/2 = 1. k साठी खरे मानून (k + 1) मिळवले : k(k + 1)/2 + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2.
  • मध्यम : 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n². k साठी खरे मानून (2k + 1) मिळवले : k² + 2k + 1 = (k + 1)².
  • परीक्षेसाठी : 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6. पुढची पायरी : k(k + 1)(2k + 1)/6 + (k + 1)² = (k + 1)(2k² + 7k + 6)/6 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3)/6.
लक्षात ठेवा

पुढच्या पायरीत गृहीतक वापरावेच लागते; ते न वापरता केलेला पडताळा सिद्ध नाही.

सामान्य चूक

फक्त n = 1, 2, 3 साठी पडताळा करून थांबणे. आगमनात n = k वरून n = k + 1 सिद्ध करणे आवश्यक आहे.

शॉर्टकट

पुढच्या पायरीत नेहमी "k पदांची बेरीज + (k + 1)-वे पद" असे लिहा आणि उजवी बाजू n = k + 1 ठेवून मिळवा. आठवणीची युक्ती : "k चा आधार, k + 1 ची उडी".

CET सापळा

P(k + 1) लिहिताना n च्या जागी सर्वत्र k + 1 ठेवा, फक्त एका जागी नाही.

CET-स्टाइल उदाहरण : 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 असेल तर n = 20 साठी बेरीज ? (A) 190 (B) 210 (C) 200 (D) 220

उत्तर : (B). 20 × 21/2 = 210. वेळ वाचवण्याची पद्धत : सूत्र थेट लावा; 19 × 20/2 = 190 हा n = 19 चा आहे.

फरक ओळखा

मुद्दापडताळाआगमनाने सिद्ध
n चे मूल्यकाही निवडक nसर्व n
पद्धतकिंमत घालून पाहणेपाया + पुढची पायरी
निष्कर्षफक्त त्या n साठीसर्व नैसर्गिक संख्यांसाठी

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 12 + 4 + … + 2n = n(n + 1) साठी n = 1 ला दोन्ही बाजू किती?
  2. 21 ते 6 पर्यंत नैसर्गिक संख्यांची बेरीज सूत्राने काढा.
  3. 3पहिल्या 10 विषम संख्यांची बेरीज काढा.
मध्यम
  1. 41 + 2 + … + k = k(k + 1)/2 असेल तर 1 + 2 + … + (k + 1) चे सूत्र काय?
  2. 51² + 2² + … + 10² काढा.
  3. 6पहिल्या 20 सम संख्यांची बेरीज काढा.
आव्हानात्मक
  1. 71·2 + 2·3 + … + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3 वापरून n = 10 साठी बेरीज काढा.
  2. 81/(1·2) + 1/(2·3) + … + 1/(n(n + 1)) = n/(n + 1) वरून n = 9 साठी बेरीज काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1दोन्ही बाजू 2.
  2. 26 × 7/2 = 21.
  3. 310² = 100.
  4. 4(k + 1)(k + 2)/2.
  5. 510 × 11 × 21/6 = 385.
  6. 620 × 21 = 420.
  7. 710 × 11 × 12/3 = 440.
  8. 89/10.

आगमनाने भाज्यता सिद्ध करणे

रोजच्या जीवनातून

एखादी संख्या 6 ने नेहमी भाग जाते का, हे सर्व n साठी एकेक करून पाहता येत नाही. आगमन हे काम एकदाच करते. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे गुणाकार आणि अवयव शिकलो; येथे अवयव पाडून भाज्यता दाखवतो.

सोपी व्याख्या

भाज्यतेच्या विधानात P(k) म्हणजे "अभिव्यक्ती = m × गुणक". P(k + 1) साठी अभिव्यक्तीतून P(k) चे पद वेगळे काढून उरलेला भाग तोच गुणक असल्याचे दाखवतात.

नियम 1 : वेगळे काढण्याची युक्ती — aᵏ⁺¹ − 1 = a(aᵏ − 1) + (a − 1). (k + 1)³ = k³ + 3k² + 3k + 1. बाकी भागात गुणक दिसेपर्यंत अवयव पाडा.

P(1)P(2)P(3)P(4)baseP(k) ⇒ P(k+1)Step 1: check n = 1Step 2: assume n = k, prove n = k + 1Step 3: conclude for all n

आकृतीत : साखळी : P(1) खरे आणि P(k) वरून P(k + 1) मिळाले की सर्व n साठी भाज्यता खरी.

सूत्र कसे मिळाले? : 7ᵏ⁺¹ − 1 = 7(7ᵏ − 1) + 6. P(k) नुसार 7ᵏ − 1 ला 6 ने भाग जातो, आणि 6 ला 6 ने भाग जातो; म्हणून बेरजेला जातो.

  • सोपे : 7ⁿ − 1 ला 6 ने भाग जातो. n = 1 : 6. 7ᵏ⁺¹ − 1 = 7(7ᵏ − 1) + 6 ; दोन्ही पदांना 6 ने भाग जातो.
  • मध्यम : n³ − n ला 6 ने भाग जातो. (k + 1)³ − (k + 1) = (k³ − k) + 3k(k + 1). k(k + 1) सम असल्याने 3k(k + 1) ला 6 ने भाग जातो.
  • परीक्षेसाठी : 9ⁿ − 1 ला 8 ने भाग जातो. 9ᵏ⁺¹ − 1 = 9(9ᵏ − 1) + 8 ; n = 1 : 8. तसेच 4ⁿ + 15n − 1 ला 9 ने भाग जातो (n = 1 : 18).
लक्षात ठेवा

aⁿ − bⁿ ला (a − b) ने नेहमी भाग जातो; म्हणून 7ⁿ − 1 ला 6 ने, 9ⁿ − 1 ला 8 ने.

सामान्य चूक

पुढच्या पायरीत फक्त n = 1 चा पडताळा पुन्हा लिहिणे. गृहीतकातून मिळालेले पद दाखवा.

शॉर्टकट

अभिव्यक्तीचे दोन भाग करा : (P(k) चा भाग) + (उरलेला भाग) ; उरलेल्याला गुणक असल्याचे दाखवा. आठवणीची युक्ती : "जुना भाग + उरलेला भाग".

CET सापळा

n = 1 साठी किंमत गुणकाने भाग जाणारी नसेल तर विधान चुकीचे; पडताळा आधी करा.

CET-स्टाइल उदाहरण : 7ⁿ − 1 ला नेहमी भाग जाणारी संख्या ? (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 9

उत्तर : (A). n = 1 : 6 ; n = 2 : 48 ; दोन्हींना जाणारी 6. वेळ वाचवण्याची पद्धत : n = 1 चे मूल्य 6 आहे; पर्यायांत 6 पेक्षा लहान किंवा त्याचे अवयव तपासा.

फरक ओळखा

अभिव्यक्तीगुणकn = 1 चे मूल्य
7ⁿ − 166
9ⁿ − 188
n³ − n60

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 15ⁿ − 1 ला 4 ने भाग जातो हे n = 1 साठी पडताळा.
  2. 25⁴ − 1 ला 4 ने भाग जातो का?
  3. 3n = 5 साठी 2ⁿ आणि n यांतील मोठे कोणते?
मध्यम
  1. 4n³ + 2n ला 3 ने भाग जातो हे n = 1 ते 5 साठी पडताळा आणि निष्कर्ष लिहा.
  2. 5(8³ − 1)/7 काढा.
  3. 6n(n + 1)(n + 2) ला कोणत्या संख्येने नेहमी भाग जातो?
आव्हानात्मक
  1. 710ⁿ + 3·4ⁿ⁺² + 5 ला 9 ने भाग जातो हे n = 1 साठी पडताळा.
  2. 82³ⁿ − 1 ला 7 ने भाग जातो हे n = 2 साठी पडताळा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 15 − 1 = 4 ; 4 ने भाग जातो.
  2. 2624 = 4 × 156 ; हो.
  3. 32⁵ = 32 > 5.
  4. 4n = 1 : 3, 2 : 12, 3 : 33, 4 : 72, 5 : 135 ; सर्वांना 3 ने भाग जातो.
  5. 5511/7 = 73.
  6. 66 ने.
  7. 710 + 192 + 5 = 207 = 9 × 23.
  8. 82⁶ − 1 = 63 = 7 × 9.

द्विपद प्रमेय

रोजच्या जीवनातून

(a + b) चा वर्ग आणि घन आपण इयत्ता ९ च्या अभ्यासात गुणून काढला. घात 10 असेल तर गुणत बसणे कठीण; द्विपद प्रमेय थेट पदे देते. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे (a + b)², (a + b)³ शिकलो; येथे कोणत्याही धन पूर्णांक घातासाठी सूत्र.

सोपी व्याख्या

धन पूर्णांक n साठी (a + b)ⁿ = ⁿC₀ aⁿ + ⁿC₁ aⁿ⁻¹ b + ⁿC₂ aⁿ⁻² b² + … + ⁿCₙ bⁿ. पदे n + 1 आणि प्रत्येक पदात a व b चे घात मिळून n.

नियम 1 : गुणांक — गुणांक पास्कल त्रिकोणाच्या n-व्या ओळीतून मिळतात : 1, 4, 6, 4, 1 (n = 4). (a − b)ⁿ साठी चिन्हे + − + − अशी बदलतात.

101111212133131464141510105154+6 = 10row n gives coefficients of (a+b)ⁿ

आकृतीत : पास्कल त्रिकोण : प्रत्येक संख्या वरच्या दोन संख्यांची बेरीज.

सूत्र कसे मिळाले? : (a + b)ᵏ ला (a + b) ने गुणताना ᵏCᵣ₋₁ आणि ᵏCᵣ ही दोन पदे एकाच घाताची येतात आणि त्यांची बेरीज ᵏ⁺¹Cᵣ होते; म्हणून सूत्र k वरून k + 1 साठी चालते.

  • सोपे : (x + 2)⁴ = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.
  • मध्यम : (2x − 1)⁵ = 32x⁵ − 80x⁴ + 80x³ − 40x² + 10x − 1. गुणांक 1, 5, 10, 10, 5, 1 ; प्रत्येक 2ˣ आणि (−1)ˣ ने गुणले.
  • परीक्षेसाठी : 101³ = (100 + 1)³ = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301. (1.02)⁴ = 1 + 0.08 + 0.0024 + 0.000032 + … ≈ 1.0824 (चार दशांश).
लक्षात ठेवा

पदे n + 1 असतात ; (a + b)ⁿ च्या सर्व गुणांकांची बेरीज 2ⁿ.

सामान्य चूक

(a − b)ⁿ साठी b चे चिन्ह विसरणे. b = −b घेऊन (a + (−b))ⁿ लिहा.

शॉर्टकट

मोठ्या संख्येचा घात : संख्येला (मोठी + लहान) असे लिहा, उदा. 101 = 100 + 1 ; 998 = 1000 − 2. आठवणीची युक्ती : "गोल संख्या + थोडेसे".

CET सापळा

x आणि गुणकांचे घात एकत्र येतात : (2x)³ = 8x³, 2x³ नाही.

CET-स्टाइल उदाहरण : (1 + x)¹⁰ च्या सर्व गुणांकांची बेरीज ? (A) 1024 (B) 100 (C) 512 (D) 2048

उत्तर : (A). x = 1 घातला : 2¹⁰ = 1024. वेळ वाचवण्याची पद्धत : सर्व गुणांकांसाठी x = 1 घाला ; विस्तार लिहू नका.

फरक ओळखा

मुद्दा(a + b)ⁿ(a − b)ⁿ
पदेn + 1n + 1
चिन्हेसर्व +एकाआड एक +, −
गुणांकांची बेरीज2ⁿ0 (a = b = 1 साठी)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1(x + 3)³ चा विस्तार लिहा.
  2. 2(a + b)⁵ च्या गुणांकांची ओळ लिहा.
  3. 399² किती?
मध्यम
  1. 4(x − 1)⁴ चा विस्तार लिहा.
  2. 5(1 + x)⁶ च्या गुणांकांची बेरीज काढा.
  3. 6102³ काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7(1 − x)⁸ च्या सर्व गुणांकांची बेरीज (चिन्हांसह) काढा.
  2. 8(0.99)⁵ तीन दशांश अंकांपर्यंत काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1x³ + 9x² + 27x + 27.
  2. 21, 5, 10, 10, 5, 1.
  3. 3(100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801.
  4. 4x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1.
  5. 52⁶ = 64.
  6. 6(100 + 2)³ = 1000000 + 60000 + 1200 + 8 = 1061208.
  7. 7x = 1 घातला : 0.
  8. 8(1 − 0.01)⁵ = 1 − 0.05 + 0.001 − … ≈ 0.951.

व्यापक पद आणि मधले पद

रोजच्या जीवनातून

(a + b)¹⁵ चे पाचवे पद हवे असेल तर संपूर्ण विस्तार लिहिणे अनावश्यक. एका पदाचे सूत्र थेट ते पद देते. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे घातांकाचे नियम शिकलो; येथे ते पदातील घात ठरवण्यासाठी वापरतो.

सोपी व्याख्या

(a + b)ⁿ चे (r + 1)-वे पद Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ. मधले पद : n सम तर एक, T(n/2 + 1) ; n विषम तर दोन, T((n + 1)/2) आणि T((n + 3)/2).

नियम 1 : विशिष्ट पद शोधणे — x चा हवा घात मिळेपर्यंत r काढा : Tᵣ₊₁ मधील x चा घात = हवा घात. x विरहित पद म्हणजे x चा घात 0.

1T16T215T320T415T56T61T7n = 6 even: one middle term T4T(r+1) = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ

आकृतीत : n = 6 : सात पदे, मधले T₄ चा गुणांक 20.

सूत्र कसे मिळाले? : विस्तारात पहिले पद aⁿ (r = 0), दुसरे aⁿ⁻¹b (r = 1) असे जाते; म्हणून r वे नसून (r + 1)-वे पद ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ.

  • सोपे : (x + y)⁷ चे 5 वे पद : r = 4, T₅ = ⁷C₄ x³ y⁴ = 35x³y⁴.
  • मध्यम : (x + 2)⁶ मधील x³ चा गुणांक : r = 3, ⁶C₃ × 2³ = 20 × 8 = 160.
  • परीक्षेसाठी : (x² + 1/x)⁹ चे x विरहित पद : x चा घात 18 − 3r = 0, r = 6, ⁹C₆ = 84.
लक्षात ठेवा

n सम तर मधले पद एक ; n विषम तर दोन. (1 + x)⁸ चे मधले पद 70x⁴.

सामान्य चूक

r वे पद ⁿCᵣ … असे घेणे. ⁿCᵣ हे (r + 1)-वे पद आहे.

शॉर्टकट

x विरहित पदासाठी घातांचे समीकरण (a चा घात − b च्या x-घाताच्या) मांडा आणि r पूर्णांक येतो का तपासा. आठवणीची युक्ती : "घात शून्य, r सापडला".

CET सापळा

r पूर्णांक आला नाही किंवा n पेक्षा मोठा आला तर तसे पद नसते.

CET-स्टाइल उदाहरण : (x + 1/x)¹⁰ चे x विरहित पद ? (A) 252 (B) 210 (C) 120 (D) 126

उत्तर : (A). x चा घात 10 − 2r = 0, r = 5 ; ¹⁰C₅ = 252. वेळ वाचवण्याची पद्धत : सम घात 10 असल्याने r = n/2 ; ¹⁰C₅ थेट.

फरक ओळखा

nमधली पदेउदाहरण
समएक : T(n/2 + 1)(1 + x)⁸ : T₅
विषमदोन : T((n + 1)/2), T((n + 3)/2)(1 + x)⁷ : T₄, T₅

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1(x + y)⁵ चे 3 रे पद लिहा.
  2. 2(1 + x)⁸ चे मधले पद लिहा.
  3. 3(a + b)⁸ चे पहिले पद कोणते?
मध्यम
  1. 4(x + 3)⁶ मधील x⁴ चा गुणांक काढा.
  2. 5(1 + x)⁸ चे मधले पद T₅ चा गुणांक किती?
  3. 6(1 + x)⁹ च्या मधल्या दोन पदांचे गुणांक काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7(2x + 1)⁸ मधील x⁴ चा गुणांक काढा.
  2. 8(x + 1/x)¹² मधील x⁴ चा गुणांक काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1⁵C₂ x³y² = 10x³y².
  2. 270x⁴.
  3. 3a⁸.
  4. 4⁶C₂ × 3² = 15 × 9 = 135.
  5. 570.
  6. 6⁹C₄ = ⁹C₅ = 126.
  7. 7⁸C₄ × 2⁴ = 70 × 16 = 1120.
  8. 8x चा घात 12 − 2r = 4, r = 4 ; ¹²C₄ = 495.

ऋण आणि अपूर्णांक घातांकाचा विस्तार

रोजच्या जीवनातून

1/(1 − x) हे अपूर्णांकासारखे दिसते, पण x लहान असताना 1 + x + x² + … असे अनंत पदांच्या बेरजेसारखे वागते. कॅल्क्युलेटर नसताना मुळे व उलटे मोजण्यासाठी हे उपयोगी. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे ऋण आणि अपूर्णांक घातांक शिकलो; येथे ते द्विपद सूत्रात वापरतो.

सोपी व्याख्या

n ऋण किंवा अपूर्णांक असेल आणि ∣x∣ < 1 असेल तर (1 + x)ⁿ = 1 + nx + n(n − 1)/2! x² + n(n − 1)(n − 2)/3! x³ + … ; पदे अनंत असतात.

नियम 1 : उपयुक्त विस्तार — (1 − x)⁻¹ = 1 + x + x² + x³ + … ; (1 + x)⁻¹ = 1 − x + x² − … ; (1 − x)⁻² = 1 + 2x + 3x² + 4x³ + … ; (1 + x)¹ᐟ² = 1 + x/2 − x²/8 + x³/16 − ….

11 term1.52 terms1.753 terms1.8754 terms1.93755 terms2(1−x)⁻¹ = 1 + x + x² + … for ∣x∣ < 1x = 0.5

आकृतीत : x = 0.5 साठी बेरजा 1, 1.5, 1.75, 1.875, … या 2 कडे जातात.

सूत्र कसे मिळाले? : n ऋण असेल तर n(n − 1)… कधीही शून्य होत नाही, म्हणून पदे संपत नाहीत. n = −1 : (−1)(−2)/2! = 1, (−1)(−2)(−3)/3! = −1 ; म्हणून (1 + x)⁻¹ = 1 − x + x² − ….

  • सोपे : (1 + x)⁻¹ = 1 − x + x² − x³ + … (∣x∣ < 1).
  • मध्यम : (1 − 2x)⁻² : (1 − y)⁻² = 1 + 2y + 3y² + 4y³ y = 2x ठेवले : 1 + 4x + 12x² + 32x³ + …
  • परीक्षेसाठी : (1.03)¹ᐟ³ : x = 0.03, n = 1/3 ; 1 + 0.01 − 0.0001 + … ≈ 1.0099 (चार दशांश).
लक्षात ठेवा

सूत्र फक्त ∣x∣ < 1 साठी ; (1 + 2x)ⁿ साठी ∣x∣ < 1/2.

सामान्य चूक

अनंत विस्तारात शेवटचे पद गृहीत धरणे. पदे संपत नाहीत ; आवश्यक तेवढीच पदे घ्या.

शॉर्टकट

कोणतीही संख्या (1 + लहान) रूपात लिहा : 1.03, 0.99 = 1 − 0.01. पहिली 3 पदे बहुधा पुरतात. आठवणीची युक्ती : "1 अधिक लहान".

CET सापळा

(1 − x)ⁿ साठी x ची चिन्हे उलट होतात ; (1 − x)⁻¹ साठी सर्व पदे धन.

CET-स्टाइल उदाहरण : (1 − x)⁻³ मधील x² चा गुणांक ? (A) 6 (B) 3 (C) 9 (D) 12

उत्तर : (A). (−3)(−4)/2 × (−1)² = 6. वेळ वाचवण्याची पद्धत : n(n − 1)/2 साठी n = −3 ; दोन ऋण गुणून धन 12/2.

फरक ओळखा

मुद्दाn धन पूर्णांकn ऋण / अपूर्णांक
पदेn + 1 (संपतात)अनंत
अटकोणताही x∣x∣ < 1
उदाहरण(1 + x)⁴ : 5 पदे(1 + x)⁻¹ : अनंत पदे

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1(1 − x)⁻¹ ची पहिली तीन पदे लिहा.
  2. 2(1 + x)¹ᐟ² मधील x चा गुणांक किती?
  3. 3(1 + 2x)⁻¹ चा विस्तार कोणत्या x साठी वैध?
मध्यम
  1. 4(1 + x)⁻² मधील x² चा गुणांक काढा.
  2. 5(1 − x)⁻¹ᐟ² ची पहिली तीन पदे लिहा.
  3. 61/1.01 चार दशांशांपर्यंत काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7(1 − 2x)⁻² मधील x³ चा गुणांक काढा.
  2. 8√1.04 चार दशांशांपर्यंत काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 11 + x + x².
  2. 21/2.
  3. 3∣x∣ < 1/2.
  4. 4(−2)(−3)/2 = 3.
  5. 51 + x/2 + 3x²/8.
  6. 61 − 0.01 + 0.0001 − … ≈ 0.9901.
  7. 74 × 2³ = 32.
  8. 81 + 0.02 − 0.0002 + … ≈ 1.0198.

धडा ४ : आगमन आणि द्विपद प्रमेय — झटपट उजळणी

विषयसूत्र / मुद्दा
आगमनपाया n = 1 ; गृहीतक n = k ; सिद्ध n = k + 1 ; निष्कर्ष सर्व n
बेरजा1 + … + n = n(n + 1)/2 ; 1² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6 ; विषमांची बेरीज n²
भाज्यताaⁿ − bⁿ ला (a − b) ने ; 7ⁿ − 1 ला 6 ने ; n³ − n ला 6 ने
द्विपद प्रमेय(a + b)ⁿ = Σ ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ ; पदे n + 1 ; गुणांकांची बेरीज 2ⁿ
व्यापक पदTᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ ; मधले : n सम एक, n विषम दोन
ऋण / अपूर्णांक(1 + x)ⁿ = 1 + nx + n(n − 1)/2! x² + … ; ∣x∣ < 1

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

  • पुढची पायरी लिहिताना गृहीतक वापरा.
  • Tᵣ₊₁ म्हणजे (r + 1)-वे पद ; r वे नाही.
  • सर्व गुणांकांसाठी x = 1.
  • ऋण / अपूर्णांक घातात ∣x∣ < 1 तपासा.
  • x विरहित पदासाठी x चा घात शून्य.
अभ्यासाचा मंत्र

"k चा आधार, k + 1 ची उडी".