फल, प्रांत आणि विस्तार
दुकानात वस्तूंच्या किलोनुसार किंमत ठरलेली असते : एका वजनाला एकच किंमत. असा नियम की प्रत्येक आदानाला नेमके एक निर्गत मिळते, तो म्हणजे फल. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे y = 2x + 1 सारखी समीकरणे आणि आलेख शिकलो; येथे त्यांना फल म्हणून मांडतो.
A च्या प्रत्येक x ला B च्या नेमके एक y जोडणारा नियम f : A → B हे फल. A हा प्रांत, B हा सहप्रांत, आणि प्रत्यक्ष मिळणाऱ्या y चा संच विस्तार.
नियम 1 : प्रांत शोधण्याचे नियम — छेदात शून्य नको : 1/(x − a) साठी x ≠ a. वर्गमुळाखाली ऋण नको : √(x − a) साठी x ≥ a. दोन्ही अटी असतील तर दोन्ही पाळा. उभी रेषा आलेखाला दोनदा कापत असेल तर तो फल नाही.
आकृतीत : f(x) = 2x : A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6, 8} ; विस्तार {2, 4, 6}.
सूत्र कसे मिळाले? : फलात एका x ला दोन y चालत नाहीत, पण दोन x ला एकच y चालतो. म्हणून {(1, 2), (1, 3)} फल नाही, पण {(1, 2), (2, 2)} फल आहे.
- सोपे : f(x) = 3x − 2 : f(4) = 3 × 4 − 2 = 10.
- मध्यम : f(x) = √(x − 3)/(x − 5) : x − 3 ≥ 0 आणि x ≠ 5 ; प्रांत [3, ∞) पण 5 वगळून.
- परीक्षेसाठी : f(x) = √(9 − x²) : 9 − x² ≥ 0, म्हणजे −3 ≤ x ≤ 3 ; प्रांत [−3, 3], विस्तार [0, 3].
विस्तार हा सहप्रांताचा उपसंच ; दोन्ही सारखे असतीलच असे नाही.
छेदातील शून्य आणि वर्गमुळातील ऋण दोन्ही अटी एकत्र पाळायच्या विसरणे.
प्रांतासाठी प्रथम "काय चालत नाही" लिहा : शून्याने भाग आणि ऋणाचे वर्गमूळ. आठवणीची युक्ती : "छेद शून्य नको, मुळाखाली ऋण नको".
1/√(x − 2) साठी x = 2 घेता येत नाही कारण छेद 0 होतो ; प्रांत (2, ∞).
CET-स्टाइल उदाहरण : f(x) = 1/√(x − 2) चा प्रांत ? (A) (2, ∞) (B) [2, ∞) (C) (−∞, 2) (D) R − {2}
उत्तर : (A). x − 2 > 0. वेळ वाचवण्याची पद्धत : मुळाखाली धन आणि छेद शून्य नको, म्हणून x − 2 > 0 (बरोबर नाही).
फरक ओळखा
| संच | अर्थ | f(x) = 2x, A = {1, 2, 3} |
|---|---|---|
| प्रांत | आदान x | {1, 2, 3} |
| सहप्रांत | दिलेला B | {2, 4, 6, 8} |
| विस्तार | मिळालेले y | {2, 4, 6} |
सरावासाठी प्रश्न
- 1f(x) = x² + 1 : f(3) काढा.
- 2{(1, 2), (1, 3)} हा फल आहे का?
- 3f(x) = 5 − x : f(−2) काढा.
- 41/(x − 4) चा प्रांत लिहा.
- 5√(x + 5) चा प्रांत लिहा.
- 6f(x) = x² (R वर) चा विस्तार लिहा.
- 7√(x − 2) + √(6 − x) चा प्रांत लिहा.
- 8f(x) = √(16 − x²) चा विस्तार लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 110.
- 2नाही ; 1 ला दोन y.
- 37.
- 4R − {4}.
- 5[−5, ∞).
- 6[0, ∞).
- 7[2, 6].
- 8[0, 4].
फलांचे प्रकार
बसच्या प्रत्येक प्रवाशाला स्वतःची वेगळी सीट आणि कोणतीही सीट रिकामी नाही, तर प्रवासी आणि सीट यांची जोडी परिपूर्ण. फलातही असेच तीन प्रकारचे गुण पाहतो. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे समीकरणांच्या प्रत्येक x साठी y मिळवला; येथे x आणि y च्या जोडीचे गुणधर्म.
एकास एक : वेगळ्या x ना वेगळे y. आच्छादक : सहप्रांताचा प्रत्येक घटक कोणत्या ना कोणत्या x चा y असतो (विस्तार = सहप्रांत). दोन्ही असतील तर द्विभाजक.
नियम 1 : संख्या — m घटक → n घटक : सर्व फल nᵐ ; एकास एक ⁿPₘ (n ≥ m) ; m = n असताना द्विभाजक n!.
आकृतीत : तीन आकृत्या : एकास एक, आच्छादक, द्विभाजक.
सूत्र कसे मिळाले? : प्रत्येक x साठी y चे n पर्याय, m वेळा : nᵐ. एकास एक असल्यास y पुन्हा वापरता येत नाही : n × (n − 1) × … = ⁿPₘ.
- सोपे : f(x) = 2x + 3 (R → R) : एकास एक आणि आच्छादक, कारण y = 2x + 3 वरून x = (y − 3)/2 नेहमी मिळतो.
- मध्यम : f(x) = x² (R → R) : f(2) = f(−2) = 4 म्हणून एकास एक नाही ; −1 कोणाचाही वर्ग नाही म्हणून आच्छादक नाही.
- परीक्षेसाठी : f(x) = x², [0, ∞) → [0, ∞) द्विभाजक आहे. 3 घटक → 5 घटक : एकास एक फल ⁵P₃ = 60 आणि एकूण 5³ = 125.
एकास एक तपासण्यासाठी f(a) = f(b) घेऊन a = b येते का पाहा.
प्रांत किंवा सहप्रांत बदलला की फलाचा प्रकारही बदलतो ; x² हा R वर एकास एक नाही, [0, ∞) वर आहे.
आलेखावर आडवी रेषा दोनदा कापत असेल तर एकास एक नाही. आठवणीची युक्ती : "आडवी रेषा दोनदा म्हणजे एकास एक नाही".
एकास एक फल मोजताना m > n असेल तर उत्तर 0 ; ⁿPₘ चालत नाही.
CET-स्टाइल उदाहरण : {1, 2, 3} पासून {1, 2, 3, 4, 5} पर्यंत एकास एक फल किती? (A) 60 (B) 125 (C) 15 (D) 243
उत्तर : (A). ⁵P₃ = 5 × 4 × 3 = 60. वेळ वाचवण्याची पद्धत : 125 सर्व फल आहेत ; एकास एकसाठी पुनरावृत्ती नाही.
फरक ओळखा
| प्रकार | अट | उदाहरण |
|---|---|---|
| एकास एक | वेगळे x → वेगळे y | 2x + 3 |
| आच्छादक | विस्तार = सहप्रांत | 2x + 3 (R → R) |
| द्विभाजक | दोन्ही | x² ([0, ∞) → [0, ∞)) |
सरावासाठी प्रश्न
- 12 घटकांच्या संचापासून 3 घटकांच्या संचापर्यंत सर्व फल किती?
- 2यांपैकी एकास एक किती?
- 3f(x) = 3x − 1 एकास एक आहे का?
- 4f(x) = x², {−1, 0, 1} → {0, 1} एकास एक आहे का?
- 54 घटकांच्या संचावरून स्वतःवर द्विभाजक फल किती?
- 63 घटक → 2 घटक आच्छादक फल किती?
- 74 घटक → 2 घटक आच्छादक फल किती?
- 83 घटक → 4 घटक एकास एक फल किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 13² = 9.
- 2³P₂ = 6.
- 3हो ; 3a − 1 = 3b − 1 वरून a = b.
- 4नाही ; f(−1) = f(1) = 1.
- 54! = 24.
- 62³ − 2 = 6.
- 72⁴ − 2 = 14.
- 8⁴P₃ = 24.
मानक फले
तापमान किती आहे हे सांगताना आपण "उणे ३ अंश" नव्हे तर "३ अंशांचा फरक" सांगतो, म्हणजे चिन्ह काढून मूल्य. बसचे भाडे 10 ने सुरू होऊन किलोमीटरच्या टप्प्यांनी वाढते, म्हणजे पायऱ्या. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे संख्येचे निरपेक्ष मूल्य आणि पूर्णांकीकरण शिकलो; येथे ती फले म्हणून.
∣x∣ = x (x ≥ 0), −x (x < 0). [x] = x पेक्षा लहान किंवा त्याएवढा सर्वात मोठा पूर्णांक. {x} = x − [x] (अपूर्णांक भाग). sgn x = 1 (x > 0), 0 (x = 0), −1 (x < 0).
नियम 1 : उपयुक्त नियम — ∣x∣ < a म्हणजे −a < x < a ; ∣x∣ = a म्हणजे x = ±a ; [x] = n म्हणजे n ≤ x < n + 1 ; 0 ≤ {x} < 1.
आकृतीत : तीन आलेख : ∣x∣, [x], sgn x.
सूत्र कसे मिळाले? : x ऋण असतानाही [x] साठी "खाली" जातात : [−2.3] = −3, −2 नाही. म्हणून {−2.3} = −2.3 − (−3) = 0.7.
- सोपे : ∣−5∣ = 5 ; [3.7] = 3 ; [−2.3] = −3 ; {−2.3} = 0.7.
- मध्यम : ∣x − 2∣ = 5 : x − 2 = 5 किंवा −5 ; x = 7 किंवा −3. [x] = 3 : 3 ≤ x < 4.
- परीक्षेसाठी : ∣x − 1∣ < 3 : −3 < x − 1 < 3, म्हणजे −2 < x < 4. तसेच [x] + {x} = x नेहमी.
∣x∣ कधीही ऋण नसते ; {x} नेहमी 0 आणि 1 यांचे दरम्यान (1 सहित नाही).
[−2.3] = −2 मानणे. बरोबर −3, कारण −3 हा −2.3 पेक्षा लहान सर्वात मोठा पूर्णांक.
[x] साठी संख्यारेषेवर डावीकडे पाहा आणि जवळचा पूर्णांक घ्या. आठवणीची युक्ती : "खालची पायरी".
∣x∣ > a चे दोन भाग होतात : x > a किंवा x < −a ; मधला भाग नाही.
CET-स्टाइल उदाहरण : [−3.2] + [3.2] = ? (A) −1 (B) 0 (C) −2 (D) 1
उत्तर : (A). −4 + 3 = −1. वेळ वाचवण्याची पद्धत : ऋण संख्येसाठी एक पायरी खाली : −3.2 → −4.
फरक ओळखा
| फल | x = −2.3 साठी | x = 3.7 साठी |
|---|---|---|
| ∣x∣ | 2.3 | 3.7 |
| [x] | −3 | 3 |
| {x} | 0.7 | 0.7 |
| sgn x | −1 | 1 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1∣−8∣ काढा.
- 2[5.9] काढा.
- 3[−0.5] काढा.
- 4∣x + 4∣ = 6 सोडवा.
- 5{−1.6} काढा.
- 6[x] = −2 असणारे x लिहा.
- 7∣2x − 3∣ ≤ 5 सोडवा (पूर्णांक x).
- 8[−1.5] × [1.5] काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 18.
- 25.
- 3−1.
- 4x = 2 किंवा −10.
- 5−1.6 − (−2) = 0.4.
- 6−2 ≤ x < −1.
- 7−5 ≤ 2x − 3 ≤ 5 ; −1 ≤ x ≤ 4 : −1, 0, 1, 2, 3, 4.
- 8(−2) × 1 = −2.
फलांची बेरीज आणि संयुक्त फल
कणीक दळून पीठ आणि पीठापासून पोळी : पहिले यंत्र आदान घेते, तयार झालेले दुसऱ्या यंत्राला देते. अशी साखळी म्हणजे संयुक्त फल. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे बीजगणिती राशींची बेरीज आणि गुणाकार शिकलो; येथे फलांचे.
(f + g)(x) = f(x) + g(x) ; (fg)(x) = f(x) · g(x) ; (f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x) ≠ 0. संयुक्त फल (f ∘ g)(x) = f(g(x)) : आधी g, मग f.
नियम 1 : प्रांत — बेरीज, गुणाकारासाठी दोन्ही प्रांतांचा सामायिक भाग ; भागाकारात g(x) = 0 वगळा ; f ∘ g साठी g चा विस्तार f च्या प्रांतात असावा.
आकृतीत : x → g → f : f(g(x)).
सूत्र कसे मिळाले? : f(x) = 2x + 1, g(x) = x² : f(g(x)) = 2x² + 1 आणि g(f(x)) = (2x + 1)² ; दोन्ही वेगळे, म्हणून क्रम महत्त्वाचा.
- सोपे : f(x) = 2x + 1, g(x) = x² : (f ∘ g)(2) = f(4) = 9 ; (g ∘ f)(2) = g(5) = 25.
- मध्यम : f(x) = x + 2, g(x) = 3x : (f ∘ g)(x) = 3x + 2 ; (g ∘ f)(x) = 3x + 6.
- परीक्षेसाठी : f(x) = √x, g(x) = x − 4 : f ∘ g = √(x − 4), प्रांत x ≥ 4 ; f/g चा प्रांत x ≥ 0, x ≠ 4.
(f ∘ g)(x) साठी आतले फल g पहिले चालते.
f ∘ g आणि g ∘ f सारखे मानणे. सहसा ते वेगळे असतात.
आतल्या फलाची किंमत आधी काढा आणि ती बाहेरच्या फलात ठेवा. आठवणीची युक्ती : "आत आधी, बाहेर नंतर".
(f ∘ g)(2) म्हणजे f(g(2)) ; g(f(2)) नाही.
CET-स्टाइल उदाहरण : f(x) = x + 2, g(x) = 3x तर (f ∘ g)(2) ? (A) 8 (B) 12 (C) 10 (D) 14
उत्तर : (A). g(2) = 6, f(6) = 8. वेळ वाचवण्याची पद्धत : 12 हे g(f(2)) आहे ; क्रम पाहा.
फरक ओळखा
| फल | f(x) = x + 2, g(x) = 3x | x = 2 साठी |
|---|---|---|
| f ∘ g | 3x + 2 | 8 |
| g ∘ f | 3x + 6 | 12 |
| f + g | 4x + 2 | 10 |
| fg | 3x² + 6x | 24 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1f(x) = x + 3, g(x) = 2x : (f + g)(2) काढा.
- 2(fg)(1) काढा.
- 3f(g(1)) काढा.
- 4f(x) = x², g(x) = x − 1 : (f ∘ g)(3) काढा.
- 5(g ∘ f)(3) काढा.
- 6(f − g)(2) काढा.
- 7f(x) = 2x + 3, g(x) = (x − 3)/2 : f(g(7)) काढा आणि निष्कर्ष लिहा.
- 8f(x) = x² + 1, g(x) = √(x − 1) : g(f(−2)) काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1(f + g)(2) = 5 + 4 = 9.
- 2(fg)(1) = 4 × 2 = 8.
- 3g(1) = 2, f(2) = 5.
- 4g(3) = 2, f(2) = 4.
- 5f(3) = 9, g(9) = 8.
- 64 − 1 = 3.
- 7g(7) = 2, f(2) = 7 ; f(g(x)) = x, म्हणजे दोन्ही एकमेकांचे व्यस्त.
- 8f(−2) = 5, g(5) = 2.
व्यस्त फल
सेल्सिअसचे फॅरनहाइट करणारा नियम उलटा केला की फॅरनहाइटचे सेल्सिअस मिळते. जो नियम पूर्ण उलटवता येतो तो व्यस्त फल. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे समीकरणातून x काढायला शिकलो; येथे तीच पद्धत व्यस्त फल शोधायला.
f : A → B एकास एक आणि आच्छादक असेल तर f⁻¹ : B → A असे की f⁻¹(f(x)) = x आणि f(f⁻¹(y)) = y. f⁻¹ फक्त द्विभाजक फलालाच असतो.
नियम 1 : व्यस्त शोधण्याची पद्धत — y = f(x) लिहा ; x साठी सोडवा ; x आणि y ची अदलाबदल करा. आलेख y = x रेषेत उलटा (आरशातील प्रतिमा) दिसतो.
आकृतीत : f(x) = 2x + 1 आणि f⁻¹ : (1, 3) च्या जागी (3, 1).
सूत्र कसे मिळाले? : f(1) = 3 म्हणजे f⁻¹(3) = 1 ; प्रत्येक बिंदू (a, b) चे (b, a) होते आणि ही अदलाबदल y = x रेषेतील प्रतिमाच आहे.
- सोपे : f(x) = 3x − 4 : y = 3x − 4, x = (y + 4)/3 ; f⁻¹(x) = (x + 4)/3.
- मध्यम : f(x) = x³ + 1 : x = (y − 1)¹ᐟ³ ; f⁻¹(x) = (x − 1)¹ᐟ³.
- परीक्षेसाठी : f(x) = (x + 1)/(x − 2) : y(x − 2) = x + 1 ; x(y − 1) = 2y + 1 ; f⁻¹(x) = (2x + 1)/(x − 1).
f⁻¹ म्हणजे 1/f नाही ; तो उलटवणारे फल आहे.
x आणि y ची अदलाबदल विसरणे. शेवटी फल x च्या रूपातच लिहा.
f⁻¹(k) काढायचा असेल तर f(x) = k सोडवा ; व्यस्त सूत्र न काढता चालते. आठवणीची युक्ती : "उत्तर कोणत्या x चे आहे?".
x² चा व्यस्त R वर नाही कारण ते एकास एक नाही ; प्रांत [0, ∞) घ्यावा लागतो.
CET-स्टाइल उदाहरण : f(x) = 2x + 5 तर f⁻¹(9) ? (A) 2 (B) 7 (C) 4 (D) 14
उत्तर : (A). 2x + 5 = 9, x = 2. वेळ वाचवण्याची पद्धत : सूत्र न काढता f(x) = 9 सोडवा.
फरक ओळखा
| f(x) | f⁻¹(x) | तपासणी |
|---|---|---|
| 3x − 4 | (x + 4)/3 | f(2) = 2, f⁻¹(2) = 2 |
| x³ + 1 | (x − 1)¹ᐟ³ | f(2) = 9, f⁻¹(9) = 2 |
| 2x + 5 | (x − 5)/2 | f(2) = 9, f⁻¹(9) = 2 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1f(x) = x + 1 : f⁻¹(5) काढा.
- 2f(x) = x + 7 चा व्यस्त लिहा.
- 3f(x) = x + 7 असेल तर f⁻¹(10) काढा.
- 4f(x) = 5x − 3 : f⁻¹(12) काढा.
- 5g(x) = 4x − 3 : g(3) काढा.
- 6f(x) = 2x चा व्यस्त f⁻¹(x) लिहा.
- 7f(x) = (x + 1)/(x − 2) : f⁻¹(3) काढा.
- 8f(x) = 2x + 1 आणि f⁻¹ चे आलेख कोणत्या रेषेत एकमेकांची प्रतिमा?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1x + 1 = 5, x = 4.
- 2f⁻¹(x) = x − 7.
- 310 − 7 = 3.
- 45x − 3 = 12, x = 3.
- 59.
- 6f⁻¹(x) = x/2.
- 7f⁻¹(3) = (2 × 3 + 1)/(3 − 1) = 7/2.
- 8y = x.
चरघातांकी आणि लॉगरिदमी फल
बँकेत रक्कम दरवर्षी ठरावीक पटीने वाढते : 1000, 1100, 1210 … हे चरघातांकी वाढीचे रूप. "किती वर्षांत दुप्पट?" हा प्रश्न उलटा, लॉगरिदमाचा. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे घातांकाचे नियम शिकलो; येथे ते फल आणि त्याचे व्यस्त लॉगरिदम.
aˣ (a > 0, a ≠ 1) चा प्रांत R, विस्तार (0, ∞). log_a x = y म्हणजे aʸ = x ; प्रांत (0, ∞), विस्तार R. दोन्ही एकमेकांचे व्यस्त.
नियम 1 : लॉगरिदमचे नियम — log(mn) = log m + log n ; log(m/n) = log m − log n ; log mⁿ = n log m ; log_a a = 1 ; log_a 1 = 0.
आकृतीत : 2ˣ आणि log₂ x : (0, 1) आणि (1, 0) ; y = x रेषेत प्रतिमा.
सूत्र कसे मिळाले? : mn = aᵖ · aᑫ = aᵖ⁺ᑫ, जिथे m = aᵖ, n = aᑫ. म्हणून log(mn) = p + q = log m + log n.
- सोपे : log₂ 8 = 3 कारण 2³ = 8 ; log₁₀ 0.001 = −3.
- मध्यम : log₂ 6 + log₂ (4/3) = log₂ 8 = 3 ; 3 log₂ 5 = log₂ 125.
- परीक्षेसाठी : log₁₀ 2 = 0.3010 दिले तर log₁₀ 8 = 3 × 0.3010 = 0.9030 ; log₁₀ 5 = log₁₀ (10/2) = 1 − 0.3010 = 0.6990.
log (a + b) चे log a + log b होत नाही ; नियम फक्त गुणाकार, भागाकार आणि घाताला.
log चा प्रांत (0, ∞) विसरून ऋण किंवा शून्यावर log घेणे.
log_a x = y ला घातांकी रूपात लिहा : aʸ = x ; समीकरण सोपे होते. आठवणीची युक्ती : "लॉग म्हणजे घातांक".
log समीकरणात आलेली किंमत मूळ x साठी धन असेल तरच घ्या ; इतर वगळा.
CET-स्टाइल उदाहरण : log₃ 81 − log₂ 8 = ? (A) 1 (B) 7 (C) 4 (D) 3
उत्तर : (A). 4 − 3 = 1. वेळ वाचवण्याची पद्धत : 3⁴ = 81 आणि 2³ = 8 हे ओळखा.
फरक ओळखा
| मुद्दा | aˣ | log_a x |
|---|---|---|
| प्रांत | R | (0, ∞) |
| विस्तार | (0, ∞) | R |
| खास बिंदू | (0, 1) | (1, 0) |
सरावासाठी प्रश्न
- 1log₅ 25 काढा.
- 2log₂ 32 काढा.
- 3log₁₀ 1 काढा.
- 4log₃ (1/9) काढा.
- 5log₂ 3 + log₂ (8/3) काढा.
- 62ˣ = 64 सोडवा.
- 7log₂ (x + 1) = 4 सोडवा.
- 8log₂ x + log₂ (x − 2) = 3 सोडवा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 12.
- 25.
- 30.
- 4−2.
- 5log₂ 8 = 3.
- 6x = 6.
- 7x + 1 = 16 ; x = 15.
- 8x(x − 2) = 8 ; x = 4 किंवा −2 ; −2 वगळा ; x = 4.
धडा ६ : फल — झटपट उजळणी
| विषय | सूत्र / मुद्दा |
|---|---|
| फल | प्रत्येक x ला नेमका एक y ; प्रांत, सहप्रांत, विस्तार |
| प्रांत | छेद ≠ 0 ; वर्गमुळाखाली ≥ 0 |
| प्रकार | एकास एक, आच्छादक, द्विभाजक ; nᵐ, ⁿPₘ, n! |
| मानक फले | ∣x∣, [x], {x} = x − [x], sgn x |
| संयुक्त | (f ∘ g)(x) = f(g(x)) : आधी g |
| व्यस्त | y = f(x) सोडवा, x आणि y बदला ; आलेख y = x रेषेत प्रतिमा |
| लॉगरिदम | log(mn) = log m + log n ; log mⁿ = n log m ; aˣ चा व्यस्त |
🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे
- प्रांतासाठी "काय चालत नाही" आधी.
- [−2.3] = −3.
- (f ∘ g) साठी g आधी.
- f⁻¹ म्हणजे 1/f नाही.
- log चा प्रांत (0, ∞).
"आत आधी, बाहेर नंतर".