K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 11 · गणित भाग २

धडा ३: क्रमचय आणि संचय

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

मोजणीची मूलभूत तत्त्वे

रोजच्या जीवनातून

रोज कोणता शर्ट आणि कोणती पँट घालायची हे ठरवताना पर्याय किती ते आपण मनात मोजतो. यादी न करता झटपट संख्या काढण्याचे तंत्र म्हणजे मोजणीची तत्त्वे. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे संख्या आणि संचांची मोजणी शिकलो; येथे ती गुणाकार आणि बेरजेच्या तत्त्वांनी पद्धतशीर करतो.

सोपी व्याख्या

दोन कामे एकापाठोपाठ करायची असतील आणि ती m आणि n प्रकारे होत असतील तर दोन्ही मिळून m × n प्रकारे होतात (गुणाकार तत्त्व). दोन कामांपैकी एकच करायचे असेल तर m + n प्रकारे (बेरीज तत्त्व).

नियम 1 : कधी गुणावे, कधी मिळवावे — "आणि", "नंतर", "दोन्ही" म्हणजे गुणाकार. "किंवा", "एकच" म्हणजे बेरीज. अंक बनवताना जिथे अट असते ते स्थान आधी भरा.

S1T1T2S2T1T2S3T1T26outfits3 × 2 = 6 (multiplication principle)

आकृतीत : झाडाकृती : 3 शर्ट × प्रत्येकासोबत 2 पँट = 6 पोशाख.

सूत्र कसे मिळाले? : पहिले काम m प्रकारे झाले की प्रत्येक वेळी दुसरे काम n प्रकारे येते; म्हणजे m गटांत प्रत्येकी n निकाल, एकूण m × n. वरच्या आकृतीत 3 फांद्यांवर प्रत्येकी 2 टोके.

  • सोपे : 3 शर्ट आणि 4 पँट : 3 × 4 = 12 पोशाख.
  • मध्यम : 1, 2, 3, 4, 5 पासून पुनरावृत्तीशिवाय 3 अंकी संख्या : 5 × 4 × 3 = 60.
  • परीक्षेसाठी : 3 अंकी सम संख्या : शतक 9, दशक 10, एकक 5 (0, 2, 4, 6, 8) ; 9 × 10 × 5 = 450.
लक्षात ठेवा

अटीचे स्थान आधी : सम संख्येत एकक, 0 नको असेल तर पहिले स्थान.

सामान्य चूक

4 अंकी संख्या 10⁴ मानणे. पहिला अंक 0 चालत नाही, म्हणून 9 × 10 × 10 × 10 = 9000.

शॉर्टकट

"किमान एक" असेल तर एकूण − एकही नाही ; अंकांची संख्या ओळखा : 2 अंकी 90, 3 अंकी 900, 4 अंकी 9000. आठवणीची युक्ती : "नऊ, मग शून्यांची रांग".

CET सापळा

सर्व अंक भिन्न म्हटले की पहिला अंक 9, दुसरा 9 (0 चालतो), मग 8, 7 ; दुसरा 8 घेऊ नका.

CET-स्टाइल उदाहरण : सर्व अंक भिन्न असलेल्या 4 अंकी संख्या ? (A) 4536 (B) 5040 (C) 9000 (D) 3024

उत्तर : (A). 9 × 9 × 8 × 7 = 4536. वेळ वाचवण्याची पद्धत : पहिले स्थान 9, मग 9, 8, 7 ; 5040 हा ¹⁰P₄ आहे जो 0 ने सुरू होणाऱ्याही मोजतो.

फरक ओळखा

मुद्दागुणाकार तत्त्वबेरीज तत्त्व
शब्दआणि, नंतरकिंवा, एकच
क्रियाm × nm + n
उदाहरणशर्ट आणि पँट निवडणे4 गणित किंवा 5 विज्ञान पुस्तकांतून एक

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 14 शर्ट आणि 6 पँट : किती पोशाख?
  2. 2एका वाटेने 4 किंवा दुसऱ्या वाटेने 7 मार्ग : एक मार्ग निवडण्याचे प्रकार?
  3. 33 बरोबर-चूक प्रश्नांची उत्तरे किती प्रकारे?
मध्यम
  1. 42 अंकी एकूण संख्या किती?
  2. 51, 2, 3 पासून पुनरावृत्तीसह 3 अंकी संख्या किती?
  3. 65 ने भाग जाणाऱ्या 3 अंकी संख्या किती?
आव्हानात्मक
  1. 7सर्व अंक भिन्न असलेल्या 4 अंकी सम संख्या किती?
  2. 81, 2, 3, 4, 5 पासून पुनरावृत्तीशिवाय पहिला अंक विषम असलेल्या 3 अंकी संख्या किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 14 × 6 = 24.
  2. 24 + 7 = 11.
  3. 32 × 2 × 2 = 8.
  4. 49 × 10 = 90.
  5. 53 × 3 × 3 = 27.
  6. 69 × 10 × 2 = 180.
  7. 7एकक 0 असेल तर 9 × 8 × 7 = 504 ; एकक 2, 4, 6, 8 असेल तर 4 × 8 × 8 × 7 = 1792 ; एकूण 2296.
  8. 8पहिला अंक 3 प्रकार (1, 3, 5) ; मग 4 × 3 ; 3 × 12 = 36.

क्रमगुणित आणि क्रमचय

रोजच्या जीवनातून

रांगेत 5 जणांना उभे करताना पहिल्या जागेला 5, मग 4, 3, 2, 1 पर्याय येतात. क्रम बदलला की रचना बदलते. अशा रचनांची संख्या म्हणजे क्रमचय. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे गुणाकार आणि घातांक शिकलो; क्रमगुणित हा उतरत्या संख्यांचा गुणाकार आहे.

सोपी व्याख्या

क्रमगुणित n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1 आणि 0! = 1. n वेगवेगळ्या वस्तूंतून r वस्तू घेऊन क्रमाने मांडण्याचे प्रकार म्हणजे क्रमचय ⁿPᵣ.

नियम 1 : क्रमचयाचे सूत्र — ⁿPᵣ = n!/(n − r)! = n(n − 1)…(n − r + 1) (r अवयव). ⁿPₙ = n! ; ⁿP₀ = 1 ; ⁿP₁ = n.

321= 3! = 6ABCACBBACBCACABCBAⁿPᵣ = n!/(n − r)!

आकृतीत : 3 पेट्या 3, 2, 1 प्रकारे भरतात : 3! = 6 रचना (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA).

सूत्र कसे मिळाले? : r स्थाने भरताना पहिल्याला n, दुसऱ्याला n − 1, … r व्याला n − r + 1 पर्याय. गुणाकार n(n − 1)…(n − r + 1) ; वर आणि खाली (n − r)! ने गुणले की n!/(n − r)!.

  • सोपे : 8!/6! = 8 × 7 = 56.
  • मध्यम : ⁷P₃ = 7 × 6 × 5 = 210.
  • परीक्षेसाठी : PLANET च्या 4 अक्षरी रचना : ⁶P₄ = 6 × 5 × 4 × 3 = 360. ⁿP₂ = 42 : n(n − 1) = 42, n = 7.
लक्षात ठेवा

क्रमचयात क्रम महत्त्वाचा : AB आणि BA वेगळे.

सामान्य चूक

0! = 0 मानणे. बरोबर 0! = 1.

शॉर्टकट

ⁿPᵣ साठी n पासून r अवयव खाली लिहा : ⁷P₃ = 7 × 6 × 5. मोठे क्रमगुणित पूर्ण काढू नका. आठवणीची युक्ती : "वरून r पावले उतरा".

CET सापळा

n! = 5040 असेल तर n = 7 ; 6! = 720 आणि 8! = 40320 यांच्याशी गोंधळ टाळा.

CET-स्टाइल उदाहरण : ⁿP₂ = 42 असेल तर n = ? (A) 7 (B) 6 (C) 8 (D) 21

उत्तर : (A). n(n − 1) = 42 = 7 × 6. वेळ वाचवण्याची पद्धत : दोन जवळच्या संख्यांचा गुणाकार 42 : 7 × 6.

फरक ओळखा

पदअर्थउदाहरण
n!सर्व n ची रचना5! = 120
ⁿPᵣn पैकी r ची रचना⁶P₄ = 360
ⁿP₀काहीच न घेणे1

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 16! ची किंमत काढा.
  2. 2¹⁰P₂ ची किंमत काढा.
  3. 35 वेगवेगळी पुस्तके कपाटात किती प्रकारे मांडता येतात?
मध्यम
  1. 49!/(7! × 2!) काढा.
  2. 5⁶P₃ + ⁶P₂ काढा.
  3. 6n! = 5040 असेल तर n काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7(n + 1)!/(n − 1)! = 56 असेल तर n काढा.
  2. 8ⁿP₃ = 120 असेल तर n काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1720.
  2. 210 × 9 = 90.
  3. 35! = 120.
  4. 472/2 = 36.
  5. 5120 + 30 = 150.
  6. 67! = 5040 ; n = 7.
  7. 7(n + 1) × n = 56 = 8 × 7 ; n = 7.
  8. 8n(n − 1)(n − 2) = 120 = 6 × 5 × 4 ; n = 6.

पुनरावृत्ती आणि अटी असलेले क्रमचय

रोजच्या जीवनातून

"APPLE" शब्दाची अक्षरे उलटसुलट मांडताना दोन P अदलाबदलल्याने नवा शब्द बनत नाही; म्हणून रचना कमी होतात. तसेच काही जण शेजारी असावेत किंवा नसावेत अशा अटी येतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे अक्षरे आणि अंक मांडण्याची कल्पना घेतली; येथे सारख्या वस्तूंसाठी भागाकार करतो.

सोपी व्याख्या

n वस्तूंत p सारख्या एका प्रकारच्या, q सारख्या दुसऱ्या प्रकारच्या असतील तर रचना n!/(p! × q!). एकत्र असलेल्यांचा गट करून एक वस्तू माना आणि गटांतर्गत रचना गुणा; एकत्र नसलेल्या रचना = एकूण − एकत्र.

नियम 1 : सारख्या वस्तू — APPLE : 5!/2! = 60. BANANA : 6!/(3! × 2!) = 60. प्रत्येक पुनरावृत्त अक्षराच्या क्रमगुणिताने भागा.

letters A, A, BA1 A2 BA2 A1 B→AABA1 B A2A2 B A1→ABAB A1 A2B A2 A1→BAA3!/2! = 6/2 = 3divide by the factorial of every repeated letter

आकृतीत : A, A, B : 6 रचनांपैकी दोन-दोन सारख्या ; वेगळे शब्द 3 = 3!/2!.

नियम 2 : अटी — एकत्र : गट मानून (घटक − 1 + 1)! × गटांतर्गत !. एका ठिकाणी ठरावीक वस्तू : ते स्थान निश्चित करून उरलेल्यांची रचना. अंकांत पहिले स्थान 0 नको असेल तर आधी तेच भरा.

सूत्र कसे मिळाले? : n!/(p!) : p सारख्या वस्तू p! प्रकारे अदलाबदल होतात पण त्यांनी नवी रचना बनत नाही, म्हणून एकूण n! ला p! ने भागा.

  • सोपे : LEVEL : 5!/(2! × 2!) = 120/4 = 30.
  • मध्यम : DELHI च्या रचनांत E आणि I एकत्र : 4! × 2! = 24 × 2 = 48.
  • परीक्षेसाठी : 5 जणांत A, B एकत्र नाहीत : 5! − 4! × 2! = 120 − 48 = 72. MISSISSIPPI : 11!/(4! × 4! × 2!) = 34650.
लक्षात ठेवा

गट केल्यावर गटातील अदलाबदल विसरू नका : 2! किंवा 3!.

सामान्य चूक

एकत्र नसण्याच्या रचना थेट काढणे. आधी एकूण आणि एकत्र काढून वजा करणे सोपे.

शॉर्टकट

अक्षरांची पुनरावृत्ती आधी लिहा : MISSISSIPPI = I4, S4, P2, M1. आठवणीची युक्ती : "एकूण ! भागिले पुनरावृत्तीचे !".

CET सापळा

सम संख्येत शेवटचा अंक सम असावा, आणि 0 चा वापर असल्यास पहिले स्थान वेगळे मोजा; दोन्ही अटी आधी भरा.

CET-स्टाइल उदाहरण : TRIANGLE च्या अक्षरांच्या T ने सुरू आणि E ने संपणाऱ्या रचना ? (A) 720 (B) 5040 (C) 40320 (D) 120

उत्तर : (A). दोन्ही टोके निश्चित, उरलेली 6 अक्षरे : 6! = 720. वेळ वाचवण्याची पद्धत : टोके ठरली की उरलेल्यांचे क्रमगुणित.

फरक ओळखा

अटपद्धतउदाहरण
सारखी अक्षरेn! ÷ पुनरावृत्तींचे !APPLE = 60
एकत्रगट × गटांतर्गतDELHI, EI एकत्र = 48
एकत्र नाहीएकूण − एकत्र5 जण = 72

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1INDIA च्या अक्षरांच्या रचना काढा.
  2. 2BOOK च्या अक्षरांच्या रचना काढा.
  3. 3MATH च्या M ने सुरू होणाऱ्या रचना काढा.
मध्यम
  1. 41, 1, 2, 2, 3 पासून 5 अंकी संख्या किती?
  2. 50, 1, 2, 3, 4 पासून पुनरावृत्तीशिवाय 4 अंकी संख्या किती?
  3. 61, 2, 3, 4, 5 पासून पुनरावृत्तीशिवाय 4 अंकी सम संख्या किती?
आव्हानात्मक
  1. 73 मुले आणि 3 मुली एकाआड एक किती प्रकारे उभे राहतात?
  2. 8STUDY च्या किती रचनांत U कोणत्याही टोकाला नाही?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 15!/2! = 60.
  2. 24!/2! = 12.
  3. 33! = 6.
  4. 45!/(2! × 2!) = 30.
  5. 5पहिला अंक 4 प्रकार, मग 4 × 3 × 2 ; 4 × 24 = 96.
  6. 6एकक 2 किंवा 4 : 2 ; बाकी 4 × 3 × 2 = 24 ; 48.
  7. 7दोन सुरुवाती × 3! × 3! = 2 × 36 = 72.
  8. 8U ला 3 मधली स्थाने ; बाकी 4! = 24 ; 3 × 24 = 72.

वर्तुळाकार क्रमचय

रोजच्या जीवनातून

गोल टेबलाभोवती सगळ्यांनी एक जागा पुढे सरकले तर बैठकीची रचना तीच राहते; फक्त कोण कोणाच्या शेजारी हे महत्त्वाचे. म्हणून रांगेपेक्षा रचना कमी होतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे वर्तुळ आणि त्याचे गुणधर्म शिकलो; येथे वर्तुळावरील रचनांची मोजणी करतो.

सोपी व्याख्या

n वेगवेगळ्या वस्तू वर्तुळावर मांडल्यास फिरवल्याने समान ठरणाऱ्या रचना एक मानतात; एकाला स्थिर करून उरलेल्यांची रचना केली की (n − 1)! मिळतात.

नियम 1 : सूत्रे — वर्तुळाकार रचना (n − 1)!. माळ किंवा हार उलटता येतो, म्हणून (n − 1)!/2. जागा क्रमांकित असतील तर रांगेसारखे n!.

ABCDtableA fixedothers: 3! = 6rotation givessame seating(n − 1)!a necklace that can be turned over: (n − 1)!/2

आकृतीत : 4 व्यक्ती गोल टेबलाभोवती : A निश्चित, इतर 3! = 6 ; सर्वांनी फिरल्यास रचना तीच.

नियम 2 : अटी — दोन शेजारी : गट मानून (n − 2)! × 2. शेजारी नाहीत : (n − 1)! − 2 × (n − 2)!. एकाआड एक : एका गटाची (k − 1)! × दुसऱ्याची k!.

सूत्र कसे मिळाले? : वर्तुळावर n रचना फिरवून मिळणाऱ्या n स्थितींना एक मानतो. रांगेच्या n! रचना n-n च्या गटांत एकाच वर्तुळाकार रचनेच्या; म्हणून n!/n = (n − 1)!.

  • सोपे : 5 जण गोल टेबलाभोवती : (5 − 1)! = 24.
  • मध्यम : 7 जणांत दोन शेजारी : 2 × 5! = 240.
  • परीक्षेसाठी : 6 वेगवेगळे मणी माळेत : (6 − 1)!/2 = 60. 4 मुले आणि 4 मुली एकाआड एक : 3! × 4! = 144.
लक्षात ठेवा

रांग = n!, गोल = (n − 1)!, माळ = (n − 1)!/2.

सामान्य चूक

क्रमांकित खुर्च्या असताना (n − 1)! घेणे. तेथे प्रत्येक फिरवलेली रचना वेगळी, म्हणून n!.

शॉर्टकट

एकाला निश्चित करा आणि सरळ रांगेसारखे मोजा. आठवणीची युक्ती : "गोल म्हणजे एक कमी".

CET सापळा

माळेत (n − 1)!/2 फक्त सर्व मणी वेगळे असतील तेव्हाच ; सारखे मणी असतील तर विशेष मोजणी.

CET-स्टाइल उदाहरण : 8 जण गोल टेबलाभोवती, दोन ठरावीक जण शेजारी नाहीत ? (A) 3600 (B) 5040 (C) 1440 (D) 4320

उत्तर : (A). एकूण 7! = 5040 ; शेजारी 2 × 6! = 1440 ; 5040 − 1440 = 3600. वेळ वाचवण्याची पद्धत : एकूण वजा शेजारी.

फरक ओळखा

प्रकारसूत्र5 वस्तूंसाठी
रांगn!120
गोल टेबल(n − 1)!24
माळ / हार(n − 1)!/212

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 13 जण गोल टेबलाभोवती किती प्रकारे बसतात?
  2. 24 वेगवेगळे मणी माळेत किती प्रकारे ओवता येतात?
  3. 36 क्रमांकित खुर्च्यांवर 6 जण किती प्रकारे बसतात?
मध्यम
  1. 45 जण गोल टेबलाभोवती, दोन ठरावीक जण शेजारी : प्रकार किती?
  2. 56 जण गोल टेबलाभोवती, दोन ठरावीक जण शेजारी नाहीत : प्रकार किती?
  3. 65 वेगवेगळ्या फुलांचे हार किती बनतात?
आव्हानात्मक
  1. 78 जण गोल टेबलाभोवती, दोन ठरावीक जण शेजारी : प्रकार किती?
  2. 83 जोडपी गोल टेबलाभोवती, प्रत्येक जोडपे शेजारी : प्रकार किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1(3 − 1)! = 2.
  2. 2(4 − 1)!/2 = 3.
  3. 36! = 720.
  4. 42 × 3! = 12.
  5. 55! − 2 × 4! = 120 − 48 = 72.
  6. 6(5 − 1)!/2 = 12.
  7. 72 × 6! = 1440.
  8. 83 गट : (3 − 1)! = 2 ; प्रत्येक जोडपे 2 ; 2 × 2 × 2 × 2 = 16.

संचय

रोजच्या जीवनातून

4 जणांतून 2 जणांची समिती निवडताना "अ आणि ब" व "ब आणि अ" हे एकच; क्रम महत्त्वाचा नसतो. अशा निवडींची संख्या म्हणजे संचय. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे संच आणि उपसंच शिकलो; r घटकांचा उपसंच निवडणे म्हणजेच संचय.

सोपी व्याख्या

n वेगवेगळ्या वस्तूंतून r वस्तू क्रम न पाहता निवडण्याचे प्रकार म्हणजे संचय ⁿCᵣ. निवडल्यावर मांडायचे असेल तर पुढे r! ने गुणा.

नियम 1 : सूत्र आणि गुणधर्म — ⁿCᵣ = n!/(r! × (n − r)!) = ⁿPᵣ/r!. ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ ; ⁿC₀ = ⁿCₙ = 1 ; ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₊₁ = ⁿ⁺¹Cᵣ₊₁ ; सर्व उपसंच 2ⁿ.

ABCD⁴C₂= 6order does not matter:AB = BAⁿCᵣ = n!/(r! (n − r)!) = ⁿPᵣ / r!

आकृतीत : 4 बिंदूंतील 2 निवडणे = 6 रेषा : ⁴C₂ = 6 ; AB आणि BA एकच.

नियम 2 : वापर — एक विशिष्ट वस्तू असावी : उरलेल्यांतून r − 1 निवडा. नसावी : उरलेल्यांतून r. "किमान एक" : एकूण − एकही नाही. "आणि" म्हणजे गुणाकार, "किंवा" म्हणजे बेरीज.

सूत्र कसे मिळाले? : r वस्तू निवडून त्यांची रचना केली तर ⁿPᵣ ; पण एकाच निवडीची r! रचना होतात. म्हणून ⁿCᵣ = ⁿPᵣ/r! = n!/(r!(n − r)!). r निवडणे म्हणजे उरलेल्या n − r वगळणे, म्हणून ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ.

  • सोपे : ¹⁰C₃ = (10 × 9 × 8)/6 = 120.
  • मध्यम : ⁸C₅ = ⁸C₃ = (8 × 7 × 6)/6 = 56.
  • परीक्षेसाठी : 5 पुरुषांतून 2 आणि 6 स्त्रियांतून 3 : ⁵C₂ × ⁶C₃ = 10 × 20 = 200. 4 मुले, 3 मुली, किमान एक मुलगा असलेली 3 जणांची समिती : ⁷C₃ − ³C₃ = 35 − 1 = 34.
लक्षात ठेवा

ⁿCᵣ साठी r मोठा असेल तर ⁿCₙ₋ᵣ वापरा : ⁸C₅ = ⁸C₃.

सामान्य चूक

समिती निवडताना क्रमचय वापरणे. समितीत क्रम नसतो, म्हणून संचय.

शॉर्टकट

निवड = संचय, मांडणी = क्रमचय ; समितीसाठी C, रांगेसाठी P. आठवणीची युक्ती : "C म्हणजे Choose".

CET सापळा

विशिष्ट व्यक्ती असल्याच्या आणि नसल्याच्या संख्या वेगळ्या : 9 पैकी 4, एक असलेले ⁸C₃ = 56, नसलेले ⁸C₄ = 70.

CET-स्टाइल उदाहरण : ⁿC₂ = 28 असेल तर n = ? (A) 8 (B) 7 (C) 9 (D) 14

उत्तर : (A). n(n − 1)/2 = 28, n(n − 1) = 56 = 8 × 7. वेळ वाचवण्याची पद्धत : दुप्पट करा आणि जवळच्या दोन संख्यांचा गुणाकार शोधा.

फरक ओळखा

मुद्दाक्रमचय ⁿPᵣसंचय ⁿCᵣ
क्रममहत्त्वाचामहत्त्वाचा नाही
सूत्रn!/(n − r)!n!/(r!(n − r)!)
⁶ मधून 2 साठी3015

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1¹²C₂ ची किंमत काढा.
  2. 28 जणांतून 3 जणांची समिती किती प्रकारे?
  3. 310 जणांत प्रत्येकाने एकदा हस्तांदोलन केले तर एकूण किती?
मध्यम
  1. 4ⁿC₂ = 28 असेल तर n काढा.
  2. 57 बिंदूंपैकी कोणतेही 3 एकरेषीय नाहीत ; किती त्रिकोण बनतात?
  3. 69 खेळाडूंतून 4 जणांचा संघ ; एक ठरावीक खेळाडू असलेले संघ किती?
आव्हानात्मक
  1. 7षटकोनाचे कर्ण किती?
  2. 8¹²C₃ + ¹²C₄ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 112 × 11/2 = 66.
  2. 28 × 7 × 6/6 = 56.
  3. 3¹⁰C₂ = 45.
  4. 4n(n − 1) = 56 ; n = 8.
  5. 5⁷C₃ = 35.
  6. 6⁸C₃ = 56.
  7. 7⁶C₂ − 6 = 15 − 6 = 9.
  8. 8¹²C₃ + ¹²C₄ = ¹³C₄ = 715.

धडा ३ : क्रमचय आणि संचय — झटपट उजळणी

विषयसूत्र / मुद्दा
तत्त्वेआणि = गुणाकार m × n ; किंवा = बेरीज m + n
क्रमगुणितn! = n(n − 1)…1 ; 0! = 1
क्रमचयⁿPᵣ = n!/(n − r)!
सारख्या वस्तूn!/(p! q!) ; एकत्र = गट × गटांतर्गत ; एकत्र नाही = एकूण − एकत्र
वर्तुळाकार(n − 1)! ; माळ (n − 1)!/2
संचयⁿCᵣ = n!/(r!(n − r)!) = ⁿCₙ₋ᵣ
उपसंचसर्व 2ⁿ ; ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₊₁ = ⁿ⁺¹Cᵣ₊₁

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

  • अटीचे स्थान आधी भरा.
  • क्रम महत्त्वाचा तर P, नाही तर C.
  • एकत्र म्हणजे गट आणि गटातील अदलाबदल.
  • गोल म्हणजे (n − 1)!.
  • "किमान एक" साठी एकूण − एकही नाही.
अभ्यासाचा मंत्र

"क्रम असेल तर P, निवड असेल तर C".