K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 11 · गणित भाग १

धडा ३: त्रिकोणमिती - II

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

दोन कोनांची बेरीज आणि वजाबाकी (संयुक्त कोन)

रोजच्या जीवनातून

दुकानाचे शटर 30° उचलले आणि मग आणखी 45° उचलले तर एकूण 75° उचलले जाते. पण 75° ची sin ची किंमत थेट 30° आणि 45° च्या किमती बेरजेने मिळत नाही; त्यासाठी विशेष सूत्र लागते. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 10 मध्ये फक्त 30°, 45°, 60° च्या किमती शिकलो; आता 15°, 75°, 105° अशा कोनांच्या किमती या सूत्रांनी काढतो.

सोपी व्याख्या

A आणि B हे दोन कोन असतील तर A + B आणि A − B यांना संयुक्त कोन म्हणतात. त्यांच्या sin, cos, tan च्या किमती A आणि B च्या फलांवरून काढण्याची सूत्रे पुढे दिली आहेत.

नियम 1 : sin आणि cos ची सूत्रे — sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B, sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B, cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B, cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B.

नियम 2 : tan चे सूत्र — tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1 − tan A tan B) आणि tan(A − B) = (tan A − tan B)/(1 + tan A tan B).

XYP(cos A, sin A)Q(cos B, sin B)BA − BAO

आकृतीत : एकक वर्तुळावर P(cos A, sin A) आणि Q(cos B, sin B); OP आणि OQ मधील कोन A − B आहे.

सूत्र कसे मिळाले? : एकक वर्तुळावर P(cos A, sin A) आणि Q(cos B, sin B) घ्या. अंतर सूत्राने PQ² = (cos A − cos B)² + (sin A − sin B)² = 2 − 2(cos A cos B + sin A sin B). आता OQ ला नवीन X-अक्ष मानले तर P चे निर्देशक (cos(A − B), sin(A − B)) आणि Q चे (1, 0); म्हणून PQ² = 2 − 2 cos(A − B). दोन्ही PQ² सारखे असल्याने cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B. बाकी सूत्रे यावरून मिळतात : B ऐवजी −B ठेवून cos(A + B); 90° − A वापरून sin(A ± B); भागाकाराने tan.

  • सोपे : sin 15° = sin(45° − 30°) = sin 45° cos 30° − cos 45° sin 30° = (1/√2)(√3/2) − (1/√2)(1/2) = (√6 − √2)/4.
  • मध्यम : sin A = 8/17, cos B = 3/5 (दोन्ही लघुकोन) : cos A = 15/17, sin B = 4/5; sin(A + B) = (8/17)(3/5) + (15/17)(4/5) = 24/85 + 60/85 = 84/85.
  • परीक्षेसाठी : sin A = 4/5, sin B = 3/5 (लघुकोन) असेल तर sin(A + B) sin(A − B) काढा : हे sin²A − sin²B = 16/25 − 9/25 = 7/25.
लक्षात ठेवा

cos च्या सूत्रात गुणाकारांमधील चिन्ह कोनातील चिन्हाच्या उलट; sin च्या सूत्रात तेच. tan मध्ये अंशात कोनाचे चिन्ह, छेदात उलट.

सामान्य चूक

sin(A + B) = sin A + sin B लिहिणे. sin हे गुणक नाही; sin(A + B) चे विस्तारण नेहमी चार फलांचे दोन गुणाकार असते.

शॉर्टकट

sin : "सिन-कॉस + कॉस-सिन" (चिन्ह तेच). cos : "कॉस-कॉस − सिन-सिन" (चिन्ह उलट). जोड्या नेहमी एका कोनाचे sin आणि दुसऱ्याचे cos. आठवणीची युक्ती : "सिन-कॉस, कॉस-सिन; कॉस-कॉस, सिन-सिन — कॉस चे चिन्ह उलट."

CET सापळा

CET मध्ये tan A आणि tan B दिले असून A + B चा कोन विचारतात; tan(A + B) = 1 आला तर A + B = 45° (लघुकोन असल्यास). भिन्न चरणे असतील तर 225° असू शकते; कोन कोणत्या मर्यादेत ते पाहा.

CET-स्टाइल उदाहरण : tan A = 1/2 आणि tan B = 1/3 (A, B लघुकोन) असतील तर A + B = ? (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90°

उत्तर : (B). tan(A + B) = (1/2 + 1/3)/(1 − 1/6) = (5/6)/(5/6) = 1, म्हणून A + B = 45°. वेळ वाचवण्याची पद्धत : अंश व छेद एकाच किमतीचे (5/6) आले की उत्तर 1; tan 45° = 1 लगेच ओळखा.

फरक ओळखा

कोनsincostan
A + Bsin A cos B + cos A sin Bcos A cos B − sin A sin B(tan A + tan B)/(1 − tan A tan B)
A − Bsin A cos B − cos A sin Bcos A cos B + sin A sin B(tan A − tan B)/(1 + tan A tan B)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1cos 15° ची किंमत काढा.
  2. 2sin 40° cos 20° + cos 40° sin 20° ची किंमत काढा.
  3. 3tan(A − B) साठी सूत्र लिहा.
मध्यम
  1. 4sin A = 5/13, cos B = 4/5 (लघुकोन) असेल तर cos(A − B) काढा.
  2. 5tan A = 3 आणि tan B = 2 असेल तर tan(A − B) काढा.
  3. 6cos 105° ची किंमत काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7सिद्ध करा : tan 20° + tan 25° + tan 20° tan 25° = 1.
  2. 8cos A = 3/5 आणि sin B = 2/3 असेल तर cos(A + B) cos(A − B) काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1(√6 + √2)/4.
  2. 2√3/2 (हे sin 60°).
  3. 3(tan A − tan B)/(1 + tan A tan B).
  4. 463/65.
  5. 51/7.
  6. 6(√2 − √6)/4.
  7. 7tan 45° = 1 आणि tan(20° + 25°) = (tan 20° + tan 25°)/(1 − tan 20° tan 25°); आडवे गुणले की सिद्ध.
  8. 8−19/225.

संबंधित कोन

रोजच्या जीवनातून

चाकाचा तोच बिंदू आरशात पाहिला की उजवा-डावा बदलतो पण उंची तीच राहते. 90°, 180°, 270°, 360° च्या जवळचे कोन असे आरशातील प्रतिबिंबच असतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : मागील धड्यात संदर्भ कोनाने किमती काढल्या; आता त्याच कल्पनेचा सुटसुटीत नियम बनवतो.

सोपी व्याख्या

संबंधित कोन म्हणजे 90° ± θ, 180° ± θ, 270° ± θ, 360° − θ अशा कोनांची त्रिकोणमितीय फले; ती θ च्या फलांच्या रूपात लिहिता येतात.

नियम 1 : नाव आणि चिन्ह ठरवण्याचा नियम — θ ला लघुकोन माना. 90° किंवा 270° असल्यास फलाचे नाव बदलते (sin↔cos, tan↔cot, sec↔cosec). 180° किंवा 360° असल्यास नाव तेच राहते. चिन्ह मूळ फलाचे त्या चरणातील चिन्ह.

XYP₁ (cos θ, sin θ)θ(−cos θ, sin θ)180° − θ(−cos θ, −sin θ)180° + θ(cos θ, −sin θ)360° − θO

आकृतीत : θ, 180° − θ, 180° + θ, 360° − θ यांचे बिंदू एकमेकांचे प्रतिबिंब; निर्देशकांतील चिन्हांवरून sin, cos चे चिन्ह मिळते.

सूत्र कसे मिळाले? : P(x, y) हा θ वरील बिंदू. Y-अक्षात प्रतिबिंब (−x, y) हा 180° − θ चा बिंदू, म्हणून sin(180° − θ) = y = sin θ आणि cos(180° − θ) = −x = −cos θ. रेषा y = x मध्ये प्रतिबिंब (y, x) हा 90° − θ चा बिंदू; x आणि y ची अदलाबदल, म्हणून sin(90° − θ) = cos θ आणि cos(90° − θ) = sin θ.

कोनsincostan
90° − θcos θsin θcot θ
90° + θcos θ− sin θ− cot θ
180° − θsin θ− cos θ− tan θ
180° + θ− sin θ− cos θtan θ
270° − θ− cos θ− sin θcot θ
270° + θ− cos θsin θ− cot θ
360° − θ− sin θcos θ− tan θ
  • सोपे : sin(90° + θ) = cos θ : 90° + θ चरण II मध्ये, sin धन आणि नाव cos.
  • मध्यम : cos(270° + θ) = sin θ : 270° + θ चरण IV मध्ये, cos धन; 270° असल्याने नाव sin.
  • परीक्षेसाठी : cos(90° + θ) sin(180° − θ) / [tan(180° + θ) cos(270° − θ)] : अंश = (−sin θ)(sin θ), छेद = (tan θ)(−sin θ); भागाकार = sin θ/tan θ = cos θ.
लक्षात ठेवा

180° आणि 360° : नाव तेच. 90° आणि 270° : नाव बदलते. चिन्ह नेहमी मूळ फलाचे, θ लघुकोन मानून मिळालेल्या चरणाप्रमाणे.

सामान्य चूक

चिन्ह नवीन फलाच्या नावावरून ठरवणे. sin(90° + θ) = cos θ, पण चिन्ह sin चे (चरण II मध्ये धन) घ्यायचे, cos चे नव्हे.

शॉर्टकट

कोनातील 90° चा पट मोजा : विषम (90°, 270°) → नाव बदला; सम (180°, 360°) → नाव तेच. मग चरण पाहून चिन्ह लावा. आठवणीची युक्ती : "ऑड बदलतो, इव्हन तोच."

CET सापळा

CET मध्ये 900°, −690° असे मोठे कोन येतात; आधी 360° ने शेष घ्या, मग वरील नियम. tan साठी 180° चा शेष चालतो.

CET-स्टाइल उदाहरण : sin 600° cos 330° + cos 600° sin 330° ची किंमत? (A) −1/2 (B) 1/2 (C) √3/2 (D) 1

उत्तर : (A). हे sin(600° + 330°) = sin 930° = sin(930° − 720°) = sin 210° = −1/2. वेळ वाचवण्याची पद्धत : रचना sin A cos B + cos A sin B ओळखा; एकच sin(A + B) बनवा आणि एकदाच कोन कमी करा.

फरक ओळखा

कोननावचिन्ह कशावरून
90° ± θबदलतेमूळ फलाचे, चरण II (+) / III (−) पाहून
180° ± θतेचमूळ फलाचे, चरण II / III नुसार
270° ± θबदलतेमूळ फलाचे, चरण III / IV नुसार
360° − θतेचमूळ फलाचे, चरण IV नुसार

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1sin(180° + θ) कशाबरोबर?
  2. 2cos 150° ची किंमत काढा.
  3. 3tan(90° − θ) कशाबरोबर?
मध्यम
  1. 4sin 240° ची किंमत काढा.
  2. 5cos(270° − θ) + sin(180° + θ) सोपे करा.
  3. 6tan 315° ची किंमत काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7sin 780° cos 390° ची किंमत काढा.
  2. 8sec(90° + θ) cosec(180° − θ) ची किंमत सोपी करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1−sin θ.
  2. 2−√3/2.
  3. 3cot θ.
  4. 4−√3/2.
  5. 5−2 sin θ.
  6. 6−1.
  7. 73/4 (sin 60° cos 30°).
  8. 8−cosec²θ (कारण sec(90° + θ) = −cosec θ आणि cosec(180° − θ) = cosec θ).

दुप्पट, तिप्पट आणि अर्धे कोन

रोजच्या जीवनातून

सायकलचे पॅडल दोन वेळा फिरवले की चाक दुप्पट कोनात फिरते. कोन दुप्पट झाला तरी sin दुप्पट होत नाही; त्याचे स्वतःचे सूत्र आहे. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : मागील विभागातील संयुक्त कोनाची सूत्रे वापरून B = A घेतले की दुप्पट कोनाची सूत्रे मिळतात.

सोपी व्याख्या

गुणित कोन म्हणजे 2A, 3A, ... आणि अर्धा कोन A/2. यांची फले A च्या फलांवरून लिहिता येतात.

नियम 1 : दुप्पट कोन — sin 2A = 2 sin A cos A = 2 tan A/(1 + tan²A); cos 2A = cos²A − sin²A = 2 cos²A − 1 = 1 − 2 sin²A = (1 − tan²A)/(1 + tan²A); tan 2A = 2 tan A/(1 − tan²A).

XYθθP(cos 2θ, sin 2θ)OA(1, 0)cos 2θsin 2θ

आकृतीत : P हा 2θ वरील बिंदू; त्याचे निर्देशक (cos 2θ, sin 2θ). अर्धा कोन θ केंद्रावर दिसतो.

नियम 2 : तिप्पट कोन आणि अर्धे कोन — sin 3A = 3 sin A − 4 sin³A; cos 3A = 4 cos³A − 3 cos A; tan 3A = (3 tan A − tan³A)/(1 − 3 tan²A). अर्धा कोन : sin²A = (1 − cos 2A)/2 आणि cos²A = (1 + cos 2A)/2.

सूत्र कसे मिळाले? : cos(A + B) मध्ये B = A घेतले : cos 2A = cos²A − sin²A. sin²A + cos²A = 1 वापरून हेच 2 cos²A − 1 आणि 1 − 2 sin²A असेही लिहिता येते. तिप्पट कोन : sin 3A = sin(2A + A) = sin 2A cos A + cos 2A sin A = 2 sin A cos²A + (1 − 2 sin²A) sin A = 3 sin A − 4 sin³A. अर्धा कोन : 1 − 2 sin²A = cos 2A वरून sin²A = (1 − cos 2A)/2.

  • सोपे : sin θ = 5/13 (θ लघुकोन) : cos θ = 12/13; sin 2θ = 2 × (5/13) × (12/13) = 120/169.
  • मध्यम : tan θ = 3/4 : cos 2θ = (1 − 9/16)/(1 + 9/16) = (7/16)/(25/16) = 7/25.
  • परीक्षेसाठी : tan θ = 1/2 : tan 3θ = (3 × 1/2 − 1/8)/(1 − 3 × 1/4) = (11/8)/(1/4) = 11/2.
लक्षात ठेवा

cos 2A चे तीन रूप : cos²A − sin²A, 2cos²A − 1, 1 − 2sin²A. जे फल दिले असेल त्या रूपाची निवड करा. अर्ध्या कोनाचे सूत्र म्हणजे उलटे केलेले cos 2A.

सामान्य चूक

sin 2A = 2 sin A लिहिणे किंवा cos 2A = 2 cos A लिहिणे. 2 sin A cos A हे दोन्ही फले असलेले सूत्र आहे; कोन दुप्पट झाला म्हणून किंमत दुप्पट होत नाही.

शॉर्टकट

sin θ = 3/5 असेल तर 3-4-5 त्रिकोणाचा कोन दुप्पट केल्यावर 7-24-25 मिळतो : sin 2θ = 24/25, cos 2θ = 7/25, tan 2θ = 24/7. असेच 5-12-13 → 119-120-169. आठवणीची युक्ती : "3-4-5 चा कोन दुप्पट → 7-24-25."

CET सापळा

tan θ दिले असताना cos 2θ साठी (1 − tan²θ)/(1 + tan²θ) वापरा; sin θ आणि cos θ वेगळे काढत बसू नका. पर्यायांत tan 2θ ची किंमत मुद्दाम असते.

CET-स्टाइल उदाहरण : tan θ = 1/3 असेल तर cos 2θ = ? (A) 4/5 (B) 3/5 (C) 5/4 (D) 1/2

उत्तर : (A). cos 2θ = (1 − 1/9)/(1 + 1/9) = (8/9)/(10/9) = 4/5. वेळ वाचवण्याची पद्धत : tan θ = a/b असेल तर cos 2θ = (b² − a²)/(b² + a²) = (9 − 1)/(9 + 1) = 8/10. उत्तर 8 सेकंदांत.

फरक ओळखा

cos 2A चे रूपकधी वापरावे
cos²A − sin²Asin आणि cos दोन्ही दिले असताना
2 cos²A − 1फक्त cos A दिले असताना
1 − 2 sin²Aफक्त sin A दिले असताना
(1 − tan²A)/(1 + tan²A)फक्त tan A दिले असताना

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1sin θ = 4/5 (लघुकोन) असेल तर sin 2θ काढा.
  2. 21 − 2 sin²15° ची किंमत काढा.
  3. 3cos θ = 3/5 असेल तर cos 2θ काढा.
मध्यम
  1. 4sin²22.5° ची किंमत काढा.
  2. 5tan θ = 1/4 असेल तर tan 2θ काढा.
  3. 6sin θ = 1/3 असेल तर sin 3θ काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7सिद्ध करा : cos⁴A − sin⁴A = cos 2A.
  2. 8sin 3A/sin A + cos 3A/cos A ची किंमत काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 124/25.
  2. 2√3/2 (हे cos 30°).
  3. 3−7/25.
  4. 4(2 − √2)/4.
  5. 58/15.
  6. 623/27.
  7. 7cos⁴A − sin⁴A = (cos²A − sin²A)(cos²A + sin²A) = cos 2A × 1.
  8. 84 cos 2A (कारण 3 − 4 sin²A + 4 cos²A − 3 = 4 cos 2A).

गुणाकार आणि बेरीज रूपांतर सूत्रे (फॅक्टरायझेशन)

रोजच्या जीवनातून

दोन समान स्वरांचे सूर थोडे वेगळ्या पट्टीत वाजवले की ते मिळून एक "थरथरणारा" सूर तयार होतो. बेरजेचे रूपांतर गुणाकारात केल्याने या मिश्र लाटेचे वर्णन सोपे होते. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 मध्ये a² − b² = (a + b)(a − b) असे बेरजेचे गुणाकारात रूपांतर शिकलो; आता sin आणि cos साठी तसेच करतो.

सोपी व्याख्या

बेरजेचे गुणाकारात रूपांतर : sin C ± sin D किंवा cos C ± cos D यांना गुणाकार बनवणे. गुणाकाराचे बेरजेत रूपांतर (defactorization) : 2 sin A cos B सारख्या गुणाकाराला बेरीज/वजाबाकी बनवणे.

नियम 1 : बेरीज → गुणाकार — sin C + sin D = 2 sin((C + D)/2) cos((C − D)/2); sin C − sin D = 2 cos((C + D)/2) sin((C − D)/2); cos C + cos D = 2 cos((C + D)/2) cos((C − D)/2); cos C − cos D = −2 sin((C + D)/2) sin((C − D)/2).

XCDSMOS = 2 cos((C − D)/2)M = (C + D)/2O

आकृतीत : दोन एकक सदिश OC आणि OD यांचा बेरीज OS मधल्या कोनाच्या दिशेने असतो आणि त्याची लांबी 2 cos((C − D)/2); यावरून cos C + cos D चे सूत्र दिसते.

नियम 2 : गुणाकार → बेरीज — 2 sin A cos B = sin(A + B) + sin(A − B); 2 cos A sin B = sin(A + B) − sin(A − B); 2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A − B); 2 sin A sin B = cos(A − B) − cos(A + B).

सूत्र कसे मिळाले? : sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B आणि sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B यांची बेरीज केली की 2 sin A cos B = sin(A + B) + sin(A − B). आता A + B = C आणि A − B = D ठेवा; तेव्हा A = (C + D)/2 आणि B = (C − D)/2, म्हणून sin C + sin D = 2 sin((C + D)/2) cos((C − D)/2). इतर सूत्रे तशाच प्रकारे cos(A ± B) वरून मिळतात.

  • सोपे : sin 50° + sin 10° = 2 sin 30° cos 20° = 2 × (1/2) × cos 20° = cos 20°.
  • मध्यम : cos 70° − cos 10° = −2 sin 40° sin 30° = −2 × sin 40° × (1/2) = −sin 40°.
  • परीक्षेसाठी : cos 20° cos 40° cos 80° : cos 20° cos 40° = (1/2)(cos 60° + cos 20°); गुणले cos 80° ने : (1/4)cos 80° + (1/4)(cos 100° + cos 60°) = 1/8 + (1/4)(cos 80° + cos 100°) = 1/8 + 0 = 1/8.
लक्षात ठेवा

cos C − cos D मध्ये उणे चिन्ह येते. गुणाकार → बेरीज करताना सूत्राच्या उजवीकडे 2 नसतो; डावीकडे 2 ने गुणलेले असते, म्हणून उत्तरासाठी 2 ने भागा.

सामान्य चूक

sin C − sin D ला 2 sin cos लिहिणे. बरोबर रूप 2 cos((C + D)/2) sin((C − D)/2) — पहिला cos, दुसरा sin. जोड्या चुकल्या की उत्तर बदलते.

शॉर्टकट

सम-अर्धसाम : दोन्ही कोनांची बेरीज आणि वजाबाकी करून त्यांचा अर्धा घ्या. sin + sin → sin·cos; cos + cos → cos·cos; sin − sin → cos·sin; cos − cos → −sin·sin. आठवणीची युक्ती : "साइन-जोड = साइन·कॉस; कॉस-जोड = कॉस·कॉस; साइन-वजा = कॉस·साइन; कॉस-वजा = उणे साइन·साइन."

CET सापळा

तीन किंवा चार पदांच्या बेरजेत (cos 20° + cos 100° + cos 140°) जे दोन कोन अर्ध्या बेरजेने एका ओळीत येतात त्यांची जोडी आधी करा; बहुधा एखादे पद रद्द होते.

CET-स्टाइल उदाहरण : sin 80° − sin 20° = ? (A) sin 40° (B) cos 40° (C) sin 50° (D) 2 sin 40°

उत्तर : (A). sin 80° − sin 20° = 2 cos 50° sin 30° = cos 50° = sin 40°. वेळ वाचवण्याची पद्धत : अर्ध-बेरीज 50°, अर्ध-वजाबाकी 30° : sin 30° = 1/2 मुळे 2 जातो; cos 50° = sin 40° ओळखा.

फरक ओळखा

डावी बाजूउजवी बाजू
sin C + sin D2 sin((C + D)/2) cos((C − D)/2)
sin C − sin D2 cos((C + D)/2) sin((C − D)/2)
cos C + cos D2 cos((C + D)/2) cos((C − D)/2)
cos C − cos D−2 sin((C + D)/2) sin((C − D)/2)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1sin 70° + sin 20° चे गुणाकार रूप लिहा.
  2. 22 cos 50° cos 10° चे बेरीज रूप लिहा.
  3. 3cos 75° + cos 15° ची किंमत काढा.
मध्यम
  1. 4sin 65° − sin 25° ची किंमत काढा.
  2. 5सोपे करा : (sin 7A + sin 3A)/(cos 7A + cos 3A).
  3. 62 sin 75° sin 15° ची किंमत काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7sin 40° sin 80° sin 20° ची किंमत काढा.
  2. 8सिद्ध करा : (sin A + sin 3A)/(cos A + cos 3A) = tan 2A.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 12 sin 45° cos 25°.
  2. 2cos 60° + cos 40°.
  3. 3√6/2 (2 cos 45° cos 30°).
  4. 42 cos 45° sin 20° ≈ 0.4837.
  5. 5tan 5A.
  6. 61/2.
  7. 7√3/8.
  8. 8अंश 2 sin 2A cos A, छेद 2 cos 2A cos A; cos A खोडा.

त्रिकोणाच्या कोनांची त्रिकोणमितीय फले

रोजच्या जीवनातून

त्रिकोणी तुकडा कापताना तीन कोन कसेही असले तरी त्यांची बेरीज नेहमी 180° (सरळ रेषा) असते. यामुळे तीन कोनांच्या फलांत एक सुंदर संबंध तयार होतो. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9 पासून "त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180°" माहीत आहे; आता त्यावरून फलांचे संबंध मिळवतो.

सोपी व्याख्या

त्रिकोण ABC मध्ये A + B + C = 180° (π), म्हणून A + B = 180° − C. यावरून संबंधित कोनांच्या नियमाने तीनही कोनांची फले एकमेकांशी जोडता येतात.

नियम 1 : मूलभूत संबंध — sin(A + B) = sin C, cos(A + B) = − cos C, tan(A + B) = − tan C; तसेच sin((A + B)/2) = cos(C/2) आणि cos((A + B)/2) = sin(C/2).

BACBCABCℓ ∥ BCA + B + C = 180°

आकृतीत : A मधून BC ला समांतर रेषा काढली की A वर B, A, C हे तीन कोन एका सरळ रेषेत येतात; म्हणून A + B + C = 180°.

नियम 2 : महत्त्वाच्या ओळखी — tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C; cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1; sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C; cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin(A/2) sin(B/2) sin(C/2); sin A + sin B + sin C = 4 cos(A/2) cos(B/2) cos(C/2).

सूत्र कसे मिळाले? : A + B = 180° − C म्हणून tan(A + B) = −tan C. डावीकडे tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1 − tan A tan B) ठेवा : tan A + tan B = −tan C (1 − tan A tan B) = −tan C + tan A tan B tan C. −tan C डावीकडे आणला की tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C.

  • सोपे : tan A = 1, tan B = 2 असेल तर tan C = −(1 + 2)/(1 − 2) = 3. तपास : 1 + 2 + 3 = 6 = 1 × 2 × 3.
  • मध्यम : A = 90°, B = 60°, C = 30° : sin 2A + sin 2B + sin 2C = 0 + √3/2 + √3/2 = √3 आणि 4 sin 90° sin 60° sin 30° = 4 × 1 × (√3/2) × (1/2) = √3.
  • परीक्षेसाठी : A = B = 45°, C = 90° : cos A + cos B + cos C = √2 आणि 1 + 4 sin 22.5° sin 22.5° sin 45° = 1 + 4(0.1464)(0.7071) = 1.414. दोन्ही सारखे.
लक्षात ठेवा

ही ओळखी फक्त A + B + C = 180° असतानाच खऱ्या. आधी तिसरा कोन C = 180° − (A + B) काढा; मग सूत्र निवडा.

सामान्य चूक

कोनांची बेरीज 90° असताना (काटकोन त्रिकोणातील दोन लघुकोन) हीच सूत्रे वापरणे. तिथे tan A tan B = 1 सारखे वेगळे संबंध असतात.

शॉर्टकट

tan साठी : तिघांची बेरीज = तिघांचा गुणाकार. cot साठी : जोड्यांच्या गुणाकारांची बेरीज = 1. दोन कोन माहीत असतील तर तिसऱ्याचा tan = −tan(A + B). आठवणीची युक्ती : "तिघांची बेरीज = तिघांचा गुणाकार (tan); cot ची जोडी-गुणाकार बेरीज 1."

CET सापळा

CET मध्ये tan A, tan B दिले असून C चा कोन विचारतात. tan C काढण्याआधी A + B काढून पाहा; ते 45° असेल तर C = 135° लगेच मिळतो.

CET-स्टाइल उदाहरण : त्रिकोण ABC मध्ये tan A = 1/2 आणि tan B = 1/3 असेल तर tan C = ? (A) 1 (B) −1 (C) 5/6 (D) −5/6

उत्तर : (B). tan(A + B) = 1, म्हणजे A + B = 45° आणि C = 135°; tan 135° = −1. वेळ वाचवण्याची पद्धत : tan C = −tan(A + B) = −1. 5 सेकंदांत; सूत्रात आकडे घालत बसू नका.

फरक ओळखा

फलबेरीजतिन्ही कोन जोडल्यावर
tantan A + tan B + tan Cतिघांच्या गुणाकाराइतकी
cotcot A cot B + cot B cot C + cot C cot A1 इतकी
sin 2A, sin 2B, sin 2Csin 2A + sin 2B + sin 2C4 sin A sin B sin C
coscos A + cos B + cos C1 + 4 sin(A/2) sin(B/2) sin(C/2)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1त्रिकोण ABC मध्ये A = 50°, B = 60° असेल तर C काढा.
  2. 2sin(B + C) कशाबरोबर?
  3. 3समभुज त्रिकोणात tan A + tan B + tan C ची किंमत काढा.
मध्यम
  1. 4tan A = 2, tan B = 5 असेल तर tan C काढा.
  2. 5A = B = 45°, C = 90° साठी sin A + sin B + sin C काढा.
  3. 6A = 120°, B = C = 30° साठी cos A + cos B + cos C काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7A = 60° आणि tan B + tan C = 4√3 असेल तर tan B tan C काढा.
  2. 8सिद्ध करा : A + B + C = 180° असताना cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1C = 70°.
  2. 2sin A.
  3. 33√3.
  4. 4tan C = −(2 + 5)/(1 − 10) = 7/9.
  5. 51/√2 + 1/√2 + 1 = 1 + √2.
  6. 6−1/2 + √3/2 + √3/2 = √3 − 1/2.
  7. 7tan B tan C = 5 (√3 + 4√3 = √3 × tan B tan C).
  8. 8cos 2A + cos 2B = −2 cos C cos(A − B) आणि cos 2C = 2cos²C − 1; cos C = −cos(A + B) वापरा.

धडा ३ : त्रिकोणमिती - II — झटपट उजळणी

मुद्दासूत्र
संयुक्त कोनsin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B; cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
tantan(A ± B) = (tan A ± tan B)/(1 ∓ tan A tan B)
दुप्पट कोनsin 2A = 2 sin A cos A; cos 2A = 2 cos²A − 1 = 1 − 2 sin²A
तिप्पट कोनsin 3A = 3 sin A − 4 sin³A; cos 3A = 4 cos³A − 3 cos A
बेरीज → गुणाकारsin C + sin D = 2 sin((C + D)/2) cos((C − D)/2)
त्रिकोणA + B + C = 180° : tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

  • cos च्या सूत्रात चिन्ह उलट, sin च्या सूत्रात तेच.
  • 90° आणि 270° वर नाव बदलते, 180° आणि 360° वर तेच; चिन्ह चरणावरून.
  • 3-4-5 चा कोन दुप्पट केला की 7-24-25.
  • सम-अर्धसाम : sin + sin = 2 sin cos, cos − cos मध्ये उणे चिन्ह.
  • त्रिकोणाच्या ओळखी फक्त A + B + C = 180° असतानाच.
  • tan A, tan B दिले तर आधी tan(A + B) पाहा.
अभ्यासाचा मंत्र

सूत्रे पाठ करा, चिन्ह आधी तपासा, आणि आकडे घालून एकदा उत्तर तपासा.