K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 11 · गणित भाग १

धडा २: त्रिकोणमिती - I

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

कोणत्याही कोनाची त्रिकोणमितीय फलने आणि चरणानुसार चिन्हे

रोजच्या जीवनातून

आकाशपाळण्याचा डबा गोल फिरताना त्याचे केंद्रापासूनचे आडवे आणि उभे अंतर सतत बदलते. कोन किती फिरला त्यानुसार हे दोन आकडे cos आणि sin सांगतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : तिथे sin, cos, tan हे काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंचे गुणोत्तर होते, म्हणजे फक्त 0° ते 90° साठी; आता एकक वर्तुळाने ते कोणत्याही कोनासाठी मिळतात.

सोपी व्याख्या

एकक वर्तुळ म्हणजे मूलबिंदू केंद्र आणि त्रिज्या 1 असलेले वर्तुळ. प्रमाण स्थितीतील कोन θ चा अंत्य किरण त्याला P(x, y) मध्ये छेदतो. तर cos θ = x आणि sin θ = y. इतर चार फलने : tan θ = y/x, cot θ = x/y, sec θ = 1/x, cosec θ = 1/y.

नियम 1 : कोणत्याही बिंदूवरून व्याख्या — अंत्य किरणावरील बिंदू P(x, y) मूलबिंदूपासून r = √(x² + y²) अंतरावर असेल तर sin θ = y/r, cos θ = x/r, tan θ = y/x. r = 1 घेतल्यावर x = cos θ आणि y = sin θ मिळतात.

XYθPOxyr = 1x = cos θy = sin θtan θ = y/x

आकृतीत : P(x, y) हा एकक वर्तुळावरील बिंदू; x = cos θ (केशरी), y = sin θ (हिरवा), r = 1.

  • सोपे : P(0.6, 0.8) एकक वर्तुळावर : sin θ = 0.8, cos θ = 0.6, tan θ = 0.8/0.6 = 4/3.
  • मध्यम : P(−5, 12) : r = √(25 + 144) = 13; sin θ = 12/13, cos θ = −5/13, tan θ = −12/5.
  • परीक्षेसाठी : अंत्य किरण (−√3, −1) मधून जातो : r = √(3 + 1) = 2; sin θ = −1/2, cos θ = −√3/2, tan θ = 1/√3.

सूत्र कसे मिळाले? : अंत्य किरणावर कोणताही बिंदू घेतला तरी समरूप त्रिकोणांमुळे y/r, x/r आणि y/x या किमती बदलत नाहीत. म्हणून r = 1 असलेला बिंदू (एकक वर्तुळावरचा) घेतला की x = cos θ, y = sin θ सोपे मिळते. x आणि y ऋण असू शकत असल्याने कोणत्याही कोनासाठी चिन्हासह किंमत मिळते.

नियम 2 : चरणानुसार चिन्हे — r नेहमी धन असतो, म्हणून चिन्ह x आणि y मुळे ठरते. sin आणि cosec चे चिन्ह y प्रमाणे, cos आणि sec चे x प्रमाणे, tan आणि cot चे y/x प्रमाणे.

XYIAll +all six +IIsin +(cosec +)IIItan +(cot +)IVcos +(sec +)O

आकृतीत : चरण I मध्ये सर्व फलने धन; II मध्ये sin (आणि cosec); III मध्ये tan (आणि cot); IV मध्ये cos (आणि sec).

  • सोपे : sin 100° : 100° चरण II मध्ये, म्हणून sin 100° धन आणि cos 100° ऋण.
  • मध्यम : tan 250° : 250° चरण III मध्ये, म्हणून धन; cos(−40°) : −40° चरण IV मध्ये, म्हणून धन.
  • परीक्षेसाठी : 3 रेडियन ≈ 171.9° (π/2 ≈ 1.57 < 3 < π ≈ 3.14) चरण II मध्ये : sin 3 > 0, cos 3 < 0. 4 रेडियन ≈ 229.2° चरण III मध्ये : sin 4 < 0, tan 4 > 0.
लक्षात ठेवा

r नेहमी धन; चिन्ह फक्त x आणि y मुळे येते. चरण I मध्ये सर्व धन; II मध्ये sin (आणि cosec); III मध्ये tan (आणि cot); IV मध्ये cos (आणि sec).

सामान्य चूक

cosec चे चिन्ह cos वरून ठरवणे. cosec हा sin चा व्युत्क्रम आहे, म्हणून त्याचे चिन्ह sin सारखेच; तसेच sec चे चिन्ह cos सारखे आणि cot चे tan सारखे.

शॉर्टकट

चरण I पासून घड्याळाच्या उलट दिशेने A-S-T-C म्हणत जा : All, Sin, Tan, Cos. जे नाव येते ते (आणि त्याचा व्युत्क्रम) त्या चरणात धन, बाकी ऋण. आठवणीची युक्ती : "All Students Take Coffee" (सर्व विद्यार्थी कॉफी घेतात) — A, S, T, C.

CET सापळा

कोन रेडियनमध्ये (उदा. sin 3, cos 4) दिला तर π ≈ 3.14, π/2 ≈ 1.57, 3π/2 ≈ 4.71 आठवून चरण ठरवा; 3 ला "चरण I" समजू नका. ऋण कोन (−40°) घड्याळाच्या दिशेने मोजतात, म्हणून चरण IV.

CET-स्टाइल उदाहरण : जर sin θ < 0 आणि cot θ > 0 असेल तर θ कोणत्या चरणात आहे? (A) I (B) II (C) III (D) IV

उत्तर : (C). sin θ < 0 → चरण III किंवा IV; cot θ > 0 → चरण I किंवा III; समान चरण III. वेळ वाचवण्याची पद्धत : दोन्ही अटींची चरणे लिहून समान चरण निवडा : sin ऋण = {III, IV}, cot धन = {I, III} → III.

फरक ओळखा

चरणकोनx, y चे चिन्हधन फलने
I0°–90°+, +सर्व सहा
II90°–180°−, +sin, cosec
III180°–270°−, −tan, cot
IV270°–360°+, −cos, sec

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1एकक वर्तुळावरील बिंदू (0.8, 0.6) साठी sin θ आणि cos θ लिहा.
  2. 2चरण III मध्ये कोणती दोन फलने धन असतात?
  3. 3cos 200° चे चिन्ह काय आहे?
मध्यम
  1. 4अंत्य किरण (−12, −5) मधून जातो; sin θ, cos θ, tan θ काढा.
  2. 5sin θ > 0 आणि cos θ < 0 असेल तर θ कोणत्या चरणात?
  3. 6sec 300° धन की ऋण?
आव्हानात्मक
  1. 7tan θ = −5/12 आणि sin θ < 0 असेल तर cos θ आणि cosec θ काढा.
  2. 85 रेडियनसाठी sin 5 आणि cos 5 ची चिन्हे सांगा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1sin θ = 0.6, cos θ = 0.8.
  2. 2tan, cot.
  3. 3ऋण (200° चरण III मध्ये).
  4. 4r = 13; sin θ = −5/13, cos θ = −12/13, tan θ = 5/12.
  5. 5चरण II.
  6. 6धन (300° चरण IV मध्ये, cos धन).
  7. 7θ चरण IV मध्ये : cos θ = 12/13, cosec θ = −13/5.
  8. 85 रेडियन ≈ 286.5° (चरण IV) : sin 5 < 0, cos 5 > 0.

विशेष कोनांच्या किमती आणि ऋण / मोठे कोन

रोजच्या जीवनातून

घड्याळावर 12, 3, 6, 9 आपल्याला पाठ असतात आणि बाकी सर्व वेळा त्यांच्यावरून वाचतो. तसेच 0°, 30°, 45°, 60°, 90° च्या किमती पाठ असल्या की इतर कोन त्यांवर येतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 10 मध्ये 0° ते 90° च्या किमती शिकलो; आता त्यांवरून 150°, 225°, −30°, 1000° अशा सर्व कोनांच्या किमती काढणार.

सोपी व्याख्या

खालील सारणी पाठ करा. tan 90° व्याख्यित नाही, कारण x = cos 90° = 0 आणि y/x मध्ये शून्याने भाग जातो.

θ0°30°45°60°90°
sin θ01/21/√2√3/21
cos θ1√3/21/√21/20
tan θ01/√31√3अव्याख्यित
XY30° : (√3/2, 1/2)45° : (1/√2, 1/√2)60° : (1/2, √3/2)0°90°O

आकृतीत : पहिल्या चरणातील एकक वर्तुळ; प्रत्येक बिंदूचे निर्देशक = (cos θ, sin θ).

नियम 1 : संदर्भ कोन — चरण II, III, IV मधील कोनासाठी X-अक्षापासूनचा लहान कोन α (संदर्भ कोन) घ्या. किंमत α ची आणि चिन्ह चरणाचे. 180° − α, 180° + α, 360° − α असे कोन अनुक्रमे चरण II, III, IV मध्ये येतात.

  • सोपे : sin 150° = sin(180° − 30°) = + sin 30° = 1/2 (चरण II, sin धन).
  • मध्यम : cos 225° = cos(180° + 45°) = − cos 45° = −1/√2 (चरण III, cos ऋण).
  • परीक्षेसाठी : tan 330° = tan(360° − 30°) = − tan 30° = −1/√3 (चरण IV, tan ऋण).

नियम 2 : ऋण कोन — sin(−θ) = −sin θ, cos(−θ) = cos θ, tan(−θ) = −tan θ. म्हणजे cos (आणि sec) सम फलने; sin, tan, cot, cosec विषम फलने.

  • सोपे : sin(−30°) = −sin 30° = −1/2.
  • मध्यम : cos(−120°) = cos 120° = −cos 60° = −1/2.
  • परीक्षेसाठी : tan(−225°) = −tan 225° = −tan(180° + 45°) = −1.

सूत्र कसे मिळाले? : P(x, y) बिंदूचे X-अक्षातील प्रतिबिंब P′(x, −y) असते. −θ चा अंत्य किरण P′ मधून जातो, म्हणून cos(−θ) = x = cos θ आणि sin(−θ) = −y = −sin θ. भागाकाराने tan(−θ) = −y/x = −tan θ.

नियम 3 : मोठे कोन (आवर्तता) — 360° (2π) फिरल्यावर अंत्य किरण परत तोच येतो, म्हणून sin, cos, cosec, sec साठी 360° चे पट वजा करा; tan आणि cot साठी 180° (π) चे पट वजा करता येतात.

  • सोपे : cos 420° = cos(420° − 360°) = cos 60° = 1/2.
  • मध्यम : sin 1125° = sin(1125° − 1080°) = sin 45° = 1/√2.
  • परीक्षेसाठी : tan 1230° = tan(1230° − 1080°) = tan 150° = −1/√3; sin(25π/6) = sin(25π/6 − 4π) = sin(π/6) = 1/2.
लक्षात ठेवा

cos आणि sec फक्त सम; बाकी सर्व विषम (ऋण कोनासाठी चिन्ह बदलते). मोठ्या कोनाला 360° (tan, cot साठी 180°) ने भागून शेष घ्या.

सामान्य चूक

tan(−θ) = tan θ लिहिणे. sin, tan, cot, cosec चे चिन्ह बदलते; फक्त cos आणि sec चे बदलत नाही. तसेच sin(180° − θ) ला −sin θ म्हणणे चूक; ते sin θ आहे.

शॉर्टकट

मोठा कोन : 360° ने भागा आणि शेष कोन घ्या (नकारात्मक असेल तर 360° मिळवा). tan साठी 180° ने भागले तरी चालते. आठवणीची युक्ती : "फक्त कोज्या (cos) सम" — cos स्वतःचे चिन्ह जपतो, बाकी सर्व बदलतात.

CET सापळा

sin 150° = +1/2 पण sin 210° = −1/2; दोन्हींची किंमत 1/2 आहे आणि पर्यायांत दोन्ही चिन्हे दिलेली असतात. नेहमी चरण पाहून चिन्ह ठरवा.

CET-स्टाइल उदाहरण : sin 765° + cos(−330°) ची किंमत किती? (A) (√2 + √3)/2 (B) (√2 − √3)/2 (C) (√3 − √2)/2 (D) (2 + √3)/2

उत्तर : (A). 765° − 720° = 45°, sin 45° = 1/√2 = √2/2; cos(−330°) = cos 330° = cos 30° = √3/2; बेरीज (√2 + √3)/2. वेळ वाचवण्याची पद्धत : प्रत्येक पद वेगळे लहान कोनावर आणा; दोन्ही धन येतात, म्हणून बेरीज धन आणि फक्त (A) व (D) शक्य; (D) खूप मोठा (1.93) म्हणून (A).

फरक ओळखा

कोनsincostan
180° − θ+ sin θ− cos θ− tan θ
180° + θ− sin θ− cos θ+ tan θ
360° − θ− sin θ+ cos θ− tan θ
−θ− sin θ+ cos θ− tan θ

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1sin 120° ची किंमत काढा.
  2. 2cos 180° ची किंमत काय?
  3. 3tan 135° ची किंमत काढा.
मध्यम
  1. 4sin(−150°) ची किंमत काढा.
  2. 5cos 840° ची किंमत काढा.
  3. 6tan(5π/4) ची किंमत काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7sin 2010° ची किंमत काढा.
  2. 8sin²135° + cos²(−120°) ची किंमत काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1√3/2 (120° = 180° − 60°, sin धन).
  2. 2−1.
  3. 3−1 (135° = 180° − 45°, tan ऋण).
  4. 4−1/2 (−sin 150° = −1/2).
  5. 5−1/2 (840° − 720° = 120°).
  6. 61 (180° + 45°, tan धन).
  7. 7−1/2 (2010° − 1800° = 210°).
  8. 83/4 (1/2 + 1/4).

मूलभूत त्रिकोणमितीय सूत्रे (सर्वसमिका)

रोजच्या जीवनातून

शिडी भिंतीला टेकवली की शिडीची लांबी, भिंतीवरची उंची आणि जमिनीवरचे अंतर यांचा काटकोन त्रिकोण तयार होतो; पायथागोरसमुळे या तिघांचा संबंध कायम ठरलेला असतो. शिडीची लांबी 1 घेतली की संबंध sin आणि cos मध्ये मिळतो. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 10 मध्ये 0° ते 90° साठी sin²θ + cos²θ = 1 शिकलो; आता तेच कोणत्याही कोनासाठी खरे आहे.

सोपी व्याख्या

सर्वसमिका म्हणजे अशी समता जी चलाच्या सर्व (व्याख्यित) किमतींसाठी खरी असते. सर्वात मूलभूत सर्वसमिका : sin²θ + cos²θ = 1.

नियम 1 : व्युत्क्रम आणि भागाकाराची नाती — cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ, tan θ = sin θ/cos θ, cot θ = cos θ/sin θ.

नियम 2 : पायथागोरसीय सर्वसमिका — sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, 1 + cot²θ = cosec²θ. यातून एक फल माहीत असले तर बाकीची सर्व मिळतात; वर्गमूळ घेताना चिन्ह चरणावरून ठरवा.

cos θsin θ1θsin²θ + cos²θ = 1(Pythagoras)

आकृतीत : एकक वर्तुळातील काटकोन त्रिकोण : बाजू cos θ, sin θ आणि कर्ण 1, म्हणून sin²θ + cos²θ = 1.

सूत्र कसे मिळाले? : एकक वर्तुळावर P(x, y) असेल तर x² + y² = 1 (r = 1). x = cos θ, y = sin θ ठेवले की sin²θ + cos²θ = 1. आता दोन्ही बाजूंना cos²θ ने भागा : tan²θ + 1 = sec²θ. sin²θ ने भागा : 1 + cot²θ = cosec²θ.

  • सोपे : sin θ = 3/5 आणि θ लघुकोन : cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25, म्हणून cos θ = 4/5 आणि tan θ = 3/4.
  • मध्यम : tan θ = 5/12 आणि θ चरण III मध्ये : sec²θ = 1 + 25/144 = 169/144; चरण III मध्ये cos ऋण, म्हणून sec θ = −13/12, cos θ = −12/13 आणि sin θ = tan θ × cos θ = −5/13.
  • परीक्षेसाठी : sin θ + cos θ = 7/5 असेल तर sin θ cos θ काढा : (sin θ + cos θ)² = 1 + 2 sin θ cos θ; 49/25 = 1 + 2 sin θ cos θ; म्हणून sin θ cos θ = 12/25.
लक्षात ठेवा

तीनही पायथागोरसीय सर्वसमिका कोणत्याही कोनासाठी खऱ्या. जोड्या : tan ↔ sec आणि cot ↔ cosec. √ घेतल्यावर ± येतो; चिन्ह चरणावरून ठरवा.

सामान्य चूक

sin²θ + cos²θ = 1 ला "sin θ + cos θ = 1" लिहिणे; वर्ग विसरल्याने उत्तर चुकते. तसेच sin²θ म्हणजे (sin θ)², sin(θ²) नव्हे.

शॉर्टकट

काटकोन त्रिकोणाचे जोड : (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25). sin θ = 5/13 दिले तर cos θ = 12/13 लगेच, वर्गमूळ न काढता. आठवणीची युक्ती : "1 + tan² = sec²" — टॅन-सेक जोडी; "1 + cot² = cosec²" — कॉट-कोसेक जोडी. ज्या फलाला "को" (co) आहे त्याची जोडी "को" शी.

CET सापळा

CET मध्ये "sec θ + tan θ = k" दिल्यावर sec θ − tan θ मागतात; sec²θ − tan²θ = 1 असल्याने उत्तर 1/k. दिलेल्या बेरजेवरून θ काढत बसू नका.

CET-स्टाइल उदाहरण : sec θ + tan θ = 2 असेल तर sec θ − tan θ ची किंमत? (A) 1/2 (B) 2 (C) 1 (D) 3/4

उत्तर : (A). (sec θ + tan θ)(sec θ − tan θ) = sec²θ − tan²θ = 1, म्हणून दुसरा अवयव 1/2. वेळ वाचवण्याची पद्धत : गुणाकार 1 आहे हे ओळखा; उत्तर = 1/दिलेली किंमत. 10 सेकंदांत सुटते.

फरक ओळखा

सर्वसमिकाकशाने भागून मिळतेकधी वापरावी
sin²θ + cos²θ = 1मूळ सर्वसमिकाsin आणि cos मधील संबंध
1 + tan²θ = sec²θcos²θ ने भागूनtan किंवा sec दिले असताना
1 + cot²θ = cosec²θsin²θ ने भागूनcot किंवा cosec दिले असताना

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1cos θ = 12/13 (θ लघुकोन) असेल तर sin θ काढा.
  2. 21 + tan²θ ऐवजी एकच फल लिहा.
  3. 3sin θ = 0.6 असेल तर sin²θ + cos²θ ची किंमत काय?
मध्यम
  1. 4cot θ = 4/3 आणि θ चरण III मध्ये; sin θ आणि cos θ काढा.
  2. 5sin θ − cos θ = 1/5 असेल तर sin θ cos θ काढा.
  3. 6(1 − cos²θ) cosec²θ सोपे करा.
आव्हानात्मक
  1. 7cosec θ − cot θ = 1/3 असेल तर cosec θ + cot θ काढा.
  2. 8tan θ = −3/4 आणि θ चरण IV मध्ये; sec θ आणि sin θ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1sin θ = 5/13.
  2. 2sec²θ.
  3. 31.
  4. 4चरण III : sin θ = −3/5, cos θ = −4/5.
  5. 5sin θ cos θ = 12/25.
  6. 61 (कारण 1 − cos²θ = sin²θ आणि sin²θ × cosec²θ = 1).
  7. 73.
  8. 8sec θ = 5/4, sin θ = −3/5.

आलेख, प्रांत, पल्ला आणि आवर्तकाल

रोजच्या जीवनातून

समुद्राच्या लाटा, हृदयाचे ठोके, झोपाळ्याचे झोके — सर्व ठराविक वेळाने पुन्हा तसेच येतात. sin आणि cos चा आलेख अशा पुनरावृत्तीचे गणिती चित्र आहे. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 मध्ये y = x आणि y = x² चे आलेख काढले; आता y = sin x चा आलेख काढताना x-अक्षावर कोन (रेडियन) घेतात.

सोपी व्याख्या

फलाचा प्रांत म्हणजे x च्या सर्व परवानगीयोग्य किमती; पल्ला म्हणजे y च्या सर्व मिळणाऱ्या किमती; आवर्तकाल म्हणजे सर्वात लहान धन T ज्यासाठी f(x + T) = f(x).

नियम 1 : sin, cos आणि tan चे गुणधर्म — sin x आणि cos x : प्रांत सर्व वास्तव संख्या, पल्ला [−1, 1], आवर्तकाल 2π. tan x : प्रांत R − {(2n + 1)π/2}, पल्ला सर्व वास्तव संख्या, आवर्तकाल π.

π/2π3π/22π1−1sin xcos x

आकृतीत : sin x आणि cos x चे आलेख 0 ते 2π मध्ये; लाट [−1, 1] मध्येच राहते आणि 2π नंतर पुन्हा तशीच येते.

−π−π/2π/2πtan x

आकृतीत : tan x चा आलेख : x = ±π/2 वर उभ्या रेषा (अधोरेखा) ज्यांना आलेख स्पर्श करत नाही; आवर्तकाल π.

नियम 2 : आवर्तकाल आणि पल्ला काढण्याची पद्धत — sin(kx) आणि cos(kx) चा आवर्तकाल 2π/|k|; tan(kx) चा π/|k|. a sin x + b चा पल्ला [b − |a|, b + |a|]. दोन फलांच्या बेरजेचा आवर्तकाल = त्यांच्या आवर्तकालांचा ल.सा.वि.

सूत्र कसे मिळाले? : sin(kx) साठी sin(k(x + T)) = sin(kx + kT). हे sin(kx) बरोबर होण्यासाठी kT = 2π लागते, म्हणून T = 2π/k. पल्ला : −1 ≤ sin x ≤ 1 ला a ने गुणले आणि b मिळवला की b − |a| ते b + |a|.

  • सोपे : sin 4x चा आवर्तकाल = 2π/4 = π/2.
  • मध्यम : 5 cos x − 2 चा पल्ला : cos x ∈ [−1, 1], म्हणून 5 cos x ∈ [−5, 5] आणि 5 cos x − 2 ∈ [−7, 3].
  • परीक्षेसाठी : sin(x/2) + cos(x/3) चा आवर्तकाल : घटकांचे आवर्तकाल 4π आणि 6π; त्यांचा ल.सा.वि. = 12π.
लक्षात ठेवा

sin, cos : [−1, 1] मध्ये बंदिस्त; tan, cot : कोणतीही किंमत. tan चे आलेख अधोरेखांमुळे तुटक. आवर्तकाल sin, cos साठी 2π; tan, cot साठी π.

सामान्य चूक

sin 3x चा आवर्तकाल 6π लिहिणे (गुणणे). आवर्तकाल भागाकाराने येतो : 2π/3. k मोठा झाला की लाट दाट होते, आवर्तकाल लहान होतो.

शॉर्टकट

x समोरचा गुणक k पाहा; आवर्तकाल = 2π ÷ k (tan साठी π ÷ k). पल्ला काढताना sin x ऐवजी +1 आणि −1 घालून दोन टोकाच्या किमती काढा. आठवणीची युक्ती : "k वाढला की लाट दाट — आवर्तकाल लहान."

CET सापळा

|sin x| आणि sin²x यांचा आवर्तकाल 2π नसून π आहे, कारण ऋण भाग वर उलटतो. पर्यायांत 2π मुद्दाम दिलेला असतो.

CET-स्टाइल उदाहरण : 3 − 4 sin x चा पल्ला कोणता? (A) [−1, 7] (B) [−4, 4] (C) [3, 7] (D) [−1, 3]

उत्तर : (A). sin x = 1 वर 3 − 4 = −1; sin x = −1 वर 3 + 4 = 7. वेळ वाचवण्याची पद्धत : दोन्ही टोकांच्या किमती घालून पाहा; तेच कमाल आणि किमान. उत्तर 5 सेकंदांत.

फरक ओळखा

गुणधर्मsin xcos xtan x
प्रांतसर्व Rसर्व RR − {(2n + 1)π/2}
पल्ला[−1, 1][−1, 1]सर्व R
आवर्तकाल2π2ππ
x-अक्ष कुठे छेदतोx = nπx = (2n + 1)π/2x = nπ
सम / विषमविषमसमविषम

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1cos x चा पल्ला लिहा.
  2. 2tan x चा आवर्तकाल किती?
  3. 3cos 2x चा आवर्तकाल काढा.
मध्यम
  1. 42 sin x + 1 चा कमाल आणि किमान काढा.
  2. 5sin(x/3) चा आवर्तकाल काढा.
  3. 6tan 3x चा आवर्तकाल काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7sin 2x + cos 4x चा आवर्तकाल काढा.
  2. 87 − 3 cos x चा पल्ला काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1[−1, 1].
  2. 2π.
  3. 3π.
  4. 4कमाल 3, किमान −1.
  5. 56π.
  6. 6π/3.
  7. 7π (घटकांचे आवर्तकाल π आणि π/2).
  8. 8[4, 10].

ध्रुवीय निर्देशक

रोजच्या जीवनातून

जहाजाचा रडार "पूर्वेला 3 किमी, उत्तरेला 4 किमी" असे न सांगता "5 किमी अंतरावर, 53° दिशेला" असे सांगतो. अंतर आणि दिशा यांनी स्थान सांगणे म्हणजेच ध्रुवीय पद्धत. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 मध्ये बिंदू (x, y) ने दर्शवला आणि पायथागोरसने अंतर काढले; आता त्याच बिंदूला (r, θ) असेही लिहितो.

सोपी व्याख्या

एक स्थिर बिंदू O (ध्रुव) आणि त्यातून निघणारा स्थिर किरण (ध्रुवीय अक्ष, धन X-अक्ष) घ्या. बिंदू P चे ध्रुवीय निर्देशक (r, θ) : r = OP चे अंतर, θ = ध्रुवीय अक्षापासून घड्याळाच्या उलट दिशेने मोजलेला कोन.

XYθP(r, θ)Orx = r cos θy = r sin θ

आकृतीत : बिंदू P चे ध्रुवीय निर्देशक (r, θ) आणि कार्तीय निर्देशक x = r cos θ, y = r sin θ.

नियम 1 : ध्रुवीय → कार्तीय — x = r cos θ, y = r sin θ. (r, θ) दिले की x आणि y थेट मिळतात.

नियम 2 : कार्तीय → ध्रुवीय — r = √(x² + y²) आणि tan θ = y/x. θ चे चरण (x, y) च्या चिन्हांवरून ठरवा; फक्त tan⁻¹ वर विसंबू नका.

सूत्र कसे मिळाले? : आकृतीत P मधून X-अक्षावर लंब PM टाका. काटकोन त्रिकोण OMP मध्ये कर्ण OP = r, OM = x, PM = y. म्हणून cos θ = x/r आणि sin θ = y/r, म्हणजे x = r cos θ, y = r sin θ. पायथागोरस : r² = x² + y².

  • सोपे : (8, 60°) → x = 8 cos 60° = 4, y = 8 sin 60° = 4√3; कार्तीय बिंदू (4, 4√3).
  • मध्यम : (−3, 3) → r = √(9 + 9) = 3√2; tan θ = −1 आणि बिंदू चरण II मध्ये, म्हणून θ = 135°; ध्रुवीय (3√2, 135°).
  • परीक्षेसाठी : (−2√3, −2) → r = √(12 + 4) = 4; tan θ = 1/√3, संदर्भ कोन 30° आणि चरण III, म्हणून θ = 180° + 30° = 210°; ध्रुवीय (4, 210°).
लक्षात ठेवा

r नेहमी धन (अंतर); θ ध्रुवीय अक्षापासून उलट दिशेने. मूलबिंदू (0, 0) साठी r = 0 आणि θ ठरत नाही. x² + y² = r².

सामान्य चूक

θ = tan⁻¹(y/x) हेच अंतिम उत्तर समजणे. बिंदू (−1, 1) साठी tan⁻¹(−1) = −45° येतो, पण बिंदू चरण II मध्ये, म्हणून खरा θ = 135°.

शॉर्टकट

आधी बिंदू कोणत्या चरणात ते ठरवा; मग संदर्भ कोन α = tan⁻¹|y/x| काढा; θ = α, 180° − α, 180° + α किंवा 360° − α (चरण I, II, III, IV). आठवणीची युक्ती : "आधी चरण, मग कोन."

CET सापळा

पर्यायांत (2, 60°), (2, 120°), (2, 240°) असे एकाच r चे तीन कोन असतात. बिंदूच्या चिन्हांवरून चरण पाहिला की दोन पर्याय लगेच बाद होतात.

CET-स्टाइल उदाहरण : बिंदू (−1, √3) चे ध्रुवीय निर्देशक कोणते? (A) (2, 120°) (B) (2, 60°) (C) (2, 240°) (D) (√2, 120°)

उत्तर : (A). r = √(1 + 3) = 2; tan θ = −√3 आणि चरण II, म्हणून θ = 120°. वेळ वाचवण्याची पद्धत : x ऋण, y धन → चरण II : 60° आणि 240° बाद; r = 2 : (D) बाद. उत्तर (A).

फरक ओळखा

मुद्दाकार्तीय (x, y)ध्रुवीय (r, θ)
स्थान सांगतोअक्षांपासूनच्या अंतरांनीध्रुवापासून अंतर आणि दिशेने
उगममूलबिंदूध्रुव
एका बिंदूची नोंदएकच जोडीθ + 360° नेही तोच बिंदू
रूपांतरr = √(x² + y²)x = r cos θ, y = r sin θ

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1(10, 0°) चे कार्तीय निर्देशक लिहा.
  2. 2(6, 8) साठी r काढा.
  3. 3(0, −4) चे ध्रुवीय निर्देशक कोणते (0° ≤ θ < 360°)?
मध्यम
  1. 4(12, 30°) चे कार्तीय निर्देशक काढा.
  2. 5(−5, 5) चे ध्रुवीय निर्देशक काढा.
  3. 6x² + y² = 36 ध्रुवीय रूपात लिहा.
आव्हानात्मक
  1. 7(2, 4π/3) चे कार्तीय निर्देशक काढा.
  2. 8(1, −1) चे ध्रुवीय निर्देशक काढा (0° ≤ θ < 360°).
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1(10, 0).
  2. 2r = 10.
  3. 3(4, 270°).
  4. 4(6√3, 6).
  5. 5(5√2, 135°).
  6. 6r = 6.
  7. 7(−1, −√3).
  8. 8(√2, 315°).

धडा २ : त्रिकोणमिती - I — झटपट उजळणी

मुद्दासूत्र / किंमत
एकक वर्तुळcos θ = x, sin θ = y, tan θ = y/x
कोणत्याही बिंदूवरूनsin θ = y/r, cos θ = x/r, r = √(x² + y²)
ऋण कोनsin(−θ) = −sin θ, cos(−θ) = cos θ, tan(−θ) = −tan θ
मूलभूत सर्वसमिकाsin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, 1 + cot²θ = cosec²θ
आवर्तकालsin kx, cos kx : 2π/k; tan kx : π/k (k > 0)
ध्रुवीयx = r cos θ, y = r sin θ

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

  • चरण I मध्ये सर्व धन; II मध्ये sin; III मध्ये tan; IV मध्ये cos (A-S-T-C).
  • कोन 30°, 45°, 60° च्या किमती पाठ : sin = 1/2, 1/√2, √3/2.
  • ऋण कोनात फक्त cos चे चिन्ह बदलत नाही; मोठा कोन 360° ने भागून शेष घ्या.
  • sec θ ± tan θ आणि cosec θ ± cot θ चे गुणाकार 1 असतात.
  • आवर्तकाल भागाकाराने येतो (2π ÷ k); |sin x| चा आवर्तकाल π.
  • ध्रुवीय कोन काढताना आधी चरण पाहा, मग tan⁻¹.
अभ्यासाचा मंत्र

सर्वसमिका पाठ, आलेखाची लाट मनात काढा, आणि चरण आधी — मग कोन.