एका बिंदूवरील सांतत्य
पेन्सिल न उचलता रेघ ओढली तर ती अखंड असते ; वाटेत उचलावी लागली तर तिथे खंड आहे. आलेखावरील अशा अखंडपणालाच सांतत्य म्हणतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे आलेख काढले ; येथे त्यांच्या अखंडपणाची अचूक अट.
f हा a वर संतत आहे जर तीन गोष्टी खऱ्या : (1) f(a) अस्तित्वात, (2) lim f(x) (x → a) अस्तित्वात, (3) सीमा = f(a).
नियम 1 : तीन अटी तपासणे — डावी सीमा = उजवी सीमा = f(a) ; यापैकी एक जरी चुकली तर असंतत. तुकड्यांचे फल असेल तर जोडबिंदूवर दोन्ही सूत्रे तपासा.
आकृतीत : अखंड आलेख आणि तीन अटी.
सूत्र कसे मिळाले? : सीमा आणि f(a) वेगळे असतील तर आलेखावर बिंदू आणि वक्र जुळत नाहीत ; त्यामुळे खंड पडतो. तिन्ही अटी जुळल्या की खंड नाही.
- सोपे : f(x) = x² + 1 : a = 2 वर f(2) = 5, सीमा 5 ; संतत.
- मध्यम : f(x) = (x² − 9)/(x − 3) (x ≠ 3), k (x = 3) : सीमा 6 ; k = 6 असेल तर संतत.
- परीक्षेसाठी : f(x) = kx + 1 (x ≤ 2), 3x − 2 (x > 2) : डावी 2k + 1, उजवी 4 ; 2k + 1 = 4, k = 3/2.
सांतत्यासाठी तिन्ही अटी जुळाव्या लागतात ; सीमा असणे एकटे पुरेसे नाही.
f(a) अस्तित्वात नाही हे विसरून फक्त सीमा तपासणे.
अज्ञात k काढण्यासाठी जोडबिंदूवर डावी सीमा = उजवी सीमा = f(a) अशी समीकरणे मांडा. आठवणीची युक्ती : "डावी, उजवी, मूल्य : तिघे समान".
x ≤ 2 आणि x > 2 असताना f(2) कोणत्या सूत्राने ते पाहा.
CET-स्टाइल उदाहरण : f(x) = x + k (x < 1), 3 (x ≥ 1) हा x = 1 वर संतत असेल तर k = ? (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 0
उत्तर : (A). 1 + k = 3. वेळ वाचवण्याची पद्धत : डावी सीमा 1 + k, उजवे मूल्य 3.
फरक ओळखा
| अट | अर्थ |
|---|---|
| 1 | f(a) अस्तित्वात |
| 2 | सीमा अस्तित्वात (डावी = उजवी) |
| 3 | सीमा = f(a) |
सरावासाठी प्रश्न
- 1बहुपदी फल प्रत्येक बिंदूवर संतत असते का?
- 2f(x) = 1/(x − 2) हा x = 2 वर संतत आहे का?
- 3f(x) = (x² − 4)/(x − 2) (x ≠ 2), k (x = 2) संतत होण्यासाठी k काढा.
- 4f(x) = 3x − 1 (x < 2), k (x = 2), x + 3 (x > 2) : संतत होण्यासाठी k काढा.
- 5f(x) = 2x + k (x ≤ 1), 5 (x > 1) : संतत होण्यासाठी k काढा.
- 6[x] हा x = 2 वर संतत आहे का?
- 7f(x) = sin 3x/x (x ≠ 0), k (x = 0) : संतत होण्यासाठी k काढा.
- 8f(x) = (√(x + 1) − 1)/x (x ≠ 0), k (x = 0) : संतत होण्यासाठी k काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय.
- 2नाही ; f(2) अस्तित्वात नाही.
- 3k = 4.
- 4दोन्ही बाजूंची सीमा 5 ; k = 5.
- 52 + k = 5 ; k = 3.
- 6नाही ; डावी सीमा 1, उजवी 2.
- 7सीमा 3 ; k = 3.
- 8सीमा 1/2 ; k = 1/2.
असांतत्याचे प्रकार
रस्त्यावरील खड्डा लहान असेल तर भरून रस्ता पूर्ववत होतो ; पूल तुटला असेल तर पलीकडे उडी मारावी लागते ; दरी असेल तर रस्ता संपतोच. असांतत्याचे तीन प्रकार असेच असतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे आलेखातील छिद्र आणि उडी पाहिली ; येथे त्यांना नावे देतो.
निवारणीय : सीमा अस्तित्वात पण f(a) नाही किंवा वेगळे (छिद्र) ; f(a) बदलून संतत करता येते. उडी : डावी आणि उजवी सीमा अस्तित्वात पण भिन्न. अनंत : सीमा ±∞ (उभी रेषा).
नियम 1 : ओळखण्याची पद्धत — डावी आणि उजवी सीमा काढा : समान असतील तर निवारणीय ; भिन्न व परिमित असतील तर उडी ; एक अनंत असेल तर अनंत असांतत्य. उडीचा आकार = उजवी − डावी.
आकृतीत : तीन प्रकार : निवारणीय छिद्र, उडी, अनंत.
सूत्र कसे मिळाले? : (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 (x ≠ 1) ; 1 वर सीमा 2 पण f(1) नाही. f(1) = 2 ठरवले की खंड निघतो, म्हणून निवारणीय.
- सोपे : f(x) = (x² − 1)/(x − 1) 1 वर : सीमा 2, f(1) नाही ; निवारणीय. f(1) = 2 घ्या.
- मध्यम : f(x) = [x] 2 वर : डावी 1, उजवी 2 ; उडीचा आकार 1.
- परीक्षेसाठी : f(x) = 1/(x − 3) 3 वर : सीमा ±∞ ; अनंत असांतत्य. f(x) = x² (x < 1), x + 2 (x ≥ 1) : डावी 1, उजवी 3 ; उडी 2.
उडीचे असांतत्य काहीही करून काढता येत नाही ; फक्त निवारणीय काढता येते.
छिद्र आणि उडी यांत गोंधळ : छिद्रात दोन्ही सीमा समान, उडीत भिन्न.
प्रथम डावी आणि उजवी सीमा लिहा ; मग नाव ठरवा. आठवणीची युक्ती : "समान छिद्र, भिन्न उडी, अनंत दरी".
∣x∣/x चे असांतत्य 0 वर उडीचे आहे, छिद्राचे नाही.
CET-स्टाइल उदाहरण : f(x) = ∣x∣/x चे x = 0 वरील असांतत्य ? (A) उडी (B) निवारणीय (C) अनंत (D) संतत
उत्तर : (A). डावी −1, उजवी 1. वेळ वाचवण्याची पद्धत : दोन्ही परिमित आणि भिन्न : उडी.
फरक ओळखा
| प्रकार | डावी / उजवी सीमा | उदाहरण |
|---|---|---|
| निवारणीय | समान | (x² − 1)/(x − 1) 1 वर |
| उडी | भिन्न, परिमित | [x] 2 वर |
| अनंत | एक ∞ | 1/(x − 3) 3 वर |
सरावासाठी प्रश्न
- 1(x² − 9)/(x − 3) चे 3 वर असांतत्य कोणते?
- 2[x] चे 5 वर असांतत्य कोणते?
- 31/x चे 0 वर असांतत्य कोणते?
- 4(x² − 4)/(x + 2) चे x = −2 वर असांतत्य कसे दूर कराल?
- 5[x] ची 5 वर उडी किती?
- 61/x चे असांतत्य निवारणीय आहे का?
- 7f(x) = x + 1 (x < 3), x² (x ≥ 3) : 3 वरची उडी काढा.
- 8उडीचे असांतत्य निवारणीय का नसते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1निवारणीय (सीमा 6).
- 2उडी.
- 3अनंत.
- 4f(−2) = −4 ठरवा.
- 55 − 4 = 1.
- 6नाही ; सीमा अनंत.
- 79 − 4 = 5.
- 8डावी आणि उजवी सीमा भिन्न असल्याने एक मूल्य ठरवून जुळत नाही.
अंतरालावरील सांतत्य आणि गुणधर्म
एखादा रस्ता गावापासून गावापर्यंत अखंड आहे का, हे पाहताना प्रत्येक बिंदू तपासावा लागतो आणि टोकाला फक्त एका बाजूने येता येते. अंतरालावरील सांतत्य असेच मोजतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे अंतराल आणि आलेख शिकलो ; येथे त्यावरील सांतत्य.
f हा (a, b) वर संतत म्हणजे प्रत्येक बिंदूवर संतत. [a, b] वर संतत म्हणजे (a, b) वर संतत, a वर उजवीकडून संतत आणि b वर डावीकडून संतत.
नियम 1 : गुणधर्म — संतत फलांची बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार संतत ; भागाकार छेद शून्य नसेल तेथे संतत ; संयुक्त फल संतत. बहुपदी, sin, cos, eˣ, ∣x∣ सर्वत्र संतत ; परिमेय फल छेद शून्य नसेल तेथे.
आकृतीत : [a, b] वर संतत : a वर उजवीकडून, b वर डावीकडून.
सूत्र कसे मिळाले? : f(x) = √(x − 1) चा प्रांत [1, ∞) ; 1 वर डावीकडे फल नाही, म्हणून तिथे फक्त उजवीकडून सांतत्य पाहतो आणि ते खरे आहे.
- सोपे : f(x) = √(x − 1), [1, ∞) वर : 1 वर उजवीकडून √0 = 0 ; संतत.
- मध्यम : (x + 1)/(x² − 4) चे असांतत्य x = 2 आणि x = −2 वर (छेद शून्य).
- परीक्षेसाठी : (x² + 1)/(x² − 5x + 6) = (x² + 1)/((x − 2)(x − 3)) : असंतत x = 2 आणि 3.
टोकाच्या बिंदूवर फक्त एका बाजूची सीमा पुरते.
छेद शून्य होणारे बिंदू शोधायचे विसरणे ; तेच असंततेचे बिंदू.
परिमेय फलात छेद = 0 सोडवा ; बाकी सर्वत्र संतत. आठवणीची युक्ती : "छेद शून्य, तिथेच खंड".
अंश आणि छेद दोन्ही शून्य होत असतील तर निवारणीय असांतत्य ; अवयव रद्द करून तपासा.
CET-स्टाइल उदाहरण : f(x) = 1/(x² − 9) किती बिंदूंवर असंतत आहे? (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 0
उत्तर : (A). x = 3 आणि −3. वेळ वाचवण्याची पद्धत : छेद (x − 3)(x + 3) = 0.
फरक ओळखा
| अंतराल | अट |
|---|---|
| (a, b) | प्रत्येक बिंदूवर संतत |
| [a, b] | (a, b) वर संतत + a वर उजवीकडून + b वर डावीकडून |
सरावासाठी प्रश्न
- 13x² + 1 सर्वत्र संतत आहे का?
- 21/(x − 5) चे असांतत्याचे बिंदू किती?
- 3x/(x² − 1) चे असांतत्याचे बिंदू लिहा.
- 41/(x² − 5x + 6) चे असांतत्याचे बिंदू लिहा.
- 5√(4 − x²) [−2, 2] वर संतत आहे का?
- 6∣x − 3∣ सर्वत्र संतत आहे का?
- 71/(x³ − x) चे असांतत्याचे बिंदू किती?
- 8[x] (2, 3) वर संतत आहे का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय.
- 21 (x = 5).
- 3x = 1 आणि −1.
- 4x = 2 आणि 3.
- 5होय ; टोकांवर एकतर्फी.
- 6होय.
- 73 (x = 0, 1, −1).
- 8होय ; तेथे ते स्थिर 2 आहे.
मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय
सकाळी 18° आणि दुपारी 30° असलेले तापमान सतत बदलत असेल तर मधल्या काळात 25° नक्की आले असणार. उडी न मारता चढणारा आलेख मधली प्रत्येक किंमत घेतो. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे समीकरणांची उत्तरे आलेखावरून पाहिली ; येथे उत्तर कोणत्या अंतरालात आहे हे ठरवतो.
f हा [a, b] वर संतत असेल आणि f(a), f(b) यांची चिन्हे भिन्न असतील तर (a, b) च्या किमान एका c साठी f(c) = 0. सर्वसाधारणपणे f(a) आणि f(b) यांच्या दरम्यानची प्रत्येक किंमत f घेतो.
नियम 1 : मुळाचा अंतराल — प्रश्नातील फल संतत आहे हे आधी सांगा ; मग दोन किमती घेऊन चिन्हे पाहा. चिन्ह बदलले की मूळ त्या अंतरालात. अर्धे करत गेल्यास अंतराल लहान होतो.
आकृतीत : f(a) < 0 आणि f(b) > 0 ; आलेख अक्ष c वर ओलांडतो.
सूत्र कसे मिळाले? : अखंड वक्र खालून वर जाताना अक्षाच्या खालून वर पोहोचण्यासाठी अक्ष ओलांडावाच लागतो ; म्हणून तेथे f(c) = 0.
- सोपे : x³ − x − 1 = 0 : f(1) = −1, f(2) = 5 ; चिन्ह बदलले, म्हणून मूळ (1, 2) या अंतरालात.
- मध्यम : cos x − x = 0 : f(0) = 1 > 0 आणि f(1) = cos 1 − 1 < 0 ; मूळ (0, 1) या अंतरालात.
- परीक्षेसाठी : x³ + x − 3 : f(1) = −1, f(2) = 7 ; अर्धे केले f(1.5) = 1.875 > 0 ; मूळ (1, 1.5) या अंतरालात.
फल संतत नसेल तर प्रमेय लागू नाही : 1/x चे f(−1) < 0 < f(1) पण 0 वर मूळ नाही.
चिन्ह बदलले म्हणजे फक्त एकच मूळ असे मानणे. प्रमेय किमान एक मूळ सांगते.
पूर्ण संख्या 0, 1, 2, 3 क्रमाने घालून पहिला चिन्ह-बदल शोधा. आठवणीची युक्ती : "चिन्ह बदलले, मूळ सापडले".
दोन्ही टोकांची चिन्हे सारखी असली तर मूळ नसेलच असे नाही ; प्रमेय काही सांगत नाही.
CET-स्टाइल उदाहरण : x³ − 2x − 5 = 0 चे मूळ कोणत्या अंतरालात? (A) (2, 3) (B) (0, 1) (C) (1, 2) (D) (3, 4)
उत्तर : (A). f(2) = −1, f(3) = 16. वेळ वाचवण्याची पद्धत : f(0), f(1), f(2) ऋण ; f(3) धन ; म्हणून (2, 3).
फरक ओळखा
| फल | f(a) | f(b) | मूळ |
|---|---|---|---|
| x³ − x − 1 | f(1) = −1 | f(2) = 5 | (1, 2) |
| cos x − x | f(0) = 1 | f(1) < 0 | (0, 1) |
| x³ − 2x − 5 | f(2) = −1 | f(3) = 16 | (2, 3) |
सरावासाठी प्रश्न
- 1x² − 4x + 1 : f(0) आणि f(1) ची चिन्हे लिहा आणि निष्कर्ष काढा.
- 2x³ = 9 चे मूळ कोणत्या पूर्णांकांदरम्यान?
- 3मध्यवर्ती मूल्य प्रमेयासाठी फलाचा कोणता गुण आवश्यक?
- 4x³ + 2x − 4 = 0 चे मूळ कोणत्या अंतरालात?
- 5वरील मूळ आणखी अरुंद करा (1.5 घ्या).
- 6eˣ = 3 चे मूळ कोणत्या पूर्णांकांदरम्यान?
- 7x⁴ − 3x − 1 = 0 चे दोन भिन्न मूळ कोणत्या अंतरालांत?
- 8या फलाचे f(−1), f(0) काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1f(0) = 1 > 0, f(1) = −2 < 0 ; मूळ (0, 1).
- 22 आणि 3 (8 < 9 < 27).
- 3संततता.
- 4(1, 2) ; f(1) = −1, f(2) = 8.
- 5f(1.5) = 2.375 > 0 ; (1, 1.5).
- 61 आणि 2 (e ≈ 2.718 < 3 < e²).
- 7(−1, 0) आणि (1, 2).
- 8f(−1) = 3, f(0) = −1.
धडा ८ : सांतत्य — झटपट उजळणी
| विषय | सूत्र / मुद्दा |
|---|---|
| सांतत्य | f(a) आहे ; सीमा आहे ; सीमा = f(a) |
| निवारणीय | सीमा आहे पण f(a) नाही किंवा वेगळे ; सुधारता येते |
| उडी | डावी ≠ उजवी (परिमित) ; आकार = उजवी − डावी |
| अनंत | सीमा ±∞ ; उभी रेषा |
| अंतराल | [a, b] वर : a वर उजवीकडून, b वर डावीकडून |
| मध्यवर्ती मूल्य | f(a) f(b) < 0 आणि f संतत तर f(c) = 0 |
🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे
- तिन्ही अटी तपासा.
- तुकड्यांच्या फलात जोडबिंदूवर डावी = उजवी.
- छेद शून्य तेथे असांतत्य.
- मूळ शोधताना चिन्ह बदल पाहा.
- संततता नसेल तर प्रमेय लागू नाही.
"डावी, उजवी, मूल्य : तिघे समान".