अवकलजाचा अर्थ
गाडी किती वेगाने जात आहे हे एका क्षणी दाखवणारा स्पीडोमीटर म्हणजे अंतराचा बदलाचा दर. वक्रावर एका बिंदूचा चढ किती हे सांगणारा तोच अवकलज. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे रेषेचा चढ (उतार) शिकलो ; येथे वक्राचा चढ.
f चा x वरील अवकलज f′(x) = lim [f(x + h) − f(x)]/h (h → 0). तो त्या बिंदूवरील स्पर्शिकेचा चढ दर्शवतो.
नियम 1 : मूलभूत पद्धतीने अवकलज — f(x + h) − f(x) लिहा, h ने भागा, सरलीकरण करा, मग h → 0. स्थिरांकाचा अवकलज 0.
आकृतीत : छेदिका जवळ आली की स्पर्शिका होते.
सूत्र कसे मिळाले? : f(x) = x² : [(x + h)² − x²]/h = (2xh + h²)/h = 2x + h ; h → 0 ने f′(x) = 2x.
- सोपे : f(x) = 3x + 2 : [3(x + h) + 2 − 3x − 2]/h = 3 ; f′(x) = 3.
- मध्यम : f(x) = x³ : [(x + h)³ − x³]/h = 3x² + 3xh + h² ; f′(x) = 3x².
- परीक्षेसाठी : f(x) = 1/x : (1/(x + h) − 1/x)/h = −1/(x(x + h)) ; f′(x) = −1/x².
अवकलज = बदलाचा दर = स्पर्शिकेचा चढ.
h → 0 आधीच ठेवून 0/0 येणे ; आधी सरलीकरण करून h रद्द करा.
अवकलज दिला तर x ची किंमत नंतर घाला. आठवणीची युक्ती : "आधी अवकलज, मग किंमत".
f′(5) म्हणजे f′(x) च्या सूत्रात x = 5 घालणे ; f(5) चा अवकलज (0) नव्हे.
CET-स्टाइल उदाहरण : f(x) = x² असेल तर f′(5) = ? (A) 10 (B) 25 (C) 5 (D) 2
उत्तर : (A). f′(x) = 2x ; 2 × 5 = 10. वेळ वाचवण्याची पद्धत : थेट 2x या सूत्रात किंमत.
फरक ओळखा
| पद | अर्थ |
|---|---|
| छेदिकेचा चढ | [f(x + h) − f(x)]/h |
| स्पर्शिकेचा चढ | f′(x) (h → 0) |
सरावासाठी प्रश्न
- 1स्थिरांक 5 चा अवकलज काय?
- 2f(x) = 7x चा अवकलज काय?
- 3f(x) = x² चा x = 3 वर अवकलज काढा.
- 4f(x) = x² + 3x चा x = 2 वर अवकलज काढा.
- 5f(x) = 2x² चा x = 3 वर अवकलज काढा.
- 6f(x) = x² − 4 चा x = 5 वर अवकलज काढा.
- 7f(x) = x³ चा x = 2 वर अवकलज काढा.
- 8f(x) = 1/x चा x = 2 वर अवकलज काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 10.
- 27.
- 36.
- 42x + 3 ; 2 · 2 + 3 = 7.
- 54x ; 12.
- 62x ; 10.
- 73x² ; 12.
- 8−1/x² ; −1/4.
अवकलनीयता आणि सांतत्य
रस्त्यावर तीक्ष्ण वळण असेल तर तेथे दिशा अचानक बदलते आणि एकच स्पर्शिका नसते. आलेखाचा असा "कोपरा" म्हणजे अवकलनीयता नसणे. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे ∣x∣ चा आलेख V आकाराचा पाहिला ; येथे त्याचा कोपरा तपासतो.
f हा a वर अवकलनीय जर डावा अवकलज (LHD) आणि उजवा अवकलज (RHD) अस्तित्वात असून समान आहेत. अवकलनीय ⇒ संतत ; पण संतत ⇒ अवकलनीय असे नाही.
नियम 1 : तपासणी — LHD = lim [f(a + h) − f(a)]/h (h → 0⁻), RHD = तोच भाग h → 0⁺ ; दोन्ही समान तरच अवकलनीय.
आकृतीत : 0 वर ∣x∣ चा कोपरा : LHD = −1, RHD = 1.
सूत्र कसे मिळाले? : x < 0 साठी ∣x∣ = −x, चढ −1 ; x > 0 साठी ∣x∣ = x, चढ 1. दोन्ही भिन्न, म्हणून 0 वर स्पर्शिका नाही.
- सोपे : f(x) = ∣x∣ 0 वर : LHD = −1, RHD = 1 ; अवकलनीय नाही, पण संतत.
- मध्यम : f(x) = ∣x − 2∣ 2 वर : LHD = −1, RHD = 1 ; अवकलनीय नाही.
- परीक्षेसाठी : f(x) = x² 3 वर : LHD = RHD = 6 ; अवकलनीय, f′(3) = 6.
अवकलनीय असल्यास संतत नक्की ; उलट नाही.
"संतत म्हणजे अवकलनीय" असे मानणे ; ∣x∣ हे उदाहरण लक्षात ठेवा.
कोपरा किंवा खंड दिसला की LHD आणि RHD काढा. आठवणीची युक्ती : "कोपरा = अवकलनीय नाही".
असंतत फल कधीही अवकलनीय नसते.
CET-स्टाइल उदाहरण : f(x) = ∣x∣ चा x = 0 वरील अवकलज ? (A) अस्तित्वात नाही (B) 0 (C) 1 (D) −1
उत्तर : (A). LHD = −1, RHD = 1. वेळ वाचवण्याची पद्धत : दोन्ही भिन्न : अस्तित्वात नाही.
फरक ओळखा
| गुणधर्म | अर्थ |
|---|---|
| संतत | आलेख अखंड |
| अवकलनीय | आलेख अखंड आणि कोपरा नाही |
सरावासाठी प्रश्न
- 1∣x∣ हे 0 वर संतत आहे का?
- 2∣x∣ हे 0 वर अवकलनीय आहे का?
- 3अवकलनीय फल संतत असते का?
- 4∣x + 1∣ चा x = −1 वरील LHD आणि RHD काढा.
- 53∣x∣ चा x = 0 वरील LHD आणि RHD काढा.
- 6x² चा x = 2 वरील RHD काढा.
- 7f(x) = x (x < 1), 2x − 1 (x ≥ 1) : x = 1 वर संतत आहे का? LHD आणि RHD काढा.
- 8या फलाचे x = 1 वर अवकलनीयतेबद्दल काय?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय.
- 2नाही.
- 3होय.
- 4LHD −1, RHD 1.
- 5LHD −3, RHD 3.
- 64.
- 7संतत ; LHD 1, RHD 2.
- 8अवकलनीय नाही (LHD ≠ RHD).
अवकलनाचे नियम
मोठी बेरीज, गुणाकार किंवा भागाकार असलेल्या फलाचा अवकलज प्रत्येक वेळी मूळ पद्धतीने काढणे लांब ; म्हणून तयार नियम वापरतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे घात आणि बैजिक राशी शिकलो ; येथे त्यांच्या अवकलनाचे नियम.
घात नियम : (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹. बेरीज : (u ± v)′ = u′ ± v′. गुणाकार : (uv)′ = u′v + uv′. भागाकार : (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
नियम 1 : वापर — पदे वेगळी करून घात नियम ; गुणाकार असल्यास पहिला×दुसऱ्याचा अवकलज + दुसरा×पहिल्याचा. भागाकारात छेदाचा वर्ग.
आकृतीत : गुणाकाराचे क्षेत्रफळ आणि त्याची दोन वाढीची पट्टी.
सूत्र कसे मिळाले? : आयताची लांबी u आणि रुंदी v वाढली की क्षेत्रफळ u′v आणि uv′ या दोन पट्ट्यांनी वाढते ; म्हणून (uv)′ = u′v + uv′.
- सोपे : (3x⁴ − 5x² + 7)′ = 12x³ − 10x.
- मध्यम : ((x² + 1)(x³ − 2))′ = 2x(x³ − 2) + (x² + 1)3x² = 5x⁴ + 3x² − 4x ; x = 1 वर 4.
- परीक्षेसाठी : ((2x + 3)/(x − 1))′ = (2(x − 1) − (2x + 3))/(x − 1)² = −5/(x − 1)².
स्थिरांकाचा अवकलज 0 ; (c·u)′ = c·u′.
(uv)′ = u′v′ असे लिहिणे ; गुणाकार नियम वापरा.
गुणाकार आधी पसरवून बहुपदी केली तर घात नियमच पुरतो. आठवणीची युक्ती : "पहिला-दुसरा, दुसरा-पहिला".
भागाकारात अंशातील वजाबाकीचा क्रम बदलू नका : u′v − uv′.
CET-स्टाइल उदाहरण : x⁵ चा x = 2 वरील अवकलज ? (A) 80 (B) 32 (C) 10 (D) 40
उत्तर : (A). 5x⁴ = 5 · 16 = 80. वेळ वाचवण्याची पद्धत : घात खाली, एक कमी.
फरक ओळखा
| नियम | सूत्र |
|---|---|
| गुणाकार | u′v + uv′ |
| भागाकार | (u′v − uv′)/v² |
सरावासाठी प्रश्न
- 14x³ चा x = 1 वरील अवकलज काढा.
- 2x² + 5x चा x = 0 वरील अवकलज काढा.
- 3स्थिरांक 9 चा अवकलज काय?
- 4(x + 1)(x − 2) चा x = 3 वरील अवकलज काढा.
- 5x/(x + 1) चा x = 1 वरील अवकलज काढा.
- 6(2x + 1)² चा x = 1 वरील अवकलज काढा.
- 7(x² + 1)/(x² − 1) चा x = 2 वरील अवकलज काढा.
- 8x²(x + 1) चा x = 1 वरील अवकलज काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 112.
- 25.
- 30.
- 42x − 1 ; 5.
- 51/(x + 1)² ; 1/4.
- 64(2x + 1) ; 12.
- 7−4x/(x² − 1)² ; −8/9.
- 8x³ + x² चा अवकलज 3x² + 2x ; 3 + 2 = 5.
त्रिकोणमितीय फलांचे अवकलज
चाकावरील एका बिंदूची उंची लाटेसारखी वर-खाली होते ; तिचा बदलाचा दर कोणत्या क्षणी किती हेच sin आणि cos चे अवकलज सांगतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे sin, cos, tan शिकलो ; येथे त्यांचे अवकलज.
(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tan x)′ = sec² x, (cot x)′ = −cosec² x, (sec x)′ = sec x tan x, (cosec x)′ = −cosec x cot x. (x रेडियन एककात).
नियम 1 : वापर — गुणाकार आणि भागाकार नियमाबरोबर वापरा. x नेहमी रेडियनमध्ये मानतात.
आकृतीत : sin चा चढ म्हणजे cos.
सूत्र कसे मिळाले? : sin चा आलेख 0 वर सर्वात जास्त चढ (1) घेतो आणि तेथे cos = 1 ; sin च्या कमाल बिंदूवर चढ 0 आणि cos तेथे 0 ; म्हणून (sin x)′ = cos x.
- सोपे : (sin x)′ = cos x ; x = 0 वर 1.
- मध्यम : (x sin x)′ = sin x + x cos x ; x = π/2 वर 1 + 0 = 1.
- परीक्षेसाठी : (sin x/x)′ = (x cos x − sin x)/x² ; x = π वर (−π − 0)/π² = −1/π.
co वाल्या फलांचे अवकलज ऋण.
(cos x)′ = sin x असे लिहिणे ; ऋण चिन्ह विसरू नका.
sin → cos → −sin → −cos → sin असे चक्र. आठवणीची युक्ती : "s, c, −s, −c : चार पावले, पुन्हा सुरू".
ही सूत्रे फक्त x रेडियन असतानाच खरी ; अंशांत सूत्र बदलते.
CET-स्टाइल उदाहरण : (sin x + cos x) चा x = π/4 वरील अवकलज ? (A) 0 (B) 1 (C) √2 (D) −1
उत्तर : (A). cos(π/4) − sin(π/4) = 0. वेळ वाचवण्याची पद्धत : दोन्ही 1/√2 ; वजाबाकी 0.
फरक ओळखा
| फल | अवकलज |
|---|---|
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tan x | sec² x |
सरावासाठी प्रश्न
- 1(sin x)′ चा x = π/3 वरील मूल्य काढा.
- 2(cos x)′ चा x = π/6 वरील मूल्य काढा.
- 3(cos x)′ चा x = 0 वरील मूल्य काढा.
- 42 sin x + 3 cos x चा x = π/2 वरील अवकलज काढा.
- 5tan x चा x = π/4 वरील अवकलज काढा.
- 6x cos x चा x = 0 वरील अवकलज काढा.
- 7sin x cos x चा x = π/4 वरील अवकलज काढा.
- 8tan x चा x = π/3 वरील अवकलज काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11/2.
- 2−1/2.
- 30.
- 42 cos x − 3 sin x ; −3.
- 5sec²(π/4) = 2.
- 6cos x − x sin x ; 1.
- 7cos 2x ; 0.
- 8sec²(π/3) = 4.
चरघातांकी आणि लॉगरिदमी फलांचे अवकलज
चक्रवाढ व्याजात रक्कम जितकी मोठी तितकी ती वेगाने वाढते. eˣ हे असे फल आहे की त्याची वाढ त्याच्या स्वतःच्या किमतीइतकी असते. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता ९–१० पासून पुढे घातांक आणि लॉगरिदम शिकलो ; येथे त्यांचे अवकलज.
(eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ log a, (log x)′ = 1/x (x > 0).
नियम 1 : वापर — गुणाकार आणि भागाकार नियमाबरोबर वापरा. log म्हणजे नैसर्गिक log (आधार e).
आकृतीत : eˣ चा चढ त्याच्या उंचीइतका.
सूत्र कसे मिळाले? : eˣ च्या आलेखावर कोणत्याही बिंदूवर चढ आणि उंची समान ; म्हणून (eˣ)′ = eˣ. aˣ = eˣ log a म्हणून (aˣ)′ = aˣ log a.
- सोपे : (3eˣ)′ = 3eˣ ; x = 0 वर 3.
- मध्यम : (x eˣ)′ = eˣ + x eˣ = (1 + x)eˣ ; x = 1 वर 2e ≈ 5.4366.
- परीक्षेसाठी : (x² log x)′ = 2x log x + x ; x = e वर 2e + e = 3e ≈ 8.155.
(eˣ)′ = eˣ : हेच फल स्वतःचा अवकलज आहे.
(aˣ)′ = x aˣ⁻¹ असे लिहिणे ; घातांकी फलात घात x आहे, आधार स्थिर.
(aˣ)′ साठी a = e घेतले की log e = 1 आणि eˣ मिळते. आठवणीची युक्ती : "घातांकी तोच, फक्त log a गुणा".
log x चा अवकलज 1/x फक्त x > 0 साठी.
CET-स्टाइल उदाहरण : (x eˣ) चा x = 1 वरील अवकलज ? (A) 2e (B) e (C) 1 + e (D) 2
उत्तर : (A). (1 + x)eˣ = 2e. वेळ वाचवण्याची पद्धत : गुणाकार नियम.
फरक ओळखा
| फल | अवकलज |
|---|---|
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ log a |
| log x | 1/x |
सरावासाठी प्रश्न
- 15eˣ चा x = 0 वरील अवकलज काढा.
- 2log x चा x = 2 वरील अवकलज काढा.
- 32ˣ चा x = 3 वरील अवकलज काढा.
- 4eˣ log x चा x = 1 वरील अवकलज काढा.
- 53eˣ − 2 log x चा x = 1 वरील अवकलज काढा.
- 6eˣ sin x चा x = 0 वरील अवकलज काढा.
- 7(log x)/x चा x = e वरील अवकलज काढा.
- 8x log x − x चा x = 3 वरील अवकलज काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 15.
- 21/2.
- 38 log 2 ≈ 5.545.
- 4eˣ log x + eˣ/x ; e.
- 53e − 2 ≈ 6.1548.
- 6eˣ(sin x + cos x) ; 1.
- 7(1 − log x)/x² ; 0.
- 8log x ; log 3.
धडा ९ : अवकलन — झटपट उजळणी
| विषय | सूत्र |
|---|---|
| व्याख्या | f′(x) = lim [f(x + h) − f(x)]/h |
| घात | (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹ |
| गुणाकार | (uv)′ = u′v + uv′ |
| भागाकार | (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² |
| sin, cos | cos x, −sin x |
| घातांकी, log | eˣ, aˣ log a, 1/x |
🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे
- अवकलनीय म्हणजे LHD = RHD.
- अवकलनीय ⇒ संतत.
- गुणाकारात दोन पदे.
- भागाकारात छेदाचा वर्ग.
- त्रिकोणमितीत x रेडियन.
"आधी अवकलज, मग किंमत".