K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 11 · गणित भाग २

धडा २: क्रम आणि श्रेढी

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

समांतर श्रेढी

रोजच्या जीवनातून

जिन्याच्या प्रत्येक पायरीची उंची सारखी असेल तर तिसऱ्या पायरीची उंची, दहाव्या पायरीची उंची सहज काढता येते. असा सारख्या फरकाने वाढणारा क्रम म्हणजे समांतर श्रेढी. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे क्रम आणि AP चे पहिले सूत्र शिकलो; येथे बेरीज आणि मध्यांपर्यंत जातो.

सोपी व्याख्या

प्रत्येक पद आधीच्या पदात सारखा फरक d मिळवून येत असेल तर तो क्रम समांतर श्रेढी (AP). पहिले पद a, सामाईक फरक d. दोन संख्यांचा समांतर मध्य = त्यांची सरासरी.

नियम 1 : पद आणि बेरीज — n वे पद Tₙ = a + (n − 1)d. पहिल्या n पदांची बेरीज Sₙ = n/2 × (2a + (n − 1)d) = n/2 × (a + l), येथे l शेवटचे पद.

3T17T211T315T419T523T6each step adds d = 4T_n = a + (n − 1)d

आकृतीत : AP 3, 7, 11, … चे स्तंभ; प्रत्येक पुढचा स्तंभ 4 ने उंच.

नियम 2 : उपयुक्त गुणधर्म — तीन संख्या AP असतील तर : m − d, m, m + d. बेरीज आणि पद : Tₙ = Sₙ − Sₙ₋₁. विषम पदांचा AP असेल तर Sₙ = n × (मधले पद).

सूत्र कसे मिळाले? : S = a + (a + d) + … + l लिहा आणि उलट क्रमाने पुन्हा लिहा; दोन्ही ओळी जोडल्या की प्रत्येक जोडी (a + l) येते, n जोड्या. म्हणून 2S = n(a + l).

  • सोपे : 4, 9, 14, … चे 15 वे पद : 4 + 14 × 5 = 74.
  • मध्यम : 7, 10, 13, … च्या पहिल्या 25 पदांची बेरीज : 25/2 × (14 + 24 × 3) = 25/2 × 86 = 1075.
  • परीक्षेसाठी : T₅ = 17 आणि T₉ = 33 : 4d = 16, d = 4, a = 1. S₂₀ = 20/2 × (2 + 19 × 4) = 10 × 78 = 780.
लक्षात ठेवा

Tₙ साठी n नव्हे तर (n − 1) ने d गुणतो; पहिल्या पदाला फरक मिळवलेला नसतो.

सामान्य चूक

पदांची संख्या n = (l − a)/d असे घेणे. बरोबर n = (l − a)/d + 1.

शॉर्टकट

पदे विषम असतील तर बेरीज = पदांची संख्या × मधले पद; 15 पदांत मधले 8 वे. आठवणीची युक्ती : "बेरीज = संख्या × सरासरी".

CET सापळा

"किती पदे" प्रश्नात n पूर्णांक आणि धन असावा; ऋण मूळ वगळा.

CET-स्टाइल उदाहरण : 100 ते 999 मधील 7 च्या सर्व पटींची बेरीज ? (A) 70336 (B) 70000 (C) 64000 (D) 70700

उत्तर : (A). पहिली 105, शेवटची 994; n = (994 − 105)/7 + 1 = 128; S = 128/2 × 1099 = 64 × 1099 = 70336. वेळ वाचवण्याची पद्धत : पहिली आणि शेवटची पट शोधा, मग n आणि n/2 × (a + l).

फरक ओळखा

मुद्दाAPGP
वाढसारखा फरक d मिळवतातसारख्या गुणोत्तर r ने गुणतात
Tₙa + (n − 1)da × r^(n−1)
मध्यसरासरी (a + b)/2√(ab)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 12, 5, 8, … चे 10 वे पद काढा.
  2. 29, 6, 3, … चा सामाईक फरक सांगा.
  3. 35, 9, 13, …, 45 या क्रमात किती पदे आहेत?
मध्यम
  1. 43, 7, 11, … च्या पहिल्या 12 पदांची बेरीज काढा.
  2. 5AP चे 4 थे पद 14 आणि 9 वे पद 34 आहे; पहिले पद काढा.
  3. 67, 5, 3, … मधील पहिले ऋण पद कितवे आहे?
आव्हानात्मक
  1. 7दोन अंकी संख्यांपैकी 6 च्या सर्व पटींची बेरीज काढा.
  2. 8AP मधील तीन संख्यांची बेरीज 18 आणि गुणाकार 162 आहे; सर्वात मोठी संख्या काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 12 + 9 × 3 = 29.
  2. 26 − 9 = −3.
  3. 3(45 − 5)/4 + 1 = 11.
  4. 412/2 × (6 + 11 × 4) = 6 × 50 = 300.
  5. 55d = 20, d = 4; a = 14 − 12 = 2.
  6. 6पदे 7, 5, 3, 1, −1 ; पाचवे.
  7. 712 ते 96 : 15 पदे ; 15/2 × 108 = 810.
  8. 8मधली संख्या 6 ; 6(36 − d²) = 162, d = 3 ; संख्या 3, 6, 9 ; मोठी 9.

भूमितीय श्रेढी

रोजच्या जीवनातून

एका फेरीत 2 पट होणाऱ्या गोष्टी, जसे की पेशींचे विभाजन : 1, 2, 4, 8, … दर वेळी सारख्या पटीने वाढ. अशा क्रमाला भूमितीय श्रेढी म्हणतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे घातांक आणि गुणोत्तर शिकलो; GP त्यांचाच वापर आहे.

सोपी व्याख्या

प्रत्येक पद आधीच्या पदाला सारख्या गुणोत्तराने r गुणून येत असेल तर ती भूमितीय श्रेढी (GP). दोन संख्यांचा भूमितीय मध्य = √(ab).

नियम 1 : पद आणि बेरीज — Tₙ = a rⁿ⁻¹. Sₙ = a (rⁿ − 1)/(r − 1) (r > 1) किंवा a (1 − rⁿ)/(1 − r) (r < 1). r = 1 असेल तर Sₙ = na.

1T12T24T38T416T5each step multiplies by r = 2T_n = a × r^(n−1)

आकृतीत : GP 1, 2, 4, 8, 16 चे स्तंभ; प्रत्येक पुढचा स्तंभ दुप्पट.

नियम 2 : उपयुक्त गुणधर्म — तीन संख्या GP असतील तर : m/r, m, mr; मधल्याचा वर्ग = उरलेल्या दोघांचा गुणाकार. a आणि b च्या दरम्यान n भूमितीय मध्य घालायला r = (b/a)^(1/(n+1)).

सूत्र कसे मिळाले? : S = a + ar + … + arⁿ⁻¹. दोन्ही बाजूंना r ने गुणून वजा केले की सर्व मधली पदे जातात आणि S(1 − r) = a(1 − rⁿ) उरते.

  • सोपे : 2, 6, 18, … चे 6 वे पद : 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486.
  • मध्यम : 3 + 6 + 12 + … ची 5 पदांची बेरीज : 3 × (2⁵ − 1)/(2 − 1) = 3 × 31 = 93.
  • परीक्षेसाठी : T₂ = 6 आणि T₅ = 48 : r³ = 8, r = 2, a = 3. S₆ = 3 × (2⁶ − 1) = 3 × 63 = 189.
लक्षात ठेवा

r च्या ऋण किमतीत पदांची चिन्हे आलटून पालटून येतात : 3, −6, 12, −24.

सामान्य चूक

Tₙ = a rⁿ असे लिहिणे. बरोबर a rⁿ⁻¹, कारण पहिल्या पदाला r ने गुणलेले नसते.

शॉर्टकट

तीन संख्यांचा गुणाकार दिला की मधली संख्या घनमूळ : 64 → 4. आठवणीची युक्ती : "गुणाकार = मधला घन".

CET सापळा

r < 1 असताना सूत्र (rⁿ − 1)/(r − 1) चालते पण ऋण अपूर्णांक येतात; (1 − rⁿ)/(1 − r) वापरा म्हणजे चूक कमी.

CET-स्टाइल उदाहरण : GP मधील तीन संख्यांची बेरीज 14 आणि गुणाकार 64 आहे; सर्वात मोठी संख्या ? (A) 8 (B) 16 (C) 4 (D) 12

उत्तर : (A). मधली 4 ; 4/r + 4 + 4r = 14 वरून 2r² − 5r + 2 = 0, r = 2 ; संख्या 2, 4, 8. वेळ वाचवण्याची पद्धत : पर्याय तपासा : 2 + 4 + 8 = 14 आणि गुणाकार 64.

फरक ओळखा

r चे मूल्यपदांचे वर्तनSₙ चे सूत्र
r > 1वाढतातa (rⁿ − 1)/(r − 1)
0 < r < 1लहान होतातa (1 − rⁿ)/(1 − r)
r < 0चिन्हे आलटून पालटूनवरीलपैकी योग्य सूत्र

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 13, 6, 12, … चे 5 वे पद काढा.
  2. 2100, 50, 25, … चे सामाईक गुणोत्तर सांगा.
  3. 35 आणि 20 चा भूमितीय मध्य काढा.
मध्यम
  1. 41 + 3 + 9 + … च्या 6 पदांची बेरीज काढा.
  2. 52, 4, 8, … या क्रमात 256 हे कितवे पद आहे?
  3. 6धन GP साठी T₃ = 20 आणि T₅ = 80; पहिले पद काढा.
आव्हानात्मक
  1. 71 + 2 + 4 + … च्या किती पदांची बेरीज 255 येते?
  2. 8GP मधील तीन संख्यांची बेरीज 39 आणि गुणाकार 729 आहे; सर्वात मोठी संख्या काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 13 × 2⁴ = 48.
  2. 250 ÷ 100 = 1/2.
  3. 3√(5 × 20) = √100 = 10.
  4. 4(3⁶ − 1)/2 = 728/2 = 364.
  5. 52^(n−1) = 128 ; 2 × 2⁷ = 256 ; आठवे.
  6. 6r² = 80/20 = 4, r = 2 ; a = 20/4 = 5.
  7. 7(2ⁿ − 1) = 255 ; 2ⁿ = 256 ; n = 8.
  8. 8मधली 9 ; 9/r + 9 + 9r = 39 वरून 3r² − 10r + 3 = 0, r = 3 ; संख्या 3, 9, 27 ; मोठी 27.

अनंत GP ची बेरीज आणि आवर्ती दशांश

रोजच्या जीवनातून

एका पट्टीचे अर्धे, मग उरलेल्याचे अर्धे असे कापत गेलो तर कापलेल्या तुकड्यांची एकूण लांबी पट्टीच्या लांबीजवळच जाते, ती ओलांडत नाही. म्हणून अनंत पदांची बेरीजही एक ठरावीक संख्या असू शकते. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे अपूर्णांक आणि दशांश शिकलो; आवर्ती दशांशाला आता सूत्राने अपूर्णांकात बदलतो.

सोपी व्याख्या

GP चा |r| < 1 असेल तर पदे इतकी लहान होतात की अनंत बेरीज एका संख्येकडे जाते. आवर्ती दशांश म्हणजे अशाच GP ची बेरीज.

नियम 1 : अनंत बेरीज — S∞ = a/(1 − r), फक्त |r| < 1 असताना. |r| ≥ 1 असेल तर अनंत बेरीज नसते.

limit 21S11.5S21.75S31.875S41.9375S5a = 1, r = 1/2: S = a/(1 − r) = 2the gap to 2 halves every time

आकृतीत : 1 + 1/2 + 1/4 + … च्या आंशिक बेरजा 2 कडे जातात ; प्रत्येक वेळी अंतर निम्मे.

नियम 2 : आवर्ती दशांश — आवर्ती भाग GP मानून बेरीज घ्या : 0.3535… = 0.35 + 0.0035 + … ; a = 0.35, r = 0.01 ; S = 0.35/0.99 = 35/99. पूर्णांक भाग वेगळा ठेवा.

सूत्र कसे मिळाले? : Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r). |r| < 1 असताना rⁿ चा n वाढताना 0 कडे कल ; म्हणून Sₙ → a/(1 − r).

  • सोपे : 4 + 2 + 1 + … : a = 4, r = 1/2, S = 4/(1/2) = 8.
  • मध्यम : 0.4545… : a = 0.45, r = 0.01, S = 0.45/0.99 = 45/99 = 5/11.
  • परीक्षेसाठी : 1.2333… = 1.2 + 0.0333… = 6/5 + 0.03/0.9 = 6/5 + 1/30 = 36/30 + 1/30 = 37/30.
लक्षात ठेवा

अनंत बेरीज काढण्यापूर्वी |r| < 1 तपासा; नाहीतर सूत्र चालत नाही.

सामान्य चूक

0.999… ला 1 पेक्षा लहान मानणे. a = 0.9, r = 0.1, S = 0.9/0.9 = 1 ; दोन्ही समान.

शॉर्टकट

शुद्ध आवर्ती : आवर्ती अंक ÷ तितक्याच 9 (0.63 63… = 63/99). मिश्र : (सर्व अंक − न-आवर्ती अंक) ÷ (9… 0…). आठवणीची युक्ती : "आवर्तास नऊ, आधीच्यास शून्य".

CET सापळा

ऋण r असताना बेरीज a/(1 − r) चा छेद मोठा होतो ; 1 − (−1/2) = 3/2, 1/2 नव्हे.

CET-स्टाइल उदाहरण : 1 − 1/2 + 1/4 − 1/8 + … = ? (A) 2/3 (B) 2 (C) 1/2 (D) 4/3

उत्तर : (A). a = 1, r = −1/2 ; S = 1/(1 + 1/2) = 2/3. वेळ वाचवण्याची पद्धत : r चे चिन्ह पाहा आणि 1 − r या पदात ऋणाला ऋण लावा.

फरक ओळखा

प्रकारउदाहरणअपूर्णांक
शुद्ध आवर्ती0.7777…7/9
शुद्ध आवर्ती (दोन अंक)0.6363…63/99 = 7/11
मिश्र0.1666…(16 − 1)/90 = 1/6

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 18 + 4 + 2 + … ची अनंत बेरीज काढा.
  2. 2a = 3, r = 1/10 असलेल्या GP ची अनंत बेरीज काढा.
  3. 30.5555… ला अपूर्णांक करा.
मध्यम
  1. 40.0303… ला अपूर्णांक करा.
  2. 5GP ची अनंत बेरीज 20 आणि r = 3/5 ; पहिले पद काढा.
  3. 6GP ची अनंत बेरीज 6 आणि पहिले पद 2 ; r काढा.
आव्हानात्मक
  1. 73.1818… ला अपूर्णांक करा.
  2. 81/9 + 1/27 + 1/81 + … ची बेरीज काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 18/(1/2) = 16.
  2. 23/(9/10) = 10/3.
  3. 30.5/0.9 = 5/9.
  4. 4a = 0.03, r = 0.01 ; 0.03/0.99 = 3/99 = 1/33.
  5. 5a = 20 × (2/5) = 8.
  6. 66 = 2/(1 − r) ; 1 − r = 1/3 ; r = 2/3.
  7. 73 + 18/99 = 3 + 2/11 = 35/11.
  8. 8a = 1/9, r = 1/3 ; (1/9)/(2/3) = 1/6.

हरात्मक श्रेढी आणि तीन मध्य

रोजच्या जीवनातून

दोन गावांतील अंतर एका वेगाने जाऊन आणि दुसऱ्या वेगाने परत येऊन पार केले तर सरासरी वेग साधी सरासरी नसतो; तो हरात्मक मध्य असतो. म्हणून तीन प्रकारचे मध्य लागतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे सरासरी आणि व्यस्त संख्या शिकलो; HP हा व्यस्तांचाच AP आहे.

सोपी व्याख्या

ज्या क्रमातील पदांचे व्यस्त AP असतात तो हरात्मक श्रेढी (HP). a आणि b चा हरात्मक मध्य H = 2ab/(a + b). धन a, b साठी AM = (a + b)/2, GM = √(ab).

नियम 1 : HP चे पद — HP चे n वे पद = 1 ÷ (व्यस्त AP चे n वे पद). उदा. 1/2, 1/5, 1/8 : व्यस्त 2, 5, 8 ; दहावे व्यस्त 2 + 9 × 3 = 29 ; पद 1/29.

ABDOCGM = 6AM = 6.5HM ≈ 5.5AD = 4, DB = 9: AM ≥ GM ≥ HM

आकृतीत : अर्धवर्तुळ : त्रिज्या AM = 6.5, लंब GM = 6, त्रिज्येवरील पाय HM ≈ 5.5 ; AM ≥ GM ≥ HM.

नियम 2 : तीन मध्यांचा संबंध — AM ≥ GM ≥ HM ; AM × HM = GM² ; a = b असेल तर तिन्ही समान. AM ≥ GM वरून : x + 1/x ≥ 2 (x > 0) आणि बेरीज स्थिर असल्यास गुणाकार कमाल.

सूत्र कसे मिळाले? : (√a − √b)² ≥ 0 वरून a + b ≥ 2√(ab), म्हणजे AM ≥ GM. HM = 2ab/(a + b) = ab/AM आणि GM² = ab, म्हणून AM × HM = GM² ; तेव्हा GM हा AM आणि HM चा GM असल्याने HM ≤ GM.

  • सोपे : 2 आणि 6 चा HM = 2 × 2 × 6/8 = 24/8 = 3.
  • मध्यम : HP 1/4, 1/7, 1/10, … चे 5 वे पद : व्यस्त 4, 7, 10, 13, 16 ; म्हणून 1/16.
  • परीक्षेसाठी : AM = 13 आणि GM = 12 : HM = GM²/AM = 144/13. संख्या : बेरीज 26, गुणाकार 144 ; म्हणजे 8 आणि 18.
लक्षात ठेवा

HP चे सूत्र थेट नाही; नेहमी व्यस्त घेऊन AP करा.

सामान्य चूक

HM = (a + b)/2 घेणे. बरोबर HM = 2ab/(a + b).

शॉर्टकट

HM सहज : GM² ÷ AM. AM आणि GM दिले की HM लगेच. आठवणीची युक्ती : "मध्यम मध्य दोघांचा गुणाकार" म्हणजे GM² = AM × HM.

CET सापळा

AM ≥ GM ≥ HM फक्त धन संख्यांसाठी ; ऋण संख्या असतील तर वापरू नका.

CET-स्टाइल उदाहरण : x > 0 साठी 9x + 4/x ची किमान किंमत ? (A) 12 (B) 13 (C) 6 (D) 36

उत्तर : (A). AM ≥ GM : 9x + 4/x ≥ 2√(9x × 4/x) = 2 × 6 = 12. वेळ वाचवण्याची पद्धत : दोन पदांचा गुणाकार स्थिर आला की किमान = 2 × √गुणाकार.

फरक ओळखा

मध्यसूत्र4 आणि 9 साठी
AM(a + b)/26.5
GM√(ab)6
HM2ab/(a + b)72/13

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 13 आणि 12 चा GM काढा.
  2. 26 आणि 12 चा HM काढा.
  3. 3HP 1/2, 1/4, 1/6, … चे 4 थे पद काढा.
मध्यम
  1. 49 आणि 25 चा HM काढा.
  2. 5AM = 5 आणि HM = 16/5 ; GM काढा.
  3. 6x > 0 साठी x + 16/x ची किमान किंमत काढा.
आव्हानात्मक
  1. 72, b, 6 हे HP असतील तर b काढा.
  2. 8x + y = 30 आणि x, y धन ; xy ची कमाल किंमत काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1√36 = 6.
  2. 22 × 72/18 = 8.
  3. 3व्यस्त 2, 4, 6, 8 ; पद 1/8.
  4. 42 × 225/34 = 225/17.
  5. 5GM² = 5 × 16/5 = 16 ; GM = 4.
  6. 6AM ≥ GM : 2√16 = 8.
  7. 7b = HM = 2 × 12/8 = 3.
  8. 8x = y = 15 ; xy = 225.

विशेष श्रेढी आणि अंकगणित-भूमितीय श्रेढी

रोजच्या जीवनातून

संत्र्यांचा ढीग मांडला तर वरच्या थरात 1, त्याखाली 3, मग 6, 10 असे त्रिकोणाकार रचनेने मोजता येतात. अशा रचनांची बेरीज सूत्रांनी झटपट येते. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे नैसर्गिक संख्यांची बेरीज शिकलो; येथे वर्ग आणि घन यांच्या बेरजेची सूत्रे जोडतो.

सोपी व्याख्या

पहिल्या n नैसर्गिक संख्यांच्या बेरजा : Σn, Σn², Σn³. अंकगणित-भूमितीय श्रेढी म्हणजे पदे AP चे पद × GP चे पद, जसे 1 + 2x + 3x² + ….

नियम 1 : तीन सूत्रे — Σn = n(n + 1)/2 ; Σn² = n(n + 1)(2n + 1)/6 ; Σn³ = (n(n + 1)/2)² = (Σn)².

1n = 13n = 26n = 310n = 4the new orange row adds n dotsΣn = n(n + 1)/2Σn² = n(n + 1)(2n + 1)/6Σn³ = (n(n + 1)/2)²1 + 3 + 6 + 10 + … are triangular numbers

आकृतीत : बिंदूंचे त्रिकोण 1, 3, 6, 10 ; नवी रांग n बिंदूंची.

नियम 2 : अंकगणित-भूमितीय श्रेढी — |x| < 1 असताना 1 + 2x + 3x² + … = 1/(1 − x)², म्हणून x + 2x² + 3x³ + … = x/(1 − x)². पदे जटिल असतील तर Σ चे तुकडे Σn, Σn² अशा बेरजांत करा.

सूत्र कसे मिळाले? : S = 1 + 2x + 3x² + … आणि xS = x + 2x² + …. वजा केल्यावर S(1 − x) = 1 + x + x² + … = 1/(1 − x) ; म्हणून S = 1/(1 − x)². Σn साठी : 1 ते n आणि n ते 1 अशा दोन ओळी जोडल्यावर प्रत्येक जोडी n + 1.

  • सोपे : Σn (n = 30) = 30 × 31/2 = 465.
  • मध्यम : Σ (k² + 2k), k = 1 ते 8 : 204 + 2 × 36 = 276.
  • परीक्षेसाठी : Σn² = 285 : n(n + 1)(2n + 1) = 1710 = 9 × 10 × 19, n = 9. Σn³ = (9 × 10/2)² = 45² = 2025. तसेच Σ n/2ⁿ = (1/2)/(1/2)² = 2.
लक्षात ठेवा

Σn³ = (Σn)² ; पहिल्या n घनांची बेरीज नेहमी एका वर्गसंख्येइतकी.

सामान्य चूक

Σ(k²) ला (Σk)² मानणे. Σk² = 385 (n = 10), पण (Σk)² = 3025.

शॉर्टकट

k(k + 1) किंवा k(k + 2) सारखी पदे असतील तर आधी उघडून Σk² आणि Σk जोडा. आठवणीची युक्ती : "वर्ग वर, आडवे तुकडे".

CET सापळा

सम किंवा विषम संख्यांच्या वर्गांची बेरीज असताना 4 किंवा 2 चा गुणक बाहेर काढा; 2² + 4² + … = 4 × Σn².

CET-स्टाइल उदाहरण : 1 × 3 + 2 × 4 + … + 10 × 12 = ? (A) 495 (B) 440 (C) 385 (D) 550

उत्तर : (A). Σk(k + 2) = Σk² + 2Σk = 385 + 2 × 55 = 495. वेळ वाचवण्याची पद्धत : n = 10 साठी Σk² = 385 आणि Σk = 55 पाठ ठेवा.

फरक ओळखा

बेरीजसूत्रn = 10 साठी
Σnn(n + 1)/255
Σn²n(n + 1)(2n + 1)/6385
Σn³(n(n + 1)/2)²3025

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 11 + 2 + … + 40 ची किंमत काढा.
  2. 21² + 2² + … + 6² ची किंमत काढा.
  3. 31³ + 2³ + … + 5³ ची किंमत काढा.
मध्यम
  1. 4पहिल्या 12 विषम संख्यांची बेरीज काढा.
  2. 52 + 4 + 6 + … + 40 ची बेरीज काढा.
  3. 6Σ k(k + 1), k = 1 ते 8 काढा.
आव्हानात्मक
  1. 71³ + 2³ + … + n³ = 441 असेल तर n काढा.
  2. 83/4 + 6/16 + 9/64 + … ची अनंत बेरीज काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 140 × 41/2 = 820.
  2. 26 × 7 × 13/6 = 91.
  3. 3(5 × 6/2)² = 225.
  4. 412² = 144.
  5. 52 × (1 + … + 20) = 2 × 210 = 420.
  6. 6204 + 36 = 240.
  7. 7(n(n + 1)/2)² = 441 ; n(n + 1)/2 = 21 ; n = 6.
  8. 83 × (1/4)/(3/4)² = 3 × (1/4) × (16/9) = 4/3.

धडा २ : क्रम आणि श्रेढी — झटपट उजळणी

विषयसूत्र / मुद्दा
APTₙ = a + (n − 1)d ; Sₙ = n/2 × (2a + (n − 1)d)
GPTₙ = a rⁿ⁻¹ ; Sₙ = a (rⁿ − 1)/(r − 1)
अनंत GPS∞ = a/(1 − r), ∣r∣ < 1 ; आवर्ती दशांश = GP
HPव्यस्त AP ; HM = 2ab/(a + b)
तीन मध्यAM ≥ GM ≥ HM ; AM × HM = GM²
विशेष श्रेढीΣn = n(n + 1)/2 ; Σn² = n(n + 1)(2n + 1)/6 ; Σn³ = (Σn)²
अंकगणित-भूमितीय1 + 2x + 3x² + … = 1/(1 − x)²

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

  • Tₙ साठी (n − 1) वापरा.
  • GP साठी r च्या चिन्हावर लक्ष ठेवा.
  • अनंत बेरीजपूर्वी ∣r∣ < 1 तपासा.
  • HP साठी नेहमी व्यस्त घ्या.
  • Σ च्या पदांचे तुकडे करून Σn, Σn² वापरा.
अभ्यासाचा मंत्र

"AP बेरीज, GP गुणाकार, HP व्यस्त".