सम्मिश्र संख्या आणि त्यांचे बीजगणित
वीजेच्या सर्किटात एका बाजूला प्रवाह आणि दुसरीकडे त्याचा कोन एकत्र सांगावा लागतो; एकच संख्या पुरत नाही, जोडी लागते. अशी जोडी म्हणजे सम्मिश्र संख्या. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे वर्गसमीकरणे सोडवली; x² = −1 ला वास्तव उत्तर नव्हते. आता त्यासाठी नवी संख्या i घेतो.
i म्हणजे अशी संख्या की i² = −1. a + bi (a, b वास्तव) या रूपातील संख्येला सम्मिश्र संख्या म्हणतात; a हा वास्तव भाग आणि b हा काल्पनिक भाग. a − bi ही तिची संयुग्मी संख्या.
नियम 1 : i च्या घाताचे चक्र — i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, मग पुन्हा तेच. म्हणून iⁿ साठी n ला 4 ने भागा आणि बाकी पाहा: बाकी 0 → 1, 1 → i, 2 → −1, 3 → −i.
आकृतीत : i चे चार घात चार बिंदू; प्रत्येक वेळी i ने गुणले की बिंदू 90° फिरतो.
नियम 2 : चार क्रिया — बेरीज : वास्तव भाग वास्तवात, काल्पनिक काल्पनिकात. गुणाकार : दोन कंसांचा नेहमीचा गुणाकार आणि i² = −1. भागाकार : अंश आणि छेद दोन्हीला छेदाच्या संयुग्मीने गुणा. दोन सम्मिश्र संख्या समान तेव्हाच जेव्हा वास्तव भाग समान आणि काल्पनिक भाग समान.
सूत्र कसे मिळाले? : i² = −1 असल्याने i⁴ = (i²)² = 1; म्हणून i⁴ नंतर सर्व घात पुन्हा त्याच चार किमतींवर येतात. भागाकारात (a + bi)(a − bi) = a² + b² हे वास्तव असते, म्हणून छेद वास्तव करण्यासाठी संयुग्मीने गुणतो.
- सोपे : (3 + 2i) + (1 − 5i) = 4 − 3i.
- मध्यम : (2 + 3i)(4 − i) = 8 − 2i + 12i − 3i² = 8 + 10i + 3 = 11 + 10i.
- परीक्षेसाठी : (5 + i) ÷ (2 − 3i) = (5 + i)(2 + 3i) ÷ 13 = (10 + 15i + 2i − 3) ÷ 13 = (7 + 17i)/13. तसेच i⁴⁷ : 47 ÷ 4 चा बाकी 3, म्हणून i⁴⁷ = −i.
काल्पनिक भाग b आहे, bi नाही; 4 − 7i चा काल्पनिक भाग −7.
√(−4) × √(−9) = √36 = 6 असे लिहिणे. बरोबर 2i × 3i = 6i² = −6.
चार क्रमवार घात मिळून बेरीज 0 : i + i² + i³ + i⁴ = 0. आठवणीची युक्ती : "i, −1, −i, 1 : चौथ्याला परत".
i⁴ⁿ⁺² चे उत्तर −1 आहे, 1 नाही; बाकी 2 आल्यावर i² घ्या.
CET-स्टाइल उदाहरण : i⁹⁹ + i¹⁰⁰ + i¹⁰¹ + i¹⁰² = ? (A) 0 (B) 1 (C) i (D) −1
उत्तर : (A). −i + 1 + i − 1 = 0. वेळ वाचवण्याची पद्धत : चार क्रमवार घात दिसले की उत्तर लगेच 0.
फरक ओळखा
| मुद्दा | z + संयुग्मी | z × संयुग्मी |
|---|---|---|
| निकाल | 2a (वास्तव) | a² + b² (वास्तव) |
| कधी शून्य | a = 0 | कधीच नाही, z ≠ 0 असताना |
| उपयोग | वास्तव भाग मिळवणे | भागाकारात छेद वास्तव करणे |
सरावासाठी प्रश्न
- 1(2 + 5i) + (3 − 2i) काढा.
- 2i¹³ ची किंमत सांगा.
- 34 − 7i ची संयुग्मी लिहा.
- 4(3 − i)(2 + 4i) काढा.
- 5(1 + i)² काढा.
- 61 ÷ (3 + 4i) साधे रूप द्या.
- 7(4 + 3i) ÷ (1 − 2i) साधे रूप द्या.
- 8i + i² + … + i⁵⁰ ची किंमत काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 15 + 3i.
- 2i¹³ : 13 ÷ 4 चा बाकी 1 ; म्हणून i.
- 34 + 7i.
- 46 + 12i − 2i − 4i² = 10 + 10i.
- 51 + 2i + i² = 2i.
- 6(3 − 4i)/25.
- 7(4 + 3i)(1 + 2i) ÷ 5 = (4 + 8i + 3i − 6) ÷ 5 = (−2 + 11i)/5.
- 848 पदांचे 12 गट, प्रत्येकाची बेरीज 0; उरलेले i⁴⁹ + i⁵⁰ = i − 1.
सम्मिश्र संख्येचे वर्गमूळ आणि वर्गसमीकरणे
एखादे वर्गसमीकरण आलेखावर x-अक्षाला स्पर्शच करत नसेल तर त्याला वास्तव उत्तर नसते; तरी अचूक उत्तर हवे असते. सम्मिश्र संख्या तेच उत्तर देतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे D = b² − 4ac शिकलो; D ऋण असेल तेव्हा काय होते ते येथे पाहतो.
z = a + bi चे वर्गमूळ म्हणजे अशी संख्या x + yi की (x + yi)² = a + bi. प्रत्येक शून्येतर संख्येला दोन वर्गमुळे असतात, एक दुसऱ्याची ऋण.
नियम 1 : वर्गमूळ काढण्याची पद्धत — x² − y² = a आणि 2xy = b मांडा. r = √(a² + b²) घ्या. तर x = ±√((r + a)/2), y = ±√((r − a)/2); चिन्हे अशी की xy चे चिन्ह b च्या चिन्हासारखे.
आकृतीत : x² − 4x + 13 = 0 चे दोन उत्तर 2 + 3i आणि 2 − 3i; वास्तव अक्षात आरशातील प्रतिमा.
नियम 2 : ऋण D चे वर्गसमीकरण — ax² + bx + c = 0 (a, b, c वास्तव) या समीकरणाचा D < 0 असेल तर उत्तरे x = (−b ± i√(−D)) ÷ 2a; दोन्ही संयुग्मी जोडी. बेरीज = −b/a आणि गुणाकार = c/a तसेच राहतात.
सूत्र कसे मिळाले? : (x + yi)² = x² − y² + 2xyi. वास्तव भाग a शी आणि काल्पनिक भाग b शी जुळवले की दोन समीकरणे मिळतात. त्यात x² + y² = r जोडले (कारण |z| = r) की x² आणि y² वेगवेगळे मिळतात.
- सोपे : √(−9) = ±3i.
- मध्यम : √(8 − 6i) : r = 10, x = √((10 + 8)/2) = 3, y = √((10 − 8)/2) = 1; b ऋण म्हणून ±(3 − i).
- परीक्षेसाठी : x² − 4x + 13 = 0 : D = 16 − 52 = −36; x = (4 ± 6i) ÷ 2 = 2 ± 3i.
वास्तव गुणांकाच्या समीकरणाचे सम्मिश्र उत्तर नेहमी संयुग्मी जोडीतच येते.
वर्गमूळाला फक्त एकच चिन्ह देणे. √(8 − 6i) = ±(3 − i), दोन्ही मूळे.
एक मूळ दिले की दुसरे संयुग्मी; p = −(बेरीज), q = गुणाकार. आठवणीची युक्ती : "जोडी संयुग्मी : बेरीज आणि गुणाकार वास्तव".
D ऋण दिसले की उत्तरे वास्तव नसतात; "मूळे नाहीत" हा पर्याय चुकीचा, मूळे सम्मिश्र असतात.
CET-स्टाइल उदाहरण : x² + px + q = 0 (p, q वास्तव) चे एक मूळ 3 − 2i आहे. p, q काढा. (A) −6, 13 (B) 6, 13 (C) −6, 5 (D) 6, 5
उत्तर : (A). दुसरे मूळ 3 + 2i; बेरीज 6 म्हणून p = −6; गुणाकार 9 + 4 = 13 म्हणून q = 13. वेळ वाचवण्याची पद्धत : समीकरण सोडवू नका; बेरीज आणि गुणाकार थेट घ्या.
फरक ओळखा
| D | उत्तरे | आलेख |
|---|---|---|
| D > 0 | दोन भिन्न वास्तव | x-अक्षाला दोन ठिकाणी |
| D = 0 | दोन समान वास्तव | x-अक्षाला स्पर्श |
| D < 0 | संयुग्मी सम्मिश्र जोडी | x-अक्षाला भेटत नाही |
सरावासाठी प्रश्न
- 1√(−25) काढा.
- 2x² + 4 = 0 सोडवा.
- 3x² − 2x + 5 = 0 चा D काढा.
- 4√(5 + 12i) काढा.
- 5x² − 6x + 25 = 0 सोडवा.
- 6x² + x + 1 = 0 सोडवा.
- 71 − 2i हे मूळ असलेले वास्तव गुणांकाचे वर्गसमीकरण लिहा.
- 8√(−7 + 24i) काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1±5i.
- 2x² = −4, म्हणून x = ±2i.
- 34 − 20 = −16.
- 4r = 13, x = √9 = 3, y = √4 = 2 ; ±(3 + 2i).
- 5D = 36 − 100 = −64 ; x = (6 ± 8i) ÷ 2 = 3 ± 4i.
- 6x = (−1 ± i√3) ÷ 2.
- 7दुसरे मूळ 1 + 2i ; बेरीज 2, गुणाकार 5 ; x² − 2x + 5 = 0.
- 8r = 25, x = √((25 − 7)/2) = 3, y = √((25 + 7)/2) = 4 ; ±(3 + 4i).
आर्गंड प्रतल, मापांक, कोन आणि ध्रुवीय रूप
नकाशावर ठिकाण सांगायला आपण "अंतर आणि दिशा" सांगतो. सम्मिश्र संख्येचे ध्रुवीय रूप तेच करते : मूळबिंदूपासून अंतर आणि अक्षापासून कोन. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे निर्देशक भूमिती आणि sin, cos शिकलो; सम्मिश्र संख्या a + bi ला बिंदू (a, b) मानून त्यांचाच उपयोग करतो.
a + bi चा बिंदू (a, b) असलेले प्रतल म्हणजे आर्गंड प्रतल. मूळबिंदूपासूनचे अंतर r = √(a² + b²) म्हणजे मापांक. धन x-अक्षापासून घड्याळाच्या उलट दिशेने मोजलेला कोन θ म्हणजे कोन; (−π, π] मधील किंमत मुख्य कोन.
नियम 1 : मापांकाचे गुणधर्म — ∣z₁z₂∣ = ∣z₁∣∣z₂∣; ∣z₁/z₂∣ = ∣z₁∣/∣z₂∣; z₁ आणि z₂ यांतील अंतर = ∣z₁ − z₂∣; ∣z∣² = z × संयुग्मी.
आकृतीत : z = 3 + 4i हा बिंदू (3, 4); r = 5 आणि tan θ = 4/3.
नियम 2 : कोन आणि ध्रुवीय रूप — प्रथम लघुकोन α = tan⁻¹ ∣b/a∣ घ्या; मग चतुर्थांशानुसार θ : 1ला α, 2रा π − α, 3रा −(π − α), 4था −α. z = r(cos θ + i sin θ).
सूत्र कसे मिळाले? : बिंदू (a, b) वरून काटकोन त्रिकोण मिळतो : a = r cos θ, b = r sin θ. म्हणून a + bi = r cos θ + i r sin θ = r(cos θ + i sin θ). पायथागोरसवरून r² = a² + b².
- सोपे : ∣3 + 4i∣ = √(9 + 16) = 5.
- मध्यम : −1 + i : 2रा चतुर्थांश, α = tan⁻¹ 1 = π/4; θ = π − π/4 = 3π/4.
- परीक्षेसाठी : 1 − i√3 : r = 2, α = π/3, 4था चतुर्थांश म्हणून θ = −π/3; ध्रुवीय रूप 2(cos(−π/3) + i sin(−π/3)).
कोन काढताना बिंदू कोणत्या चतुर्थांशात आहे ते आधी पाहा; फक्त tan⁻¹ वर थांबू नका.
−1 + i साठी θ = tan⁻¹(−1) = −π/4 घेणे. बिंदू 2ऱ्या चतुर्थांशात आहे, म्हणून 3π/4.
भागाकाराचा मापांक काढायचा असेल तर भागू नका : अंशाचा मापांक ÷ छेदाचा मापांक. आठवणीची युक्ती : "गुणाकार/भागाकारात मापांक गुणतो/भागतो".
z₁ − z₂ चा मापांक अंतर देतो; ∣z₁∣ − ∣z₂∣ नव्हे.
CET-स्टाइल उदाहरण : ∣(3 + 4i) ÷ (5 − 12i)∣ = ? (A) 5/13 (B) 13/5 (C) 1/13 (D) 7/17
उत्तर : (A). ∣3 + 4i∣ = 5 आणि ∣5 − 12i∣ = 13. वेळ वाचवण्याची पद्धत : भागाकार न करता दोन मापांक वेगळे काढा.
फरक ओळखा
| चतुर्थांश | a, b चे चिन्ह | θ |
|---|---|---|
| 1ला | +, + | α |
| 2रा | −, + | π − α |
| 3रा | −, − | −(π − α) |
| 4था | +, − | −α |
सरावासाठी प्रश्न
- 1∣−6 + 8i∣ काढा.
- 2बिंदू (2, −3) कोणत्या चतुर्थांशात आहे?
- 3∣5 − 12i∣ काढा.
- 41 + i चा मुख्य कोन काढा.
- 5−1 − i चा मुख्य कोन काढा.
- 62 + i आणि 5 + 5i यांतील अंतर काढा.
- 7−2 + 2i चे ध्रुवीय रूप लिहा.
- 8∣(6 + 8i)(5 − 12i)∣ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1√(36 + 64) = 10.
- 24था चतुर्थांश (x धन, y ऋण).
- 3√(25 + 144) = 13.
- 4α = π/4, पहिला चतुर्थांश ; θ = π/4.
- 5α = π/4, तिसरा चतुर्थांश ; θ = −3π/4.
- 6z₁ − z₂ = 3 + 4i ; मापांक 5.
- 7r = 2√2, 2रा चतुर्थांश, θ = 3π/4 ; 2√2(cos 3π/4 + i sin 3π/4).
- 810 × 13 = 130.
घातांकी रूप आणि डी मॉयव्हरचे प्रमेय
घड्याळाचा काटा रोज त्याच वर्तुळावर फिरतो; पूर्ण एक फेरी संपली की पुन्हा सुरुवातीचा बिंदू. सम्मिश्र संख्येचे घात असेच कोनाच्या फेऱ्यांवर चालतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे कोनांची आणि sin, cos च्या बेरजेची सूत्रे शिकलो; डी मॉयव्हरचे प्रमेय त्यांचाच परिणाम आहे.
e^(iθ) = cos θ + i sin θ (θ रेडियनमध्ये). म्हणून z = r(cos θ + i sin θ) हे घातांकी रूप z = re^(iθ) असे लिहिता येते. विशेष : e^(iπ) = −1.
नियम 1 : डी मॉयव्हरचे प्रमेय — (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ. म्हणून zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). गुणाकारात मापांक गुणतात आणि कोन मिळवतात.
आकृतीत : z चा कोन 30° असेल तर z² चा 60° आणि z³ चा 90° ; मापांक 1 तसाच.
नियम 2 : n वे मूळ — z = r(cos θ + i sin θ) ची n मुळे : r^(1/n) × (cos((θ + 2πk)/n) + i sin((θ + 2πk)/n)), k = 0, 1, …, n − 1. ती एकाच वर्तुळावर समान अंतरावर असतात.
सूत्र कसे मिळाले? : (cos a + i sin a)(cos b + i sin b) = cos(a + b) + i sin(a + b) (sin, cos च्या बेरजेच्या सूत्रांवरून). तोच क्रम n वेळा केला की कोन n पट आणि सूत्र मिळते.
- सोपे : e^(iπ/2) = cos 90° + i sin 90° = i.
- मध्यम : (1 + i)⁸ : r = √2, θ = π/4 ; (√2)⁸ = 16 आणि 8θ = 2π ; म्हणून 16.
- परीक्षेसाठी : (√3 + i)⁵ : r = 2, θ = π/6 ; 2⁵ = 32, 5θ = 5π/6 ; 32(−√3/2 + i/2) = −16√3 + 16i.
कोन नेहमी रेडियनमध्ये; e^(iθ) साठी अंश घेतले तर चूक.
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cosⁿ θ + i sinⁿ θ असे लिहिणे. बरोबर cos nθ + i sin nθ.
मोठा घात आला की आधी लहान घात करून पाहा : (1 − i)² = −2i. आठवणीची युक्ती : "(1 ± i)² = ±2i".
n वे मूळ काढताना k चे सर्व n मूल्ये घ्या; फक्त k = 0 घेतल्यास मूळे अपूर्ण.
CET-स्टाइल उदाहरण : (1 − i)¹² = ? (A) −64 (B) 64 (C) 64i (D) −64i
उत्तर : (A). (1 − i)² = −2i, म्हणून (−2i)⁶ = 64 × i⁶ = 64 × (−1) = −64. वेळ वाचवण्याची पद्धत : कोन न काढता (1 − i)² चा घात वापरा.
फरक ओळखा
| रूप | लिहिण्याची पद्धत | सर्वाधिक सोयीचे |
|---|---|---|
| बीजगणितीय | a + bi | बेरीज, वजाबाकी |
| ध्रुवीय | r(cos θ + i sin θ) | कोन आणि मापांक पाहणे |
| घातांकी | re^(iθ) | गुणाकार, घात, मूळे |
सरावासाठी प्रश्न
- 1e^(iπ) ची किंमत सांगा.
- 2(cos 20° + i sin 20°)⁹ ची किंमत काढा.
- 32(cos π/6 + i sin π/6) घातांकी रूपात लिहा.
- 4(1 + i)⁴ काढा.
- 5(√3 − i)⁶ काढा.
- 6(cos θ + i sin θ)³ (cos θ − i sin θ)² सोपे करा.
- 7i चे वर्गमूळ काढा.
- 8(1 + i√3)⁹ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1cos π + i sin π = −1.
- 2cos 180° + i sin 180° = −1.
- 32e^(iπ/6).
- 4r = √2, θ = π/4 ; (√2)⁴ = 4 आणि 4θ = π ; म्हणून −4.
- 5r = 2, θ = −π/6 ; 2⁶ = 64 आणि 6θ = −π ; म्हणून −64.
- 6(cos θ + i sin θ)³ (cos θ + i sin θ)⁻² = cos θ + i sin θ.
- 7i = cos 90° + i sin 90° ; मूळे ±(cos 45° + i sin 45°) = ±(1 + i)/√2.
- 8r = 2, θ = π/3 ; 2⁹ = 512 आणि 9θ = 3π ; म्हणून −512.
एकाची घनमुळे
वर्तुळाकार जिन्यावर तीन समान पायऱ्यांनी एक पूर्ण फेरी होते; तीन पायऱ्या चढल्यावर आपण पुन्हा सुरुवातीच्या जागी. एकाची तीन घनमुळे अशीच वर्तुळावर 120° अंतराने असतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे a³ − b³ सारखे अवयव पाडले; x³ = 1 ची सर्व मुळे येथे पाहतो.
x³ = 1 ची तीन मुळे : 1, ω = (−1 + i√3)/2 आणि ω² = (−1 − i√3)/2. ω आणि ω² एकमेकांच्या संयुग्मी आहेत.
नियम 1 : मुख्य गुणधर्म — ω³ = 1 आणि 1 + ω + ω² = 0. ωⁿ साठी n ला 3 ने भागा : बाकी 0 → 1, 1 → ω, 2 → ω². तसेच 1 + ω = −ω², 1 + ω² = −ω, 1/ω = ω².
आकृतीत : तीन मुळे 0°, 120°, 240° वर; ती जोडली की समभुज त्रिकोण.
नियम 2 : अवयव — x³ − 1 = (x − 1)(x − ω)(x − ω²) आणि a³ + b³ = (a + b)(a + ωb)(a + ω²b).
सूत्र कसे मिळाले? : x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1). x² + x + 1 = 0 चे उत्तर (−1 ± i√3)/2, तीच ω आणि ω². ω हे x³ = 1 चे मूळ म्हणून ω³ = 1; आणि x² + x + 1 = 0 वरून 1 + ω + ω² = 0.
- सोपे : ω⁷ : 7 ÷ 3 चा बाकी 1, म्हणून ω ; ω³⁰ = 1.
- मध्यम : (1 + ω)³ = (−ω²)³ = −ω⁶ = −1.
- परीक्षेसाठी : (1 + ω − ω²)³ : 1 + ω = −ω², म्हणून −ω² − ω² = −2ω² ; घन −8ω⁶ = −8.
1 + ω + ω² = 0 पाठ करा; बहुतेक प्रश्न यावरून सुटतात.
ω² = −ω असे लिहिणे. बरोबर ω² = −1 − ω.
1 + ω ऐवजी −ω² आणि 1 + ω² ऐवजी −ω ठेवा; 1/ω² = ω. आठवणीची युक्ती : "एक आणि ω मिळून ω² चे ऋण".
ωⁿ साठी n ला 3 ने भागा, 4 ने नाही; 4 ने भागणे i साठी.
CET-स्टाइल उदाहरण : 1/(1 + ω) + 1/(1 + ω²) = ? (A) 1 (B) −1 (C) 0 (D) ω
उत्तर : (A). 1/(−ω²) + 1/(−ω) = −ω − ω² = 1. वेळ वाचवण्याची पद्धत : छेद −ω² आणि −ω करून 1/ω² = ω वापरा.
फरक ओळखा
| n ला 3 ने भागल्यावर बाकी | ωⁿ | उदाहरण |
|---|---|---|
| 0 | 1 | ω⁹ = 1 |
| 1 | ω | ω¹⁰⁰ = ω (100 = 99 + 1) |
| 2 | ω² | ω⁸ = ω² |
सरावासाठी प्रश्न
- 1ω⁹ ची किंमत सांगा.
- 2ω¹⁰ ची किंमत सांगा.
- 3ω + ω² ची किंमत सांगा.
- 4ω¹⁰⁰ ची किंमत काढा.
- 51 + ω² ला ω च्या रूपात लिहा.
- 6(ω + ω²)³ काढा.
- 7(1 − ω + ω²)(1 + ω − ω²) काढा.
- 8(2 + ω)(2 + ω²) काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 19 ÷ 3 चा बाकी 0 ; 1.
- 2बाकी 1 ; ω.
- 31 + ω + ω² = 0 म्हणून −1.
- 4100 ÷ 3 चा बाकी 1 ; ω.
- 51 + ω² = −ω.
- 6(−1)³ = −1.
- 7(−2ω)(−2ω²) = 4ω³ = 4.
- 84 + 2(ω + ω²) + ω³ = 4 − 2 + 1 = 3.
धडा १ : सम्मिश्र संख्या — झटपट उजळणी
| विषय | सूत्र / मुद्दा |
|---|---|
| i चे घात | i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1; बाकी 4 ने |
| क्रिया | भागाकारात छेदाच्या संयुग्मीने गुणा; z × संयुग्मी = a² + b² |
| वर्गमूळ | x = ±√((r + a)/2), y = ±√((r − a)/2); xy चे चिन्ह = b चे |
| वर्गसमीकरण | D < 0 : x = (−b ± i√(−D)) ÷ 2a; मुळे संयुग्मी |
| मापांक / कोन | r = √(a² + b²); α = tan⁻¹ ∣b/a∣, चतुर्थांशानुसार θ |
| डी मॉयव्हर | (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ; e^(iθ) = cos θ + i sin θ |
| घनमुळे | ω³ = 1; 1 + ω + ω² = 0; ωⁿ साठी बाकी 3 ने |
🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे
- iⁿ साठी 4 ने भागा, ωⁿ साठी 3 ने.
- वर्गमूळे आणि वर्गसमीकरणाची मुळे दोन-दोन असतात.
- कोन काढताना चतुर्थांश पाहा.
- भागाकाराचा मापांक = मापांकांचा भागाकार.
- ω च्या प्रश्नात 1 + ω + ω² = 0 वापरा.
"i ला चार, ω ला तीन; कोनाला चतुर्थांश".