सीमेचा अर्थ
लिफ्ट 6 व्या मजल्याच्या जवळ येताना तिचा वेग कमी होत जातो ; ती 6 वर पोहोचण्याआधीच आपण "6 कडे जाते" असे म्हणतो. फलाची किंमत कोणत्या संख्येकडे जाते ते सांगणारी कल्पना म्हणजे सीमा. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे फलाची किंमत x घालून काढली ; येथे x एखाद्या संख्येच्या जवळ गेल्यावर काय होते ते पाहतो.
x हा a च्या जवळ जाताना (a सहित नाही) f(x) जर l च्या जवळ जात असेल तर सीमा l ; लिहिताना lim f(x) = l (x → a). डावी बाजू (x → a⁻) आणि उजवी बाजू (x → a⁺) यांच्या किमती समान असतील तरच सीमा अस्तित्वात असते.
नियम 1 : सीमेचे बीजगणित — lim (f ± g) = lim f ± lim g ; lim (f g) = lim f · lim g ; lim (f/g) = lim f / lim g (छेदाची सीमा 0 नसल्यास) ; lim (c f) = c lim f.
आकृतीत : f(x) = x + 3 : x → 3 ला डावीकडून 5.8, 5.9 आणि उजवीकडून 6.1, 6.2 ; सीमा 6.
सूत्र कसे मिळाले? : सीमा हे a वरचे f चे मूल्य नसते, तर a च्या जवळची वागणूक असते. म्हणून a वर f(a) नसले तरी सीमा असू शकते.
- सोपे : lim (x + 3) = 6 (x → 3) ; दोन्ही बाजूंनी 6.
- मध्यम : f(x) = x + 1 (x < 2), 3x − 3 (x ≥ 2) : डावी बाजू 2 + 1 = 3, उजवी 3 × 2 − 3 = 3 ; सीमा 3.
- परीक्षेसाठी : f(x) = x² (x < 1), 2x + 1 (x ≥ 1) : डावी 1, उजवी 3 ; भिन्न म्हणून सीमा नाही. ∣x∣/x : डावी −1, उजवी 1 ; 0 वर सीमा नाही.
सीमा काढण्यासाठी x ने a ला स्पर्श करायचा नसतो, फक्त जवळ जायचे असते.
सीमा आणि f(a) एकच मानणे. f(a) नसेल तरी सीमा असते (छिद्र असलेला आलेख).
दोन्ही बाजूंनी x = a − 0.01 आणि a + 0.01 घालून किमती पाहा ; समान असल्यास तीच सीमा. आठवणीची युक्ती : "डावी, उजवी, जुळली तर सीमा".
तुकड्यांनी दिलेल्या फलात डावी आणि उजवी बाजू स्वतंत्र काढा ; सूत्र बदलते.
CET-स्टाइल उदाहरण : lim ∣x∣/x (x → 0) = ? (A) 1 (B) −1 (C) 0 (D) अस्तित्वात नाही
उत्तर : (D). डावी −1, उजवी 1. वेळ वाचवण्याची पद्धत : दोन्ही बाजू तपासा ; भिन्न म्हणजे सीमा नाही.
फरक ओळखा
| मुद्दा | f(a) | सीमा |
|---|---|---|
| अर्थ | a वरचे मूल्य | a च्या जवळची वागणूक |
| नसणे शक्य? | होय (छिद्र) | होय (डावी ≠ उजवी) |
| x | a घालतो | a च्या जवळ जातो |
सरावासाठी प्रश्न
- 1lim (2x + 1) (x → 5) काढा.
- 2lim (x² + 1) (x → 2) काढा.
- 3सीमा काढताना x = a घालणे नेहमी का चालत नाही?
- 4f(x) = 3x − 1 (x < 2), x + 3 (x ≥ 2) : x → 2 ची डावी बाजू काढा.
- 5याच फलाची उजवी बाजू काढा.
- 6lim (2x + 1) (x → 0) काढा.
- 7∣x − 3∣/(x − 3) ची x → 3 वर सीमा आहे का?
- 8lim (x² − 25)/(x − 5) (x → 5) काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 111.
- 25.
- 3f(a) अस्तित्वात नसेल (उदा. 0/0) तर.
- 43 × 2 − 1 = 5.
- 52 + 3 = 5.
- 61.
- 7नाही ; डावी −1, उजवी 1.
- 8(x + 5) ; 10.
सीमा काढण्याच्या पद्धती
0/0 आले की उत्तर अडकते, जसे दोन्ही बाजूंनी अडकलेला दरवाजा. अवयव पाडून किंवा मुळाला संयुग्मीने गुणून तो अडथळा काढतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे अवयव पाडणे आणि वर्गमुळांचे परिमेयीकरण शिकलो ; येथे तीच साधने.
पद्धती : (1) थेट किंमत घालणे ; (2) 0/0 आल्यास अवयव पाडणे आणि समान अवयव रद्द करणे ; (3) वर्गमूळ असल्यास संयुग्मीने गुणणे ; (4) सूत्र lim (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = n aⁿ⁻¹.
नियम 1 : क्रम — आधी x = a घालून पाहा. 0/0 आले तरच पुढची पद्धत ; दुसरे रूप (जसे k/0) आले तर सीमा अनंत किंवा नाही.
आकृतीत : (x² − 4)/(x − 2) = x + 2 : (2, 4) वर छिद्र ; सीमा 4.
सूत्र कसे मिळाले? : x ≠ 2 साठी (x² − 4)/(x − 2) = (x + 2)(x − 2)/(x − 2) = x + 2 ; सीमेत x = 2 वर कधीच पोहोचत नाही, म्हणून (x − 2) रद्द करणे योग्य.
- सोपे : lim (x² + 3x − 4)/(x − 1) (x → 1) : (x + 4)(x − 1)/(x − 1) = x + 4 → 5.
- मध्यम : lim (√(x + 4) − 2)/x (x → 0) : अंश आणि छेद √(x + 4) + 2 ने गुणले → x/(x(√(x + 4) + 2)) → 1/4.
- परीक्षेसाठी : lim (x⁵ − 2⁵)/(x − 2) (x → 2) = 5 × 2⁴ = 80 ; lim (x³ − 8)/(x² − 4) = 3 · 2²/(2 · 2) = 3.
अवयव रद्द करताना सीमेत x = a वर नसतो ; म्हणून (x − a) रद्द करता येतो.
0/0 ला 0 किंवा 1 मानणे. ते अनिश्चित रूप आहे ; सुटका करून पुढे जा.
(xⁿ − aⁿ)/(x − a) वाटले की लगेच n aⁿ⁻¹ ; अवयव पाडायला वेळ घालवू नका. आठवणीची युक्ती : "घात खाली, एक कमी".
x → 0 नसताना संयुग्मी बदलतो : √(x + 4) − 2 चे संयुग्मी √(x + 4) + 2.
CET-स्टाइल उदाहरण : lim (x³ − 8)/(x − 2) (x → 2) = ? (A) 12 (B) 8 (C) 6 (D) 3
उत्तर : (A). 3 × 2² = 12. वेळ वाचवण्याची पद्धत : सूत्र n aⁿ⁻¹ ; n = 3, a = 2.
फरक ओळखा
| रूप | पद्धत | उदाहरण |
|---|---|---|
| 0/0 बहुपदी | अवयव पाडा | (x² − 4)/(x − 2) → 4 |
| 0/0 वर्गमूळ | संयुग्मीने गुणा | (√(x + 4) − 2)/x → 1/4 |
| xⁿ − aⁿ | सूत्र n aⁿ⁻¹ | (x³ − 8)/(x − 2) → 12 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1lim (2x + 1) (x → 5) काढा.
- 2lim (x² − 9)/(x − 3) (x → 3) काढा.
- 3lim (x² + 1) (x → 2) काढा.
- 4lim (x³ − 1)/(x − 1) (x → 1) काढा.
- 5lim (√(x + 9) − 3)/x (x → 0) काढा.
- 6lim (x² − 4)/(x + 2) (x → −2) काढा.
- 7lim (√x − 2)/(x − 4) (x → 4) काढा.
- 8lim (x⁴ − 1)/(x² − 1) (x → 1) काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 111.
- 2x + 3 → 6.
- 35.
- 43 × 1² = 3.
- 51/(√(x + 9) + 3) → 1/6.
- 6x − 2 → −4.
- 71/(√x + 2) → 1/4.
- 8x² + 1 → 2.
त्रिकोणमितीय फलांच्या सीमा
लहान कोनासाठी चापाची लांबी आणि sin ची लांबी जवळजवळ सारखी दिसते. म्हणून sin θ/θ हे 1 च्या जवळ जाते. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे sin, cos, tan चे गुणोत्तर शिकलो ; येथे कोन खूप लहान असताना त्यांची वागणूक.
θ रेडियन एककात असेल तर lim sin θ/θ = 1 (θ → 0). यावरून lim tan θ/θ = 1, lim (1 − cos θ)/θ² = 1/2, lim sin kx/x = k.
नियम 1 : रूप बदलणे — sin 3x/x साठी छेदात 3x करा : (sin 3x/3x) × 3 → 3. कोन आणि छेद नेहमी सारखे असावेत. 1 − cos θ = 2 sin²(θ/2).
आकृतीत : एकक वर्तुळ : sin θ < θ < tan θ ; sin θ/θ → 1.
सूत्र कसे मिळाले? : लहान θ साठी sin θ < θ < tan θ. sin θ ने भागले की 1 < θ/sin θ < 1/cos θ ; θ → 0 वर cos θ → 1, म्हणून θ/sin θ → 1.
- सोपे : lim sin 3x/x = 3 ; lim tan 5x/x = 5.
- मध्यम : lim (1 − cos x)/x² = lim 2 sin²(x/2)/x² = 2 · (1/4) = 1/2.
- परीक्षेसाठी : lim sin 3x/sin 5x = (sin 3x/3x) · (5x/sin 5x) · (3/5) → 3/5.
सूत्र फक्त रेडियन एककात ; अंशात असतील तर आधी रेडियन एककात बदला (180° = π).
sin 3x/x चे उत्तर 1 लिहिणे. कोन आणि छेद वेगळे आहेत ; उत्तर 3.
sin kx/mx → k/m आणि tan kx/mx → k/m ; (1 − cos kx)/x² → k²/2. आठवणीची युक्ती : "कोनाचा गुणक वर, छेदाचा खाली".
x → 0 नसेल (उदा. x → π) तर सूत्र थेट चालत नाही ; आधी t = x − π घ्या.
CET-स्टाइल उदाहरण : lim sin 7x/(3x) (x → 0) = ? (A) 7/3 (B) 3/7 (C) 7 (D) 1
उत्तर : (A). (7/3)(sin 7x/7x) → 7/3. वेळ वाचवण्याची पद्धत : वरचा गुणक भागिले खालचा : 7/3.
फरक ओळखा
| सीमा | उत्तर | कारण |
|---|---|---|
| sin x/x | 1 | मूळ सूत्र |
| tan x/x | 1 | sin x/x · 1/cos x |
| (1 − cos x)/x² | 1/2 | 2 sin²(x/2) |
| sin kx/x | k | कोन आणि छेद जुळवणे |
सरावासाठी प्रश्न
- 1lim sin 2x/x काढा.
- 2lim tan x/x काढा.
- 3lim sin 4x/(2x) काढा.
- 4lim sin 3x/sin 4x काढा.
- 5lim (1 − cos 2x)/x² काढा.
- 6lim tan 3x/x काढा.
- 7lim (1 − cos x)/(x sin x) काढा.
- 8lim sin²3x/x² काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 12.
- 21.
- 34/2 = 2.
- 43/4.
- 52² / 2 = 2.
- 63.
- 7(x²/2)/(x · x) = 1/2.
- 83² = 9.
चरघातांकी आणि लॉगरिदमी फलांच्या सीमा
बँकेत रक्कम सतत वाढत गेल्यास कधी न संपणाऱ्या छोट्या छोट्या वाढींतून एक ठरावीक संख्या e येते. अशा वाढीच्या वेगाशी जोडलेल्या सीमा येथे पाहतो. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे घातांक आणि लॉगरिदमाचे नियम शिकलो ; येथे त्यांच्या सीमा.
lim (aˣ − 1)/x = log a ; विशेषतः lim (eˣ − 1)/x = 1. lim log (1 + x)/x = 1. lim (1 + x)¹ᐟˣ = e (x → 0), e ≈ 2.718.
नियम 1 : रूप जुळवणे — e²ˣ − 1 साठी छेदातही 2x करा : (e²ˣ − 1)/2x × 2 → 2. log (1 + 3x)/x → 3. (1 + 2x)¹ᐟˣ → e².
आकृतीत : (2ˣ − 1)/x : x लहान होताना 0.7177, 0.6956, 0.6934, 0.6932 → log 2.
सूत्र कसे मिळाले? : e ची व्याख्या (1 + x)¹ᐟˣ च्या सीमेतून होते. त्याचा लॉग घेतला की log (1 + x)/x → 1 ; आणि aˣ = eˣ ˡᵒᵍ ᵃ वापरून (aˣ − 1)/x → log a.
- सोपे : lim (e²ˣ − 1)/x = 2 ; lim (2ˣ − 1)/x = log 2 ≈ 0.6931.
- मध्यम : lim log (1 + 3x)/x = 3 ; lim (1 + x)¹ᐟˣ = e ≈ 2.718.
- परीक्षेसाठी : lim (e³ˣ − 1)/sin 2x = (e³ˣ − 1)/3x · (2x/sin 2x) · (3/2) → 3/2.
log म्हणजे e आधाराचे नैसर्गिक log ; log e = 1.
(aˣ − 1)/x चे उत्तर 1 लिहिणे. फक्त a = e साठी 1 ; इतरांसाठी log a.
घातातील गुणक k बाहेर घ्या : (e^kx − 1)/x → k ; log (1 + kx)/x → k. आठवणीची युक्ती : "घातातला गुणक उत्तरात".
(1 + kx)¹ᐟˣ → eᵏ ; e नाही.
CET-स्टाइल उदाहरण : lim (e⁵ˣ − 1)/x (x → 0) = ? (A) 5 (B) 1 (C) e⁵ (D) 0
उत्तर : (A). (e⁵ˣ − 1)/5x × 5 → 5. वेळ वाचवण्याची पद्धत : घातातील 5 थेट उत्तर.
फरक ओळखा
| सीमा (x → 0) | उत्तर |
|---|---|
| (eˣ − 1)/x | 1 |
| (aˣ − 1)/x | log a |
| log (1 + x)/x | 1 |
| (1 + x)¹ᐟˣ | e |
सरावासाठी प्रश्न
- 1lim (eˣ − 1)/x काढा.
- 2lim log (1 + x)/x काढा.
- 3lim (e⁴ˣ − 1)/x काढा.
- 4lim (3ˣ − 1)/x काढा (चार दशांश).
- 5lim log (1 + 5x)/x काढा.
- 6lim (1 + 2x)¹ᐟˣ काढा (e² ≈ 7.389).
- 7lim (e²ˣ − 1)/(3x) काढा.
- 8lim (2ˣ − 1)/(3ˣ − 1) काढा (चार दशांश).
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11.
- 21.
- 34.
- 4log 3 ≈ 1.0986.
- 55.
- 6e² ≈ 7.389.
- 72/3.
- 8log 2/log 3 ≈ 0.6309.
अनंतावरील आणि अनंत सीमा
पाण्याची टाकी अधिकाधिक वेळ भरत राहिली तर पाणी टाकीच्या क्षमतेच्या जवळ जाते. x खूप मोठा झाल्यावर फलाची किंमत कोठे जाते हे अनंतावरील सीमा सांगते. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे मोठ्या संख्यांवर भागाकार शिकलो ; 1 ला मोठ्या संख्येने भागले की निकाल लहान होतो.
lim 1/x = 0 (x → ∞). अनंत सीमा : x → 0⁺ साठी 1/x → +∞ आणि x → 0⁻ साठी 1/x → −∞. बहुपदींच्या गुणोत्तरात सर्वात मोठ्या घाताने अंश आणि छेद भागा.
नियम 1 : घातांची तुलना — अंशाचा घात लहान असेल तर सीमा 0 ; सारखा असेल तर पहिल्या गुणांकांचे गुणोत्तर ; मोठा असेल तर अनंत.
आकृतीत : 1/x : x मोठा झाला की y → 0 ; x → 0⁺ वर y वाढत जातो.
सूत्र कसे मिळाले? : (3x² + 2x)/(5x² − 1) ला x² ने भागले : (3 + 2/x)/(5 − 1/x²). x → ∞ वर 2/x आणि 1/x² शून्याकडे ; उत्तर 3/5.
- सोपे : lim (2x + 1)/(x − 3) (x → ∞) = (2 + 1/x)/(1 − 3/x) → 2.
- मध्यम : lim (3x² + 2x)/(5x² − 1) → 3/5 ; lim (x² + 1)/(x³ + x) → 0.
- परीक्षेसाठी : lim √(x² + 1)/x (x → +∞) = √(1 + 1/x²) → 1 ; lim (x² + 1)/(x + 1) → ∞ (अंशाचा घात मोठा).
अनंत हे संख्या नाही ; "सीमा ∞ आहे" म्हणजे किंमत मर्यादेशिवाय वाढते.
∞/∞ ला 1 मानणे. आधी सर्वात मोठ्या घाताने भागा.
सारखा घात असल्यास फक्त पहिल्या गुणांकांचे गुणोत्तर लिहा : (4x² + 3)/(2x² − x) → 4/2. आठवणीची युक्ती : "मोठा घात जिंकतो".
x → −∞ साठी √(x²) = ∣x∣ = −x ; चिन्ह तपासा.
CET-स्टाइल उदाहरण : lim (4x² + 3)/(2x² − x) (x → ∞) = ? (A) 2 (B) 4 (C) 1/2 (D) ∞
उत्तर : (A). 4/2. वेळ वाचवण्याची पद्धत : सारखा घात : पहिल्या गुणांकांचे गुणोत्तर.
फरक ओळखा
| अंश : छेद (घात) | सीमा (x → ∞) | उदाहरण |
|---|---|---|
| लहान : मोठा | 0 | (x² + 1)/(x³ + x) |
| सारखा | गुणांकांचे गुणोत्तर | (3x² + 2x)/(5x² − 1) → 3/5 |
| मोठा : लहान | ±∞ | (x² + 1)/(x + 1) |
सरावासाठी प्रश्न
- 1lim 5/x (x → ∞) काढा.
- 2lim (2x + 1)/(x + 4) (x → ∞) काढा.
- 3lim 1/x² (x → ∞) काढा.
- 4lim (3x² + x)/(6x² − 5) (x → ∞) काढा.
- 5lim (x + 1)/(x² + 3) (x → ∞) काढा.
- 6lim 1/x (x → 0⁺) काय होते?
- 7lim (2x³ + x)/(5x³ − 4x²) (x → ∞) काढा.
- 8lim √(x² + 4)/(2x) (x → +∞) काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 10.
- 22.
- 30.
- 43/6 = 1/2.
- 50.
- 6+∞ (किंमत मर्यादेशिवाय वाढते).
- 72/5.
- 81/2.
धडा ७ : सीमा — झटपट उजळणी
| विषय | सूत्र / मुद्दा |
|---|---|
| सीमा | डावी = उजवी तरच अस्तित्वात ; f(a) नसले तरी चालते |
| 0/0 | अवयव पाडा ; संयुग्मीने गुणा ; (xⁿ − aⁿ)/(x − a) → n aⁿ⁻¹ |
| त्रिकोणमिती | sin x/x → 1 ; tan x/x → 1 ; (1 − cos x)/x² → 1/2 ; sin kx/x → k |
| चरघातांकी | (aˣ − 1)/x → log a ; (eˣ − 1)/x → 1 ; log (1 + x)/x → 1 ; (1 + x)¹ᐟˣ → e |
| अनंतावर | 1/x → 0 ; सारखा घात : गुणांकांचे गुणोत्तर ; अंशाचा घात मोठा : अनंत |
🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे
- आधी x = a घालून पाहा.
- सूत्र फक्त रेडियन एककात.
- कोन आणि छेद जुळवा.
- घातातला गुणक उत्तरात येतो.
- सर्वात मोठ्या घाताने भागा.
"डावी, उजवी, जुळली तर सीमा".